专题一 集合 函数 导数

专题一 集合、函数与导数及应用
考纲解读
1．集合
（1）集合的含义与表示
①了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系.
②能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题.
（2）集合间的基本关系
①理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. ②在具体情境中,了解全集与空集的含义. （3）集合的基本运算
①理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集. ②理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集. ③能使用韦恩图（Venn ）表达集合的关系及运算.
2．函数概念与基本初等函数I （指数函数、对数函数、幂函数） （1）函数
①了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念. ②在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.
③了解简单的分段函数,并能简单应用.
④理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.
⑤会运用函数图像理解和研究函数的性质. （2）指数函数
①了解指数函数模型的实际背景.
②理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.
③理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握函数图像通过的特殊点. （3）对数函数
①理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.
②理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性,掌握函数图像通过的特殊点. ③了解指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数（a >0,a ≠1）. （4）幂函数
①了解幂函数的概念.
②结合函数21
321
x y x y x y x y x y =====，，，，的图象,了解它们的变化情况.
（5）函数与方程
①结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.
②根据具体函数的图像,能够用二分法求相应方程的近似解.
（6）函数模型及其应用
①了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.
②了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用. 16．导数及其应用
（1）导数概念及其几何意义 ①了解导数概念的实际背景. ②理解导数的几何意义. （2）导数的运算
①能根据导数定义,求函数x
y x y x y c y 1
2====，，，的导数.
②能利用下面给出的基本初等函数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
·常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式：
()0()c c '=为常数 ()sin cos x x '=；
x x sin )(cos -=' ；
x x e e =')(；1)0(ln )(≠>='a a a a a x x 且； x x 1)(ln =
'；1)0(log 1
)(log ≠>='a a e x
x a a 且 ·常用的导数运算法则：
·法则1 [])()()()(x v x u x v x u '±'='± ·法则2 [])()()()()()(x v x u x v x u x v x u '+'='
·法则3 )0)(()()
()()()()()(2
≠'-'='⎥⎦
⎤⎢⎣⎡x v x v x v x u x v x u x v x u （3）导数在研究函数中的应用
①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间（对多项式函数一般不超过三次）.
②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（对多项式函数一般不超过三次）. （4）生活中的优化问题
会利用导数解决某些实际问题.
一、知识网络结构
1、元素与集合之间是“属于”或“不属于”关系；集合与集合之间是“包含”或“包含于”关系.
集合知识作为整个数学知识的基础,在高考中重点考查的是集合的化简,以及利用集合与简易逻辑的知识来指导我们思维,寻求解决其他问题的方法,同时 集合作为中学数学工具,主要用来表示函数的定义域、值域以及不等式的解集.
2、四种命题之间的相互关系
原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q
逆命题若q 则p
逆否命题若┐q 则┐p
互为逆否互逆否互为逆
否
互
互逆
否
互一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题⇔逆否命题)
①、原命题为真,它的逆命题不一定为真. ②、原命题为真,它的否命题不一定为真. ③、原命题为真,它的逆否命题一定为真. 3、全称命题与特称命题
全称命题的一般形式:,()x M p x ∀∈
特称命题的一般形式:0
0,()x M P x ∃∈
全称命题的否定形式：
00,()x M P x ∃∈⌝
特称命题的否定形式:,()x M P x ∀∈⌝
4、反证法：从命题结论的反面出发（假设）,引出(与已知、公理、定理…)矛盾,从而否定假设证明原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.
5.常见的基本初等函数有：
一次函数：(),, 0.f x kx b b k =+≠是常数其中 二次函数：2(),0.f x ax bx c a =++≠其中 对数函数：()log ,0 1.a f x x a a =>≠且
指数函数：(),00.x
f x a a a =>≠且
幂函数：
(),0.f x x α
α=≠其中 6.常见函数与抽象函数的图象和性质
会求函数的定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性等,并会处理它们之间的内在原则,同时注意函数本身的限制条件：定义域优先的原则.
函数图象的三大基本问题：作图、识图、用图. 7.函数图象变换的四种形式 （1）平移变换 （2）对称变换 ①
1()(),()(),()(),()(),y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y x -=-==-==--===与与与与每组中两个函数图象分别关于轴、轴、原点、直线y=x 对称.
②若对定义域内的一切x 均有()(),f x m f m x +=-则()y f x =图象关于直线
x m =对称；
（3）伸缩变换 （4）翻转变换
①(),y f x =作出()y f x =的图象,将图象位于x 轴下方的部分以x 轴为对称
轴翻折到x 轴上方.
②(),y f x =作出()y f x =在y 轴右边的图象部分,以y 轴为对称轴将其翻折到左边得到()y f x =在y 轴左边部分的图象.
