2019-2020学年乌鲁木齐市名校新高考高一数学下学期期末经典试题

2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知x ､y 的取值如下表: x 0 1 3 4 y
2.2
4.3
4.8
6.7
从散点图可以看出y 与x 线性相关，且回归方程0.95y x a =+，则当5x =时，估计y 的值为（ ） A ．7.1
B ．7.35
C ．7.95
D ．8.6
2．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =
A ．31
44AB AC - B ．
13
44AB AC - C ．31
44
+AB AC
D ．1344
+AB AC
3． “6
π
θ=
”是“1
sin 2
θ=
”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．函数3sin 26y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭图像的一条对称轴方程为（）
A ．3
x π
=-
B ．3
x π
=
C ．6
x π
=
D ．6
x π
=-
5．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，12AA =，1AC BC ==，则异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值是（ ）
A 6
B ．
64
C 6
D 66．已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于5km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东020，灯塔B 在观察站C 的南偏东040，则灯塔A 与灯塔B 的距离为（ ） A ．52km
B ．53km
C ．5km
D ．10km
7．某班现有60名学生，随机编号为0，1，2，…，59.依编号顺序平均分成10组，组号依次为1，2，3，…，
10.现用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，若在第1组中随机抽取的号码为5，则在第7组中随机抽取的号码为（ ） A ．41
B ．42
C ．43
D ．44
8．执行右面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的P 是
A ．8
B ．5
C ．3
D ．2
9．已知函数()x f x e x =+，()ln g x x x =+，()h x x x =的零点分别为a ，b ，c ，则（ ）
A ．a b c >>
B ．b c a >>
C ．c a b >>
D ．a c b >>
10．已知1x >，则4
1
x x +-的最小值为 A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
11．下列说法正确的是（）
A ．锐角是第一象限的角，所以第一象限的角都是锐角;
B ．如果向量a 0b ⋅=，则a b ⊥；
C ．在ABC 中，记AB a =，AC b =，则向量a b +与a b -可以作为平面ABC 内的一组基底；
D ．若a ，b 都是单位向量，则a b =.
12．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列互斥但不对立的两个事件是（ ）
A ．“至少1名男生”与“全是女生”
B ．“至少1名男生”与“至少有1名是女生”
C ．“至少1名男生”与“全是男生”
D ．“恰好有1名男生”与“恰好2名女生” 二、填空题：本题共4小题
13．已知向量()cos ,sin a θθ=，()
1,3b =，则a b -的最大值为_______.
14．在ABC ∆中，角B 为直角，线段BA 上的点M 满足2BM 2 MA ==，若对于给定的,ACM ABC
∠∆
是唯一确定的，则sin ACM ∠=_______．
15．一艘轮船按照北偏西30°的方向以每小时21海里的速度航行，一个灯塔M 原来在轮船的北偏东30°的方向，经过40分钟后，测得灯塔在轮船的北偏东75°的方向，则灯塔和轮船原来的距离是_____海里． 16．圆22:(1)1C x y +-=上的点P 到直线:230l x y --=的距离的最小值是______. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在区间(0,1)内随机取两个数,m n ，则关于x 的一元二次方程20x m +=有实数根的概率为__________．
18．已知函数()f x =（1）证明函数()f x 在定义域上单调递增； （2）求函数()f x 的值域；
（3）令()()()2g x f x m R =∈，讨论函数()g x 零点的个数.
19．（6分）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2)a c cosB bcosC =－. （1）求内角B 的大小；
（2）设(2)m sinA cos A =，，(41)(1)n k k =>，
，m n 的最大值为5，求k 的值.
20．（6分）已知圆C 的圆心C 在x 轴的正半轴上，半径为2，且被直线3440x y --=截得的弦长为（1）求圆C 的方程；
（2）设P 是直线50x y ++=上的动点，过点P 作圆C 的切线PA ，切点为A ，证明：经过A ，P ，C 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.
21．（6分）甲乙两地生产某种产品，他们可以调出的数量分别为300吨、750吨.A ，B ，C 三地需要该产品数量分别为200吨，450吨，400吨，甲地运往A ，B ，C 三地的费用分别为6元/吨、3元/吨，5元/吨，乙地运往A ，B ，C 三地的费用分别为5元/吨，9元/吨，6元/吨，问怎样调运，才能使总运费最小？ 22．（8分）已知等差数列{}n a 中，17a =-，315S =-． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 【解析】 【分析】
计算2x =， 4.5y =，代入回归方程计算得到 2.6a =，再计算得到答案. 【详解】
013424x +++=
=， 2.2 4.3 4.8 6.7
4.54
y +++==，故4.50.952a =⨯+，解得 2.6a =.
