12.5 阻尼对振动的影响

t 0 ，即得有阻尼自由振动方程 令 F P
令 2 k11 m ， c m 2 ，有 则
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m y c y ky 0 1 1
2 y 2 y y 0
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c 2m
ζ 称阻尼比。
2 y 2 y y 0
(3) 阻尼比是多少？
解： (1) 求阻尼比
0 . 1 0 . 016 2 π 2 3 . 1416

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(2)求周期数n
y 1 n ln k 2 π 2 π y k n
1 y 1 1 0 n ln ln 29 . 9 0 . 1 0 2 π y . 05 k 2 π 2 π 取n＝30 (周)。
设微分方程的解为
y Cet
则λ由下列特征方程所确定
2 2 2 0
其解为
1
2
根据λ ＜1、 λ =1、 λ ＞1三种情况，可得出三种运动状态，现 分析如下：
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1.考虑λ ＜1的情况（即低阻尼情况）
按照等比级数
eTr 或 yk1 yk
逐渐衰减的波动曲线。
经过一个周期T ，相 2 π 邻两个振幅yk+1与yk的比值为
t T t T k r k r y y e e e k 1k
由此可见，振幅是按几何级数 衰减的，而且ζ值越大（阻尼越 大），则衰减速度越快。
5
y 0 . 5 1 y y 0 . 5 cm 0 . 164 cm 5 0 y 0 . 4 0
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12.5.4 有阻尼的强迫振动（ ＜1） 运动方程为
2 y 2 y y F t m P
(3求柱子的总抗剪刚度k11 由 有
t nT nT n 2 π m k n r 11
11 2 t n 2 25
2 2 2 π n m 2 3 . 1416 30 2500 3 k N/m 142 . 12 10 N
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c 2 m 33220 N s/m 332 . 2 N s/cm
(2)求振动5周后的振幅y5
( n 5 ) n T y y e y n 0 5y 0

y e 1 y 0
由此可得
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5
T
→
5
y y 5 y 0 1 y 0
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(1)求阻尼系数c
4 k 196 10 5 m 11 kg 1 . 12 10 kg 2 2 4 . 1888 1 y 1 0 . 5 0 ln ln 0 . 0355 （低阻 2 π 2 π y 2 3 . 1416 0 . 4 1
F t d t t t P d y e sin t t r m r
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n
【例12-20】图示刚架，它的横梁为无限刚性，质量为2500kg，由于柱顶施 以水平位移y0（初始振幅）作有阻尼自由振动。已测得对数递减率g =0.1。
试求：
(1) 振幅衰减至初始振幅5%时，所需的周期数n。
(2) 若在25s内振幅衰减到初始振幅的5%时，柱子的总抗剪 刚度k11是多少？
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【例12-21】图所示门架横梁EI0＝∞，质量集中在横梁上，设总质量为m（未 知）。为了确定水平振动时门架的动力特性，进行了以下振动实验：
在横梁处加一水平力FP＝9.8kN，门架发生侧移y0＝0.5cm，然后， 突然释放，使结构作自由振动。此时，测得周期T ＝1.5s，并测 得一个周期后横梁摆回的侧移为y1=0.4cm。
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t n nT
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【小结】关于低阻尼的自由振动计算公式
4) 求结构刚度
k11
5) 求阻尼系数
2πn m
2
式中， t nT 2 π nm k n 11
t
2 n
C2 m
6) 求振动n周后的振幅
y1 yn y y0 0
因此

y 1 r ln k 2π y k 1
yk 1 ln 2 π yk1
如果ζ ＜0.2，则
r 1
，于是可取
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令 ln
yk ，称为振幅的对数递减率，则 y k 1
同样，相隔n个周期
2π
试计算：
(1)门架的阻尼系数c；(2)振动5周后的振幅y5。
解：(1)求阻尼系数c
取T＝Tr（低阻尼），则有

