应用力学学报-弹性梁式 薄板在横向绕流中的大 变形

x 弯曲应力 ∃ 图 4 是上述条件下 ∃ x 沿 x 轴的变化曲线。 由图
可知 , 当流体以恒速运动绕流悬臂梁式薄板时 : ∃x 的 数值由固定端沿 x 轴单调递减至零 ; 越临近固定端 , 弯曲应力 ∃ x 曲线的梯度越大。 综上所述, 流速、 板的几何尺寸、 材料属性对位 移和应力的影响都很明显 : 横向位移、 纵向位移的绝
066004
摘要: 采用相容拉格朗日 欧拉( UL E) 法 , 给出了弹性薄板理想流体横向绕流条件下变形与应力的 理论算法, 其中 : 对固体采用拉格朗日法 ; 对流体采用欧拉法 ; 对相互接触面采用拉格朗日法和欧拉 法。建立了不间断横向绕流条件下弹性梁式薄板的大弯曲变形的非线性微分方程 。 求解该方程 时, 将纵向位移分量和曲率的改变量用挠度表示。 通过具体算例分析了各参数对悬臂梁式薄板挠 度、 纵向位移及应力大小的影响。理论解与数值解进行比较 , 验证了理论解的可靠性 。 关键词 : 流固耦合; 相容拉格朗日 欧拉 ( UL E) 法 ; 梁式板; 挠度 ; 纵向位移 ; 应力 中图分类号 : O33; T B12 文献标识码: A 结合这两种方法。其优点在于: 在求解流固耦合问 题时, 可以直接利用流体力学和固体力学中的基本 方程。在接触面上应用这两种描述方法 , 建立接触 面的运动学条件和动力学条件, 从初始状态下表面 接触条件的导出到运动状态下接触条件的确定, 通 过动力学方程、 边界条件就可以使这两种方法相互 联系起来。采用此法建立有关的流固耦合方程和关 系式, 可方便地求解壳体的内力和变形及流场流动 状态的变化。 本文应用 UL E 法, 求解了弹性悬臂梁式薄板在 理想流体横向绕流条件下的变形和应力, 并讨论了流 速、 板的几何尺寸、 材料性质对变形和应力的影响。
2 * * *
2 x [ 10] 曲率改变量的表达式为
2 2 11
w+ u w- u 2 2 x x x x 由于薄板的中面相对伸长量为零 , 有 =∀ 11 =
2
w 2 x
( 7)
图1
悬臂长板绕流示意图
u + 1 ( u) 2 + 1 ( w ) 2 = 0 x 2 x 2 x u 式 ( 8) 舍掉 后, 得到 x u = - 1 ( w ) 2[ 1 + 1 ( w ) 2 ] x 2 x 4 x w 式 ( 9) 代入式( 7) , 舍掉 的高次项得到 x 2 w [ 1 + 1 ( w ) 2] 11 = x2 2 x
z # #x - # # - 2 #z [ 2V cos e b - B e b ] b b b
= 1 (p + u p + w p + w D x z 2
z
3
= 0
接触面的动力条件 Zi = 0,
*
Z3 = p + u
p + w x
p w + z 2
2
2
p z2
( 4)
( 12)
式中 Z* i ( i = 1, 2 ) 为流体压力分别在坐标轴 x 、 y上 的投影。 非线性方程式 ( 3) 和式 ( 4 ) 区别于小变形的表 面运动条件和动力条件 , 主要在于它含有 x 轴方向 的位移分量 u, 增加了求解的难度。 悬臂薄板大变形的弯曲方程为 N + x
2
w
z
2
+ u
)- w z x 2
*
2
2
3
p ) ( 11) 2 z 式 ( 11) 即为横向绕流条件下弹性悬臂长薄板的弯 ( 3) 曲方程。 作为满足边界条件的函数, 可取 A 3 2 2 3 5 w = ( 20 b x - 10 b x + x ) 60b4 式中 A 为无量纲待定常数。 将式( 12 ) 代入式( 9) 并积分 , 有 A 2 64 6 3 36 4 5 5 4 u= ( b x + b x - 24 b x + 288b 8 3 5 8 b3 x 6 - 12 b 2 x 7 ) A4 (- 368b 8 x 9 3 7 165888 b16 608b9 x 8 + 13824 b 10 x 7 - 2048b 11 x 6 + 4096 b12 x 5 ) 7 5 ( 13) 为满足无限远处条件式 ( 2) , 设 的表达式为 z #x - # = V z + B cos e b ( 14) b 其中 B 为无量纲待定常数。 由式 ( 1) 第二式有 p = p + 1 2 B
1 引
言
