湖北省武汉市2021届新高考第四次质量检测数学试题含解析

湖北省武汉市2021届新高考第四次质量检测数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线C ：22
22x y a b
-=1(a>0，b>0)的右焦点为F ，过原点O 作斜率为43的直线交C 的右支于点A ，
若|OA|=|OF|，则双曲线的离心率为（ ） A
B
．C ．2
D
+1
【答案】B 【解析】 【分析】
以O 为圆心，以OF 为半径的圆的方程为222
x y c +=，联立222
22221
x y c x y a
b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩
，可求出点
2,b A c c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
2
43b =，整理计算可得离心率. 【详解】
解：以O 为圆心，以OF 为半径的圆的方程为222
x y c +=，
联立222
22221x y c x y a b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩
，取第一象限的解得2
x c b y c ⎧=
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
即2b A c c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
2
43b =， 整理得(
)()22
2
29550c a
c
a --=，
则22519c a =<（舍去），225c a
=，
c
e a
∴=
=. 故选：B. 【点睛】
本题考查双曲线离心率的求解，考查学生的计算能力，是中档题.
2．已知函数()sin f x a x x =的图像的一条对称轴为直线56
x π
=
，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( )
A ．3
π-
B ．0
C ．
3
π D ．
23
π 【答案】D 【解析】 【分析】
运用辅助角公式，化简函数()f x 的解析式，由对称轴的方程，求得a 的值，得出函数()f x 的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案. 【详解】
由题意，函数()sin )(f x a x x x θθ==+为辅助角)， 由于函数的对称轴的方程为56x π=
，且53()622
a f π=+，
即
322a +=1a =，所以()2sin()3
f x x π
=-， 又由12()()4f x f x ⋅=-，所以函数必须取得最大值和最小值，
所以可设11152,6x k k Z ππ=+
∈，2222,6
x k k Z π
π=-∈， 所以1212222,3
x x k k k Z π
ππ+=++∈， 当120k k ==时，12x x +的最小值23
π
，故选D.
【点睛】
本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 3．设α为锐角，若3cos 45
πα⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭，则sin 2α的值为（ ） A ．
17
25
B ． 725
-
C ． 1725
-
D ．
725
【答案】D 【解析】 【分析】
用诱导公式和二倍角公式计算． 【详解】
2237
πππ
【点睛】
本题考查诱导公式、余弦的二倍角公式，解题关键是找出已知角和未知角之间的联系． 4．执行下面的程序框图，则输出S 的值为 （ ）
A ．112
-
B ．
2360
C ．
1120
D ．
4360
【答案】D 【解析】 【分析】
根据框图，模拟程序运行，即可求出答案. 【详解】 运行程序，
1
1,25s i =-=，
121
1,3552s i =+--=，
12311
1,455523s i =++---=，
1234111
1,55555234s i =+++----=，
1234111
1,55555234s i =+++----=，
123451111
1,6555552345
s i =++++-----=，结束循环，
故输出1111113743=(12345)135********s ⎛⎫
++++-++++=-= ⎪⎝⎭
， 故选：D. 【点睛】
本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，属于中档题. 5．已知()()()sin cos sin cos k k A k παπαα
α
++=
+
∈Z ，则A 的值构成的集合是（ ）
A ．{1,1,2,2}--
B ．{1,1}-
C ．{2,2}-
D ．{}1,1,0,2,2--
【答案】C
对k 分奇数、偶数进行讨论，利用诱导公式化简可得. 【详解】
k 为偶数时，sin cos 2sin cos A αααα=
+=；k 为奇数时，sin cos 2sin cos A αα
αα
=--=-，则A 的值构成的集合为{}2,2-.
【点睛】
本题考查三角式的化简，诱导公式，分类讨论，属于基本题.
