2021年安徽省宣城市广德实验中学高考数学教学质量测评试卷(理科)(4月份)(附答案详解)

2021年安徽省宣城市广德实验中学高考数学教学质量测
评试卷（理科）（4月份）
一、单选题（本大题共11小题，共55.0分）
1.已知集合A={(x,y)|y=1}，B={(x,y)|x2+y2≤2}，则集合A∩B中含有的元素
有()
A. 零个
B. 一个
C. 两个
D. 无数个
2.已知复数z=−1
2+√3
2
i，则表示复数1
|z|+z−
的点所在象限是()
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3.拉面是很多食客喜好的食物.师傅在制作拉面的时候，
将面团先拉到一定长度，然后对折(对折后面条根数
变为原来的2倍)，再拉到上次面条的长度.每次对折
后，师傅都要去掉捨在一只手里的面团.如果拉面师
傅将300g面团拉成细丝面条，每次对折后去掉捨在
手里的面团都是18g，第一次拉的长度是1m，共拉
了7次，则最后每根1m长的细丝面条的质量(假定所有细丝面条粗线均匀，质量相等)是()
A. 87
64
g B. 3g C. 1.5g D. 3.5g
4.若角α顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线2x+y=0上，则
sin(π
4−α)cos(α−π
4
)=()
A. ±3
5B. ±4
5
C. −3
10
D. 3
10
5.基础建设对社会经济效益产生巨大的作用，某市投入a亿元进行基础建设，t年后
产生f(t)=aeλt亿元社会经济效益.若该市投资基础建设4年后产生的社会经济效益是投资额的2倍，且再过t年，该项投资产生的社会经济效益是投资额的8倍，则t=()
A. 4
B. 8
C. 12
D. 16
6.图①是建筑工地上的塔吊，图②是根据图①绘制的塔吊简易直观图，点A，B，C
在同一水平面内.塔身PO⊥平面ABC，直线AO与BC的交点E是BC的中点，起重小车挂在线段AO上的D点，AB=AC，DO=6m.若PO=2m，PB=3m，△ABC
的面积为10m2，根据图中标注的数据，忽略△ABC自重对塔吊平衡的影响，在塔吊保持平衡的条件下可得点A，P之间的距离为(0.5OD=1.5OE)()
A. 2√17m
B. 6√2m
C. 8m
D. 9m
7.F(c,0)是双曲线x2
a2−y2
b2
=1(a>0,b>0)的右焦点，直线x=c交该双曲线于点M，
N(M在第一象限)，点B，A分别是该双曲线的左、右顶点，C是AB延长线上的点，AN⊥CM.该双曲线离心率的取值范围是()
A. (√2,+∞)
B. (1,√2)
C. (1,√3)
D. [2,+∞)
8.如表所示是采取一项单独防疫措施感染COVID−19的概率统计表：
单独防疫措施戴口罩勤洗手接种COVID−19疫苗
感染COVID−19的概率p 1
45
(1−p)
p
100
一次核酸检测的准确率为1−10p.某家有3人，他们每个人只戴口罩，没有做到勤洗手也没有接种COVID−19疫苗，感染COVID−19的概率都为0.01.这3人不同人的核酸检测结果，以及其中任何一个人的不同次核酸检测结果都是互相独立的.他们3人都落实了表中的三项防疫措施，而且共做了10次核酸检测.以这家人的每个人每次核酸检测被确诊感染COVID−19的概率为依据，这10次核酸检测中，有X 次结果为确诊，X的数学期望为()
A. 1.98×10−6
B. 1.98×10−7
C. 1.8×10−7
D. 2.2×10−7
9.将《红楼梦》《西游记》《三国演义》《水浒传》《唐诗三百首》《徐志摩诗集》和《
戏曲论丛》7本书放在一排，下面结论成立的是()
A. 戏曲书放在中间的不同放法有7!种
B. 诗集相邻的不同放法有2×6!种
C. 四大古典名著互不相邻的不同放法有3!种
D. 四大古典名著不放在两端的不同方法有A54种
10.已知a i>0(i=1,2，3，4，5)，a3=lna1，a1a5=a2，a4=lna2，则下列等式一
定成立的是∗()
A. a 1，√a 2，a 3成等比数列
B. a 2，√a 3，a 4成等比数列
C. a 3，√a 4，a 5成等比数列
D. a 1，√a 3，a 5成等比数列
11. 已知对∀x ∈R ，f(x +1)=−f(x)，当−1≤x ≤1时，f(x)=x 3−x.下列说法错误
的是( )
A. f(x)是以2为周期的函数
B. 直线x =√3
3
是f(x)图象的一条对称轴 C. ∀n ∈N ∗，∑f n i=1(i)=0
D. f(x)的减区间是[2k −√33,2k +√33
](k ∈Z)
二、多选题（本大题共1小题，共5.0分）
12. 直线l ：y =k(x +p
2)(p >0)与抛物线C ：y 2=2px 有公共点M ，
N(M,N 可以重合)，F 是抛物线C 的焦点，直线l 与x 轴交于点P.下列结论成立的是( )
A. |MN|=√k 2+1||FM|−|FN||