作为流固耦合问题的研究 , 多见结构在流场中 的振动和稳定性问题的报道, 如文献[ 1 3] 研究了圆 柱振动问题 , 文献 [ 4 6] 研 究了流体中 板的振动 问 题。此外, 文献 [ 7] 考虑横向剪切变形及流固耦合效 应时 , 建立了迭层板 的非线性动力 屈曲控制方程。 文献 [ 8] 介绍了板垂向位移与流体相互耦合的频域 分析方法等等。而处于流场中结构的变形问题的报 道却很少见。对于求解流固耦合问题所遇到的最大 困难 , 就在于采用统一坐标系及两相界面的协调问 题。两相界面的位形事先未知 , 开始重合的点将随 运动固体点的变形而发生位移。如何协调界面点的 非线性耦合问题 , 比起单纯固体或流体非线性问题 来, 具有特殊的难度。由于非线性 , 叠加原理失效 , 必须探讨全场求解的途径 [ 9] 。 为了解决非线性流体弹性力学问题理论解的困 难, 文献[ 10] 提出了相容拉格朗日 欧拉 ( U LE ) 法 , 即研究弹性薄壳和流体相互作用时 , 壳体采用拉格 朗日法描述 , 流体采用欧拉法描述 , 在相互接触面处
第 26 卷
第2期
应
用
力学学来自报Vo l. 26
No. 2
2009 年 6 月
CHINESE JOURNAL OF APPLIED MECHANICS
Jun. 2009
文章编号 : 1000 4939( 2009) 02 0304 04
弹性梁式薄板在横向绕流中的大变形
郝亚娟
( 燕山大学
*
白象忠
秦皇岛 )
2
= 0 2 [ V 2 - ( ! ) 2] (z ∀ ( 1)
p = p + 无限远处的条件 = V z, 接触面的运动条件[ 10]
2 2
w ) 2] } , x 1 2w 2 ( ) 2 x2
2 2
4
) u) ( + x z
( 2)
w 1 + x4 2
w( + u + w ) - ( 1+ x x x2 x z
( 8)
( 9)
( 10)
x 方向的位移 u 和曲率改变量 11 均用挠度 w 表 示 , 将式 ( 4) 和式( 10) 代入式( 6 ) , 得 D ( 2w ) 2[ 1 + ( w ) 2] , N* 11 = x 2 x2 Q* 1 = - D w[1+ 1 ( 2 2 x 2 2 w w 2 [ ( ) ]+ x2 x2 x x {
x 随流速的增大而增大 ; 对值和固定端处弯曲应力 ∃
横向位移、 纵向位移的绝对值随板厚的减少而增大, 固定端弯曲应力 ∃x 随 b 的增加变化不明显; 横向位 移、 纵向位移的绝对值和固定端弯曲应力 ∃x 随 E 的 减小而增大。
第 2 期
郝亚娟 , 等 : 弹性梁式薄板在横向绕流中的大变形
307
4
数值模拟
5
结 论
为验证理论分析的正确性 , 采用 ANSYS 软件 进行数值模拟。 取b= 0 ∀ 8m , V = 0∀ 06m ∃ s- 1 , h = 0 ∀ 001m, 选择多物理场 M ult iphysics 模块 , 自动划 分单元。 图 5 和图 6 是 h = 0∀ 001m 时悬臂薄板的位移等 值矢量图和应力分布图, 从图中可以看出, 数值模拟 的最大挠度值为 0 ∀ 01605m, 而理论值为 0∀ 01684m, 二 者误差为 4 ∀ 7% , 数值模拟的最大应力值为 10 ∀ 3MPa, 而理论值为 10 ∀ 5MPa, 二者误差为 1 ∀ 9% 。
* 11 11 *
Q 1 = 0,
* 11
Q x
* 1
11
N 11 = - Z 3 , ( 5)
*
*
M * - Q1 = 0 x 其中
11
为曲率改变量。
力矩和曲率的改变量满足关系式 M* 11 = D 11 其中 : D = Eh 为板的弯曲刚度, E 和 ! 分别 2 12 ( 1 - ! )
3
为板的弹性模量和泊松系数, 将其代入式 ( 5) , 可得
修回日期 : 2008 10 07
第一作者简介 : 郝亚娟 , 女 , 1977 年生 , 燕山大学理学院 , 博士生 ; 研究方向 ! ! ! 耦合场理论。 E mail: moonhyj@ si na. com. cn
第 2 期
郝亚娟 , 等 : 弹性梁式薄板在横向绕流中的大变形
2 11
305
2 [ 12] 2
Ez ( w + ! w ) 2 2 2 1- ! x y
A ( 2b 3 - 3b 2 x + x 3 ) Eh 2 2( 1 - ! ) 3 b4
