[全]利用垂线段最短解决最值问题

利用垂线段最短解决最值问题
模型一垂线段最短
如图，已知直线l 外一定点 A 和直线l 上一动点B，求A、B 之间距离的最小值.
通常过点A 作直线l 的垂线AB，利用垂线段最短解决问题，即连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
【典型例题】
1.如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，点E 是AB 上任意一点．
若AD＝5，AC＝4，则DE 的最小值为()
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
答案：A .
当DE⊥AB 时，DE 最小，此时DE = CD，在Rt△ACD 中，根据勾股定理易得CD = 3 .
2. 如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC 边上高AD＝4，若点P 在边AC 上( 不含端点) 移动，
则BP 长的最小值为________．
答案：24/5 .
如图，延长CA，过点 B 作BP'⊥CA 于点P'，此时BP' 的长最小.
在等腰△ABC 中根据“三线合一” 的性质可知BD = CD = 3 ,
S△ABC = 1/2 × BP' × AC = 1/2 × AD × BC，可得BP' = 24/5 . （等积求距）
3. 如图，点A 坐标为(－2，0)，点B 在直线y＝x－4 上运动，当线段AB 最短时，点B 坐标为________．
答案：（1，-3）.
如图，当AB'⊥直线y＝x－4 时，此时线段AB 最短.
设直线AB' 的解析式为y = kx + b （k ≠ 0）,
∵ AB'⊥BB'，K BB' = 1，（KBB' 为直线y＝x－4 的斜率）
∴K AB' × K BB' = - 1 ，（两条直线垂直斜率乘积为-1）
∴K AB' = - 1 ，即k = -1 ,
∴直线AB' 的解析式为y = -x + b ,
∵点A（-2,0）在直线AB' 上，
∴ 0 = 2 + b , 解得b = -2 ,
∴直线AB' 的解析式为y = -x - 2 .
联立直线y = x - 4 , 解方程可得B'（1，-3）.
模型二胡不归问题
“胡不归” 问题即点P 在直线l 上运动时的“ PA＋k·PB ( 0 < k < 1 ) ” 型最值问题.
问题：
如图①，已知sin∠MBN＝k，点P 为∠MBN 其中一边BM 上的一个动点，
点A 在射线BM、BN 的同侧，连接AP，则当“ PA＋k·PB ” 的值最小时，点P 的位置如何确定？
解题思路：
本题的关键在于如何确定“ k·PB ” 的大小.
过点P 作PQ⊥BN 于点Q，则k·PB＝PB·sin∠MBN＝PQ，
∴可将求“ PA＋k·PB ” 的最小值转化为求“ PA＋PQ ” 的最小值( 如图② )，
∴当A、Q、P 三点共线时，PA＋PQ 的值最小( 如图③ )，此时AQ⊥BN . 【典型例题】
1. 如图，四边形ABCD 是菱形，AB＝6，且∠ABC＝60°，
M 为对角线BD ( 不与点B 重合) 上任意一点，则AM＋1/2 BM 的最小值为________．
答案：3√3 .
如图，过A 点作AE⊥BC 于点E，交AB 于点M' ，则AM＋1/2 BM 的最小值为AE .
在Rt△AEB 中，AB = 6，∠ABC = 60°，
∴ AE = AB ▪ sin∠ABC = 6 × √3 / 2 = 3√3 .
拓展应用：
对于求“ m·PA＋k·PB” 的最值，若m > k ≥ 1，可转化为“ m ( PA + k/m · PB ) ” 的最值, 此时0< k/m < 1.
(1) 本题若要求“ 2AM＋BM ” 的最小值，你会吗？请求解．
答案：6√3 .
(2) 本题若要求“AM＋BM＋CM” 的最小值，你会吗？请求解．
答案：6√3 .
AM＋BM＋CM 最小时，此时点M 为△ABC 的“费马点”，
所以AM＋BM＋CM = BD = 2 × √3 / 2 × 6 = 6√3 .
2. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2 + bx＋c 的图象经过点A(－1，0)、B(0，－√3 )、
C(2，0)，其对称轴与x 轴交于点D .
若P 为y 轴上的一个动点，连接PD，则1/2 PB＋PD 的最小值为_______．
答案：3√3 / 4 .
如图
1/2 PB＋PD = PD + 1/2 PB 的最小值为DE，则∠PBE = 30°，可解得DE = 3√3 / 4 .。