椭圆积分在理论力学中的应用

1 2
m ( l 兹觶 ) 2 - mglcos兹 = - mglcos兹 0
渊1冤
两边对式渊1冤进行求导袁可以得到相应的微分方程
为
..
兹
+
g l
sin兹 = 0
渊2冤
其
中
兹觶
=
d兹 dt
..
袁兹
=
d2兹 dt2
遥
图 2 复摆问题
图2 所示复摆渊或称物理摆冤袁其质量为 m袁质心为 点 C 袁 摆 对 悬 挂 点 O 的 转 动 惯 量 为 Jo 遥 设 初 始 时 刻 该 复 摆 角 速 度 为 零 袁 摆 角 为 兹0 ( 0 < 兹0 < 仔 / 2 ) 遥 则 利 用 椭 圆 积 分袁可以求得该摆的摆动周期遥
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椭圆积分在理论力学中的应用
张 存 1 刘建林 2 陈立明 3
渊 1 . 石 家 庄 铁 道 大 学 工 程 力 学 系 袁 河 北 石 家 庄 050043 曰 2 . 中 国 石 油 大 学 渊 华 东 冤 储 运 与 建 筑 工 程 学 院 袁 山 东 青 岛 266580 曰
姨 t =
l g
蘩兹0 兹
d兹 2 ( cos兹 - cos兹 0
)
渊3冤
其 中 转 角 的 取 值 范 围 为 - 兹 0 臆 兹 臆 兹0 遥 由 该 问 题 的 对 称 性 袁 本 文 只 考 虑 0 臆 兹 臆 兹0 的 情 况 渊 下 同 冤 遥
引入变换
k
= sin
兹0 2
>0
以及
sin
兹0 2
利用刚体绕定轴转动的微分方程袁 可得该物理摆
的转动微分方程院
..
兹
+
mga Jo
sin兹 = 0
渊6冤
与方程及其解答进行对比可知袁复摆的周期为
. All Rights Reserved.
姨 T = 4
Jo mga
K
(
sin
兹0 2
)
渊7冤
1.3 圆轮纯滚动问题
图 1 单摆模型
很 显 然 袁 当 兹 很 小 时 袁 sin兹 抑 兹 袁 该 问 题 的 解 答 为
有鉴于此袁全面梳理这些从不同角度提出的问题袁 然后统一从椭圆积分形式角度展示其核心脉络袁 已经 势在必行遥 故此袁 本文针对理论力学教材中出现的一 些涉及椭圆积分的动力学问题进行了分析总结袁 并给 出了利用椭圆积分表示的精确解答袁 并揭示其内在统
淫 基 金 项 目 院 国 家 自 然 科 学 基 金 ( 11502150 ) 尧 河 北 省 自 然 科 学 基 金 ( A2016210060 ) 尧 河 北 省 高 等 学 校 青 年 拔 尖 人 才 计 划 ( BJ2017052 ) 资 助 遥
姨 T = 4
3(R -r) 2g
K ( sin
兹0 2
)
渊9冤
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1.4 直杆滑落问题
如 图 4 所 示 袁 均 质 细 杆 A B 长 为 2l 袁 质 量 为 m 尧 相
1.1 单摆问题 第一个例子就是单摆问题袁 它也是大学物理及理
论力学中经常讨论的一个经典问题遥 但是袁 在一般教 科书中通常只讨论单摆发生小摆角振动情况下的解 答袁而很少讨论其大幅度振动遥 如图 1 所示袁设单摆的 长度为 l袁 端部小球质量为 m曰 初始时刻小球速度为 零 袁 摆 角 为 兹0 ( 0 < 兹0 < 仔 / 2 ) 遥 将 小 球 看 作 质 点 袁 由 机 械 能 守恒得
= ksin渍
(0臆渍臆
仔 2
)袁则式变为
仔
姨 t
=
l g
蘩
2 渍
d渍
姨1 - k 2 sin 2 渍
=
l g
[
F(
k
,
仔 2
)-F(k ,渍)]渊4 冤
其中
F(k
,
渍
)
=
蘩
渍 0
1
姨1 - k 2 sin 2 渍
d渍 为 第 一 类 不 完 全
椭圆积分遥
因此袁大摆角单摆的振动周期为
T=4
l g
K(k)
揖关键词铱椭圆积分曰单摆曰复摆曰圆轮滚动曰直杆滑落
中 图 分 类 号 院 O411
文献标识码院 A
文 章 编 号 院 2095 - 2457 渊2018冤04-0022-003
Applications of Elliptic Integrals in Theoretical Mechanics ZHANG Cun员 LIU Jian - lin2 Chen Li - ming3
由机械能守恒定律袁有
1 2
JC棕
2 C
+
1 2
mv
2 C
-
mg
(
R
-
r
)
cos兹
=
-
mg
(
R
-
r
)
cos兹
0
将
JC =
1 2
mr2 尧 vC = - ( R
- r ) 兹觶
尧 棕C =
vC r
=-
R-r r
兹觶 代 入 上
式并整理袁得
..