8.导数及其应用
导数：若函数f(x)在x 0附近有定义,当自变量x 在x 0处取得一个增量Δx 时（Δx 充分小）,因变量y 也随之取得增量Δy(Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0)).若存在,则称f(x)在x 0处可导,此极限值称为f(x)在点x 0处的导数（或变化率）,记作(x 0)或或
,即.由定义知f(x)在点
x 0连续是f(x)在x 0可导的必要条件.若f(x)在区间I 上有定义,且在每一点可导,则称它在此敬意上可导.导数的几何意义是：f(x)在点x 0处导数(x 0)等于曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处切线的斜率.函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率,也就是说,曲线在点P
处的切线的斜率是,切线方程为
导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的导数/0000()()
()lim
x f x x f x f x x
∆→+∆-=∆.
导数的几何意义：曲线()y f x =上点00(,())x f x 处的切线的斜率为/0()f x .因此曲线()y f x =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为/000()()()y f x f x x x -=-. 导数的物理意义：
若质点运动的位移函数为S =s (t ),则0t t =时质点运动的瞬时速度是0'()s t . 复合函数求导法：设函数y=f(u),u=(x),已知(x)在x 处可导,f(u)在对应的点u(u=(x))处可导,则复合函数y=f[(x)]在点x 处可导,且（f[(x)]=
.
函数单调性：
⑴函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导, 如果＞0,则为增函数； 如果＜0,则为减函数.
x
y x ∆∆→∆0lim
'f 0'x x y =0
x dx
dy 0
00)
()(lim
)('0
x x x f x f x f x x --=→'f )(x f y =0x )(x f y =))(,(0x f x )(x f y =))(,(0x f x )(0'x f ).)((0'0x x x f y y -=-ϕϕϕϕϕ)')(')](['x x f ϕϕ)(x f y =)('x f )(x f y =)('x f )(x f y =
⑵常数的判定方法；
如果函数在区间内恒有=0,则为常数.
极值的判别方法：（极值是在附近所有的点,都有＜,则是函数的极大值,极小值同理） 当函数在点处连续时,
①如果在附近的左侧＞0,右侧＜0,那么是极大值； ②如果在附近的左侧＜0,右侧＞0,那么是极小值.
也就是说是极值点的充分条件是点两侧导数异号,而不是=0①. 此外,函数不可导的点也可能是函数的极值点②.当然,极值是一个局部概念,极值点的大小关系是不确定的,即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）. 注①：若点是可导函数的极值点,则=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数,其一点是极值点的必要条件是若函数在该点可导,则导数值为零. 例如：函数,使=0,但不是极值点.
②例如：函数,在点处不可导,但点是函数的极小值点.
极值与最值区别：
极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上对函数值进行比较. 几种常见的函数导数：
（为常数）
（）
9.函数与导数的综合应用
导数作为中学数学中的工具,主要用来判断函数的单调性、求函数的极值、最值.
二、考题方向分析
)(x f y =I )('x f )(x f y =0x )(x f )(0x f )(0x f )(x f )(x f 0x 0x )('x f )('x f )(0x f 0x )('x f )('x f )(0x f 0x 0x )('x f 0x )(x f )('x f 0x 3)(x x f y ==0=x )('x f 0=x ||)(x x f y ==0=x 0=x 0'=C C x x cos )(sin
'=1')(-=n n nx x R n ∈x x sin )(cos '-=x x 1)(ln '=
e x
x a a log 1
)(log '=x x e e =')(a a a x x ln )('=
函数与导数既是高中数学最重要的基础知识,又是高中数学的主干知识,还是高中数学的主要工具,在高考中占有举足轻重的地位,其考查的内容和形式也是丰富多彩的.对于函数,高中数学在各章节的知识渗透有函数的思想与方法,函数的影子几乎闪现与每个问题之中,对于函数内容的备考,首先要掌握基本概念和基本运算,牢记基本函数的图像与性质,重视函数与方程、数形结合、转化与化归、分类讨论等数学思想与方法在解题中的应用.导数属于新课程改革后增加的内容,是高中数学知识的一个重要的交汇点,命题范围非常广泛,为函数的考查提供了广阔天地,处于一种特殊的地位.
三、经典例题讲解
例1（2010全国）（4）（理）函数的反函数是 （A ）
（B ） （C ） （D ）
【答案】D
【命题意图】本题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化. 【解析】由原函数解析式解得
,即
,又
；
∴在反函数中
,故选D.