B. 若|FM|=4，|FN|=2，则抛物线C 的方程是y 2=163
x
C. 当M ，N 重合时，△PMF 内切圆的面积为πp 2
D. 点F 到直线l 的最大距离为√2
2
p
三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 一长方体的八个顶点都在半径为1的球面上，平面α把该长方体分成了体积相等的
两部分，则平面α被这个球截得的截面面积为______ ．
14. 如果函数f(x)在区间D 1上和区间D 2上都是减函数，且f(x)在D 1∪D 2上也是减函数，
则称f(x)是D 1∪D 2上的间减函数，如f(x)={−x 2,x ≥1
−x,x <0是(−∞,0)∪[1，+∞)上的
间减函数.g(x)={−x −1,x ≥0
−x,x <0是(−∞,0)∪[0，+∞)即R 上的间减函数，ℎ(x)=
log 0.3x 是(0,+∞)上的间减函数，y =cosx 不是[0,π]∪[2π,3π]上的间减函数，y =1
x 不是(−∞,0)∪(0,+∞)上的间减函数.以下四个函数中：①f(x)=−x ，②g(x)={(1
2
)x ,x ≤0
log 0.5x,x >0
，③y ={x 2,x ≤−1
cosx −1,0<x ≤π，④ℎ(x)=|x|.其中是间减函数的是
______ .(写出所有正确答案的序号)
15. 商家项目投资的利润产生是一个复杂的系统结果.它与项目落地国的商业环境，政
府执政能力，法律生态等都有重大的关联.如表所示是某项目在中国和南亚某国投资额和相应利润的统计表．
请选择平均利润较高的落地国，用最小二乘法求出回归直线方程为______ ；并根据回归直线方程预计在该国投资15亿元所获得的利润是______ 亿元．
参考数据和公式：∑(5i=1x i −x −
)2=10，中国∑(5i=1x i −x −
)(y i −y −
)=20，南亚某国
∑(5i=1x i
−x −)(y i −y −
)=7，b ̂
=∑(5
i=1x i −x −)(y i −y −
)∑(5i=1x i −x −)
2，a ̂
=y −−b ̂
x −． 16. 已知平面向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 满足：|a ⃗ |=|b ⃗ |=2，a ⃗ ⋅b ⃗ =−2，|c ⃗ −a ⃗ −b ⃗ |=1，
则a ⃗ ⋅c ⃗ 的取值范围是______ ．
四、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 已知函数f(x)=2cos
ωx 2
(sin
ωx 2
+√3cos
ωx 2
)−√3(ω>0)的最小正周期为π．
(1)当−π
4≤x ≤π
5时，求函数f(x)的值域；
(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ，f(A)=0，3sinB =4sinC ，△ABC 的面积为3√3，求a ．
18. 某市志愿者的身影活跃在各个角落，他们或积极抗疫，或抗灾救险……为社会发展
做出了突出贡献.现随机抽取了男女志愿者共200名，他们年龄(单位：岁)都在区间[20,60]上，并绘制了女志愿者年龄分布直方图，如图.在这200名志愿者中，年龄在[20,30)上的女志愿者是15名，年龄在[20,40)上的女志愿者人数是男志愿人数的
118
．
(1)用分层抽样的方法从年龄在区间[30,40)，[40,50)上的女志愿者中抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，抽取的3人中，有X 人年龄在区间[40,50)上，求X 的分布列和数学期望；
(2)完成下面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为志愿者的年龄分布与性别
有关？
年龄小于40岁年龄不小于40岁合计
男
女
合计
，n=a+b+c+d．附：参考公式和K2检验临界值表：K2=n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.005
k0 2.7063.8415.0246.6357.879
19.已知D，E都是△ABC的边AC的三等分点，F是AB的中点，BE⊥AC，AB=2√5，
AC=6，如图①.同时将△ADF和△CEB分别沿DF，EB折起，折起后AD//CE，如图②．
(1)在图②中，求证：AB⊥DC；
(2)在图②中，若DC=2，求二面角A−BD−C的余弦．
20. 已知F(c,0)是椭圆C ：x 2
a 2+y 2
b
2=1(a >b >0)的右焦点，直线y =x −c 交椭圆C 于
M ，N 两点，交y 轴于点A ，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =α1MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =β1NF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，α1+β1=−6． (1)求椭圆C 的离心率e ；