当5x =，0.955 2.67.35y =⨯+=. 故选：B 【点睛】
本题考查了回归方程的应用，意在考查学生的计算能力. 2．A 【解析】
分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得11
22
BE BA BC =+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到31
44
BE BA AC =+，下一步应
用相反向量，求得31
44
EB AB AC =-，从而求得结果.
详解：根据向量的运算法则，可得
()
111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =
+=+=++ 11131
24444
BA BA AC BA AC =++=+， 所以31
44EB AB AC =-，故选A.
点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 3．A
【解析】 【分析】 根据6
π
θ=
和1
sin 2θ
=
之间能否推出的关系，得到答案. 【详解】 由6
π
θ=
可得1sin 2
θ=
， 由1
sin 2θ=，得到26k πθπ=+或526
k πθπ=
+，k ∈Z ，不能得到6πθ=， 所以“6
π
θ=”是“1
sin 2
θ=
”的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】
本题考查充分不必要条件的判断，属于简单题. 4．B 【解析】 【分析】
()sin y A ωx φ=+对称轴为
2
,k x k Z
π
ϕ
π
ω
ω
-=+
∈
【详解】 依题意有2,6
2
x k k Z π
π
π-=
+∈
解得,32
k
x k Z π
π=+∈ 故选B 【点睛】
本题考查()sin y A ωx φ=+的对称轴，属于基础题。

5．D 【解析】
连结1BC ，∵11//AC A C ，
∴11C A B ∠是异面直线
1A B 与AC 所成角（或所成角的补角），
∵在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，12AA =，1AC BC ==， ∴112AB =+＝，1426A B +＝＝，1415BC =+=，111AC =，
∴222
1111
1111162216AC A B BC cos C A B AC A B
+-∠===⨯⨯⨯⨯，
∴异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值为6
，故选D. 6．B 【解析】 【分析】
根据题意画出ABC 的相对位置，再利用正余弦定理计算． 【详解】
如图所示，5,120AC BC ACB ==∠=︒,2222cos120=75AB AC AB AC AB =+-⋅⋅︒，53AB km =，选B. 【点睛】
本题考查解三角形画出相对位置是关键，属于基础题． 7．A 【解析】 【分析】
由系统抽样．先确定分组间隔，然后编号成等差数列来求所抽取号码． 【详解】
由题知分组间隔为以60
610
=，又第1组中抽取的号码为5，所以第7组中抽取的号码为66541⨯+=. 故选：A. 【点睛】
本题考查系统抽样，掌握系统抽样的概念与方法是解题基础． 8．C 【解析】
试题分析：k=1，满足条件k ＜4，则执行循环体，p=0+1=1，s=1，t=1 k=2，满足条件k ＜4，则执行循环体，p=1+1=2，s=1，t=2 k=3，满足条件k ＜4，则执行循环体，p=1+2=3，s=2，t=3 k=4，不满足条件k ＜4，则退出执行循环体，此时p=3 考点：程序框图 9．B 【解析】 【分析】
a ，
b ，
c 分别为()0f x =，()0g x =，()0h x =的根，作出x y e =，y lnx =，y x =
的图象与直线
y x =-，观察交点的横坐标的大小关系．
【详解】
由题意可得a ，b ，c 分别为()0f x =，()0g x =，()0h x =的根， 作出x
y e =，y lnx =，y x =
,的图象,
与直线y x =-的交点的横坐标分别为a ，b ，c ， 由图象可得a c b <<， 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了函数的零点，函数的图象，数形结合思想，属于中档题． 10．C 【解析】 【分析】
由1x >，得10x ->，则441111
x x x x +=-++--，利用基本不等式，即可求解． 【详解】
由题意，因为1x >，则10x ->， 所以444
112(1)()15111
x x x x x x +
=-++≥-⋅=---，
当且仅当411
x x -=-时，即3x =时取等号，
所以4
1
x x +
-的最小值为5，故选C ． 【点睛】
本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的使用条件，合理构造是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 11．C 【解析】 【分析】
可举390的角在第一象限，但不是锐角，可判断A ；考虑两向量是否为零向量，可判断B ；由,a b 不共线，推得a b +与a b -不共线，可判断C ；考虑两向量的方向可判断D ，得到答案． 【详解】
对于A ，锐角是第一象限的角，但第一象限的角不一定为锐角， 比如390的角在第一象限，但不是锐角，故A 错误； 对于B ，如果两个非零向量,a b 满足0a b ⋅=，则a b ⊥， 若存在零向量，结论不一定成立，故B 错误；
对于C ，在ABC ∆中，记,AB a AC b ==，可得a b +与a b -不共线， 则向量a b +与a b -可以作为平面ABC 内的一组基底，故C 正确；
