2018北京市高三期末数学分类汇编之数列(文)

2018北京市高三期末数学分类汇编之数列（文）
（一）试题细目表
1.（2018·石景山期末·12）
在数列{}n a 中,12a =，且对任意的*
,m n N ∈有m n m n a a a +=⋅,则6_____a =.
2.（2018·西城期末·16）
已知数列{}n a 是公比为1
3
的等比数列，且26a +是1a 和3a 的等差中项．
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}n a 的前n 项之积为n T ，求n T 的最大值．
3.（2018·丰台期末·17）等差数列{}n a 中，25a =，1412a a +=，等比数列{}n b 的各项均为正数，且满足
12n a n n b b +=.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及数列{}n b 的公比q ； （Ⅱ）求数列{}n n a b +的前n 项和n S .
4.（2018·石景山期末·15）已知数列{}n a 为递增的等比数列，148a a ⋅=，236a a +=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）记21log n n n b a a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .
5.（2018·东城期末·15）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且11=2a b =，3522a a +=，246b b b =. （Ⅰ）数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设n n n c a b =−，求数列{}n c 前n 项和.
6. （2018·朝阳期末·16）已知由实数构成的等比数列{}n a 满足1a =2，135a a a ++=42． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求2462...n a a a a ++++．
7.（2018·海淀期末·15）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且25a =，37S a =. （Ⅰ）数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若=2n a n b ，求数列{}n n a b +前n 项和.
8.（2018·通州期末·17）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11
2
a =
，121n n a S +=+. （Ⅰ）求2a ，3a 的值；
（Ⅱ）设221n n b a n =−−，求数列{}n b 的前n 项和n T .
9.（2018·昌平期末·15）已知等差数列的公差为1，且成等比数列. （Ⅰ）求数列
的通项公式；
（Ⅱ）设数列，
求数列的前项和.
10.（2018·房山期末·16）已知等差数列{}n a 中，63=a ，2685=+a a ．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n b n
a n +=2
，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
{}n a d 134,,a a a 5
2
n a n b n
+=+{}n b n n S
数学试题答案
（二）试题解析 1.
【答案】64 2.
【答案】解：（Ⅰ）因为 26a +是1a 和3a 的等差中项，
所以 2132(6)a a a +=+． [ 2分]
因为数列{}n a 是公比为1
3
的等比数列，
所以 1112(
6)39
a a
a +=+， [ 4分] 解得 127a =． [ 6分]
所以 1411
()3n n n a a q −−=⋅=． [ 8分]
（Ⅱ）令1n a ≥，即41
()13
n −≥，得4n ≤， [10分]
故正项数列{}n a 的前3项大于1，第4项等于1，以后各项均小于1． [11分] 所以 当3n =，或4n =时，n T 取得最大值， [12分] n T 的最大值为 34123729T T a a a ==⋅⋅=． [13分]
3.
【答案】解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d .
依题意111
5312a d a a d +=⎧⎨++=⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩.
所以21n a n =+.
设等比数列{}n b 的公比为q ， 由2112n n n b b ++=，得23122n n n b b +++=.
因为2
1221n n n n n n b b b q b b b ++++==，且2312211242
n n n n n n b b b b +++++==，所以24q =.
因为数列{}n b 的各项均为正数，所以2q =. （Ⅱ）因为2112n n n b b ++=， 令1n =，得3122b b =， 因为231211122b b b b q b ===， 所以12b =，所以1222n n n b −=⋅=.
所以()()()1122n n n S a b a b a b =++++++=L ()()1212n n a a a b b b +++++++L L
()()212321212
n n n ⋅−++⋅=+=−21222n n n +++−.
所以21222n n S n n +=++−. 4.
【答案】解：（Ⅰ）由14238a a a a ⋅=⋅=及236
a a +=
…………2分
得2324a a =⎧⎨
=⎩或322
4
a a =⎧⎨=⎩（舍） …………4分
所以
3
2
2a q a ==，11a = 所以11
12n n n a a q −−==
…………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得121log 2n n n n b a a n −+=+=+
…………7分
所以12n n T b b b =++⋅⋅⋅+
011(222)(12)n n −=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ …………9分
12(1)122
n n n −+=+−
2212
n
n n +=−+
…………13分
5.
