第09章 基本交通分配模型
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该方法简单，精度可以根据 N 的大小来调节，因而在实际中 常被采用。
该方法仍然是近似算法，有时会将过多的流量分配到容量小 的路段。
N 越大，配流结果越接近均衡解，但计算工作量相应增加。 另外，非常大的 N 值也不能完全保证配流结果一定满足用户 均衡条件。
算例：
9.3.4 二次加权平均分配法 (method of successive averages)
分配步骤
分配算例：
试用二次加权平均分配法（MSA方法）求解下面的固定需求交 通分配问题（迭代2次）。
9.4 用户优化均衡交通分配模型（User Equilibrium Model） UE（用户均衡）的概念最早由Wardrop于1952年提出。User Equilibrium的基本假设有：
假设出行者都力图选择阻抗最小的路径；
假设出行者能随时掌握整个网络的状态，即能精确计算每条 路径的阻抗从而做出完全正确的路径选择决策；
假设出行者的计算能力和计算水平是相同的。
User Equilibrium的定义：当不存在出行者能单方面改变其出 行路径并能降低其阻抗时，达到了UE状态。
9.4.1 均衡分配模型的建立 Wardrop第一原理的数学描述 变量说明：
在实际应用中，对于大规模网络，通常4至6次迭代就够了。确定 迭代次数时，要综合考虑原始数据的准确性、财力约束和具体的 网络结构。
UE分配算例： 网络模型如下，试用F-W算法求两边的交通量。
9.5 系统优化均衡交通分配模型（SO Model）
9.5.1 SO模型的基本思想
Wardrop第一原理有时也称为用户均衡（UE）原理、或用户最优原理 。UE模型就是建立在UE原理上的数学模型。
Wardrop第二原理反映的是一种系统目标，即按什么样的分配是最 好的，为规划管理人员提供了一种决策方法，在实际中难以实现， 除非所有的道路使用者都相互协作为系统最优而努力。
9.5.2 数学模型
UE/SO模型目标函数的含义 UE模型仅仅是一个能有效产生UE条件的数学结构，缺乏直观的
物理或经济含义。Beckmann变魔术产生的。 SO模型是可以直观理解的，其目标是令系统的总交通时间最小。 数学模型
分配思路：该方法是一种介于增量分配法和均衡分配法之间的一 种循环分配方法。基本思路是不断调整已分配到各路段上的交通 流量而逐渐达到或接近均衡分配。在每步循环中，根据已分配到 各路段上的交通量进行一次0—1分配，得到一组各路段的附加流 量，然后用该循环中各路段的分配交通量和附加交通量进行加权 平均，得到下一循环中的分配交通量。当连续两个循环中的分配 交通量十分接近时，即可停止计算。最后一个循环中得到的分配 交通量即是最终结果。
在具体应用时，视路网的大小选取分配次数k及每次分配的OD量比 例。实际常使用五级分配制，第一次分配OD总量的30%，第二次 25%，第三次的20%，第四次15%，第五次10%。
9.3.3 增量分配法（incremental traffic assignment model）
增量分配法是容量限制最短路交通分配法的进一步推广，又 称为比例配流方法。
模型解的唯一性证明 凸规划：约束集是凸集（函数为凹函数）、目标函数是凸函数。 对于凸规划，任何局部最优解必是全局最优解，即目标函数的最
优值是唯一的。 严格凸规划：约束集是凸集、目标函数是严格凸函数。 对于严格凸规划问题，其最优点唯一。 多元函数的梯度 向量对向量的导数 多元函数的Hesse矩阵
Frank-Wolfe算法简介
UE模型的搜索方向问题
最优步长的确定问题
用户均衡交通分配模型的求解步骤
F-W算法的缺陷
F-W算法在迭代后期阶段收敛很慢，原因是当趋近于最优解时，
搜索方向将垂直于目标函数在点