对于D ，若,a b 都是单位向量，且方向相同时，a b =；若方向不相同，结论不成立， 所以D 错误． 故选C ． 【点睛】
本题主要考查了命题的真假判断，主要是向量共线和垂直的条件，着重考查了判断能力和分析能力，属于基础题． 12．D 【解析】 【详解】
从3名男生和2名女生中任选2名学生的所有结果有“2名男生”、“2名女生”、“1名男生和1名女生”． 选项A 中的两个事件为对立事件，故不正确； 选项B 中的两个事件不是互斥事件，故不正确； 选项C 中的两个事件不是互斥事件，故不正确；
选项D 中的两个事件为互斥但不对立事件，故正确．选D ． 二、填空题：本题共4小题 13．3. 【解析】 【分析】
计算出()
22
a b a b -=-，利用辅助角公式进行化简，并求出2
a b -的最大值，可得出a b
-的最大值. 【详解】
1cos 2cos 2sin cos cos sin 226a b πθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫
⋅=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2sin 6πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2
22
cos sin 1a θθ
=
+=，2
2
2
14b =+
=，
所以，()
2
2
2
2
212sin 452sin 766a b a b a a b b ππθθ⎛⎫⎛
⎫-=-=-⋅+=-++=-+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
当且仅当()3
26
2k k Z π
πθπ+
=
+∈，即当()726
k k Z π
θπ=+∈，等号成立， 因此，a b -的最大值为. 【点睛】
本题考查平面向量模的最值的计算，涉及平面向量数量积的坐标运算以及三角恒等变换思想的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 14．
1
5
【解析】 【分析】 设,BC x ACM =∠=θ，根据已知先求出x 的值，再求sin ACM ∠的值.
【详解】
设,BC x ACM =∠=θ，则tan tan()ACB MCB θ=∠-
∠23213
2661x x x x x x x x
-=
==++⋅+.
依题意，若对于给定的,ACM ABC ∠∆是唯一的确定的，
函数
1
6x x
+
在（1，+∞）是减函数，
所以x =1
tan 5θ=
θ=.
故答案为
1
5
【点睛】
本题主要考查对勾函数的图像和性质，考查差角的正切的计算和同角的三角函数的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 15．7(31)+ 【解析】 【分析】
画出示意图，利用正弦定理求解即可. 【详解】
如图所示：M 为灯塔，C 为轮船
180753045MBC ∠=︒-︒-︒=︒，180756075MCB ∠=︒-︒-︒=︒，则在MBC △中有：
sin 75sin 45MC MB =︒︒，且2
21143
MB =⨯=海里，则解得：7(31)MB =海里.
【点睛】
本题考查解三角形的实际应用，难度较易.关键是能通过题意将航海问题的示意图画出，然后选用正余弦定理去分析问题. 1651 【解析】 【分析】
求圆心到直线的距离，用距离减去半径即可最小值. 【详解】
圆C 的圆心为C(0,1)，半径为1R ＝， 圆心C 到直线的距离为：55
d =
= 51 51 【点睛】
本题考查圆上的点到直线的距离的最值，若圆心距为
d ，圆的半径为r 且圆与直线相离，则圆上的点到直线距离的最大值为d+r ，最小值为d-r.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．
18
【解析】
试题分析：解：在平面直角坐标系中，以x 轴和y 轴分别表示m n ，的值，
因为m 、n 是(01)，
中任意取的两个数，所以点()m n ，与右图中正方形内的点一一对应，即正方形内的所有点构成全部试验结果的区域．设事件A 表示方程20x nx m -+=有实根，
则事件40()|{101n m A m n n m n -≥⎧⎫⎪⎪
=<<⎨⎬⎪⎪<<⎩⎭
，，
所对应的区域为图中的阴影部分，
且阴影部分的面积为
1
8
．故由几何概型公式得 1()8S P A S =
=阴影正方形，即关于x 的一元二次方程20x nx m =有实根的概率为1
8
．
考点：本题主要考查几何概型概率的计算．
点评：几何概型概率的计算，关键是明确基本事件空间及发生事件的几何度量，有面积、体积、角度数、线段长度等．本题涉及到了线性规划问题中平面区域．
18．（1）证明见解析；（2）(
2；（3）当0m ≥时，()g x 没有零点；当0m <时，()g x 有且仅有一个零点 【解析】 【分析】
（1）求出函数定义域后直接用定义法即可证明；
（2）由题意得()0f x >，对()f x 两边同时平方得()2
2214x
f x =--⎡⎤⎣⎦
14x - 的取值范围即可得解；
（3）转化条件得()()()2
2f x g x m f x m =-++⎡⎤⎣⎦，令()(
02f x t t =<≤，利用二次函数的性质分
类讨论即可得解. 【详解】
（1）证明：令120
120
x x
⎧+≥⎨-≥⎩，解得0x ≤，故函数的定义域为(],0-∞
令120x x <≤，()()21f x f x -=
-
=
+
由21x x >，可得2122x x >>> 故()()210f x f x ->即()()21f x f x >，所以函数()f x 在定义域上单调递增.
