高中数学选修2-1课时作业7：3.1.5 空间向量运算的坐标表示

3.1.5 空间向量运算的坐标表示
1.已知向量a =(0,0,1),则a 2等于( ).
A.(0,0,1)
B.1
C.(1,0,0)
D.-1 [答案]:B
[解析]:a 2=|a |2=12=1.
2.设A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则AB 的中点M 到C 的距离|CM|的值为( ).
A B .532C D [答案]:C
[解析]:AB 的中点M 32,,32⎛⎫ ⎪⎝⎭,又C(0,1,0),所以12,,32CM ⎛⎫= ⎪⎝⎭
u u u u r ,故M 到C 的距离|CM|=|CM u u u u r |=
=3.在△ABC 中,点P 在BC 上,且BP u u u r =2PC u u u r ,点Q 是AC 的中点.若PA u u u r =(4,3),PQ u u u r =(1,5),则BC uuu r 等于
( ).
A.(-6,21)
B.(-2,7)
C.(6,-21)
D.(2,-7)
[答案]:A
[解析]:AC uuu r =2AQ uuu r =2(PQ PA -u u u r u u u r )=(-6,4),PC PA AC =+u u u r u u u r u u u r =(-2,7),BC uuu r =3PC uuu r =(-6,21).
4.已知向量a =(-2,x ,2),b =(2,1,2),c =(4,-2,1),若a ⊥(b -c ),则x 的值为( ).
A.-2
B.2
C.3
D.-3
[答案]:A
[解析]:∵b-c =(2,1,2)-(4,-2,1)=(-2,3,1),a ·(b-c )=(-2,x ,2)·(-2,3,1)=4+3x+2=0,∴x=-2.
5.已知A(3,4,5),B(0,2,1),O(0,0,0),25OC AB =u u u r u u u r ,则C 点的坐标是( ). A.648,-,-555⎛⎫- ⎪⎝⎭ B.648,-,555⎛⎫- ⎪⎝⎭C.648,-,-555⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.648,,555⎛⎫ ⎪⎝⎭
[答案]:A
[解析]:∵AB uuu r =(-3,-2,-4),∴2255OC AB ==u u u r u u u r (-3,-2,-4)=648,-,-555⎛⎫- ⎪⎝⎭,即C 648,-,-555⎛⎫- ⎪⎝⎭
. 6.在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB=AC=1,AA 1=2,∠B 1A 1C 1=90°,D 为BB 1的中点,则异面直线C 1D 与A 1C 所成角的余弦值为( ).
A
B
C
D
[答案]:C
[解析]:建系如下图,则C 1(0,1,2),D(1,0,1),A 1(0,0,2),C(0,1,0).
∴1C D u u u u r =(1,-1,-1),1A C u u u u r =(0,1,-2).∴cos <1C D u u u u r ,1A C u u u u r
>=1111·||||C D AC C D AC ==u u u u r u u u r u u u u r u u u r . 7.若a =(x ,3,1),b =(2,y ,4),且a =z b ,则c =(x ,y ,z )= .
[答案]:11,12,24⎛⎫ ⎪⎝⎭
[解析]:由a =z b ,得2,3,14,x z yz z =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以1,212,1.4x y z ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩
8.已知a =(2,-3,0),b =(k ,0,3),若a ,b 的夹角为120°,则k = .
[答案
[解析]:由于<a ,b >=120°,∴cos <a ,b >=-12,而cos <a
,b>=·||||a b a b =r r r r .
12
,解得
). 9.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).
(1)求以AB ,AC 为边的平行四边形的面积;
(2)若|a
且a 分别与AB uuu r ,AC uuu r 垂直,求向量a .
解:(1)AB uuu r =(-2,-1,3),AC uuu r =(1,-3,2),cos
θ=·12
||||AB AC AB AC =u u u r u u u r u u u r u u u r ,∴sin
∴S 平行四边形=|AB uuu r ||AC uuu r |sin
∴以AB,AC 为边的平行四边形的面积为
(2)设a =(x ,y ,z ).由题意,得222230,320,3.x y z x y z x y z --+=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩解得1,1,1x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或1,1,1.x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩
∴a =(1,1,1)或(-1,-1,-1).
10.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2).
(1)若//DB AC u u u r u u u r ,//DC AB u u u r u u u r
,求点D 的坐标
;
(2)问是否存在实数α,β,使得AC uuu r =αAB uuu r +βBC uuu r 成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,说明理由.
解:(1)设D (x ,y ,z ),则DB u u u r =(-x ,1-y ,-z ),AC uuu r =(-1,0,2),DC u u u r =(-x,-y,2-z),AB uuu r =(-1,1,0).
因为//DB AC u u u r u u u r ,//DC AB u u u r u u u r ,所以(-,1,-)(-1,0,2),(-,-,2)(-1,1,0),
x y z m x y z n -=⎧⎨-=⎩解得1,1,2,x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩即D(-1,1,2). (2)依题意AB uuu r =(-1,1,0),AC uuu r =(-1,0,2),BC uuu r =(0,-1,2),
假设存在实数α,β,使得AC uuu r =αAB uuu r +βBC uuu r 成立,则有(-1,0,2)=α(-1,1,0)+β(0,-1,2)=(-α,α-β,2β),所以
1,0,
22,ααββ=⎧⎪-=⎨⎪=⎩
故存在α=β=1,使得AC uuu r =αAB uuu r +βBC uuu r 成立.。