6．已知抛物线22(0)y px p =>上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大1
2
，则抛物线的标准方程为（ ） A ．2y x = B ．22y x =
C ．24y x =
D ．28y x =
【答案】B 【解析】 【分析】
由抛物线的定义转化，列出方程求出p ，即可得到抛物线方程． 【详解】
由抛物线y 2＝2px （p ＞0）上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大1
2
，根据抛物线的定义可得
1
22
p =，1p ∴=，所以抛物线的标准方程为：y 2＝2x ． 故选B ． 【点睛】
本题考查了抛物线的简单性质的应用，抛物线方程的求法，属于基础题． 7．已知集合{}0,1,2,3A =，{|22}B x x =-≤≤，则A B I 等于（ ）
A ．{}012
,, B ．{2,1,0,1,2}-- C ．{}2,1,0,1,2,3-- D ．{}12
, 【答案】A 【解析】 【分析】
进行交集的运算即可． 【详解】
{0A =Q ，1，2，3}，{|22}B x x =-剟， {0A B ∴=I ，1，2}．
本题主要考查了列举法、描述法的定义，考查了交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题． 8．费马素数是法国大数学家费马命名的,形如()221n
n N +∈的素数(如：0
2213+=)为费马索数,在不超过
30的正偶数中随机选取一数,则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是( ) A ．
2
15
B ．
15
C ．
415
D ．
13
【答案】B 【解析】 【分析】
基本事件总数15n =，能表示为两个不同费马素数的和只有835=+，20317=+，22517=+，共有3个，根据古典概型求出概率． 【详解】
在不超过30的正偶数中随机选取一数，基本事件总数15n =
能表示为两个不同费马素数的和的只有835=+，20317=+，22517=+，共有3个 则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是31
155
P == 本题正确选项：B 【点睛】
本题考查概率的求法，考查列举法解决古典概型问题，是基础题．
9．观察下列各式：2x y ⊗=，224x y ⊗=，33
9x y ⊗=，4417x y ⊗=，5531x y ⊗=，6654x y ⊗=，
7792x y ⊗=，L ，根据以上规律，则1010x y ⊗=（ ）
A ．255
B ．419
C ．414
D ．253
【答案】B 【解析】 【分析】
每个式子的值依次构成一个数列{}n a ，然后归纳出数列的递推关系12n n n a a a n --=++后再计算． 【详解】
以及数列的应用根据题设条件，设数字2，4，9，17，31，54，92，L 构成一个数列{}n a ，可得数
列{}n a 满足12n n n a a a n --=++()
*
3,n n ≥∈N ，
则876854928154a a a =++=++=，
9879154929255a a a =++=++=，10981025515410419a a a =++=++=．
本题主要考查归纳推理，解题关键是通过数列的项归纳出递推关系，从而可确定数列的一些项．
10．设12,F F 分别是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左右焦点若双曲线上存在点P ，使1260F PF ∠=︒，且
122PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）
A B ．2
C D
【答案】A 【解析】 【分析】
由122PF PF =及双曲线定义得1PF 和2PF
（用a 表示），然后由余弦定理得出,a c 的齐次等式后可得离心率． 【详解】
由题意∵122PF PF =，∴由双曲线定义得122PF PF a -=，从而得14PF a =，22PF a =，
在12PF F ∆中，由余弦定理得2
2
2
(2)(4)(2)242cos60c a a a a =+-⨯⨯︒，化简得==c
e a
故选：A ． 【点睛】
本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线定义用a 表示出P 到两焦点的距离，再由余弦定理得出,a c 的齐次式．
11．221a b +=是sin cos 1a b θθ+≤恒成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 设cos {
sin cos sin cos cos sin sin(+)1sin a a b b α
θθθαθαθαα
=⇒+=+=≤= 成立；反之，0a b ==满足
sin cos 1a b θθ+≤，但221a b +≠，故选A.