（21>1<，故()0f x >，
()2
22f x =-=-⎡⎤⎣⎦
，
当0x ≤时，041x <≤，有0141x ≤-<，可得：01≤<，故()2
02f x <⎡⎤⎣≤⎦，
由()0f x >，可得()0f x <≤，故函数()f x 的值域为(
，
（3）由（2）知()2
2f x =-⎡⎤⎣⎦， 则()(){
}
()()()2
2
22g x m f x m f x f x m f x =-+=-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，
令()(
0f x t t =<≤
，则()22g x mt t m =-++，
令()(2
20h t mt t m t =-++<≤，
①当0m =时，()(h t t =∈，此时函数()h t 没有零点，故函数()g x 也没有零点；
②当0m <时，二次函数()h t 的对称轴为()11
022t m m
=-=<⨯-，则函数()h t 在区间(
单调递
增，而()020h m =<，0h
=
>，故函数()h t 有一个零点，又由函数()f x 单调递增，可得函
数()g x 也只有一个零点；
③当0m >时，0m -<，二次函数()h t 开口向下，对称轴201
t m
=>，
又 ()020h m =>，0h
=
>，此时函数()h t 没有零点，故函数()g x 也没有零点.
综上，当0m ≥时，函数()g x 没有零点；当0m <时，函数()g x 有且仅有一个零点. 【点睛】
本题考查了函数单调性的证明、值域的求解和零点问题，考查了转化化归思想和分类讨论思想，属于中档题.
19．（1）3
B π
=,（2）3
2
k
【解析】
【分析】 【详解】 解：(1)
(2)cos cos ,a c B b C -=(2sin sin )cos sin cos ,A C B B C ∴-=
2sin cos sin cos cos sin ,A B B C B C ∴=+
（3分）
又在ABC ∆中，,(0,)A B π∈，所以1
sin 0,cos 2
A B >=，则3B π=………（5分）
(2)
2·4sin cos 22sin 4sin 1m n k A A A k A =+=-++,
22·2(sin )21m n A k k ∴=--++. ………………（8分）
又3
B π
=
，所以2(0,
)3
A π
∈，所以sin (0,1]A ∈. 所以当sin 1()2
A A π
==
时，·m n 的最大值为41k -. ………（10分）
3
415,2
k k ∴-==
………（12分） 20． (1) 圆C ：22(3)4x y -+=. (2)证明见解析；(3,0)，(1,4)--. 【解析】 【分析】
（1）设出圆心坐标，利用点到直线距离公式以及圆的弦长列方程，解方程求得圆心坐标，进而求得圆C 的方程.（2）设出P 点坐标，根据过圆的切线的几何性质，得到过A ，P ，C 三点的圆是以PC 为直径的圆.设出圆上任意一点M 的坐标，利用0PM CM ⋅=，结合向量数量积的坐标运算进行化简，得到该圆对应的方程2
2
35(3)0x y x y m x y +-+---=，根据方程过的定点与m 无关列方程组，解方程组求得该圆所
过定点. 【详解】
解：（1）设圆心(,0)(0)C a a >， 则圆心C 到直线3440x y --=的距离|34|
5
a d -=
. 因为圆被直线3440x y --=截得的弦长为3∴2
231d R =
-=.
解得3a =或1
3
a =-（舍），∴圆C ：22
(3)4x y -+=. （2）已知(3,0)C ，设(,5)P m m --，
∵PA 为切线，∴PA AC ⊥，∴过A ，P ，C 三点的圆是以PC 为直径的圆.
设圆上任一点为(,)M x y ，则0PM CM ⋅=.
∵(,5)PM x m y m =-++，(3,)CM x y =-，∴()(3)(5)0x m x y y m --+++= 即2
2
35(3)0x y x y m x y +-+---=. 若过定点，即定点与m 无关
令22350
30x y x y x y ⎧+-+=⎨
--=⎩
解得30x y =⎧⎨=⎩或1
4
x y =-⎧⎨=-⎩，所以定点为(3,0)，(1,4)--.
【点睛】
本小题主要考查圆的几何性质，考查圆的弦长有关计算，考查曲线过定点问题的求解策略，考查向量数量积的坐标运算，属于中档题.
21．甲到B 调运300吨，从乙到A 调运200吨，从乙到B 调运150吨，从乙到C 调运400吨，总运费最小 【解析】 【分析】
设从甲到A 调运x 吨，从甲到B 调运y 吨，则由题设可得020********x y x y ≤≤⎧⎪
≤≤⎨⎪+≤⎩
，总的费用为257150z x y =-+，
利用线性规划可求目标函数的最小值. 【详解】
设从甲到A 调运x 吨，从甲到B 调运y 吨，从甲到C 调运300x y --吨，则从乙到A 调运200x -吨，从乙到B 调运450y -吨，从乙到C 调运100x y ++吨， 设调运的总费用为z 元，则
()()()()635300520094506100z x y x y x y x y =++--+-+-+++
257150x y =-+.