的梯度。
影响F-W算法收敛速度的因素还有：初始解、网络结构和拥挤程 度。初始解离平衡点越近，则需要的迭代次数就越少；网络结构 越复杂，或者说从起点到终点的可行路径数越多，则需要的迭代 次数就越多；拥挤程度越大的网络，需要更多的迭代次数来达到 平衡点。
实例
9.2 交通分配模型的分类
举例说明非均衡交通分配、均衡交通分配与随机交通分配。
均衡模型一般都可以归结为一个维数很大的凸规划问题或非线性 规划问题。理论上说，这类模型结构严谨，思路明确，比较适合 于宏观研究。但是，由于维数太大、约束条件太多，这类模型的 求解比较困难，尽管人们提出了一些近似方法，但计算仍很复杂 ，实际工程中很难应用。
1956年，Backmann提出了均衡交通分配的数学规划模型。20年后 即1975年才由LeBlance等人将Frank-Wolfe算法用于求解Backmann 模型获得成功，从而形成了现在的实用解法。
Wardrop对交通网络均衡的定义为：在考虑拥挤对走行时间影响的 网络中，当网络达到均衡状态时，每对OD间各条被使用的路线具 有相等而且最小的走行时间，其它任何未被使用的路线其走行时间 大于或等于最小走行时间。通常称为Wardrop第一原理或用户优化 均衡原理。
0-1分配算例：
9.3.2 容量限制最短路交通分配法
为克服最短路交通分配方法的缺陷，可采用容量限制最短路交通分 配方法，这种方法既考虑了路权与交通负荷之间的关系（即随着道 路上交通量的增大，行程时间也发生变化，即增大），同时也考虑 到了交叉口、路段的通行能力限制。
容量限制最短路交通分配法的原理如下：将原始的OD矩阵（n×n ） 阶分成 k 个同阶的小OD矩阵，然后分 k 次用最短路分配模型分 配OD量，每次分配一个小OD矩阵，每分配完一个小OD矩阵，修正 路权一次（采用路段阻抗函数模型），再分配下一个小OD矩阵， 直到所有的小OD矩阵都分配完为止。
Wardrop第二原理—— 系统最优原理
Wardrop还提出了另一原理，即系统最优原理，也称第二原理。
Wardrop第二原理：在考虑拥挤对走行时间影响的网络中，网络中 的交通量应该按某种方式分配以使网络中交通量的总行驶时间最小 。
第一原理与第二原理的比较
Wardrop第一原理反映了用户选择路线的一种准则，分配出来的流 量结果是道路网上交通利用者实际路径选择的结果；
如果道路用户都能准确知道各路线的行驶时间，并选择时间最短的 路线，最终两点间被使用的各条道路的行驶时间会相等；而没有被 利用的路线的行驶时间更长。这种状态称为：道路网的均衡状态。
由于在实际的交通分配过程中，有很多对OD，每一OD对间又有很 多条路线，且路线间有许多路段相互交织。由于这种复杂性，1952 年Wardrop提出了网络均衡的概念和定义后，如何求解均衡交通分 配成了运输研究者的重要课题。
模型解的等价性证明
对于任何一个非线性规划问题，其驻点（最优解）均满足一阶必 要条件。如果UE模型的一阶必要条件等价于Wardrop均衡，则说 明UE模型的解服从Wardrop均衡。
由于UE模型的一阶最优性条件与Wardrop第一原理的数学描述相 同，因此，模型的解为均衡网络流。
具体有两种证明方法（拉格朗日函数法）。
约束集是凸集，目标函数是严格凸函数，故SO模型是一个严格凸 规划，有唯一的路段流量解。
分配原则
将原OD矩阵分成 N 等份，对每一个小矩阵用最短路分配 方法分配，完成以后，根据阻抗函数重新计算各条边的阻 抗（时间），然后再对下一个小矩阵进行分配，直到 N 个 矩阵分配完毕。
算法描述
增量分配法的特点
当 N = 1 时为0—1分配；当 N → ∞ 时，趋向均衡分配。
UE模型的约束集是凸集，目标函数是严格凸函数，故UE模型 是严格凸规划，模型有唯一最优解。
这就是说，当达到均衡状态时，分配到各路段上的流量是唯 一的。