12．一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积是（ ）
A ．122
π-
B ．21π-
C ．22π-
D ．24π-
【答案】C 【解析】 【分析】
根据组合几何体的三视图还原出几何体，几何体是圆柱中挖去一个三棱柱，从而解得几何体的体积. 【详解】
由几何体的三视图可得，
几何体的结构是在一个底面半径为1的圆、高为22高为2的棱柱，
故此几何体的体积为圆柱的体积减去三棱柱的体积， 即21V 12222222
ππ=••-•••=-，
故选C. 【点睛】
本题考查了几何体的三视图问题、组合几何体的体积问题，解题的关键是要能由三视图还原出组合几何体，然后根据几何体的结构求出其体积.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．一个长、宽、高分别为1、2、2的长方体可以在一个圆柱形容器内任意转动，则容器体积的最小值为_________. 【答案】27π
4
【解析】 【分析】 【详解】
一个长、宽、高分别为1、2、2的长方体可以在一个圆柱形容器内任意转动,则圆柱形容器的底面直径及高的最小值均等于长方体的体对角线的长,2221+2+2=3,所以容器体积的最小值为2327π
π()3=
24
⨯⨯.
14．若
5
2
ax x
x
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
展开式中的常数项为240，则实数a的值为________.
【答案】－3 【解析】【分析】
依题意可得二项式展开式的常数项为
3
32
315
2
C
T ax x
x
+
⎛⎫
=⋅-
⎪
⎝⎭
即可得到方程，解得即可；
【详解】
解：∵二项式
5
2
ax x
x
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
的展开式中的常数项为
3
32
315
2
C80240
T ax x a
x
+
⎛⎫
=⋅-=-=
⎪
⎝⎭
，
∴解得3
a=-.
故答案为：3
-
【点睛】
本题考查二项式展开式中常数项的计算，属于基础题.
15．如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中间是边长为2的正方形，上面三角形是等边三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，则此四棱锥的体积为_____．
【答案】43 3
【解析】
【分析】
画图直观图可得该几何体为棱锥,再计算高求解体积即可.
【详解】
解：如图,是一个四棱锥的平面展开图,其中间是边长为2的正方形,
上面三角形是等边三角形,左、右三角形是等腰直角三角形,
∴此四棱锥S ABCD ﹣中,ABCD 是边长为2的正方形,
SAD V 是边长为2的等边三角形,
故CD AD ⊥,又CD SD ⊥,AD SD D ⋂= 故平面SAD ⊥平面ABCD ,
∴SAD V 的高SE 是四棱锥S ABCD ﹣的高, ∴此四棱锥的体积为:
1143
224133ABCD V S SE ⨯=⨯⨯-=
正方形＝ 故答案为：43
3
． 【点睛】
本题主要考查了四棱锥中的长度计算以及垂直的判定和体积计算等,需要根据题意
16．满足线性的约束条件02x x y x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪+≤⎩
的目标函数2z x y =-的最大值为________
【答案】1 【解析】 【分析】
作出不等式组表示的平面区域，将直线进行平移，利用2z x y =-的几何意义，可求出目标函数的最大值。

【详解】
由2z x y =-，得2y x z =-，作出可行域，如图所示：
平移直线2y x z =-，由图像知，当直线经过点C 时，截距最小，此时z 取得最大值。

由0
20
x y x y -=⎧⎨
+-=⎩ ，解得11x y =⎧⎨=⎩ ，代入直线2z x y =-，得2111z =⨯-=。

【点睛】
本题主要考查简单的线性规划问题的解法——平移法。

三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知椭圆C ()222210,0y x a b a b +=>>的长轴长为4，离心率3
e =
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设,A B 分别为椭圆与x 轴正半轴和y 轴正半轴的交点，P 是椭圆C 上在第一象限的一点，直线PA 与
y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，问PMN ∆与PAB ∆面积之差是否为定值？说明理由.
【答案】（1）2
214
y x +=（2）是定值，详见解析
【解析】 【分析】
（1）根据长轴长为4，离心率3
e =22223a c a a b c =⎧⎪
⎪=⎨⎪-=⎪⎩
求解.
（2）设()()0000,0,0P x y x y >>，则2
2
0044x y +=，直线()0
0:11
y PA y x x =
--，令0x =得，001
M y y x -=
-，则2=-M BM y ，直线022:2y PB y x x -=+，令0y =，得0
022N x x y -=-，则1=-N AN x ，再根据()()∆∆∆∆∆∆∆∆-=---=-PMN PAB MAN PAN BAN PAN MAN BAN S S S S S S S S 求解. 【详解】
（1）依题意得22
2232a c
a a
b
c =⎧⎪
⎪=⎨⎪-=⎪⎩
，
解得21a b
=⎧⎨=⎩
，
则椭圆C 的方程2
214
y x +=.