由已知得约束条件为020********x y x y ≤≤⎧⎪
≤≤⎨⎪+≤⎩
，可行域如图所示，
平移直线2-50x y =可得最优解为0,300x y ==.
甲到B 调运300吨，从乙到A 调运200吨，从乙到B 调运150吨，从乙到C 调运400吨，总运费最小. 【点睛】
本题考查线性规划在实际问题中的应用，属于基础题. 22．（1）29n a n =-（2）(8)n S n n =- 【解析】 【分析】
（1）先设等差数列的公差为d ，根据题中条件求出公差，即可得出通项公式； （2）根据前n 项和公式，即可求出结果. 【详解】
（1）依题意，设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为32315S a ==-，所以25a =-，又17a =-， 所以公差2d =，
所以1(1)n a a n d =+-=72(1)29n n -+-=-． （2）由（1）知17a =-，2d =， 所以1(1)2n n n S na d -=+=(1)
72(8)2
n n n n n --+⨯=- 【点睛】
本题主要考查等差数列，熟记等差数列的通项公式与前n 项和公式即可，属于基础题型.
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．从甲、乙、丙三人中，任选两名代表，甲被选中的概率为（ ） A ．
12 B ．
13 C ．
14 D ．
23 2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱全面积与侧面积的比为（ ） A ．
122π
π
+ B ．
144π
π
+ C ．
12π
π
+ D ．
142π
π
+ 3．在一个平面上，机器人到与点(3,3)C -的距离为8的地方绕C 点顺时针而行，它在行进过程中到经过点0()10,A -与(0,10)B 的直线的最近距离为（ ） A ．828-
B ．828+
C ．82
D ．122
4．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，己知A=60°，43,42a b ==，则B=（ ） A ．45°
B ．135°
C ．45°或135°
D ．以上都不对
5．向量()()4,5,,1a b λ=-=，若()
//a b b -，则λ的值是（ ）
A ．54
-
B ．43-
C ．45-
D ．2- 6．已知函数()211sin
sin (0)222
x f x x ωωω=+->，若()f x 在区间()π,2π内没有零点，则ω的取值范围是 A ．10,8
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
B ．][1150,
,848⎛⎤
⋃ ⎥
⎝⎦
C ．50,8
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
D ．][150,
,148⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭
7．点(2,3),(3,2),A B -直线20ax y --=与线段AB 相交，则实数a 的取值范围是( ) A ．41
32
a -≤≤ B ．12
a ≥或4
3a ≤-
C ．1423
a -
≤≤ D ．4
3
a ≥
或12a ≤-
8．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图
象的特征，如函数()2
e
e cos ()x
x x f x x
--=
的部分图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若481
5S S =，则816
S S =（ ） A ．
1
3
B ．
15 C ．
513
D ．
522
10．已知变量x ，y 之间的线性回归方程为0.47.6ˆy
x =-+，且变量x ，y 之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法中错误的是（ ）
x
6 8 10 12 y
6
m
3
2
A ．变量x ，y 之间呈现负相关关系
B ．m 的值等于5
C ．变量x ，y 之间的相关系数0.4=-r
D ．由表格数据知，该回归直线必过点(9,4)
11．已知样本数据为3，1，3，2，3，2，则这个样本的中位数与众数分别为（ ） A ．2，3
B ．3，3
C ．2.5，3
D ．2.5，2
12．已知点(),P x y 是直线()400kx y k ++=>上一动点PA 、PB 是圆22
:20C x y y +-=的两条切线，
A 、
B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为（ ）
A ．3
B ．
21
2
C ．22
D ．2
二、填空题：本题共4小题 13．关于函数f （x ）=4sin （2x+
）（x ∈R ），有下列命题：
①y=f （x ）的表达式可改写为y=4cos （2x ﹣
）；
②y=f （x ）是以2π为最小正周期的周期函数； ③y=f （x ）的图象关于点对称； ④y=f （x ）的图象关于直线x=﹣对称．
其中正确的命题的序号是 ．
14．已知0a >，0b >，若()469log log log a b a b ==+，则
a
b
=______．
15．已知向量a ，b 的夹角为
23
π
，若1a =，2b =，则a b +=________. 16．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若::3:5:7a b c =,则此三角形的最大内角的度数等于________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）已知5
sin 13α=
，3cos 5
β=-，且α、β都是第二象限角，求()cos αβ-的值. （2）求证：2
tan cot sin 2ααα
+=
. 18．底面半径为3，高为62的圆锥有一个内接的正四棱柱（底面是正方形，侧棱与底面垂直的四棱柱）．
（1）设正四棱柱的底面边长为x ，试将棱柱的高h 表示成x 的函数； （2）当x 取何值时，此正四棱柱的表面积最大，并求出最大值．
19．（6分）在国内汽车市场中，国产SUV 出现了持续不退的销售热潮，2018年国产SUV 销量排行榜完整版已经出炉，某品牌车型以惊人的销量成绩击退了所有虎视眈眈的对手，再次霸气登顶，下面是该品牌国产SUV 分别在2017年与2018年7～11月份的销售量对比表 时间
7月 8月 9月 10月 11月 2017年（单位：万辆） 2.8 3.9 3.5 4.4 5.4 2018年（单位：万辆）
3.8
3.9
4.5
4.9
5.4
（Ⅰ）若从7月至11月中任选两个月份，求至少有一个月份这两年该国产品牌SUV 销量相同的概率． （Ⅱ）分别求这两年7月至11月的销售数据的平均数，并直接判断哪年的销售量比较稳定． 20．（6分）若a R ∈，讨论关于x 的方程cos22sin 230x x a ++-=在[0,2]π上的解的个数. 21．（6分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量()1,2a =-，又点()8,0A
，(),B n t ，
()sin ,C k t θ，R θ∈.
