同构式在函数部分解题中的应用研究

题考查的是)& 0(*和)#0(*!如果学生还是按照原 来的思路去探寻& 和#的关系!就会陷入解题漩涡中! 我们根据同构式的相关知识!可以将原来的两个式子
转 化为)& 0(*@ /!)& 0(*/%&')& 0(*$(!)#0(*@ /!)#0(*/%&')#0(*$0(!这样一来!就将原来两 式中的不同结构转化为两式相同的结构!即可以将其
作为一个函数来处理!而等号的右边则为(和 0(!那 么我们就可以将其往函数奇偶性上来引导!设;):*$ :@ /!:/%&':!那么;):*为奇函数!则;)& 0(*$(! ;)# 0(*$0(!所以;)& 0(*$0;)#0(*!那么& 0($0)#0(*!所以& /#$!!
例! 已知函数;(&)$ 槡& 0(/3 在-7!8.区
较大!需 要 学 生 彻 底 领 悟 同 构 式 精 神!才 能 够 灵 活 应
用到解题当中!
二同构式在函数部分解题中的应用
在高中数学解题中!部分题目可以借助同构式的 知识!将 相 同 的 部 分 作 为 常 量!将 不 同 的 部 分 作 为 变 量!以 此 来 解 决 数 学 问 题 能 够 起 到 事 半 功 倍 的 效 果! 但是!如 果 死 板 地 硬 套 同 构 式 来 解 题!其 作 用 是 非 常 有限的!甚 至 会 起 到 适 得 其 反 的 效 果!如 果 将 同 构 式 的思想进一步扩展!就能够将其应用到更多形式的问
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同构式在函数部分解题中的应用研究
" 江苏省如东高级中学 ! 吴卫卫
数学有着自身独特的奇妙之处!虽然有些时候需 要我们花费大力气!运用复杂的思维方式才能够完成 解题!但是有些时候则只需要#巧劲%就可以顺利地完 成复杂的问题!从 而 体 验 到 数 学 的 解 题 乐 趣!这 #巧 劲%的来源就是#同 构 式 %!同 构 式 是 一 种 具 有 特 殊 意 义的对称和谐式子!它能够针对某些典型问题实现快 速的求解!尤 其 是 在 函 数 部 分 的 解 题 中!有 些 函 数 问 题非常烦琐!学生难以找出突破口!但是利用同构式! 能够帮助学生出奇制胜!利用最简单的解题方式实现 解题!因此!研究同构式在函数部分解题中的应用!不 仅能够提高学生的函数部分的解题能力!还能够让学 生体会到数学的乐趣!培养学生数学学习的兴趣!
出两
个
函
数
;)7*$
7!!;)8*$
8 !
!代
入
数
值
可
得
槡70(/3 $7! !槡80(/3 $8! !显然这两个式子 为关于7 和8 的同构函数式!我们就可以将其看作是 一个方程来进行求解!其中7"8 为方程的两个根!想 要函数式成立!那么 3 的取值只需要保证方程存在两 个实数根7"8 即可!根据同构函数的相关知识可得7"
题当中!提高学生在函数部分解题的效果! 例! 如果&!# * !并且满足(&0()@ /!&/
%&'(& 0()$,!(#0()@/!#/%&'(#0()$(!那么& /# 的值是(!!)!
<!"!!!K!!!!!L!+!!!;!# 问题分析#与 传 统 问 题 的 考 查 思 维 不 同 的 是!本
- . 间上的值域为
7 !8 !!
(8#7,()!那么实数3 的取
值范围是多少&
问题分析#如 果 依 靠 传 统 的 解 题 思 路!学 生 很 难
找出解题 线 索!我 们 可 以 想 办 法 来 构 造 同 构 式!根 据
题意我们可以得知函数;)&*$ 槡& 0(/3 为增函 数!那么分别在定义域上取其最小值和最大值可以得
$(!这两个式子的结构相同!都是*&/+#$(形式
的方程!我们就可以称它们为同构式!通常情况下!如
果有形如以下的两个直线方程*(&/+(#$(和*!&
/+!#$(!两个方程相减(*(0*!)&/(+(0+!)#$
"(*( $*!"+( $+! 不同时成立)就是欲求直线的方
程!这 样 的 解 题 方 式 虽 然 巧 妙!但 是 应 用 的 局 限 性 也
(&
/();(&)!那么;
!"(@ !
的值是(!!)!
(
@
<!"!!!K!!!!!L!(!!!;!!
问题分析#拿到 这 一 问 题 时!如 果 直 接 利 用 函 数
的相关知识去解就会感觉无从下手!我们可以根据题
目中的条件对原式两侧同时除以&)&/(*进行变形! 从而得出;&)&//((*$;&)&*!这 样 一 来 原 等 式 两 侧 的 结构就变成了;):*的结构形式!并且等式两侧括号内
可得;
( !
( $; 0 !
:
( ) ( ) ( ) ; !"(@ ; !"(,
;(
的 数字相差(!即
! !"(@
$
! !"(,
$3$
! (
$
!
!
!
( ) ;
0
( !
(
!因为;)&*是定义在实数集 上的不恒为
0!
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( $; 0 !
!根 据
! (
$
!
( ) ( ) ;
0
( !
( ) ( ) (
有 两 个 不 同 的 实 数 根!令: $
槡&
0(!则&$:!/(!将其代入方程
可得3
( $!
):!/
(*0:$( !):!0!:/(*!结合函数图像就可得出3 *
( . "!( ! !
例! 已知函数;(&)是定义在实数集 上的不 恒为零的偶函数!其中对于任意实数& 都存在&;(&/
( ) ()$
一同构式概述
同构式就是结构 相 同!式 中 部 分 字 母 不 同!其 余
完全一致 的 式 子!在 我 们 的 数 学 教 学 中!我 们 常 常 将 结构 相 同 的 两 个 式 子 或 者 方 程 称 之 为 同 构 式!例 如!
直
线*+
的方程为& 8
# /7
$(!直线",
的方程为& ?
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# %
8是方程
槡&
& 0(/3$!
在0(!/S*上的两个根!则
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