2020年福建省宁德市福鼎茂华学校高三数学文模拟试题含解析

2020年福建省宁德市福鼎茂华学校高三数学文模拟试
题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数f（x）=|sinx|?cosx，则下列说法正确的是（）
A．f（x）的图象关于直线x=对称B．f（x）的周期为π
C．若|f（x1）|=|f（x2）|，则x1=x2+2kπ（k∈Z）D．f（x）在区间[，]上单调递减
参考答案：
D
【考点】命题的真假判断与应用；三角函数的化简求值；正弦函数的图象．
【分析】f（x）=|sinx|?cosx=，进而逐一分析各个答案的正误，可得结论．
【解答】解：∵f（x）=|sinx|?cosx=，故函数的图象关于直线x=kπ，k∈Z对称，故A错误；
f（x）的周期为2π中，故B错误；
函数|f（x）|的周期为，若|f（x1）|=|f（x2）|，则x1=x2+kπ（k∈Z），故C错误；
f（x）在区间[，]上单调递减，故D正确；
故选：D
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了三角函数的图象和性质，难度中档．
2. 设是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题中不正确的是
A.若∥，则
B.若，则∥
C.若∥，则∥
D.若，则
参考答案：
C
3.
已知双曲线的中心在原点，右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的离心率等于
A．B． C． D ．
参考答案：
A
4. 下列命题中的假命题是
A. B.
C.
D .
参考答案：
A
5. 数列{a n}满足a n+1＋(－1)n a n＝2n－1，则{a n}的前60项和为
（A）3690 （B）3660 （C）1845 （D）1830
参考答案：
D
6. 下列选项中，可以作为的必要不充分条件的是
A. B.
C. D.
参考答案：
D
，，选项均等价于（其中选项，假设，则不会存在，使得成立，即，），等价于，而是的必要不充分条件.
故选D
7. 如果有穷数列满足条件:即
,我们称其为“对称数列”.例如:数列1,2,3,3,2,1 和数列
1,2,3,4,3,2,1都为“对称数列”。

已知数列是项数不超过的“对称数列”，并使得依次为该数列中连续的前项，则数列的前2009项和所有可能的取值的序号为（）
①②③④
A．①②③ B．②③④ C．①②④
D．①③④
参考答案：
D
8. 已知数列为等比数列，且. ,则=（）
．.．．
参考答案：
C
9. 设平面向量，若//，则等于
A.
B.
C.
D.
参考答案：
D
略
10. “”是的
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设i为虚数单位，则
参考答案：
12. 已知向量，若，则的值为.
参考答案：
或
13. 函数的图象与函数的图象有个不同的交点，则实数的取值范围是 .
参考答案：
略
14. 设函数f(x)=sin(2x+),则（1）f(x)的图象关于直线x=对称；（2）把f(x)的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象；（3）f(x)的图象关于点（对称；（4）f(x)的最小正周期为，且在[0，]上为增函数。