（1）若AB a ⊥，且5AB OA =，求向量OB ； （2）若向量AC 与向量a 共线，常数0k >，求()sin f
t θθ=的值域.
22．（8分）已知数列{}n a 满足12n n a a +=+，数列{}n b 满足120n n b b +-=，且*111,a b n N ==∈
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n S .
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D 【解析】 【分析】
采用列举法写出总事件，再结合古典概型公式求解即可 【详解】
被选出的情况具体有：甲乙、甲丙、乙丙，甲被选中有两种，则2
3
P = 故选：D 2．A 【解析】
解：设圆柱底面积半径为r ，则高为2πr ，全面积：侧面积=[（2πr ）2+2πr 2]：（2πr ）2 这个圆柱全面积与侧面积的比为122π
π
+,故选A 3．A 【解析】 【分析】
由题意知机器人的运行轨迹为圆，利用圆心到直线的距离求出最近距离． 【详解】
解：机器人到与点C (3,3)-距离为8的地方绕C 点顺时针而行， 在行进过程中保持与点C 的距离不变，
∴机器人的运行轨迹方程为22(3)(3)64x y -++=，如图所示；
(10,0)A -与(0,10)B ，
∴直线AB 的方程为
11010
x y
+=-，即为100x y -+=，
则圆心C 到直线AB 的距离为8
d =
=>， ∴
最近距离为8-．
故选A ．
【点睛】
本题考查了直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，属于基础题． 4．A 【解析】 【分析】
利用正弦定理求出sin B 的值，再结合a b >，得出A B >，从而可得出B 的值。

【详解】
由正弦定理得sin sin b a B A =，3
42sin 22sin 243
b A B a ⨯
∴===， a b >，则A B >，所以，45B =，故选：A 。

【点睛】
本题考查利用正弦定理解三角形，要注意正弦定理所适用的基本情形，同时在求得角时，利用大边对大角定理或两角之和不超过180得出合适的答案，考查计算能力，属于中等题。

5．C 【解析】 【分析】
由平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出λ的值． 【详解】 向量=（-4，5），
=（λ，1），
则-=（-4-λ，4）， 又（
-）∥
，
所以-4-λ-4λ=0， 解得λ=-． 故选C ． 【点睛】
本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理应用问题，是基础题． 6．B 【解析】 【分析】 函数(
)()4
f x sin x πω=
-，，由0f x =（），可得 42k x π
πππω
+=
∉（，）
，，因此11
5590115()()()()()848484848
，，，，，，ω∴∉⋃⋃⋃⋯=⋃+∞即可得出．
【详解】 函数
(
)2
11111sin sin ()22222224
x
cos x f x x f x sin x sin x ωωπ
ωωω-=+-=+-=-（），
由0f
x =（），可得()04
sin x ，π
ω-=
解得
42k x π
πππω
+=
∉（，）
，11
5590115()()()()()84
84
84
84
8
，，，，，，ω∴∉⋃⋃⋃⋯=⋃+∞
∵f x （） 在区间()π,2π内没有零点，
][1
150,,8
48ω⎛⎤∴∈⋃ ⎥⎝⎦.