（2）设()()0000,0,0P x y x y >>，则2
2
0044x y +=，
直线()0
0:11
y PA y x x =
--， 令0x =得，0
01
M y y x -=
-， 则0
0221
M y BM y x =-=+
-， 直线02
2
:2y PB y x x -=
+， 令0y =，得0
022
N x x y -=
-， 则0
02112
=-=+
-N x AN x y ， ()()PMN PAB MAN PAN BAN PAN MAN BAN S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∴-=---=-
0000211
2122212
=
⋅=++=--y x AN BM x y . 【点睛】
本题主要考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，还考查了平面几何知识和运算求解的能力，属于中档题.
18．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA AB ⊥，6PA =，8AB =，10PD =，
N 为PC 的中点，F 为棱BC 上的一点.
（1）证明：面PAF ⊥面ABCD ；
（2）当F 为BC 中点时，求二面角A NF C --余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）5
61
-. 【解析】 【分析】
（1）要证明面PAF ⊥面ABCD ，只需证明PA ⊥面ABCD 即可；
（2）以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建系，分别计算出面ANF 法向量1n u r
，面PBC 的法向量2n u u r
，再利用公式计算即可.
【详解】
证明：（1）因为底面ABCD 为正方形，所以8AD AB == 又因为6PA =，10PD =，满足222PA AD PD +=， 所以PA AD ⊥
又PA AB ⊥，AD ⊂面ABCD ，AB Ì面ABCD ，
AB AD A ⋂=，
所以PA ⊥面ABCD .
又因为PA ⊂面PAF ，所以，面PAF ⊥面ABCD .
（2）由（1）知AB ，AD ，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建系如图所示，
则()0,0,0A ，()0,0,6P ，()8,0,0B ,()8,8,0C ，()0,8,0D 则()4,4,3N ，()8,4,0F .
所以()8,4,0AF =u u u r ，()4,4,3AN =u u u r ，()0,8,0BC =u u u r ，()8,8,6PC =-u u u r
，
设面ANF 法向量为()1111,,n x y z =u r ，则由1100n AF n AN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v
u v u u u v 得11111840
4430x y x y z +=⎧⎨++=⎩，
令11z =得134x =，13
2y =-，即133,,142n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
u r ；
则由2200n PC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u v
u u v u u u v 得2222
886080x y z y +-=⎧⎨=⎩，
令24z =得23x =，20y =，即()23,0,4n =u u r
，
所以12121233014cos ,61n n n n n n ⨯++⨯⋅<>===u r u u r u r u u r u r u u r ， 设二面角A NF C --的大小为θ，则
12cos cos ,n n θ=-<>=u r u u r 所以二面角A NF C --
余弦值为【点睛】
本题考查面面垂直的证明以及利用向量法求二面角，考查学生的运算求解能力，此类问题关键是准确写出点的坐标，是一道中档题.
19．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l
的参数方程为1,22,2x t y t ⎧=⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数），在以坐标原点O 为
极点，x 轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C
的极坐标方程是
4πρθ⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
. （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 相交于两点A ，B ，求线段AB 的长.
