北京市平谷区2021-2022高二数学上学期期末考试试题(含解析).doc

平谷区2021—2021高二第一学期期末质量监控
数学试卷
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每个小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）
1.命题“2
R,30x x x ∀∈-+>”的否定是（ ）
A. 2
000,30x R x x ∃∈-+≤
B. 2
000,30x R x x ∃∈-+>
C. 2
,30x R x x ∀∈-+≤ D. 2
,30x R x x ∀∈-+<
【答案】A 【解析】 【分析】
直接根据全称命题的否定为特称命题来改写即可.
【详解】解：命题“2
R,30x x x ∀∈-+>”的否定是“2000,30x R x x ∃∈-+≤”.
故选：A.
【点睛】本题考查全称命题的否定，是基础题.
2.双曲线22
1916
x y -=的渐近线方程为（ ）
A. 34
y
x B. 43
y x =±
C. 35
y x =±
D.
53
y x =±
【答案】B 【解析】 【分析】
把双曲线的标准方程中的1换成0，可得其渐近线的方程．
【详解】双曲线的22x y 1916-=渐近线方程是22
x y 0916
-= ，即 4y x 3=±，
故选B ．
【点睛】本题考查了双曲线的标准方程与简单的几何性质等知识，属于基础题．
3.已知抛物线C ：2
8y x =-，那么抛物线C 的准线方程为（ ） A. 4x =- B. 2x =- C. 2x = D. 4x =
【答案】C 【解析】 【分析】
根据抛物线C ：2
8y x =-的准线方程为2
p
x =
来写出其准线方程. 【详解】解：由已知可得28p =，得4p =， 所以抛物线的准线方程为22
p
x ==. 故选：C.
【点睛】本题考查抛物线的准线方程求解，是基础题.
4.“m n >”是“曲线方程221x y
m n
+=表示焦点在x 轴上的椭圆”的（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 【分析】
曲线方程22
1x y m n
+=表示焦点在x 轴上的椭圆，
不仅要看,m n 的大小，还要看,m n 的正负. 【详解】解：当m n >时，若,m n 中有一个是负数，则曲线方程221x y
m n
+=就不是椭圆，
故不满足充分性；曲线方程22
1x y m n
+=表示焦点在x 轴上椭圆，则m n >，故满足必要
性. 故选：B.
【点睛】本题考查椭圆焦点位置和椭圆标准方程中2
2
,x y 的系数的关系，是基础题. 5.在我国建国70周年大庆之际，某校高二年级团支部组织6名学生去慰问平谷区老一代革命军人.现有10名学生报名，那么其中甲、乙两名学生被选参加慰问活动的概率是（ ） A.
1
14
B.
314
C.
13
D.
35
【答案】C
【解析】 【分析】
先求出10名学生报名，选出6名学生的基本事件的个数，然后求出甲、乙两名学生被选的基本事件的个数，再利用古典概型的公式求解即可.
【详解】解：10名学生报名，选出6名学生的基本事件的个数为6
10210C =， 甲、乙两名学生被选的基本事件的个数为4
870C =，
那么其中甲、乙两名学生被选参加慰问活动的概率是70
210
. 故选：C
【点睛】本题考查古典概型的求解以及利用排列组合知识解决基本事件的个数问题，是基础题.
6.在对某校高中学生身高的调查中，小明、小华分别独立进行了简单随机抽样调查.小明调查的样本平均数为165.7，样本量为100；小华调查的样本平均数为166.5，样本量为200.下列说法正确的是（ ）
A. 小华的调查结果比小明的调查结果更接近总体平均数的估计
B. 总体平均数一定高于小明调查的样本平均数
C. 总体平均数一定低于小华调查的样本平均数
D. 总体平均数是确定的数，样本平均数总是在总体平均数附近波动 【答案】D 【解析】 【分析】
总体平均数是确定的数，在样本容量小于总体容量时，无法估计样本平均数与总体平均数之间的大小关系.
【详解】解：总体平均数是确定的数，在样本容量小于总体容量时，无法估计样本平均数与总体平均数之间的大小关系，故ABC 均错误. 总体平均数是确定的数，样本平均数总是在总体平均数附近波动,故D 正确. 故选：D.
【点睛】本题考查样本平均数与总体平均数之间的关系，是基础题.