(2)B 是椭圆C 上的点，O 是坐标原点，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =α2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +β2ON
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求α22+β22的值．
21. 已知函数f(x)=me x −ex 2有两个不相等的极值点．
(1)求实数m 的取值范围；
(2)设函数f(x)两个不相等的极值点分别为x 1，x 2，求证：
(i)√x 1x 2<x 1−x
2
lnx 1
−lnx 2
<
x 1+x 22
；
(ii)x 1+x 2>2x 1x 2．
22. 直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是{x =1
2
t
y =√3
2t
(t 是参数).以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是ρ2cos 2θ+5√3ρcosθ−ρsinθ+3=0．
(1)求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)求直线l 被曲线C 截得的线段长．
23. 已知函数f(x)=|x −a|+x|x +a|．
(1)当a =1时，求f(x)≥7的解集；
(2)若a >0，bf(−a)=2，求(1
a+b −1
a )(1
a+b −1b )的最大值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：直线y=1和圆x2+y2=2及其内部有无数个交点，
∴A∩B中含有的元素有无数个．
故选：D．
可看出集合B表示圆x2+y2=2及其内部，从而可看出A∩B含无数个元素．
本题考查了集合的描述法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】A
【解析】解：因为z=−1
2+√3
2
i，所以|z|=√(−1
2
)2+(√3
2
)2=1，z−=−1
2
−√3
2
i，
所以1
|z|+z−=
1−1
2
−√3
2
i
=
1
2
−√3
2
i
=1
2
+√3
2
i，
所以对应的点在第一象限，
故选：A．
由已知求出|z|，z−，由此即可求解．
本题考查了复数的运算性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：拉面师傅拉7次面条共有27−1=26=64根面条，
在7次拉面过程中共对折6次，则去掉面的质量为6×18=108g；
剩下64根面条的总质量为300−108=192g，
则每根面条的质量为192
64
=3g.
故选：B．
求出拉面7次后的面条总根数，再求出对折6次去掉的面的质量，用剩余面的质量除以面条根数得答案．
本题考查根据实际问题选择函数模型，考查运算求解能力，正确理解题意是关键，是基础题．
4.【答案】C
【解析】解：由题意知，tanα=−2，
∴sin(π
4
−α)cos(α−
π
4
)=−sin(α−
π
4
)cos(α−
π
4
)=−
1
2
sin(2α−
π
2
)=
1
2
cos2α
=1
2⋅cos2α−sin2α
cos2α+sin2α
=1
2
⋅1−tan2α
1+tan2α
=1
2
⋅1−(−2)2
1+(−2)2
=−3
10
．
故选：C．
由三角函数的定义知tanα=−2，再结合二倍角公式和诱导公式，可将所求式子化为
1
2
cos2α，然后根据“同除余弦可化切”的思想，并结合二倍角公式，即可得解．
本题考查三角恒等变换与三角函数的综合应用，包含二倍角公式、诱导公式与同角三角函数的关系式，考查运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由已知条件可得，ae4λ=2a，则λ=ln2
4
，
∴f(t)=ae tln24，投资t年后，投资产生的社会经济效益是投资额的8倍，
则有ae tln24=8a，得tln2
4
=ln8，即t=12．
故选：C．
由已知可得ae4λ=2a，求得λ值，代入f(t)=aeλt=ae tln24，再由题意可得ae tln24=8a，求解t得答案．
本题考查函数在实际生产生活中的应用，考查数学建模，数学运算等核心素养，是基础题．
6.【答案】A
【解析】解：∵0.5OD=1.5OE且OD=6m，∴OE=2m．
在直角△POB中：OB=√PB2−PO2=√32−22=√5(m)，
∴在△OEB中：BE=√OB2−OE2=√(√5)2−22=1(m)，∴BC=2(m)．