【答案】（1）l
20y -+=，C ：()()2
2
228x y -+-=；（2
）【解析】 【分析】
（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换；
（2）由（1）可得曲线C 是圆，求出圆心坐标及半径，再求得圆心到直线的距离，即可求得AB 的长. 【详解】
（1）由题意可得直线l
20y -+=
，由4πρθ⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
，得24cos 4sin ρρθρθ=+，即22
（2）由（1）知，圆()2,2C ，半径r =
∴圆心到直线l 的距离为：
d =
=
∴AB ===【点睛】
本题考查直线的普通坐标方程、曲线的直角坐标方程的求法，考查弦长的求法、运算求解能力，是中档题． 20．某地在每周六的晚上8点到10点半举行灯光展，灯光展涉及到10000盏灯，每盏灯在某一时刻亮灯的概率均为()01p p <<，并且是否亮灯彼此相互独立.现统计了其中100盏灯在一场灯光展中亮灯的时长（单位：min ），得到下面的频数表：
以样本中100盏灯的平均亮灯时长作为一盏灯的亮灯时长. （1）试估计p 的值；
（2）设X 表示这10000盏灯在某一时刻亮灯的数目. ①求X 的数学期望()E X 和方差()D X ； ②若随机变量Z 满足
Z =
，则认为()0,1Z N :.假设当49005000X <≤时，灯光展处于最佳
灯光亮度.试由此估计，在一场灯光展中，处于最佳灯光亮度的时长（结果保留为整数）. 附：
①某盏灯在某一时刻亮灯的概率p 等于亮灯时长与灯光展总时长的商；
②若()0,1Z N :，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，
3309().973P X μσμσ-<≤+=.
【答案】（1）
1
2
（2）①()5000E X =，()2500D X =,②72 【解析】 【分析】
（1）将每组数据的组中值乘以对应的频率，然后再将结果相加即可得到亮灯时长的平均数，将此平均数除以150（2.5个小时），即可得到p 的估计值；
②先根据条件计算出Z 的取值范围，然后根据()0,1Z N :并结合正态分布概率的对称性，求解出Z 在满足取值范围下对应的概率. 【详解】
（1）平均时间为550.1650.2750.4850.2950.175⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分钟） ∴7511502
p =
= （2）①∵110000,2X B ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
:， ∴1()1000050002E X np ==⨯
=，11
()(1)10000250022
D X np p =-=⨯⨯= ②∵49005000X <<，5000
50X Z -=
=，∴(2,0]Z ∈-
∵()0,1Z N :，0μ=，1σ= ∴11
(20)(22)0.95450.4772522
P Z P Z μσμσ-<≤=
-<≤+=⨯= ∴1500.4772571.587572⨯=≈ 即最佳时间长度为72分钟. 【点睛】
本题考查根据频数分布表求解平均数、几何概型（长度模型）、二项分布的均值与方差、正态分布的概率计算，属于综合性问题，难度一般.（1）如果(),X B n p :，则()()(),1E X np D X np p ==-；（2）计算正态分布中的概率，一定要活用正态分布图象的对称性对应概率的对称性. 21．已知等差数列{}n a 的公差2d =，且1a ，2a ，4a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设12n
a n
b ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．
【答案】（1）2n a n =；（2）2
11
343
n n S n n =+-
+⨯. 【解析】 【分析】
（1）根据等比中项性质可构造方程求得1a ，由等差数列通项公式可求得结果；
（2）由（1）可得n b ，可知{}n b 为等比数列，利用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式可求得结果.
（1）124,,a a a Q 成等比数列，2
2
14a a a ∴=，即()()2
1113a d a a d +=+，
()()2
11126a a a ∴+=+，解得：12a =，
()2212n a n n ∴=+-=.
（2）由（1）得：2111224n a n n
n b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，114n n b b +∴=，114b =，
∴数列{}n b 是首项为
14，公比为1
4
的等比数列， ()()123123n n n S a a a a b b b b ∴=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+()232211112
4444n
n n ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
++++⋅⋅⋅+⎢⎥
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
211
343
n
n n =+-
+⨯． 【点睛】
本题考查等差数列通项公式的求解、分组求和法求解数列的前n 项和的问题；关键是能够根据通项公式证得数列{}n b 为等比数列，进而采用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式求得结果.
22．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>
的短轴长为12e =，其右焦点为F .
（1）求椭圆C 的方程； （2）过F 作夹角为
4
π
的两条直线12,l l 分别交椭圆C 于,P Q 和,M N ，求||||PQ MN 的取值范围.