【答案】解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ． 因为354222a a a +==，所以41123a d ==+．
解得d =3． 又因为241565b b b b b qb ===，所以12q b ==．
所以31,2,*n n n a n b n N =−=∈． ……………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，31,2,*n n n a n b n N =−=∈．
因此=312n n n n c a b n =−−−
数列{}n a 前n 项和为2(231)322n n n n
+−+=．
数列{}n b 的前n 项和为
12(12)
2212
n n +−=−−． 所以，数列{}n c 前n 项和为
21
322,*2
n n n n N ++−+∈． ………13分 6.
【答案】解：（Ⅰ）由1135=2a a a a ⎧⎨++=42
⎩可得24
2(1)42q q ++=.
由数列各项为实数，解得，.
所以数列的通项公式为或. …………………7分
（Ⅱ）当时，24624(14)4...=(41)143
n n
n a a a a −++++=⋅−−；
{}n a 2
4q =2q =±{}n a 2n n a =1
(1)
2n n n a −=−⋅2n
n a =
当时，2462(4)(14)4
...=(14)143
n n n a a a a −⋅−++++=⋅−−.…13分
7.
【答案】解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d
⎩⎨
⎧+=+=+d a d a d a 6335
11
1，解得31=a ，2=d ------------------------3分 由d n a a n )(11−+=，则12+=n a n ------------------------5分 因此，通项公式为12+=n a n .
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：12+=n a n ，则122+=n n b
42
2121
121==++++n n n n b b )(------------------------7分 因为3
128b ==，------------------------8分
所以{}n b 是首项为8，公比为4=q 的等比数列.------------------------9分 记{}n n b a +的前n 项和为n T ，则
)()()(n n n b a b a b a T ++⋅⋅⋅++++=2211
)()(n n b b b a a a +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=2121------------------------10分
q
q b a a n n n −−+
+=11211)
()(------------------------12分 3
14822
)(−++=n n n ---------------------13分
8.
【答案】（Ⅰ）因为11
2
a =，121n n a S +=+，所以2113211.2a S a =+=+=
所以23
.4
a =
……………………2分 所以32129211.4
a S a a =+=++= 所以39
.8
a =
……………………4分 （Ⅱ）因为121n n a S +=+，所以121n n a S −=+，()2n ≥
1
(1)
2n n
n a −=−⋅
所以1122.n n n n n a a S S a +−−=−=所以
13
.2
n n a a +=……………………7分 因为
213
.2
a a =……………………8分 所以数列{}n a 是首项11
2
a =
，公比是32的等比数列.
所以1
13.22n n a −⎛⎫
=⋅ ⎪
⎝⎭
因为221n n b a n =−−，所以1
32 1.2n n b n −⎛⎫
=−− ⎪
⎝⎭
……………………9分
所以12n n T b b b =++
+
1
1
3333521222n n −⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=−+−++−− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()()01
1
3333521222n n −⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++
+−++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝
⎭
()()01
1
3333521222n n −⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++−++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝
⎭
()312423212
n
n n ⎛⎫
− ⎪+⎝⎭=−−2322 2.2n
n n ⎛⎫=−−− ⎪⎝⎭ 所以数列{}n b 的前n 项和2322 2.2n n
n n T ⎛⎫
=−−− ⎪⎝⎭
……………………13分
9.
【答案】解：（Ⅰ）在等差数列中，因为成等比数列，
所以 2314a a a =， 即 22111+2)3a d a a d =+（，
解得2
140a d d +=. 因为1,
d =
所以14,a =− 所以数列
的通项公式5n a n =−. ……………6分
{}n a 134,,a a a
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,
所以. 得
123231(2222)(123)
2(12)(1)=122
(1)
22
2
n n
n n n S b b b b n n n n n +=++++=+++
+++++
+−++−+=+−
……………13分
10.
【答案】解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则
⎩⎨
⎧=+++=+26
746
2111d a d a d a 解得⎩⎨
⎧==2
2
1d a ．
所以()112n a a n d n =+−=． …………………7分 （Ⅱ）由（I ）可得n n b n n
n +=+=42
2
所以()
()2
344214-14-142
1n n n n s n n n ++−=++=+． …………………13分
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5n a n =−5
2
2n a n n b n n +=+=+。