∵△ABC的面积为10m2，∴1
2
⋅BC⋅AE=10，∴AE=10(m)，∴AO=AE−OE=8(m)，∴在直角△AOP中：AP=√AO2+PO2=√82+22=2√17(m)．
故选：A．
通过题意可求得OE、OB、BC、AE、AO的长，最后在直角△AOP中求得AP的长．本题考查解三角形、数形结合思想，考查数学运算能力，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：由x=c，可得y=±b√c2
a2−1=±b2
a
，
则M(c,b2
a )，N(c,−b2
a
)，
由A(a,0)，
设C(m,0)，m<−a，
由AN⊥CM，可得k AN⋅k CM=−1，
即为
b2
a
a−c
⋅
b2
a
c−m
=−1，
可得m=b 4
a2(a−c)
+c<−a，
可得b4>a2(c2−a2)，
化为b>a，可得c>√2a，
则e=c
a
>√2．
故选：A．
将x=c代入双曲线的方程，可得M，N的坐标，设C(m,0)，m<−a，由两直线垂直的条件，运用直线的斜率公式，化简整理，结合离心率公式，可得所求范围．
本题考查双曲线的方程和性质，以及直线的斜率公式的运用，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：由题意可知p=0.01，
3人都落实了表中的三项防疫措施，也被感染的概率为：0.01×1
45(1−0.01)×0.01
100
=
2.2×10−8，
又因一次核酸检测的准确率为1−10×0.01=0.9，
所以这3人一次检测能确诊的概率为：2.2×10−8×0.9=1.98×10−8，∴10次检测中确诊的期望为：10×1.98×10−8=1.98×10−7，
故选：B．
利用题中的条件确定3人落实三项防疫措施任然被感染的概率，进而确定数学期望．本题考查了统计与概率，二项分布的数学期望，学生的数学运算能力，属于基础题．
9.【答案】B
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，戏曲书只有一本，所以其余6本书可以全排列，共有6!种不同排列方法，A错误；
对于B，诗集共2本，把诗集当成一本，不同放法有6!种，这两本又可交换位置，所以不同放法总数为2×6!，B正确；
对于C，四大古典名著互不相邻，那只能在这四本书的3个空隙中放置其他书，共有3!种放法，这四本书又可以全排列，所以不同放法总数为4!×3!，C错误；
对于D，四大古典名著可以在第2至第6这5个位置上任选4个位置放置，共有A54种放法，这四本书放好后，其余3本书可以在剩下的3个位置上全排列，所以共有不同放法总数为A54×3!，D错误；
故选：B．
根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步分类计数原理的应用，属于基础题．
10.【答案】C
【解析】解：由条件得，a4=lna2=lna1a5=a5lna1=a5a3，即(√a4)2=a3a5．
∴a3，√a4，a5成等比数列，
故选：C．
根据等比数列定义运算推理即可．
本题考查等比数列定义、导数运算性质，考查数学运算能力，属于基础题．
11.【答案】B
【解析】解：对于A：函数f(x+2)=−f(x+1)=f(x)故函数f(x)是以周期为2的函数，故A正确；
对于B ，当0<x <1时，f(2√33
−x)=(
2√3
3
−x)3−(
2√3
3
−x)≠x 3−x =f(x)，即直线
x =
√3
3
不是f(x)的对称轴．所以B 错误；
对于C ，当−1≤x ≤1，由f(x)=x 3−x =0得，x =−1，或x =0，或x =1，根据A ，∑f n i=1(i)=0.所以C 正确；
对于D ，由于f′(x)=3x 2−1≤0得，−√3
3≤x ≤√
3
3，结合A 知，f(x)的递减区间是[2k −√3
3
,2k +
√3
3
](k ∈Z).所以D 正确．
故选：B ．
直接利用周期函数，函数的零点，导数，函数单调性，数学术语及符号的应用判断A 、B 、C 、D 的结论．
本体考查知识要点：周期函数，函数的零点，导数，函数单调性，数学术语及符号，考查转化思想，考查数学抽象，逻辑推理等数学核心素养，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：对于A ，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则||FM|−|FN||=|(x 1+p
2)−(x 2+p
2)|=|x 1−x 2|，
∴|MN|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2||FM|−|FN||，故A 正确； 对于B ，由A 知，x 1=4−p
2,x 2=2−p
2， ∴y 1=4k ，y 2=2k ，
∴(4k)2=2p(4−p
2),(2k)2=2p(2−p
2)，解得p =8
3，