【答案】（1）22
143x y +=；（2
）49494848⎡-+⎢⎣⎦
. 【解析】 【分析】
（1）由已知短轴长求出b ，离心率求出,a c 关系，结合222a b c =+，即可求解；
（2）当直线12,l l 的斜率都存在时，不妨设直线1l 的方程为(1),1y k x k =-≠，直线1l 与椭圆方程联立，利用相交弦长公式求出||PQ ，2l 斜率为
1
1k k
+-，求出||MN ，得到||||PQ MN 关于k 的表达式，根据表达式的
特点用“∆”判别式法求出
||
||
PQ MN 范围，当12,l l 有一斜率不存在时，另一条斜率为±1，根据弦长公式，求出||||
PQ MN ，即可求出结论.
（1
）由2b =
b =2222
22
1
4
c a b e a a -===得2234a b =， 则2
2
4,3a b ==，故椭圆C 的方程为22
143
x y +=.
（2）由（1）知()1,0F ， ①当直线12,l l 的斜率都存在时，
由对称性不妨设直线1l 的方程为(1),1y k x k =-≠，
由()
2222
22
(1)438412034120
y k x k x k x k x y =-⎧⇒+-+-=⎨+-=⎩， ()214410k ∆=+>，设()()1122,,,P x y Q x y ， 则221212228412
,,4343
k k x x x x k k -+==++，
则
()
22121||34k PQ k
+=
=+， 由椭圆对称性可设直线2l 的斜率为
1
1k k
+-， 则()()2
22
2112122411||7121341k k k MN k k k k +⎛⎫
+⋅ ⎪+-⎝⎭==
+++⎛⎫
+⋅ ⎪
-⎝⎭
， ()()()
()222
222
121712712||||3468241k k k k k
PQ MN k k k +++++=⋅=+++ 22
727787486882432k k k k +
+=+
=+++. 令2
87
2432k t k
+=+，则23282470tk k t -+-=， 当0t =时，78k =-
，当0t ≠时，由64432(247)0t t '∆=-
⨯-≥
t
≤≤
2
78782432k k +≤+≤+
，
||||PQ MN ≤≤
||8||7PQ MN ≠.
根据对称性不妨设设直线1l 的方程为1y x =-，2l 斜率不存在，
则24||7PQ =，2
2||3b MN a
==，
此时||8||7PQ MN =∈⎣⎦
.
若设2l 的方程为1y x =-，1l 斜率不存在，
则||7||8PQ MN =∈⎣⎦
，
综上可知
||
||PQ MN 的取值范围是⎣⎦.
【点睛】
本题考查椭圆标准方程、直线与椭圆的位置关系，注意根与系数关系、弦长公式、函数最值、椭圆性质的合理应用，意在考查逻辑推理、计算求解能力，属于难题.
23．某景点上山共有999级台阶，寓意长长久久．甲上台阶时，可以一步走一个台阶，也可以一步走两个台阶，若甲每步上一个台阶的概率为
13
，每步上两个台阶的概率为2
3．为了简便描述问题，我们约定，甲
从0级台阶开始向上走，一步走一个台阶记1分，一步走两个台阶记2分，记甲登上第n 个台阶的概率为n P ，其中*n N ∈，且998n ≤．
（1）若甲走3步时所得分数为X ，求X 的分布列和数学期望； （2）证明：数列1{}n n P P +-是等比数列；
（3）求甲在登山过程中，恰好登上第99级台阶的概率． 【答案】见解析 【解析】 【分析】 【详解】
（1）由题可得X 的所有可能取值为3，4，5，6， 且311()()3327P X ===，321
24C 312()()39P X ==⨯⨯=，
2
3224()(15C 3)39P X =⨯==⨯，328()()3627
P X ===，
所以X 的分布列为
所以X 的数学期望1248()34565279927
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=． （2）由题可得213231n n n P P P +++=，所以2112
()3
n n n n P P P P +++-=--，
又113
P =
，22217()339P =+=，所以21
4
09P P -=≠， 所以1{}n n P P +-是以49为首项，2
3
-为公比的等比数列．
（3）由（2）可得9999989897211()()()P P P P P P P P =-+-++-+L 989842
[1()]
134293()23515313
⨯--=+=-⨯+．。