7.如图，棱锥V ABC -中，VO ⊥平面ABC ，O CD ∈，VA VB D =，是AB 中点，下列
结论错误．．
的是（ ）
A. 平面VCD ⊥平面ABC
B. VD AB ⊥
C. CD AB ⊥
D. 二面角V AB C --的平面角为
VBC ∠
【答案】D 【解析】 【分析】
根据线面垂直的判定和性质逐一判断即可.
【详解】解：对A ：因为VO ⊥平面ABC ，又VO ⊂面VCD ，可得平面VCD ⊥平面ABC ，故正确；
对B ：因为VA VB =，故VAB 是等腰三角形，又D 是AB 中点，所以VD AB ⊥，故正确； 对C ：因为VD AB ⊥，VO AB ⊥，可得AB ⊥面VDC ，所以CD AB ⊥，故正确； 对D ：因为VD AB ⊥，CD AB ⊥，所以二面角V AB C --的平面角为VDC ∠，故错误. 故选：D.
【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质，以及二面角的平面角的概念，是基础题. 8.如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线2
4y x =-围成的平面区域的直径为（ ） A. 2 B. 4
C. 8
D. 17
【答案】C 【解析】 【分析】
化简曲线方程，在平面直角坐标系中画出图形，利用新定义判断求解即可.
【详解】解：曲线2
4y x =-，等价于22
4,0
4,0y x y y x y ⎧=-≥⎨=-<⎩
，如图：
由图形可知，上下两个顶点之间的距离最大：8， 那么曲线2
4y x =-围成的平面区域的直径为：8. 故选：C.
【点睛】本题考查函数与方程的应用，曲线的图形的画法，考查数形结合以及计算能力.
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
9.()8
2x -的展开式的第4项的系数是__________； 【答案】448- 【解析】 【分析】
直接利用二项式定理展开式，求出二项式()8
2x -的展开式中的第4项的系数.
【详解】解：二项式()8
2x -的展开式中的第4项的系数为3
83(2)448C -=-.
故答案为：448-.
【点睛】本题考查二项式定理系数的性质，考查计算能力.
10.已知命题0:p x R ∃∈使得2
0010x x ++<，那么此命题是_____命题（填“真”或
“假”）； 【答案】假 【解析】
【
分析】
直接利用判别式研究命题的真假即可.
【详解】解：对于2
0010x x ++<，因为140∆=-<，所以不存在0x R ∈，使
20010x x ++<，
故原命题为假命题. 故答案为：假. 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，是基础题.
11.从3名男生和4名女生中选出2人分别担任2项不同的社区活动服务者，要求男、女生各1人，那么不同的安排有________种(用数字做答)；
【答案】24 【解析】 【分析】 先选一名男生，有3种方法；再选一名女生，有4种方法，根据分步计数原理求得结果． 【详解】解：先选一名男生，有3种方法；再选一名女生，有4种方法，
根据分步计数原理求得选取男、女生各1名，不同的安排方案种数为 4×3×2＝24，
故答案为： 24．
【点睛】本题主要考查分步计数原理的应用，属于基础题．
12.已知抛物线2
4y x = 上一点的距离到焦点的距离为5，则这点的坐标为_______． 【答案】(4,4)± 【解析】
由抛物线定义得2
15,4444x x y y +=∴=∴=⨯⇒=± ,即这点的坐标为()4,4±
13.某市准备引进优秀企业进行城市建设. 城市分别对甲地、乙地5个企业（共10个企业）进行综合评估，得分情况如茎叶图所示.根据茎叶图，可知甲地、乙地企业评估得分的平均值分别是_______、______；试比较甲地、乙地企业得分方差大小
__________.
【答案】 (1). 88 (2). 88 (3). 2s 甲2s <乙. 【解析】 【分析】
用公式计算甲、乙两地企业评估得分的平均值与方差，然后比较大小即可．
【详解】解：设甲、乙两地企业评估得分的平均值分别为12,x x ，方差分别为22
12,s s ，
则1293958986779899848871
88,8855
x x ++++++++=
===，
2222221(9388)(9588)(8988)(8688)(7788)200,s =-+-+-+-+-=， 2222222(9888)(9988)(8488)(8888)(7188)526s =-+-+-+-+-=，
故22
12s s <，
故答案为：88，88，2s 甲2s <乙．
【点睛】本题考查平均数与方差的计算，茎叶图，是基础题.