2 π 2 π 1 4 . 1888 s T 1 . 5 3 9 . 8 10 4 k F y N/m 196 10 N/m 11 P 0 0 . 005
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再引入初始条件，得
t y y 1 t v t e 0 0
其曲线如图所示。这条曲线仍然具有衰减性质，但不具有波动性质。
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综合以上的讨论可知：当ζ ＜1时，体系在自由反应中是会引 起振动的；而当阻尼增大到ζ ＝1时，体系在自由反应中即不 引起振动，这时的阻尼常数称为临界阻尼常数，用cr表示
该理论最初用于考虑物体以不大的速度在粘性液体中运动时所遇到 的抗力，因此称为粘滞阻尼力。该理论假设阻尼力其大小与质点速 度成正比，其方向与质点速度的方向相反。即阻尼力
F c y C
式中，c为阻尼系数；y 为质点速度。负号表明 F C 的方向恒与质点 的方向相反，它在振动时作负功，因而造成能量耗散 。 速度 y
2 1 r
则
i 1 ,2 r
（二共轭虚根）
此时，微分方程的解为
t y e C cos t C sin t 1 r 2 r

y 0 v y 0 再引入初始条件（当t＝0时 y 0 ， 0 ，），即得
v y 0 0 y e y cos t sin t 0 r r r
【小结】关于低阻尼的自由振动计算公式
1) 求阻尼比
yk 1 2 π 2 π ln y k 1 1 ln y k 2 π n 2 π n y k n
2) 求振动周期数
y 1 n ln k 2 π 2 π y k n
3)求振动时间
（随ζ 的增大而减小 )
当ζ ＜0.2时（一般建筑结构ζ ＜0.1），0.98 r 1 ，阻尼 对自振频率的影响可以忽略不计，故取
r 2 Tr T r
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(2)阻尼对振幅
ae
t
的影响
t
振幅
A t a e

1.任意荷载作用下的有阻尼强迫振动
可仿照相应的无阻尼强迫振动的方法（冲量法）推导如下： v y t 0 0 e y c o s t s i n t 1) 由式 y 可知，单独由v0 0 r r r 2) （y0为二阶微量，被忽略）所引起的振动为
在
c 中，令ζ ＝1，则 2m
故
c 2 m 2m k r 1 1
阻尼系数 临界阻尼系数
c cr

称为阻尼比，是反映阻尼情况的基本参数 3.对于ζ >1的情形
体系在自由反应中，仍不出现振动现象。由于在实际问题中很 少遇到这种情况，故不作进一步讨论。
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当振动n周后
y y y n 1 y 0 0
n
2
2.考虑ζ =1的情况（即临界阻尼情况） 由
1,2 y 2 y y 0 因此，微分方程 的解为
2
，得 1
t y C C t e 1 2
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y e
t
由于冲量 S mv ，故在初始时刻由冲量S引起的振动为 0
r
v0
sinrt
y e
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t
S sin rt m r
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2) 任意荷载FP(t)的加载过程可以看作由一系列瞬时冲量所组成。
在由t=t 到t =t +dt 的时段内，荷载的微分冲量 d 。 S F t d t P 此dS引起的动力反应(对于t>t)为
t
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et 称为衰减系数。
v y t 0 0 y e y cos t sin t r r 0 r
设
v0 y0 a cos r
t y e a sin( t ) r
可见，低阻尼时（ λ ＜1时）仍属周期运 动，但不是简谐运动 （因为不是常数，t是 变量），是周期性的 衰减运动。
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【讨论】下面讨论两个问题： (1)阻尼对自振频率的影响
2 1 r
运动方程为
m yc yk y F t 1 1 P
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12.5.3 有阻尼的自由振动（单自由度体系）
研究有阻尼的自由振动，其目的在于：
1) 求考虑阻尼的自振频率ωr或自振周期Tr。
2) 求阻尼比ζ，由其大小可知道结构会不会产生振动（ ζ ＜1， 结构才考虑振动），振动衰减的快慢（ ζ 越大，衰减速度越 快）。
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T r y y e e e k 1k
t T t k r k
对上式等号两边倒数（分子与分母换位后）取自然对数，
y 2 π T k r ln ln e T r y k 1 r
12.5 阻尼对振动的影响
12.5.1 关于阻尼的定义
阻尼是使振动衰减的因素，或使能量耗散的因素。
振动中的阻尼力有多种来源，例如:
1) 结构与支承之间的摩擦。 2) 结构材料之间的内摩擦。 3) 周围介质的阻力等。
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12.5.2 粘滞阻尼理论
yk 1 ln 2πn ykn
令 ln
yk ，则 yk n
2πn
工程上通过实测yk及yk+n来计算ζ。
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关于求体系振动n周后的振幅
yn
，其计算式为
y 1 T T n ln 0 y y y y e 1 0 n 0 e 2πn y （当n=1） n
2
y0 a sin
v y y 2 1 0 0 0 r a y , tan 0 v y r 0 0
则
t y e a sin( t ) r
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