∴抛物线C 的方程是y 2=
163
x ，故B 正确；
对于C ，当M ，N 重合时，直线l 和抛物线C 相切于点M(p
2,p)或M(p
2,−p)，△PMF 是腰为p 的等腰直角三角形，
它的内切圆半径为(1−√2
2
)p ，内切圆面积不等于πp 2，故C 不正确；
对于D ，由C 知k 2
最大值为1，点F(p
2,0)到直线l ：
y =k(x +p
2)的距离d =√k 2+1=√1+1k 2
，当k 2=1时，d 取得最大值√2
2p ，故D 正确．
故选：ABD ．
对于A ，由抛物线的定义及弦长公式即可判断；对于B ，由A 知，
x 1=4−p
2,x 2=2−p
2，
y 1=4k ，y 2=2k ，可解得p =8
3，即可判断；对于C ，可求得内切圆半径为(1−√2
2)p ，
由此判断C 错误；对于D ，由C 知k 2最大值为1，表示出d ，即可作出判断． 本题考查抛物线的性质和标准方程，直线与抛物线的位置关系，点到直线的距离，考查数形结合思想，考查数学运算，逻辑推理等数学核心素养，属于中档题．
13.【答案】π
【解析】解：∵平面α把长方体分成体积相等的两部分， ∴平面α经过该长方体对角线的中点， 又长方体对角线的中点又是它外接球的球心， ∴平面α经过球心，
∴平面α被该球截得的截面是以球的半径为1半径的圆面， ∴所求截面面积为π． 故答案为：π．
根据平面α把长方体分成体积相等的；两部分，且长方体与球都是中心对称图形，则平面α经过球心求解．
本题考查截面面积的求法，考查运算求解能力及逻辑推理能力，属于基础题．
14.【答案】①③
【解析】解：对于①，f(x)=−x 在(−∞,0)和[0,+∞)上都是减函数，且在(−∞,0)∪[0，+∞)=R 上也是减函数，故它是间减函数，故①正确； 对于②，g(x)={
(1
2)x ,x ≤0
log 0.5x,x >0
，在(−∞,0)和(0,+∞)上都是减函数，但在(−∞,0)∪
(0,+∞)上不是减函数，如1=g(0)<g(1
4)=2，即g(x)不是间减函数，故②错误； 对于③，y ={x 2,x ≤−1
cosx −1,0<x ≤π
，其图象如下：
由图可知，y =x 2在(−∞,−1]是减函数，y =cosx −1在(0,π]上是减函数，故在(−∞,−1]∪(0，π]上是减函数，所以y ={x 2,x ≤−1
cosx −1,0<x ≤π，是(−∞,−1]∪(0，π]上
的间减函数，故③正确；
对于④，ℎ(x)=|x|在(−∞,0)上单调递减，在[0,+∞)上单调递增，故ℎ(x)=|x|不是(−∞,0)∪[0，+∞)上的间减函数，故④错误． 综上所述，以上四个函数中是间减函数的是①③． 故答案为：①③．
根据“间减函数”的概念，对①②③④四个函数逐一分析，可得答案．
本题考查命题的真假判断与应用，考查函数的单调性，考查数形结合思想与逻辑推理能力，属于中等偏难题．
15.【答案】y ̂
=2x −9.6 20.4
【解析】解：由表中数据知，x −中国=x −
南亚国=1
5×(10+11+12+13+14)=12， y −
中国=1
5×(11+12+14+16+19)=14.4，y −
南亚国=1
5×(12+13+13+14+15)=13.4，
所以平均利润较高的落地国为中国， 所以b ̂
=
∑(5i=1x i −x −
)(y i −y −
)
∑(5i=1x i −x −
)
2=20
10=2，
a ̂
=y −−b ̂
x −
=14.4−2×12=−9.6，
所以所求的回归直线方程为y ̂
=2x −9.6． 当x =15时，y ̂
=2×15−9.6=20.4，
所以预计在该国投资15亿元所获得的利润是20.4亿元． 故答案为：y ̂
=2x −9.6；20.4
计算y −
中国和y −南亚国，并比较大小，可知平均利润较高的落地国，再由参考公式求得回归系数b ̂
和a ̂
，即可得回归直线方程，然后代入x =15，计算y ̂
的值，得解． 本题考查回归直线方程的求法及其应用，考查运算求解能力，属于基础题．
16.【答案】[0,4]
【解析】解：因为|a ⃗ |=|b ⃗ |=2，a ⃗ ⋅b ⃗ =−2 所以cos <a
⃗ ，b ⃗ >=a
⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b
⃗ |=
−24
=−1
2，
因为<a
⃗ ，b ⃗ >∈[0,π]，所以<a ⃗ ，b ⃗ >=2π
3， 令a ⃗ =(2,0)，b ⃗ =(−1,√3)，设c
⃗ =(m,n)， 所以由|c ⃗ −a ⃗ −b ⃗ |=1，可得(m −1)2+(n −√3)2=1， 所以(m −1)2≤1，∴−1≤m −1≤1，∴0≤m ≤2， 所以a
⃗ ⋅c ⃗ =2m ∈[0,4]． 故答案为：[0,4]．
根据平面向量的夹角公式求出<a ⃗ ，b ⃗ >=2π
3
，令a ⃗ =(2,0)，b ⃗ =(−1,√3)，设c ⃗ =(m,n)，由|c ⃗ −a ⃗ −b ⃗ |=1，可得(m −1)2+(n −√3)2=1，即0≤m ≤2，再推出a ⃗ ⋅c ⃗ =2m 范围．