需注意的问题
UE分配对于路段流是严格凸的、对于路径流则不一定是严格 凸的。即模型有唯一的路段流量解而没有唯一的路径流量解 。
UE模型路径流不唯一的反例
短路线上，其它道路上分配不到交通量。
分配步骤 计算网络中每个出发地O到目的地D的最短路线； 将该OD交通量全部分配最短路线上； 每分配完一对OD后进行流量迭加，直到最后一对OD分配 完毕。
0-1分配法的特点 计算简单； 是其它交通分配的基础； 出行量分布不均匀，全部集中在最短路上； 未考虑路段上的容量限制，有时分配到的路段交通量大于道 路的通行能力； 有时某些路段上分配到的交通量为0，与实际情况不符； 随着交通量的增加，未考虑到行程时间的改变。
变量关系 ：
Wardrop第一原理的数学描述
等价最优性条件（Backmann模型）
算例：
对Beckmann模型的性证明 模型解的等价性证明就是证明UE模型与Wardrop第一原理等价，
模型解的唯一性证明就是证明UE模型具有唯一的路段流量解。
相比之下，非均衡模型具有结构简单、概念明确、计算简便等优 点，因此在实际工程中得到了广泛的应用。非均衡模型根据其分 配手段可分为无迭代和有迭代2类，就其分配形态可分为单路径 与多路径2类。因此，非均衡模型可分为如下表所示的分类体系 。
非均衡模型的分类体系
9.3 非均衡交通分配模型 9.3.1 最短路交通分配法（all or nothing traffic assignment model） 分配原理：每一OD对对应的OD量全部分配在连接该OD对的最
考察UE模型的目标函数是否为严格凸函数
考察UE模型的约束集是否为凸集
分析UE模型，可见UE模型的约束均为等式约束和不等式（非 负）约束，且约束条件均是线性约束。根据线性函数既是凸 的又是凹的这一性质，所以UE模型符合“各约束函数都是凹 函数”的条件，即约束集合是凸集。
UE模型的唯一性结论
SO问题解的唯一性证明
SO问题的约束条件是线性等式约束和非负约束，因此其可行域是凸集 。
考察SO模型的目标函数是否是严格凸函数。
SO模型的Hessian矩阵是一个对角矩阵，由于路段走行时间函数 是一个典型的凸的升函数，因此Hessian矩阵为正定矩阵。即SO 模型的目标函数是一个严格凸函数。
UE模型与SO模型解的比较 除非是特殊情况（如所有路段的时间是固定的常数），否则一般
情况下SO解和UE解是不会相同的。 在SO状态，所有的出行者都能够在统一指挥下做出协调路径选择
，以确保系统的总时间最小，而UE状态下的出行者只考虑个体 的出行时间最小。 SO问题的一阶最优性条件
类似于UE模型的一阶最优性条件
第09章 基本交通分配模型.ppt
9.1 交通分配与平衡
由于连接OD对间的道路有很多条，如何将OD交通量正确合理地分 配O与D之间的各条路线上，是交通分配模型要解决的首要问题。
如果两点之间有很多条路线，而这两点之间的交通量又很少的话， 这些交通量显然会选择最短的路行走。随着两点间交通量的增加， 选次短路，，最后两点间的所有路线都有可能被利用。
Frank-Wolfe算法是用线性规划逐步逼近非线性规划的方法来求解 UE模型的。该方法是一种迭代算法。思路如下：从某一初始点出发 ，进行迭代，每步迭代中，先找到一个最速下降的方向，然后再找 到一个最优步长，在最速下降方向上截取最优步长得到下一步迭代 的起点。重复此过程，直到找到最优解。此法的前提条件是模型的 约束条件必须都是线性的。
9.4.3 UE模型的求解
Backmann提出的上述交通分配数学规划模型沉睡20年后，1975年 LeBlance等学者成功地将Frank-Wolfe算法用于模型的求解。最终 形成了目前广泛应用的一种既严格又实用的解法（F-W算法）。