故选B ． 【点睛】
本题考查了三角函数的图象与性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 7．C 【解析】 【分析】
直线20ax y --=经过定点(0,2)C -，斜率为a ，数形结合利用直线的斜率公式，求得实数a 的取值范围，得到答案． 【详解】
如图所示，直线20ax y --=经过定点(0,2)C -，斜率为a ， 当直线20ax y --=经过点3(2,)A -时，则321
22AC k -+==-, 当直线20ax y --=经过点(3,2)B 时，则22433
BC k +==，
所以实数a 的取值范围14
23
a -
≤≤，故选C ．
【点睛】
本题主要考查了直线过定点问题，以及直线的斜率公式的应用，着重考查了数形结合法，以及推理与运算能力，属于基础题． 8．D 【解析】 【分析】
根据函数的性质以及特殊位置即可利用排除法选出正确答案． 【详解】
因为函数定义域为{}
0x x ≠，关于原点对称，而()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A ，C ；又因为()()
2
0e e f ππππ
---=
<，故排除B ．
故选：D ． 【点睛】
本题主要考查函数图象的识别，涉及余弦函数性质的应用，属于基础题． 9．D 【解析】 【分析】
根据等差数列片断和的性质得出4S 、84S S -、128S S -、1612S S -成等差数列，并将8S 和16S 都用4S 表
示，可得出8
16
S S 的值．
【详解】
根据等差数列的性质，若数列{}n a 为等差数列，则4841281612,,,S S S S S S S ---也成等差数列；又
481
5
S S =，则数列4841281612,,,S S S S S S S ---是以4S 为首项，以43S 为公差的等差数列，则8841641655,22,22
S S S S S S ==∴
=，故选D ． 【点睛】
本题考查等差数列片断和的性质，再利用片断和的性质时，要注意下标之间的倍数关系，结合性质进行求解，考查运算求解能力，属于中等题． 10．C 【解析】
分析：根据平均数的计算公式，求得样本中心为11(9,
)4
m
+，代入回归直线的方程，即可求解5m =，得到样本中心(9,4)，再根据,x y 之间的变化趋势，可得其负相关关系，即可得到答案. 详解：由题意，根据上表可知681012632119,444
m m
x y +++++++====，
即数据的样本中心为11(9,
)4
m
+， 把样本中心代入回归直线的方程，可得110.497.64
m
+=-⨯+，解得5m =， 则
11115
444
m ++==，即数据的样本中心为(9,4)， 由上表中的数据可判定，变量,x y 之间随着x 的增大，y 值变小，所以呈现负相关关系，
由于回归方程可知，回归系数ˆ0.4b
=-，而不是0.4r =，所以C 是错误的，故选C. 点睛：本题主要考查了数据的平均数的计算公式，回归直线方程的特点，以及相关关系的判定等基础知识的应用，其中熟记回归分析的基本知识点是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 11．C 【解析】 【分析】
将样本数据从小到大排列即可求得中位数，再找出出现次数最多的数即为众数. 【详解】
将样本数据从小到大排列：1，2，2，3，3，3，中位数为23
2.52
+=，众数为3. 故选：C. 【点睛】
本题考查了中位数和众数的概念，属于基础题. 12．D 【解析】 【分析】
作出图形，可知Rt PAC Rt PBC ∆≅∆，由四边形PACB 的最小面积是2，可知此时PA PB =取最小值
2，由勾股定理可知PC 的最小值为C 到直线()400kx y k ++=>，结合点
到直线的距离公式可求出k 的值. 【详解】
如下图所示，由切线长定理可得PA PB
=，又AC BC
=，PC PC
=，且90
PAC PBC
∠=∠=，
Rt PAC Rt PBC
∴∆≅∆，
所以，四边形PACB 的面积为PAC
∆面积的两倍，
圆C的标准方程为()2
211
x y
+-=，圆心为()
0,1
C，半径为1
r=，
四边形PACB的最小面积是2，所以，PAC
∆面积的最小值为1，
又
11
1
22
PAC
S PA AC PA
∆
=⋅=≥，
min
2
PA
∴=，
由勾股定理22
215
PC PA r PA
=+=+≥，
当直线PC与直线()
400
kx y k
++=>垂直时，PC取最小值5，
即
min2
14
5
1
PC
k
+
==
+
，整理得24
k=，0
k>，解得2
k=.
故选：D.
