人教版数学-【报刊论文】共线问题的证明方法.

共线问题的证明方法 证明三点或多点(三点以上)共线，主要依据公理2，证明这些点都是某两个平面的公共点，那么它们都在这两个平面的交线上.下面举例说明共线问题的四种证明方法.
一、辅助平面法
辅助直线法就是借助相交两个平面，通过证明所证点是某两个平面的公共点，根据公理2知这些点在两个平面的交线上，即可达到三点共线的目的.
例1如图，空间不共面的三条线段AA 1、BB 1、CC 1，两两平行，且互不相等，证明：AB 与A 1B 1，BC 与B 1C 1，AC 与A 1C 1分别相交，且三个交点共线.
分析：要证三点共线，可将问题归结为证明AB 与A 1B 1，BC 与B 1C 1，AC 与A 1C 1的交点都是平面A B C 与平面A 1B 1C 1的公共点，由公理2可证得结论.
证明：∵AA 1∥BB 1，且AA 1≠BB 1，∴ABB 1A 1为梯形，
∴AB 与A 1B 1必相交.同理，BC 与B 1C 1，AC 与A 1C 1必相交.
设AB ∩A 1B 1=P ，∵P ∈AB ，AB ⊂平面ABC ，∴P ∈平面ABC ，
同理，P ∈A 1B 1，A 1B 1，⊂平面ABC ，P ∈平面A 1B 1C 1，
设BC ∩B 1C 1=R ，AC ∩A 1C 1=Q.
同理，R ∈平面ABC ，R ∈平面A 1B 1C 1，Q ∈平面ABC ，Q ∈平面A 1B 1C 1.
根据公理2知，P 、Q 、R 三点在平面ABC 和平面A 1B 1C 1的交线上，
综上可知，AB 与A 1B 1，BC 与B 1C 1，AC 与A 1C 1分别相交，且三个交点共线.
二、纳入直线法
欲证三点(多点)共线，可以证明某点在经过其余两点的直线上，此证法的思路具有广泛的应用性，在解析几何中证明三点共线，也常采用.
例2 如图的所示，已知ΔABC 的三个顶点都不在平面α上，它的三边AB 、BC 、AC 延长后与平面α相交于P 、Q 、R 三点.求证：P 、Q 、R 三点共线.
分析：易证平面α∩平面APR ＝直线PR ，于是只要证明Q 在直线PR 上即可.
证明：∵AP ∩AR ＝A ，∴AP 、AR 确定平面PAR ；
由于P 、R 在平面α上，∴平面α∩平面APE ＝直线PR ，
又∵B ∈平面PAR ，C ∈平面PAR ，
所以直线BC ⊂平面APR ，即点Q 在平面PAR 上，
于是Q ∈平面α且Q ∈平面PAR ，
所以Q 必在平面α与平面APR 的交线PR 上，即P 、Q 、R 三点共线.
三、反证法
它是一种间接证明的方法.其证题步骤一般有三步：①反设，即假设原命题的结论不成立；②归谬，即在反设的前提下推出矛盾；③定论，即否定假设，肯定原命题结论成立.
例3如图所示，已知空间四边形ABCD 中，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是
BC 、CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23
，求证：EF 、GH 必相交，且交点与A 、C 共线. 分析：本题证明三线共点可以利用上面的两种方法证明，也可以用反证
法证明.
证明：∵AE EB ＝AH HB ＝1，∴EH ∥＝12BD ，而CF CB ＝CG CD ＝23，∴FG BD ＝23
，且FG ∥BD. ∴四边形EFGH 为梯形，从而腰EF 、GH 必相交于一点P.
假设P 与A 、C 不共线，即P ∈／直线AC ，
∵P ∈直线EF ，直线EF ⊂平面ABC ，∴P ∈平面ABC ，
同理，P ∈平面ADC ，从而点P 在平面ABC 与平面ADC 的交线l 上，但P P ∈／直线AC ，所
以l≠AC，
又∵平面ABC∩平面ADC＝AC，所以平面ABC与平面ADC的交线有两条，即l与AC，与公理2矛盾，
故点P、A、C三点共线.
四、直线重合法
此法即为同一法，其证题过程是先通过证明部分点所在的直线为某两个平面的交线，再证明另一部分点所在的直线也为前两个平面的的交线，根据公理2知两个平面交线的唯一性可得，两交线重合，从而使问题得证.
例4在正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与平面ABC1D1交于点P，求证：B、P、D1三点共线.
分析：由题设易证B、P、D1都是平面ABC1D1与平面A1BCD1的公共点，若P∈／BD1，就会得出平面平面ABC1D1与平面A1BCD1有两条交线BD1与BP，与公理2矛盾，故本题可采用反证法.
证明：如图所示，连结A1B、D1C，
∵B∈平面ABC1D1，且B∈平面A1BCD1，∴B∈平面ABC1D1∩平面A1BCD1，
同理，D1∈平面ABC1D1∩平面A1BCD1，∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1，
又由A1C∩平面ABC1D1＝P，知P∈平面ABC1D1，
又P∈A1C 平面A1BCD1，∴P∈平面ABC1D1∩平面A1BCD1，
∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BP，
根据公理2知两个平面交线的唯一性，知直线BD1与BP重合，
故B、P、D1三点共线.。