本题考查向量的数量积，解题关键是找到a ⃗ ，b ⃗ 的夹角，再由坐标进行分析，属于中档题．
17.【答案】解：f(x)=2cos
ωx 2
(sin
ωx 2
+√3cos
ωx 2
)−√3(ω>0)，
=2sin
ωx 2
cos
ωx 2
+2√3cos 2ωx −√3，
=sinωx +√3cosωx =2sin(ωx +π
3)， 因为T =π，
所以ω=2，f(x)=2sin(2x +π
3)， 因为−π
4≤x ≤π
5， 所以−π
6≤2x +π
3≤
11π15
，
所以−1
2≤sin(2x+π
3
)≤1，−1≤f(x)≤2，
故函数的值域[−1,2]；
(2)f(A)=2sin(2A+π
3
)=0，且A为三角形内角，
所以A=π
3
，
因为3sinB=4sinC，
由正弦定理得3b=4c，
因为S△ABC=1
2bcsinA=1
2
×b×3b
4
×√3
2
=3√3，
所以b=4，c=3，
由余弦定理得，a2=b2+c2−bc=16+9−3×4=13，
故a=√13．
【解析】(1)先利用二倍角及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数性质可求；(2)先求出A，然后结合三角形面积公式求出b，c，再由余弦定理可求．
本题主要考查了二倍角，和差角及辅助角公式三角化简求值中的应用，还考查了正弦定理，余弦定理及三角形面积公式的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由题意可知抽取的女志愿者人数为：15
10×0.015
=100，
其中年龄在[30,40)上的有100×0.4=40，年龄在[40,50)上的有100×0.3=30，
∴分层抽样，[30,40)上抽取4人，[40,50)上抽取3人，
所以X的取值为0，1，2，3，
∴P(X=0)=C43
C73=4
35
；P(X=1)=C4
2C
3
1
C73
=18
35
；
P(X=2)=C41C32
C73=12
35
；P(X=3)=C3
3
C73
=1
35
；
∴X的分布列为：
∴E(X)=0×4
35+1×18
35
+2×12
35
+3×1
35
=9
7
；
(2)由(1)知抽取的女志愿者中，年龄在[20,40)上的有15+40=55，
所以抽取的男志愿者中，年龄在[20,40)上的有55×8
11
=40人，列联表如下：
年龄小于40岁年龄不小
于40岁
合计
男 40 60 100
女 55 45 100
合计 95 105200
∴K=200×(40×45−55×60)2
95×105×100×100
≈4.511>3.841，
所以，有95%的把握认为志愿者的年龄分布与性别有关．
【解析】(1)根据直方图以及数据求得女性在各个年龄段的人数，进而确定随机变量的取值，即可解出；
(2)结合直方图计算出列表中各数据，然后计算出K2，即可解出．
本题考查了频率分布直方图，超几何分布，随机变量的分布列和数学期望，独立性检验，学生的数学运算能力，属于基础题．
19.【答案】(1)证明：连接AE，因
为AD//CE，AD=CE，所以四边
ADEC为平行四边形，
又因为AD=DE，所以四边形ADEC
为菱形，所以DC⊥AE，
因为BE⊥DE，BE⊥EC，所以BE⊥
平面CDE，
又因为CD⊂平面CDE，所以BE⊥CD，
因为AE∩BE=E，AE、BE⊂平面ABE，所以CD⊥平面ABE，
又因为AB⊂平面ABC，
所以DC⊥AB，于是AB⊥DC．
(2)解：取AC中点M连接DM，
由(1)知ADEC为菱形，又因为DC=2，
所以△ADC为等边三角形，于是DM⊥DE，
因为DF⊥AD，DF⊥DC，所以DF⊥平面ACD，
又因为DM ⊂平面ACD ，所以DF ⊥DM ， 所以DF 、DE 、DM 两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系，
DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2，0)，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,√3)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，√3)，
设平面BDA 和平面BDC 的法向量分别为m
⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，n ⃗ =(u,v ，w)， {DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =2x +2y =0DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−y +√3z =0，令y =√3，m ⃗⃗⃗ =(−√3,√3,1)， {DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =2u +2v =0DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =v +√3w =0，令v =−√3，n ⃗ =(√3,−√3,1)， 由图知二面角A −BD −C 为锐角， 所以二面角A −BD −C 的余弦值为|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |
|m
⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |
=√7⋅√
7=5
7
．
【解析】(1)只须证明DC 垂直于AB 所在平面ABE 即可；(2)用向量数量积计算二面角的余弦值．
本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．
20.【答案】解：(1)联立直线y =x −c 与椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2，可得(b 2+a 2)x 2−
2ca 2x +a 2c 2−a 2b 2=0，
设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，可得x 1+x 2=2ca 2
b 2+a
2，x 1x 2=a 2c 2−a 2b 2b 2+a 2
，
A(0,−c)，由AM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =α1MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =β1NF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得x 1=α1(c −x 1)，x 2=β1(c −x 2)， 则α1+β1=x 1
c−x
1
+x
2c−x 2
=c(x 1+x 2)−2x 1x 2
c 2−c(x
1+x 2)+x 1x 2
=
2c 2a 2−2(a 2c 2−a 2b 2)c 2(b 2+a 2)+a 2c 2−a 2b 2−2c 2a
2=
2a 2c 2−a 2
=−6，
化为2a 2=3c 2，可得e =
c
a
=√6
3
； (2)设a =√3t ，b =t ，c =√2t ，t >0， 则椭圆的方程化为x 2
+3y 2
=3t 2
，x 1+x 2=
3√2
2
t ，x 1x 2=
3t 24
，
设B(x 0,y 0)，则x 02+3y 02=3t 2，又x 12+3y 12=3t 2，x 22+3y 22
=3t 2，
y 1y 2=(x 1−c)(x 2−c)=x 1x 2−c(x 1+x 2)+c 2=
3t 24
−√2t ⋅
3√2
2
t +2t 2=−t 2
4，
由OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =α2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +β2ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得x 0=x 1α2+x 2β2，① y 0=y 1α2+y 2β2，②
由①2+3×②2，可得x 02+3y 02=(x 12+3y 12)α22+(x 22+3y 22)β22
+2(x 1x 2+
3y 1y 2)α2β2
=3t 2(α22+β22)+2(
3t 24
−
3t 24
)α2β2=3t 2(α22+β22
)=3t 2，
所以α22+β22的值为1．
【解析】(1)联立直线y=x−c与椭圆的方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，结合α1+β1=−6，可得a，c的关系，进而得到所求值；
(2)设B(x0,y0)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，代入椭圆的方程，结合向量共线的坐标表示，两边平方相加整理可得所求和．
本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由f(x)=me x−ex2，得f′(x)=me x−2ex，
令f′(x)=0，得m=2x
e x−1，根据题意直线y=m和曲线g(x)=2x
e x−1
有2个不同交点，
由于g′(x)=2(1−x)
e x−1
，故x<1时，g′(x)>0，g(x)递增，x>1时，g′(x)<0，g(x)递减，∵g′(1)=0，
∴g(x)max=g(1)=2；
设λ是区间(0,2)上的任意1个常数，