以上说法中正确的为________.
参考答案：
②④
略
15. 设集合U={0，1，2，3}，A={x|x2﹣x=0}，则?U A= ．
参考答案：
{2，3}
【考点】补集及其运算．
【专题】集合思想；定义法；集合．
【分析】先化简集合A，再求A在U中的补集．
【解答】解：∵集合U={0，1，2，3}，
A={x|x2﹣x=0}={x|x=0或x=1}={0，1}，
∴?U A={2，3}．
故答案为：{2，3}．
【点评】本题考查了集合的化简与简单运算问题，是基础题目．
16. 已知向量||=2，||=1，，的夹角为60°，如果⊥（+λ），则λ=．
参考答案：
﹣4
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据平面向量的垂直的条件以及数量积运算即可求出
【解答】解：向量||=2，||=1，，的夹角为60°，
∵⊥（+λ），
∴?（+λ）=0，
∴2+λ=0，
即4+λ×2×1×=0，
解得λ=﹣4，
故答案为：﹣4
17. 方程的曲线即为函数的图像，对于函数，有如下结论：①在R上单调递减；②函数不存在零点；③函数的值域是R；④若函数和的图像关于原点对称，则函数的图像就是方程
确定的曲线. 其中所有正确的命题序号是 .
参考答案：
【知识点】函数的图像与性质 B9
D根据题意画出方程的曲线即为函数的图象，如图所示．轨迹是两段双曲线的一部分加上一段的椭圆圆弧组成的图形
从图形中可以看出，关于函数的有下列说法：
①在R上单调递减；正确．
②由于即，从而图形上看，函数的图象与直线
没有交点，故函数不存在零点；正确．③函数的值域是R；正确．
③函数的值域是R；正确.
④根据曲线关于原点对称的曲线方程的公式，可得若函数和的图象关于原点对称，则用分别代替，可得就是表达式，可得
，则的图象对应的方程是，说明④错误
其中正确的个数是3．
【思路点拨】根据题意画出方程的曲线即为函数的图象，如图所示．轨迹是两段双曲线的一部分加上一段的椭圆圆弧组成的图形．从图形中可以看出，关于函数的结论的正确性．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本题满分12分）
已知函数的最小值为0，其中 .
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）已知结论：若函数在区间(m,n)内导数都存在 ,且m＞-, 则存在，使得 .试用这个结论证明：若设函数，则对任意x∈(x1,x2)，都有f(x)<g(x)；
（Ⅲ）若对任意的正整数n都成立(其中e为自然对数的底)，求实数t的最小值.
参考答案：
21.
19. 已知函数f（x）=|x﹣1|
（Ⅰ）解不等式f（2x）+f（x+4）≥8；
（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，a≠0，求证：．
参考答案：
考点：绝对值不等式的解法．
专题：不等式的解法及应用；推理和证明．
分析：（Ⅰ）依题意，f（2x）+f（x+4）=|2x﹣1|+|x+3|=，利用分段函数分段解不等式f（2x）+f（x+4）≥8，即可求得其解集．
（Ⅱ）|a|＜1，|b|＜1，?f（ab）＞|a|f（）?|ab﹣1|＞|a﹣b|，要证该不等式成立，只需证明|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2＞0即可．
解答：（Ⅰ）解：f（2x）+f（x+4）=|2x﹣1|+|x+3|=，
当x＜﹣3时，由﹣3x﹣2≥8，解得x≤﹣；
当﹣3时，由﹣x+4≥8，解得x∈?；
当x≥时，由3x+2≥8，解得x≥2…4分
所以，不等式f（2x）+f（x+4）≥8的解集为{x|x≤﹣或x≥2}…5分；
（Ⅱ）证明：等价于f（ab）＞|a|f（），即|ab﹣1|＞|a﹣b|，
因为|a|＜1，|b|＜1，
所以|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2=（a2b2﹣2ab+1）﹣（a2﹣2ab+b2）=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，
所以，|ab﹣1|＞|a﹣b|，故所证不等式成立…10分．
点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，考运算及推理、证明能力，属于中档题．
20. （本小题共14分）
如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如图2.
(I)求证：A1C⊥平面BCDE；
(II)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；
(III)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由
参考答案：
解：（1），
平面，
又平面，
又，
平面。

（2）如图建系，则，，，∴,
设平面法向量为
则∴∴
∴
又∵
∴
∴，
∴与平面所成角的大小。

（3）设线段上存在点，设点坐标为，则则，
设平面法向量为，
则∴
∴。

假设平面与平面垂直，
则，∴，，，
∵，∴不存在线段上存在点，使平面与平面垂直。

21. (本小题满分13分)已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A、B，过点F且倾斜角为的直线交椭圆于C、D两点，椭圆C的离心率为，。

(1)求椭圆C的方程；
(2)若是椭圆上不同两点，⊥x轴，圆E过点，且椭圆上任意一点都不在圆E内，则称圆E为该椭圆的内切圆。

问椭圆C是否存在过点F的内切圆？若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由。

参考答案：
（1）因为离心率为，所以a=2b，，
所以椭圆的方程可化为，直线的方程为， 2分
由方程组，得：，即
，
4分
设C(x1, y1)，D(x2, y2)，则
，
5分
又
，所
以，所以b=1，椭圆方程是； 7分
（2）由椭圆的对称性，可以设P1(m, n)，P2(m,－n)，点E在x轴上，设点R（t, 0），则圆E的方程为：，
由内切圆定义知道，椭圆上的点到点E距离的最小值是，
设点M(x, y)是椭圆C上任意一点，则，9分
当x=m时，最小，所以
① 10分
又圆E过点F，所以
② 11分
点P1在椭圆上，所以
③
12分
由①②③解得：，又时，，不合，
综上：椭圆C存在符合条件的内切圆，点E的坐标是（） 13分22. （12分）已知递增的等比数列{a n}满足a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若b n=a n（1+log2a n），求数列{b n}的前n项和T n．
参考答案：
【考点】：数列的求和；等比数列的通项公式．
【专题】：等差数列与等比数列．
【分析】：（1）由已知条件利用等比数列通项公式和等差中项性质，列出方程组，求出首项和公比，再由{a n}是递增数列，求出数列{a n}的通项公式．
（2）由b n=a n（1+log2a n）==（1+n）?2n，利用错位相减法能求出．
解：（1）∵递增的等比数列{a n}满足a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项，
∴，
解得或，
∵{a n}是递增数列，∴a1=2，q=2
∴数列{a n}的通项公式为a n=2?2n﹣1=2n．
（2）∵b n=a n（1+log2a n）==（1+n）?2n，
∴T n=2?2+3?22+4?23+…+（1+n）?2n，①
2T n=2?22+3?23+4?24+…+（1+n）?2n+1，②
①﹣②，得：﹣T n=4+22+23+24+…+2n﹣（1+n）?2n+1
=4+
=﹣n?2n+1，
∴．
【点评】：本题主要考查数列的通项公式的求法、前n项和公式的求法，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，解题时要注意错位相减法的合理运用．。