兹
+
2g 3(R-r)
sin兹 Leabharlann 0渊8冤与方程及其解答进行比较可知袁圆轮纯滚动的周期为
( 1 . Department of Engineering Mechanics , Shijiazhuang Tiedao University , 050043 Shijiazhuang , China ; 2 . College of Pipeline and Civil Engineering , China University of Petroleum ( East China ) , 266580 Qingdao , China ;
对质心的转动惯量为
JC =
1 3
ml2 袁
上端 A
沿墙壁向下
滑袁下端 B 沿地板向右滑袁不计摩擦遥 初始时刻直杆角
速 度 为 零 袁 与 墙 面 的 夹 角 为 兹0 遥 类 似 地 袁 也 可 求 出 脱 离 墙面之前杆的运动方程遥
图 4 直杆滑落问题
由机械能守恒袁有
2
1 2
m(l兹觶 )2
+
1 2
揖Key words铱Elliptical integral ; Simple pendulum ; Compound pendulum ; Cylinder rolling on a cylindrical surface ; Falling rod
0 前言
椭圆积分是一类重要的特殊函数袁其结构简练尧优 美袁因而在力学尧物理等领域中得到了广泛应用袁受到 很 多 学 者 的 青 睐 遥 [ 1 - 3 ] 例 如 材 料 力 学 中 细 长 杆 发 生 弹 性 大 变 形 的 形 貌 尧 [ 4 - 6 ] 表 界 面 力 学 中 固 体 表 面 上 液 滴 的 轮 廓 形 状 尧 [ 4 - 7 ] 非 线 性 动 力 学 中 弹 簧 振 子 的 非 线 性 振 动 [8]袁 以 及 电 磁 学 [9] 等 各 类 问 题 中 都 成 功 应 用 了 椭 圆积分遥 本文作者也利用椭圆积分开展了一系列关于 表界面力学方面的研究工作袁 主要包括院 刘建林等人 给出了单根碳纳米管在范德华力作用下截面的坍塌形 貌 [6]尧 张 存 等 人 给 出 了 粘 附 碳 纳 米 管 的 半 坍 塌 构 型 以 及 坍 塌 构 型 [5]曰 刘 建 林 等 人 给 出 了 悬 臂 梁 发 生 大 变 形 粘 附 时 的 构 型 [4]曰 刘 建 林 等 人 给 出 了 固 体 表 面 上 液 滴 的轮廓形状的解析解[1]遥
渊5冤
其中
K
(
k
)
=
F(
k
,
仔 2
)为第一类完全椭圆积分袁下同遥
图 3 圆轮纯滚动问题
如图 3 所示袁一均质圆轮半径为 r袁质量为 m袁在半
径为 R 的圆弧上往复滚动遥 设表面足够粗糙袁圆轮做
纯 滚 动 遥 设 初 始 时 刻 圆 轮 角 速 度 为 零 袁 摆 角 为 兹0 袁 则 可 以求得圆轮质心的运动方程遥
JC兹觶
+mglcos兹=mglcos兹0
相应的微分方程为
渊10冤
..