14.某次高二英语听力考试中有5道选择题，每题1分，每道题在A ，B ，C 三个选项中只有一个是正确的.下表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：
则甲同学答错的题目的题号是______ ；此题正确的选项是_______ . 【答案】 (1). 3 (2). A 【解析】 【分析】
根据图表，分析相同的选项，即可求得甲同学答错的题号以及正确答案． 【详解】解：由甲得4分，则正确4个，乙得3分，正确答案为3个，
若甲第1题答错，则其他均答对，会导致乙235题错，这样乙就没有3分，故不可能；
若甲第2题答错，则其他均答对，会导致丙1235题错，这样丙就没有2分，故不可能； 若甲第3题答错，则其他均答对，会导致乙25题错，3题对，丙135题错，故符合题意； 若甲第4题答错，则其他均答对，会导致丙1234题错，这样丙就没有2分，故不可能； 若甲第5题答错，则其他均答对，会导致乙12题错，5题对，丙1235题错，这样丙就没有2分，故不可能； 故答案为：3；A ．
【点睛】本题考查合情推理的应用，考查分析图表的能力，属于基础题．
三、解答题：(本大题共6小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15.（1）已知双曲线与椭圆22
184
x y +=有相同焦点，
且过点(2P ，求双曲线标准方程； （2）已知椭圆()22
133
x y m m +=>的一个焦点为F ，椭圆上一点P 到焦点F 的最大距离是
3，求这个椭圆的离心率.
【答案】（1）22
122
x y -=（2）12
【解析】 【分析】
（1）设双曲线标准方程22
221x y a b
-= ，先利用双曲线的的定义求出a ，再利用与椭圆共焦
点可得到c ，进而可求出b ，即可得双曲线的标准方程；
（2）由椭圆上一点P 到焦点F 的最大距离是3，可得：3a c +=，又223a c -=，解出,a c ，即可得椭圆的离心率．
【详解】解：（1）因为椭圆方程22184
x y +=中，
222844a b c ==∴=，，，所以焦点坐标为12-2,0),0)((2,F F .
设双曲线标准方程22
221x y a b
-= ，
因为曲线过点(2P ，
所以12||||2PF PF a -= ，
又2122124,PF F F PF F F ==⊥，
所以1PF =即2a =， 所以22a =，又2
4,c = 所以22b =，
所以双曲线标准方程 22122
x y -=；
（2）由椭圆()22
133
x y m m +=>，可知椭圆焦点在x 轴，
即2
2
,3a m b == ，
因为椭圆上一点P 到焦点F 的最大距离是3， 由椭圆定义可得：3a c +=①， 又因为2223a c b -==②， 由①②解得2,1a c == ， 所以椭圆的离心率12
c e a =
=． 【点睛】本题考查双曲线和椭圆基本量的计算，关键是要找到,,a b c 之间的关系，是基础题． 16.某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选出了三个科目作为选考科目．若一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．某学校为了了解高一年级200名学生选考科目的意向，随机选取20名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：
（1）在选考方案确定的男生中，同时选考物理、化学、生物的人数有多少？
（2）从选考方案确定的男生中任选2名，试求出这2名学生选考科目完全相同的概率． 【答案】（1）2人；（2）1
5
【解析】 【分析】
（1）由表格可直接发现选考方案确定的男生中同时选择“物理、化学和生物”的人数． （2）已确定选考科目的男生共5人.其中有2人选择“物理、化学和生物”，记为1a ，2a ；有1人选择“物理、化学和历史”，记为b ；有2人选择“物理、化学和地理”，记为1c ，
2c ，由此利用列举法能求出任取2名男生，这2名学生选考科目完全相同的概率．
【详解】（1）选考方案确定的男生中，同时选择“物理、化学和生物”的人数是2人. （2）由数据可知，已确定选考科目的男生共5人.其中有2人选择“物理、化学和生物”，记为1a ，2a ；有1人选择“物理、化学和历史”，记为b ；有2人选择“物理、化学和地理”，记为1c ，2c .
从已确定选考科目的男生中任选2人，有12a a ，1a b ，11a c ，12a c ，2a b ，21a c ，22a c ，1bc ，
2bc ，12c c ，共10种选法.
两位学生选考科目完全相同的选法种数有12a a ，12c c ，共2种选法.