例２（201１全国）（5）（理）设函数()cos (0)f x x ωω=＞,将()y f x =的图像
向右平移
3
π
个单位长度后,所得的图像与原图像重合,则ω的最小值等于
（A ）1
3
（B ）3 （C ）6 （D ）9
【答案】C
【命题意图】本题主要考查三角函数的图像变换中的平移和图像重合问题,同时考查三角函数的周期性. 【解析】由题意得
()cos[()]cos()cos 33f x x x x
ππ
ωωωω=-=-=
所以,2,3
k k z
π
ωπ=∈,6,.k k z ω=∈故ω的最小值为6.
例3 (2014全国新课标)(理) (1)设集合M=｛0,1,2｝,N={}2|320x x x -+≤,则
M N ⋂=
A. ｛1｝
B. ｛2｝
C. ｛0,1｝
D. ｛1,2｝ 【答案】D
【命题意图】本题主要考查集合的运算和一元二次不等式的解法.
1ln(1)
(1)2
x y x +-=
>211(0)x y e x +=->21
1(0)x y e x +=+>211(R)x y e x +=-∈211(R)x y e x +=+∈
【解析】把M=｛0,1,2}中的数,代入不等式2-320,x x +≤经检验x=1,2满足. 例4 (2014全国新课标)(理)(8)设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a =
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3 【答案】 D
【命题意图】本题主要考查导数的几何意义. 【解析】
.
.3.2)0(,0)0(.
1
1
-)(),1ln(-)(D a f f x a x f x ax x f 故选联立解得且==′=∴+=′∴+= 例5．函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝21－x 在同一直角坐标系下的图像大致是( )
【答案】 C
【命题意图】本题主要考查函数的图像问题.
【解析】f (x )＝1＋log 2x 的图像可由f (x )＝log 2x 的图像上移1个单位得到,且过点(1/2,0),(1,1),由指数函数性质可知g (x )＝21－x 为减函数,且过点(0,2),故选C.
例6（2011全国文）（21）已知函数32()331f x x ax x =-++ （Ⅰ）设2a =,求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）设()f x 在区间（2,3）中至少有一个极值点,求a 的取值范围. 【命题意图】本题主要考查利用导数求函数的单调性和极值问题.
【解析】（Ⅰ）当2a =时,
2
()3123f x x x '=-+. 令()0,f x '
>,22x x <>解得或则函数
32
()331f x x ax x =-++的单调增
区间是(,2(2)-∞++∞和.
令()0f x '<,解得
,22x -<<+则函数
32()331f x x ax x =-++的单调减区间是
(2
.
（Ⅱ）（省略）
例7（2014全国新课标）（理）（21） 已知函数()f x 满足满足12
1()(1)(0)2
x f x f e f x x -'=-+； （1）求()f x 的解析式及单调区间；
（2）若2
1()2
f x x ax b ≥
++,求(1)a b +的最大值. 【命题意图】本题主要考查函数、不等式、方程与导数的综合应用.
【解析】（1）1211
()(1)(0)()(1)(0)2
x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+⇒=-+
令1x =得：(0)1f =
12
11()(1)(0)(1)1(1)2
x f x f e x x f f e f e --'''=-+
⇒==⇔= 得：21
()()()12x x f x e x x g x f x e x '=-+⇒==-+
()10()x g x e y g x '=+>⇒=在x R ∈上单调递增
()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=⇔><=⇔<
得：()f x 的解析式为21()2
x f x e x x =-+
且单调递增区间为(0,)+∞,单调递减区间为(,0)-∞ （2）2
1()()(1)02
x f x x ax b h x e a x b ≥
++⇔=-+-≥得()(1)x h x e a '=-+ ①当10a +≤时,()0()h x y h x '>⇒=在x R ∈上单调递增
x →-∞时,()h x →-∞与()0h x ≥矛盾
②当10a +>时,()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>⇔>+<⇔<+ 得：当ln(1)x a =+时,min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥
22(1)(1)(1)ln(1)(10)a b a a a a +≤+-+++>
令22()ln (0)F x x x x x =->；则()(12ln )F x x x '=-
()00()0F x x F x x ''>⇔<<<⇔>
当x =,max ()2
e F x =
当1,a b =-=时,(1)a b +的最大值为
2
e 四、经典预测训练试题
一、选择题
1. 已知集合}0)3(|{<-=x x x P ,}2|||{<=x x Q ,则=Q P ( ) A ．)0,2(-B ．)2,0(C ．)3,2( D ．)3,2(- 2．下列命题中,真命题是( )
B ．∀x ∈R,2x >x 2
C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab ＝－1
D ．a >1,b >1是ab >1的充分条件
3．已知A ＝{0,1},B ＝{－1,0,1},f 是从A 到B 的映射,则满足f (0)>f (1)的映射有( )
A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．2个
4．下列函数中既是奇函数,又在区间[－1,1]上单调递减的是( ) A ．f (x )＝sin x B ．f (x )＝－|x ＋1| C ．f (x )＝12(a x ＋a －x )
D ．f (x )＝-x
5．函数f (x )＝1nx －6＋2x 的零点一定位于区间( ) A ．(3,4) B ．(2,3) C ．(1,2) D ．(5,6)
二、填空题
6．函数y ＝－x 2－2ax (0≤x ≤1)的最大值是a 2,则实数a 的取值范围是_____．
7．已知函数31
()()log 5x f x x
=-,若x 0是方程f (x )＝0的解,且0<x 1<x 0,则f (x 1)的值为__________(正负情况)．
8.已知函数f (x )的定义域为[－1,5],部分对应值如下表,f (x )的导函数y ＝
f ′(x )的图像如图所示.