兹
-
3g 4l
sin兹
=
0
(
兹
0
臆
兹
臆
仔 2
)
对比方程及其解答可知袁该问题的解答为
渊 11 冤
姨 .
All
tR=ig3h4glts蘩 兹兹
3 . 重 庆 大 学 航 空 航 天 学 院 袁 中 国 重 庆 400030 冤
揖摘 要铱椭圆积分表达形式优美而简练袁是开展力学尧物理理论研究的重要工具之一遥 在理论力学尧大学 物理等本科课程中也存在很多问题可用椭圆积分进行精确求解遥 其中大学物理相关实例已有大学物理教育工 作者对其进行了总结遥 而对于理论力学中的相关实例袁 其精确解答多出现在分析力学尧 非线性动力学等专著 中袁在理论力学教材中却鲜有讨论遥 本文对理论力学教材中涉及椭圆积分的相关动力学问题进行了系统总结袁 并利用椭圆积分给出了相应的解析解遥 然后从椭圆积分定义出发袁 给出了一类可用椭圆积分表示的动力学方 程遥 这一总结有助于我们深刻认识这些动力学模型的物理本质袁 同时也为理论力学课程开展研究性学习提供 有益参考袁并且激发学生进行科学探索的好奇心遥
作 者 简介 院 张存渊1984要冤袁男袁河北安平人袁石家庄铁道大学讲师袁博士袁主要从事理论力学教学和微纳米力学研究工作遥 通讯作者院张存遥
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一性遥
1.2 复摆问题
1 应用举例
兹 = 兹0cos棕0t
其 中 兹0 为 振 幅 袁 棕0 = 姨g / l 为 角 频 率 遥 显 然 袁 单 摆 振
动 周 期 为 T0 = 2仔 姨g / l 遥 对于大摆角情况袁 在周培源先生编著的 叶理论力
学 曳 教 材 [ 12 ] 中 有 详 细 的 讨 论 遥 该 问 题 可 以 将 时 间 表 示 为转角 的积分形式院
. Althlis pRaipegr ,htthsese Rceasseserhavveedbe.en summarized , whose solutions are expressed with elliptical integrals . Meanwhile , a type
of typical dynamics systems are discussed , whose solutions can be described using elliptical integrals . This study may be helpful in understanding the physical nature of these above nonlinear dynamics systems , and could be used as teaching materials for the inquiry - based learning in theoretical mechanics .
除了上述问题袁 在动力学中也存在大量与椭圆积 分相关的问题遥 例如对于单摆摆动这一经典问题袁在 当前通用的理论力学和大学物理等教材中均直接假定
其振动幅度为小摆角袁 然后采用线性化的假设就可以 得到以三角函数表示的周期解遥 而实际工程中袁 很多 单摆将会发生大幅度振动袁 目前对于单摆具有大摆角 时的研究则很少见诸报道袁 故而通用教材中鲜有涉 及遥 该问题实际上可以用椭圆积分给出精确解答曰另 外袁 在理论力学中还存在其它可用椭圆积分求解的算 例袁涉及到很多动力学问题遥 由于椭圆积分形式简单袁 可以代替冗长的数值结果或者级数表达式袁 因此从科 学方法论的角度来讲袁 在教学中引入它可以使问题的 解答变得简单明了遥 从课堂教学效果的角度来看袁椭 圆积分使得这些动力学问题的解答变得完备袁 可以大 大拓宽学生的知识面袁 有助于培养学生宏观把握问 题尧全面思考问题尧正确解决问题的能力遥
3 . College of Aerospace Engineering , Chongqing University , 400030 Chongqing , China ) 揖Abstract铱Elliptical integrals are very useful in the theoretical study of mechanics and physics . In fact , many problems in the undergraduate courses " theoretical mechanics " , can be solved analytically using elliptical integrals . In