设事件A ：从已确定选考科目的男生中任选出2人，这两位学生选考科目完全相同. 则21
()105
P A =
=. 【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 17.如图，四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是边长为2正方形， AE ⊥面ABCD ，且
4AE =.
（1）求四棱锥E ABCD -的体积； （2）证明：BD ⊥面ACE ； （3）求EC 与面BDE 的夹角的正弦值. 【答案】（1）163 ；（2）证明见解析 ；（36
【解析】 【分析】
（1）利用棱锥的体积公式直接求四棱锥E ABCD -的体积即可； （2）通过BD AC ⊥，AE BD ⊥可得BD ⊥面ACE ；
（3）以AB 为x 轴，以AD 为y 轴，以AE 为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面BDE 的法向量，利用线面角的向量公式，可求得EC 与面BDE 的夹角的正弦值． 【详解】解：（1）因为底面ABCD 是边长为2的正方形，AE ⊥面,ABCD 所以四棱锥E ABCD -的体积1116
333
ABCD V S AE AB AD AE =
=⨯⨯⨯= （2）证明：底面ABCD 是边长为2的正方形， 所以BD AC ⊥ 又有AE ⊥面,ABCD 所以AE BD ⊥,AE AC A =
所以BD ⊥面ACE
(3) 由题意，以AB 为x 轴，以AD 为y 轴，以AE 为z 轴建立空间直角坐标系.
所以(22,0)(0,2,0)(20,0)(0,0,4)C D B E ，
，，，， 即(2,2,0)(2,0,4)(224)BD BE EC =-=-=-，，，， 设平面BDE 的法向量为111(,,)n x y z =
11111111
2200124001
2x x y n BD y x z n BE z ⎧
⎪=-+=⎧⎧⋅=⎪⇒⇒=⎨
⎨⎨-+=⋅=⎩⎩⎪⎪=
⎩
，即1
(1,1,)2n = 设EC BDE θ与面的夹角为
那么2226sin cos ,12424
n EC θ+-==
=
⨯+
所以EC 与面BDE 的夹角的正弦值6【点睛】本题考查棱锥体积的求解，线面垂直的判定以及向量法求线面角，考查计算能力及空间想象能力，是基础题．
18.目前用外卖网点餐的人越来越多.现对大众等餐所需时间情况进行随机调查，并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图）.其中等餐所需时间的范围是[]
0,120，样本数据分组为
[0,20)，[20,40) ，[40,60)，[60,80)，[)[]80,100100,120，．
（1）求直方图中x 的值；
（2）某同学在某外卖网点了一份披萨，试估计他等餐时间不多于1小时的概率； （3）现有3名学生都分别通过外卖网进行了点餐，这3名学生中等餐所需时间少于1小时的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率） 【答案】（1）0.014x =；（2）25；（3）分布列见解析，数学期望6
5
【解析】 【分析】
（1）利用直方图概率的和为1，直接求解x 即可； （2）根据直方图直接计算等餐时间不多于1小时的概率；
（3）X 的可能取值为0，1，2，3，求出概率，得到分布列，然后求解期望. 【详解】解：（1）(0.020.0080.0040.0020.002)201x +++++⨯= 解得0.014x =；
（2）由直方图可得等餐时间不多于1小时的概率(0.0020.0040.014)200.4P =++⨯=， 所以他等餐时间不多于1小时的概率为
2
5
； （3）这3名学生中等餐所需时间少于1小时的人数X 可取0,1,2,3 由（2）可知每个人等餐时间不超过1小时的概率为
25
所以3
327(0)()5
125P X ===
1232354(1)()55125
P X C ==⋅=，
2233233628
(2)))(3)()551255125
((P X C P X ======， ，
那么1
()(0)f x x t x t t
=-++
≠的分布列为： X
1
2
3
P
27125
54125
36125
8125
这3名学生中等餐所需时间少于1小时的人数的数学期望
5472241506()1251251251255
E X =
++==. 【点睛】本题考查频率分布直方图，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力.
19.已知等腰梯形//,1,3ABCD AD BC AD BC ==，，2AE BC AE ⊥=，.现将ABE ∆沿着AE 折起，使得面ABE ⊥面AECD ，点F 为线段BC 上一动点.