【点睛】
本题考查由四边形面积的最值求参数的值，涉及直线与圆的位置关系的应用，解题的关键就是确定动点P 的位置，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
二、填空题：本题共4小题
13．①③
【解析】
【分析】
【详解】
∵f （x）=4sin（2x+）=4cos（）=4cos（﹣2x+）=4cos（2x﹣），故①正确；
∵T=，故②不正确；
令x=﹣代入f （x）=4sin（2x+）得到f（﹣）=4sin（+）=0，
故y=f （x）的图象关于点对称，③正确④不正确；
故答案为①③．
14
．
1
2
【解析】 【分析】
首先令()469log log log a b a b t ==+=，分别把,a b 解出来，再利用整体换元的思想即可解决． 【详解】
令()469log log log 4,6,9t
t
t
a b a b t a b a b ==+=⇒==+=
所以2
2294691033t t
t t t t a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
+=⇒+=⇒+-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎢⎥⎣⎦
令()203t
x x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭
，所以210x x x +-=⇒=
所以4263t
t t a b ⎛⎫===
⎪⎝⎭【点睛】
本题主要考查了整体换元的思想以及对数之间的运算和公式法解一元二次方程．整体换元的思想是高中的一个重点，也是高考常考的内容需重点掌握． 15
【解析】 【分析】 由()2
2
a b a b +=+，展开后进行计算，得到2
a b
+的值，从而得到答案.
【详解】
因为向量a ，b 的夹角为23
π
，若1a =，2b =， 所以()
2
22
2
2a b a b
a a
b b +=+=+⋅+
2221212cos
21243
π
=+⨯⨯⨯+=-+ 3=，
所以3a b +
=. . 【点睛】
本题考查求向量的模长，向量的数量积运算，属于简单题. 16．120
【解析】 【分析】
根据大角对大边，利用余弦定理直接计算得到答案. 【详解】
在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若::3:5:7a b c = 不妨设三边分别为：3,5,7 根据大角对大边：角C 最大
2221
cos 22
a b c C ab +-==-
120C ∠=︒
故答案为120
【点睛】
本题考查了余弦定理，属于简单题.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）5665
；（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）利用同角三角函数间的关系式的应用，可求得cosα1213=-，sinβ4
5
=，再利用两角差的正弦、余弦与正切公式即可求得cos （α﹣β）的值． （2）利用切化弦结合二倍角公式化简即可证明 【详解】
（1）∵sinα5
13
=
，cosβ35=-，且α、β都是第二象限的角，
∴cosα1213==-，sinβ45
==，
∴cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ56
65
=；
（2）22sin cos sin cos 2
tan cot cos sin sin cos sin 2ααααααααααα
++=+==
得证 【点睛】
本题考查两角和与差的正弦、余弦与正切，考查同角三角函数间的关系式的应用，属于中档题．
18． (1) 2(0h x x =<;(2) 正四棱柱的底面边长为48. 【解析】
试题分析：（1）根据比例关系式求出h 关于x 的解析式即可；（2）设该正四棱柱的表面积为y ，得到关系
式2
24y x xh =+，根据二次函数的性质求出y 的最大值即可.
试题解析：（1）根据相似性可得：
6=
， 解得：(20h x x =<<； （2）设该正四棱柱的表面积为y ．则有关系式
()(2
222242426648y x xh x x x x x =+=+=-+=--+，
因为0x <<x =48max y =，
故当正四棱柱的底面边长为48.
点睛：本题考查了数形结合思想，考查二次函数的性质以及求函数的最值问题，是一道中档题；该题中的难点在于必须注意圆锥轴截面图时，三角形内的矩形的宽为正四棱柱的底面对角线的长度，除了二次函数求最值以外还有基本不等式法、转化法：如求53x x -+-的最小值，那么可以看成是数轴上的点到5x =和3x =的距离之和，易知最小值为2、求导法等. 19．（Ⅰ）7
10
；（Ⅱ）20174x =，2018 4.5x =，2018年销售量更稳定. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）列举出所有可能的情况，在其中找到至少一个月份两年销量相同的情况，根据古典概型概率公式求
得结果；（Ⅱ）根据平均数和方差的计算公式分别计算出两年销量的平均数与方差；由22
20182017s s <可得结
论. 【详解】
（Ⅰ）从7月至11月中任选两个月份，记为(),a b ，所有可能的结果为：
()7,8，()7,9，()7,10，()7,11，()8,9，()8,10，()8,11，()9,10，()9,11，()10,11，共10种情况
记事件A 为“至少有一个月份这两年国产品牌SUV 销量相同”，则有：
()7,8，()7,11，()8,9，()8,10，()8,11，()9,11，()10,11，共7种情况
()710
P A ∴=
，即至少有一个月份这两年国产品牌SUV 销量相同的概率为710
（Ⅱ）2017年销售数据平均数为：2017 2.8 3.9 3.5 4.4 5.4
45
x ++++=
= 方差()()()()()222222
20171 2.84 3.94 3.54 4.44 5.440.7645s ⎡⎤=⨯-+-+-+-+-=⎣
⎦
2018年销售数据平均数为：2018 3.8 3.9 4.5 4.9 5.4
4.55x ++++=
= 方差
()()()()()222222
20181 3.8 4.5 3.9 4.5 4.5 4.5 4.9 4.5 5.4 4.50.364
5s ⎡⎤=⨯-+-+-+-+-=⎣
⎦22
20182017s s <。