UE模型是一组非线性规划模型。对于非线性规划模型既使现在也没 有普遍通用的解法。只是对于某些特殊的非线性规划模型才有可靠 的解法，而UE模型正是一种特殊的非线性规划模型。
该方法仍然是近似算法，有时会将过多的流量分配到容量小 的路段。
N 越大，配流结果越接近均衡解，但计算工作量相应增加。 另外，非常大的 N 值也不能完全保证配流结果一定满足用户 均衡条件。
算例：
9.3.4 二次加权平均分配法 (method of successive averages)
分配步骤
分配算例：
试用二次加权平均分配法（MSA方法）求解下面的固定需求交 通分配问题（迭代2次）。
9.4 用户优化均衡交通分配模型（User Equilibrium Model） UE（用户均衡）的概念最早由Wardrop于1952年提出。User Equilibrium的基本假设有：
假设出行者都力图选择阻抗最小的路径；
假设出行者能随时掌握整个网络的状态，即能精确计算每条 路径的阻抗从而做出完全正确的路径选择决策；
假设出行者的计算能力和计算水平是相同的。
User Equilibrium的定义：当不存在出行者能单方面改变其出 行路径并能降低其阻抗时，达到了UE状态。
9.4.1 均衡分配模型的建立 Wardrop第一原理的数学描述 变量说明：
在实际应用中，对于大规模网络，通常4至6次迭代就够了。确定 迭代次数时，要综合考虑原始数据的准确性、财力约束和具体的 网络结构。
UE分配算例： 网络模型如下，试用F-W算法求两边的交通量。
9.5 系统优化均衡交通分配模型（SO Model）
9.5.1 SO模型的基本思想
Wardrop第一原理有时也称为用户均衡（UE）原理、或用户最优原理 。UE模型就是建立在UE原理上的数学模型。
Wardrop第二原理反映的是一种系统目标，即按什么样的分配是最 好的，为规划管理人员提供了一种决策方法，在实际中难以实现， 除非所有的道路使用者都相互协作为系统最优而努力。
9.5.2 数学模型
UE/SO模型目标函数的含义 UE模型仅仅是一个能有效产生UE条件的数学结构，缺乏直观的
物理或经济含义。Beckmann变魔术产生的。 SO模型是可以直观理解的，其目标是令系统的总交通时间最小。 数学模型
分配思路：该方法是一种介于增量分配法和均衡分配法之间的一 种循环分配方法。基本思路是不断调整已分配到各路段上的交通 流量而逐渐达到或接近均衡分配。在每步循环中，根据已分配到 各路段上的交通量进行一次0—1分配，得到一组各路段的附加流 量，然后用该循环中各路段的分配交通量和附加交通量进行加权 平均，得到下一循环中的分配交通量。当连续两个循环中的分配 交通量十分接近时，即可停止计算。最后一个循环中得到的分配 交通量即是最终结果。
在具体应用时，视路网的大小选取分配次数k及每次分配的OD量比 例。实际常使用五级分配制，第一次分配OD总量的30%，第二次 25%，第三次的20%，第四次15%，第五次10%。
9.3.3 增量分配法（incremental traffic assignment model）
增量分配法是容量限制最短路交通分配法的进一步推广，又 称为比例配流方法。
模型解的唯一性证明 凸规划：约束集是凸集（函数为凹函数）、目标函数是凸函数。 对于凸规划，任何局部最优解必是全局最优解，即目标函数的最
优值是唯一的。 严格凸规划：约束集是凸集、目标函数是严格凸函数。 对于严格凸规划问题，其最优点唯一。 多元函数的梯度 向量对向量的导数 多元函数的Hesse矩阵
Frank-Wolfe算法简介
UE模型的搜索方向问题
最优步长的确定问题
用户均衡交通分配模型的求解步骤
F-W算法的缺陷
F-W算法在迭代后期阶段收敛很慢，原因是当趋近于最优解时，
搜索方向将垂直于目标函数在点
的梯度。
