初中数学人教八年级上册第十三章轴对称-等腰三角形的性质 PPT

形的底角的大小是( A )
A．65°或50°
B．80°或40°
C．65°或80°
D．50°或80°
解析：当50°的角是底角时，三角形的底角就是 50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据 三角形的内角和定理易得底角是65°.故选A.
方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知 一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角 ，要分两种情况讨论．
∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
∵AB=AC, AD⊥BC(已知)， ∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）.
画出任意一个A 等腰三角
形的底角平分线、这个 底角所对的腰上的中线 和高，看看它们是否重 合？
B
C
D
B
A
E
D
F
C
典例精析 例1 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上 ，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.
教学目标
1．等腰三角形的概念． 2．等腰三角形的性质． 3．等腰三角形的概念及性质的应 用．
导入新课
情境引入
定义及相关概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
A
顶
角
腰
腰
底角
B
底角
C
底边
等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底
边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
讲授新课
一 等腰三角形的性质
x
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
D
于是在△ABC中，有
2x
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° ， 2x
解得x=36 ° ，在△ABC中，
B
C
∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
归纳 在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用
方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解.
针对训练： 如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°， 求∠B和∠C的度数. 解：∵AB=AD=DC
D
∠C= ∠BDC=2 ∠A.
2x
（4）设∠A=x°,请把△ ABC的内
2x
角和用含x的式子表示出来.
B
C
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠C=180 °，∴ x+2x+2x=180 °,
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
A
∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.
⌒
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
B DC
∠BAD=∠CAD ( 已作 ),
AD=AD (公共边),
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
想一想：由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B= ∠C 之外，你还可以得到那些相等的线段和相等的角？和 你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？
互动探究
剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去 阴影部分，再把得到的直角三角形展开，得到的三角形 ABC有什么特点？
B
A
AB=AC
等腰三角形
C
折一折：△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴 是什么？
B
A
D
C
等腰三角形是轴对称图形. 折痕所在的直线是它的对称轴.
找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折， 找出其中重合的线段和角.
如图,在△ABC中, ∵AB=AC(已知), ∴∠B=∠C(等边对等角).
A
B
C
性质2:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及 底边上的高线互相重合(三线合一）.
证明后的结论,以后可以直接运用.
A 综上可得：如图,在△ABC中,
∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)，
12
∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. B D C ∵AB=AC, BD=CD (已知)，
课堂小结
等 边 对 等 角 注意是指同一个三角形中
等腰三角 形的性质
三线合一
注意是指顶角的平分线,底边上 的高和中线才有这一性质.而腰 上高和中线与底角的平分线不具 有这一性质.
谢谢合作 ！
∴ ∠B= ∠ADB，∠C= ∠DAC 设 ∠C=x，则 ∠DAC=x， ∠B= ∠ADB= ∠C+ ∠DAC=2x， 在△ABC中， 根据三角形内角和定理，得
2x+x+26°+x=180°， 解得x=38.5°.
∴ ∠C= x=38.5°， ∠B=2x=77°.
例2 等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角
当堂练习
1.等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（ B ）
A．30°，60°
B．45°，45°
C．45°，90°
D．20°，70°
2.如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，
若∠1=70°，则∠BAC的大小为（ A ） A．40° B．30° C．70° D．50°
3.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另 外两个角为_7_5_°_ , 30_°_； (2)等腰三角形一个角为36°,它的另外 两个角为_7_2_°__,_7_2_°__或__3_6_°__,1_0_8_°_； (3)等腰三角形一个角为120°,它的另外 两个角为_30_°__，30_°_.
A 分析：（1）找出图中所有相等的角；
∠A=∠ABD, ∠C=∠BDC=∠ABC；
（2）指出图中有几个等腰三角形？

△ABC, △ABD, △BCD.
B
C
（3）观察∠BDC与∠A、∠ABD的关
系，∠ABC、∠C呢？
A
⌒
∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD,
x
∠ABC= ∠BDC=2 ∠A,
重合的线段
重合的角
A
AB与AC
∠B 与∠C.
BD与CD
∠BAD 与∠CAD
AD与AD
∠ADB 与∠ADC BD C
猜一猜： 由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性
质吗？说一说你的猜想.
猜想:等腰三角形的两个底角相等 A 已知：△ABC中，AB=AC,
求证：∠B=C.
B
C
可以运用全等三 角形的性质“对
如何证明两个 角相等呢？
应角相等”来证
思考：如何构造两个全等的三角形？
方法一：作底边上的中线
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
A
求证： ∠B= ∠C.
证明： 作底边的中线AD， 则BD=CD.
在△BAD和△CAD中
AB=AC ( 已知 )， BD=CD ( 已作 )， AD=AD (公共边)，
A
解：∵△BAD≌ △CAD，由全等三角形的
性质易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，
∠BAD=∠CAD.
又∵ ∠ADB+∠ADC=180°，
∴ ∠ADB=∠ADC= 90° ， B D C 即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶
角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线 .
总结归纳
性质1:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
B DC
还有其他的 证法吗？
∴ △BAD≌ △CAD (SSS). ∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
方法二：作顶角的平分线
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
A
求证： ∠B= ∠C.
证明：作顶角的平分线AD， 则∠BAD=∠CAD.
在△BAD和△CAD中 AB=AC ( 已知 ),