3
算例及参数分析
若梁式薄板由不同材料所制, 其各弹性常数如
下。 低碳钢: E = 200GPa ; != 0 ∀ 3。 铜: E = 100GPa ; != 0 ∀ 33 。 铝: E = 70GPa ; != 0∀ 33。 设: b = 0 ∀ 8m ; 3 = 1000kg ∃ m ; p = 0。 3 ∀1 横向位移 w 将参数 A 的值代入式 ( 12) , 即可计算出横向位 移w 。 图 2 是不同流速, 不同几何尺寸和不同材料弹 性悬臂梁式板的挠度 w 沿 x 轴的变化曲线。 由图可 知, 当流体以恒速运动绕流悬臂长薄板时 : 挠度 w 由固定端沿 x 轴单调递增 ; 越远离固定端 , 挠度曲线 的梯度越大。 3 ∀ 2 纵向位移 u 图 3 为上述条件下, 纵向位移 u 沿 x 轴的变化曲 线。 由图可知, 当流体以恒速运动绕流悬臂 长薄板 时: u 沿 x 轴单调变化 , 其数值为负; u 的绝对值由固 定端沿 x 轴单调递增 ; 越远离固定端, 纵向位移曲线 的梯度也越大。 3 ∀3
11
x = b 边自由
* * N* 11 ( x ) = Q 1 ( x ) = M 11 ( x ) = 0
Q* 1 = D
2 11 2
x +
,
3 11
N* 11 = - D =Z* 3 D
2
, ( 6)
其中 : u 和 w 分别为薄板位移矢量在 x 轴和 z 轴的投 影; N 11 、 Q1 、 M 11 分别为薄板变形后内力中的轴力、 剪力、 弯矩。 求解在连续理想不可压缩的横向绕流条件下 , 弹性梁式薄板大变形时的挠度和应力状态。 设 : 流体 压力为 p ; 流体为定常势流; 无穷远处( z ∀ ) 流体 的压力、 密度、 速度分别 为 p 、 、 V 。 对 于薄板的 变 形: 认为中面不可 延伸; w h w ; w # 5[ 11] 。 在上述指 b h 定状态下, 流体运动的速度 势 满足以下各式。 方程组 !
1) 采用相容拉格朗日 欧拉( UL E) 法, 建立理想流 体连续横向绕流条件下弹性悬臂梁式薄板的非线性 弯曲变形方程 , 可方便有效地对弹性薄板的流固耦 合问题求解。 2) 将纵向位移分量和曲率改变量用挠度表示, 可 减少求解问题变量的个数。 3) 给出了流体流速、 梁式板的材料、 板的几何尺寸 的变化对梁式板的横向位移、 纵向位移的绝对值和 弯曲应力的影响和变化趋势。 参
2
弹性悬臂长薄板大变形问题 的基本方程
如图 1 所示 , 厚度为 h 的弹性梁式薄板 ( 0 b, < y< + x )。 悬臂梁式薄板的边界条件为 w( x) = 0 x
x = 0 边固定 u( x ) = w ( x ) =
*
基金项目 : 河北省自然科学基金 ( A 2006000190)
来稿日期 : 2008 01 04
( 15) 将式 ( 12) ~ 式 ( 15 ) 代入式 ( 3) 和 式 ( 11) , 在
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应
用
力
学
学
报
第 26 卷
[ 0, b] 区间积分 , 得 0 ∀ 0255 A2 + bA = b 1 [ p b+ AB D
#h #h
3
V e2b ( 0 ∀ 0355 - 0∀ 0207b) ] ,
2
#h
#h
0 ∀ 0002A B e 2 b - 0 ∀ 1463A B e 2b 0 ∀ 4493A 3 B e 2 b - V b( 0∀ 019 A 2 - 1) = 0 ( 16) 方程组中只考虑了 B 的一阶项, 而 A 不高于三阶。 当 流体和板的参数给定后式 ( 16) 是一个关于 A 和 B 的 非线性方程组, 可采用数值方法求解。 挠度 w 以及沿 板宽方向的位移 u 的表达式被完全确定了。 应力分量 ∃ x 的表达式为 ∃ x = =
01001m时悬臂薄板的位移等值矢量图和应力分布图数值模拟的最大挠度值为0101605m而理论值为0101684m者误差为41数值模拟的最大应力值为1013mpa而理论值为1015mpa二者误差为11应该指出数值模拟和理论分析的结果稍有偏差原因之一是由于解析法确认流体为理想流体建立理想流体连续横向绕流条件下弹性悬臂梁式薄板的非线性弯曲变形方程可方便有效地对弹性薄板的流固耦合问题求解