令ℎ(x)=e x−1−x2，则ℎ′(x)=e x−1−2x，ℎ″(x)=e x−1−2，
当x>2时，ℎ″(x)>0，ℎ′(x)递增，
当x>3时，ℎ′(x)>ℎ′(3)=e2−6>0，ℎ(x)递增，
当x>4时，ℎ(x)>ℎ(4)=e3−16>0，即e x−1>x2，
又当x>2
λ时，x2>2x
λ
，故当x>max{4,2
λ
}时，e x−1>2x
λ
，即2x
e x−1
<λ，
由于x≤0时，g(x)≤0，x>0时，g(x)>0，
故实数m的取值范围是(0,2)；
(2)证明：(i)根据x1≠x2，不妨设x1<x2，由(1)知0<x1<1<x2，
证明不等式√x1x2<x1−x2
lnx1−lnx2<x1+x2
2
，即证
2(x2
x1
−1)
x2
x1
+1
<ln x2
x1
<√x2
x1
−√x1
x2
，
设F(x)=lnx−2(x−1)
x+1,G(x)=lnx−√x
√x
，
∴当x>1时，F′(x)=(x+3)(x−1)
x(x+1)2>0,G′(x)=√x−1)2
2x√x
<0，
∴F(x)在(1,+∞)为增函数，G(x)在(1,+∞)为减函数，
∴F(x)>F(1)=0，G(x)<G(1)=0，取x=x2
x1
时即得所证不等式；
(ii)由(1)得，2x1
e x1−1=2x2
e x2−1
，所以，lnx1−lnx2=x1−x2，
结合(i)可知√x 1x 2<1<
x 1+x 22
，即x 1x 2<1，且x 1+x 2>2，
∴x 1+x 2>2x 1x 2，即得证．
【解析】(1)对函数f(x)求导，问题可等价为直线y =m 和曲线g(x)=2x
e x−1有2个不同交点，然后利用导数可得m 的取值范围；
(2)(i)不妨设x 1<x 2，由(1)知0<x 1<1<x 2，问题等价为证明
2(
x 2
x 1−1)x 2x 1
+1<ln x 2x 1
<√x
2x 1
−
√x 1
x 2
，构造函数F(x)=lnx −2(x−1)x+1
,G(x)=lnx −√x √x
，分别求导后可知F(x)>0>
G(x)，由此可得证；(ii)由(1)得，2x
1e x 1−1=2x
2
e x 2−1，则lnx 1−lnx 2=x 1−x 2，结合(i)可知
√x 1x 2<1<
x 1+x 22
，即可得证．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，极值与最值，考查了不等式的证明，考查了推理能力与计算能力，属于较难题目．
22.【答案】解：(1)将x =ρcosθ，y =ρsinθ代入直线l 的参数方程是{x =1
2t
y =√3
2t (t 是参数)，
消去参数t 得，tanθ=√3．
所以直线l 的极坐标方程是θ=π
3(ρ∈R)．
将ρcosθ=x ，ρsinθ=y 代入ρ2cos 2θ+5√3ρcosθ−ρsinθ+3=0， 得x 2+5√3x −y +3=0，
曲线C 的直角坐标方程为y =x 2+5√3x +3．
(2)设直线l 和曲线C 两交点的极坐标分别为(ρ1,θ1)和(ρ2,θ2). 由方程组得，ρ2+8√3ρ+12=0．
∴△=(8√3)2−4×12=144，ρ1+ρ2=−8√3，ρ1ρ2=12． ∴|ρ1−ρ2|=√(ρ1+ρ2)2−4ρ1ρ2=√(8√3)2−4×12=12． 所以，直线l 被曲线C 截得的线段长是12．
【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； (2)利用极径的应用求出结果．
考查参数方程和极坐标的基本知识，极角和极径的运用，考查数形结合思想，转化化归
思想，考查数学运算，数学抽象，逻辑推理等数学核心素养，属于中档题．
23.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=|x−1|+x|x+1|，
当x<−1时，由f(x)≥7得，−x2−2x+1≥7，解集为⌀，
当−1≤x≤1时，由f(x)≥7得，x2+1≥7，解集为⌀，
当x>1时，由f(x)≥7得，x2+2x−1≥7，解得x≥2，
综上所述，不等式f(x)≥7的解集为[2,+∞)．
(2)∵a>0，bf(−a)=2，
∴2ab=2，即ab=1，
∴(1
a+b −1
a
)(1
a+b
−1
b
)=−b
(a+b)a
⋅−a
(a+b)b
=1
a2+2ab+b2
≤1
4ab
=1
4
，当且仅当a=b=1时，等
号成立，
∴(1
a+b −1
a
)(1
a+b
−1
b
)的最大值为1
4
．
【解析】(1)当a=1时，f(x)=|x−1|+x|x+1|，分x<−1，−1≤x≤1，x>1三种情况讨论，并取其并集，即可求解．
(2)由a>0，bf(−a)=2，可得2ab=2，即ab=1，再结合基本不等式的公式，即可求解．
本题考查绝对值不等式和二次不等式的解法，以及不等式的性质，属于中档题．
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