影响F-W算法收敛速度的因素还有：初始解、网络结构和拥挤程 度。初始解离平衡点越近，则需要的迭代次数就越少；网络结构 越复杂，或者说从起点到终点的可行路径数越多，则需要的迭代 次数就越多；拥挤程度越大的网络，需要更多的迭代次数来达到 平衡点。
实例
9.2 交通分配模型的分类
举例说明非均衡交通分配、均衡交通分配与随机交通分配。
均衡模型一般都可以归结为一个维数很大的凸规划问题或非线性 规划问题。理论上说，这类模型结构严谨，思路明确，比较适合 于宏观研究。但是，由于维数太大、约束条件太多，这类模型的 求解比较困难，尽管人们提出了一些近似方法，但计算仍很复杂 ，实际工程中很难应用。
1956年，Backmann提出了均衡交通分配的数学规划模型。20年后 即1975年才由LeBlance等人将Frank-Wolfe算法用于求解Backmann 模型获得成功，从而形成了现在的实用解法。
Wardrop对交通网络均衡的定义为：在考虑拥挤对走行时间影响的 网络中，当网络达到均衡状态时，每对OD间各条被使用的路线具 有相等而且最小的走行时间，其它任何未被使用的路线其走行时间 大于或等于最小走行时间。通常称为Wardrop第一原理或用户优化 均衡原理。
0-1分配算例：
9.3.2 容量限制最短路交通分配法
为克服最短路交通分配方法的缺陷，可采用容量限制最短路交通分 配方法，这种方法既考虑了路权与交通负荷之间的关系（即随着道 路上交通量的增大，行程时间也发生变化，即增大），同时也考虑 到了交叉口、路段的通行能力限制。
容量限制最短路交通分配法的原理如下：将原始的OD矩阵（n×n ） 阶分成 k 个同阶的小OD矩阵，然后分 k 次用最短路分配模型分 配OD量，每次分配一个小OD矩阵，每分配完一个小OD矩阵，修正 路权一次（采用路段阻抗函数模型），再分配下一个小OD矩阵， 直到所有的小OD矩阵都分配完为止。
Wardrop第二原理—— 系统最优原理
Wardrop还提出了另一原理，即系统最优原理，也称第二原理。
Wardrop第二原理：在考虑拥挤对走行时间影响的网络中，网络中 的交通量应该按某种方式分配以使网络中交通量的总行驶时间最小 。
第一原理与第二原理的比较
Wardrop第一原理反映了用户选择路线的一种准则，分配出来的流 量结果是道路网上交通利用者实际路径选择的结果；
如果道路用户都能准确知道各路线的行驶时间，并选择时间最短的 路线，最终两点间被使用的各条道路的行驶时间会相等；而没有被 利用的路线的行驶时间更长。这种状态称为：道路网的均衡状态。
由于在实际的交通分配过程中，有很多对OD，每一OD对间又有很 多条路线，且路线间有许多路段相互交织。由于这种复杂性，1952 年Wardrop提出了网络均衡的概念和定义后，如何求解均衡交通分 配成了运输研究者的重要课题。
模型解的等价性证明
对于任何一个非线性规划问题，其驻点（最优解）均满足一阶必 要条件。如果UE模型的一阶必要条件等价于Wardrop均衡，则说 明UE模型的解服从Wardrop均衡。
由于UE模型的一阶最优性条件与Wardrop第一原理的数学描述相 同，因此，模型的解为均衡网络流。
具体有两种证明方法（拉格朗日函数法）。
约束集是凸集，目标函数是严格凸函数，故SO模型是一个严格凸 规划，有唯一的路段流量解。
分配原则
将原OD矩阵分成 N 等份，对每一个小矩阵用最短路分配 方法分配，完成以后，根据阻抗函数重新计算各条边的阻 抗（时间），然后再对下一个小矩阵进行分配，直到 N 个 矩阵分配完毕。
算法描述
增量分配法的特点
当 N = 1 时为0—1分配；当 N → ∞ 时，趋向均衡分配。
UE模型的约束集是凸集，目标函数是严格凸函数，故UE模型 是严格凸规划，模型有唯一最优解。
这就是说，当达到均衡状态时，分配到各路段上的流量是唯 一的。
需注意的问题
UE分配对于路段流是严格凸的、对于路径流则不一定是严格 凸的。即模型有唯一的路段流量解而没有唯一的路径流量解 。