x －104 5
下列关于函数f(x)的命题：
①函数f(x)的值域为[1,2]；
②函数f(x)在[0,2]上是减函数；
③如果当x∈[－1,t]时,f(x)的最大值2,那么t的最大值为4；
④当1<a<2时,函数y＝f(x)－a有4个零点．
其中是真命题的是________．
三、解答题
9.（2008年全国）（理）（22）设函数
sin
()
2cos
x
f x
x
=
+
．求()
f x的单调区间.
10．(文科)已知函数f(x)＝x3＋2x2－ax＋1.
(1)若函数f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为4,求实数a的值；
(2)若函数g(x)＝f′(x)在区间(－1,1)上存在零点,求实数a的取值范围．
（理科）(2014·郑州质检)已知函数f(x)＝x－ln(x＋a)在x＝1处取得极值．
(1)求实数a的值；
(2)若关于x的方程f(x)＋2x＝x2＋b在[1/2,2]上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围．
答案
1、答案D
2、答案 D
解析∵a>1>0,b>1>0,∴由不等式的性质,得ab>1.即a>1,b>1⇒ab>1.
3、答案 A
解析当f(0)＝－1时,f(1)可以是0或1,则有2个映射．
当f(0)＝0时,f(1)＝1,则有1个映射．
4、答案 D
5、答案 B
解析f(1)＝－3<0,f(2)＝－32<0,f(3)＝13>0,故选B.
6、答案－1≤a≤0
解析 f (x )＝－x 2－2ax ＝－(x ＋a )2＋a 2,
若f (x )在[0,1]上最大值是a 2,
则0≤－a ≤1,即－1≤a ≤0.
7、答案：正值
解析：分别作y ＝(1/5)x 与y ＝log 3x 的图象,如
图可知,当0<x 1<x 0时,(1/5)x
1>log 3x 1,
∴f (x 1)>0.
8、答案 ②
解析 根据导函数f ′(x )的图像可知f (x )的三个极值点为0,2,4,其中0,4是极大值点,2是极小值点,再结合f (x )的部分对应值表可得f (x )的大致图像如下：
①由于f (2)的值不确定,因此①错；②显然正确；
③由于f (0)＝2,因此对于0≤t ≤5,均满足条件,故③错；
④与①的道理相同,y ＝f (x )－a 有4个零点,即y ＝a 与y ＝f (x )的图像有4个交点,此时a 的取值范围依然与f (2)的大小有关,因此④错误．故正确的只有②.
9、解析：22(2cos )cos sin (sin )2cos 1()(2cos )(2cos )
x x x x x f x x x +--+¢==++ 当2π2π2π-
2π33k x k <<+（k ÎZ ）时,1cos 2
x >-,即()0f x ¢>； 当2π4π2π2π+33k x k +<<（k ÎZ ）时,1cos 2x <-,即()0f x ¢<． 因此()f x 在每一个区间2π2π2π,2π33
k k 骣琪-+琪桫（k ÎZ ）是增函数, ()f x 在每一个区间2π4π2π,2π33k k 骣琪++琪桫
（k ÎZ ）是减函数. 10、（文科）答案 (1)a ＝3 (2)[－4/3,7)
解析 由题意得g (x )＝f ′(x )＝3x 2＋4x －a .
(1)f ′(1)＝3＋4－a ＝4,∴a ＝3.
(2)g (x )＝f ′(x )在区间(－1,1)上存在零点,等价于3x 2＋4x ＝a 在区间(－1,1)上有解,也等价于直线y ＝a 与曲线y ＝3x 2＋4x ,x ∈(－1,1)有公共点,作图得a ∈[－4/3,7)．
（理科）答案 (1)0 (2)54＋ln2≤b <2。