（1）证明：EC AB ⊥；
（2）如果F 为BC 中点，证明：//DF 面ABE ； （3）若二面角D EF C --的余弦值为
13，求BF BC
的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1
3
BF BC = 【解析】
【分析】
（1）先通过面ABE ⊥面AECD 得到EC ⊥面ABE ，进而可得EC AB ⊥； （2）取BE 中点M ，连接,AM MF ，通过证明四边形AMFD 为平行四边形，得到
DF //AM ，进而可得//DF 面ABE ；
（3）以EC 为x 轴，以EA 为y 轴，以EB 为z 轴建立空间直角坐标系，设
BC
BF λ=求出面
DEF 的法向量和面EFC 的法向量，通过二面角D EF C --的余弦值为
1
3
列方程求出λ，即
BF
BC
的值． 【详解】（1）证明：在等腰梯形中，AE BC ⊥， 所以EC AE ⊥， 因为面ABE ⊥面AECD ，面ABE 面AECD AE =，EC ⊂面AECD ，
所以EC ⊥面ABE ， 所以EC AB ⊥ ；
（2）取BE 中点M ，连接,AM MF ，
在三角形BEC 中，12MF //
EC, 而1
2
AD//EC ，所以AD //MF ， 即四边形AMFD 为平行四边形，DF //AM ，
因为AM ⊂面ABE,DF ⊄面ABE, 所以//DF 面ABE ；
（3）由EC ⊥面ABE ，AE BE ⊥，则以EC 为x 轴，以EA 为y 轴，以EB 为z 轴建立空间直角坐标系.
则(0,01),(2,0,0)(1,20)B C D ，，，，(2,01)BC =-，，
设
()111,(01),,,BF
F x y BC
z λλ=<<，则(2,0,1)F λλ-，
设面DEF 的法向量(),,n x y z =，
()2
2100120041x x z n EF y x y n ED z λλλ
λ⎧
⎪=⎧⎧+-=⎪⋅=⇒⇒=-⎨⎨⎨+=⋅=⎩⎩⎪⎪=
-⎩
，即42,1,1n λλ⎛
⎫=- ⎪-⎝⎭，
因为EA ⊥平面EFC ,所以EA 是面EFC 的法向量， 若二面角D EF C --的余弦值为
1
3
， 则22
1cos ,34251EA n λλ-=
=⎛⎫
⨯+ ⎪
-⎝⎭
， 解得1,λ=-或者13λ=，由题意13
λ=， 即
1
3
BF BC =． 【点睛】本题考查线面垂直以及线面平行的证明，考查向量法研究面面角，考查了学生计算能力以及空间想象能力，是中档题．
20.给定椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>，称圆心在原点O 22a b +的圆是椭
圆C 的“准圆”.若椭圆C 的一个焦点为)
3,0F
，其短轴上的一个端点到F 的距离为
2.
（1）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；
（2）设椭圆短轴的一个端点为A ，长轴的一个端点为B ，点P 是“准圆”上一动点，求三角形ABP ∆面积的最大值.
【答案】（1）2
214
x y +=， 225x y +=.（2）72
【解析】 【分析】
（1）根据焦点为)
F
，短轴上的一个端点到F 的距离为2,得到,a c ,可得b ,进而可
得其“准圆”方程；
（2）写出直线AB 方程，由题知要使得三角形ABP ∆面积最大，则过点P 的直线与直线AB 平行且于圆相切，求出过P 并且与圆相切的直线，选取离直线AB 更远的那条直线，求出两直线的距离，利用面积公式可得三角形面积的最大值．
【详解】解：（1）由题可知2c a ==，
1b ∴=
∴椭圆方程为2
214
x y +=， 准圆方程为22
5x y +=.
（2）设椭圆短轴的一个端点为()0,1A ，长轴的一个端点为(2,0)B ， 那么直线AB 方程为1
12
y x =-
+，即220x y +-= 要使得三角形ABP ∆面积最大，则过点P 的直线与直线AB 平行且与圆相切. 设过点P 的直线L ：20x y m ++=，
因为直线L 与圆相切，所以d r ===所以5m =±，
当5m =时，直线L 距离直线AB 更远，此时三角形ABP ∆面积最大， 即直线L ：250x y ++=
此时直线L 与直线AB 的距离为d =
=
所以三角形ABP ∆面积最大值1722
ABP S AB d ∆=
⨯⨯= 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，关键是要发现当直线与椭圆相切时，三角形的面积最大，是中档题．。