UE模型路径流不唯一的反例
短路线上，其它道路上分配不到交通量。
分配步骤 计算网络中每个出发地O到目的地D的最短路线； 将该OD交通量全部分配最短路线上； 每分配完一对OD后进行流量迭加，直到最后一对OD分配 完毕。
0-1分配法的特点 计算简单； 是其它交通分配的基础； 出行量分布不均匀，全部集中在最短路上； 未考虑路段上的容量限制，有时分配到的路段交通量大于道 路的通行能力； 有时某些路段上分配到的交通量为0，与实际情况不符； 随着交通量的增加，未考虑到行程时间的改变。
变量关系 ：
Wardrop第一原理的数学描述
等价最优性条件（Backmann模型）
算例：
对Beckmann模型的性证明 模型解的等价性证明就是证明UE模型与Wardrop第一原理等价，
模型解的唯一性证明就是证明UE模型具有唯一的路段流量解。
相比之下，非均衡模型具有结构简单、概念明确、计算简便等优 点，因此在实际工程中得到了广泛的应用。非均衡模型根据其分 配手段可分为无迭代和有迭代2类，就其分配形态可分为单路径 与多路径2类。因此，非均衡模型可分为如下表所示的分类体系 。
非均衡模型的分类体系
9.3 非均衡交通分配模型 9.3.1 最短路交通分配法（all or nothing traffic assignment model） 分配原理：每一OD对对应的OD量全部分配在连接该OD对的最
考察UE模型的目标函数是否为严格凸函数
考察UE模型的约束集是否为凸集
分析UE模型，可见UE模型的约束均为等式约束和不等式（非 负）约束，且约束条件均是线性约束。根据线性函数既是凸 的又是凹的这一性质，所以UE模型符合“各约束函数都是凹 函数”的条件，即约束集合是凸集。
UE模型的唯一性结论
SO问题解的唯一性证明
SO问题的约束条件是线性等式约束和非负约束，因此其可行域是凸集 。
考察SO模型的目标函数是否是严格凸函数。
SO模型的Hessian矩阵是一个对角矩阵，由于路段走行时间函数 是一个典型的凸的升函数，因此Hessian矩阵为正定矩阵。即SO 模型的目标函数是一个严格凸函数。
UE模型与SO模型解的比较 除非是特殊情况（如所有路段的时间是固定的常数），否则一般
情况下SO解和UE解是不会相同的。 在SO状态，所有的出行者都能够在统一指挥下做出协调路径选择
，以确保系统的总时间最小，而UE状态下的出行者只考虑个体 的出行时间最小。 SO问题的一阶最优性条件
类似于UE模型的一阶最优性条件
第09章 基本交通分配模型.ppt
9.1 交通分配与平衡
由于连接OD对间的道路有很多条，如何将OD交通量正确合理地分 配O与D之间的各条路线上，是交通分配模型要解决的首要问题。
如果两点之间有很多条路线，而这两点之间的交通量又很少的话， 这些交通量显然会选择最短的路行走。随着两点间交通量的增加， 选次短路，，最后两点间的所有路线都有可能被利用。
Frank-Wolfe算法是用线性规划逐步逼近非线性规划的方法来求解 UE模型的。该方法是一种迭代算法。思路如下：从某一初始点出发 ，进行迭代，每步迭代中，先找到一个最速下降的方向，然后再找 到一个最优步长，在最速下降方向上截取最优步长得到下一步迭代 的起点。重复此过程，直到找到最优解。此法的前提条件是模型的 约束条件必须都是线性的。
9.4.3 UE模型的求解
Backmann提出的上述交通分配数学规划模型沉睡20年后，1975年 LeBlance等学者成功地将Frank-Wolfe算法用于模型的求解。最终 形成了目前广泛应用的一种既严格又实用的解法（F-W算法）。
UE模型是一组非线性规划模型。对于非线性规划模型既使现在也没 有普遍通用的解法。只是对于某些特殊的非线性规划模型才有可靠 的解法，而UE模型正是一种特殊的非线性规划模型。