河北省邯郸市高三数学上学期9月摸底试卷 理(含解析)

2015-2016学年河北省邯郸市高三（上）9月摸底数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知i是虚数单位，若在z（1+2i）=i，则z的虚部为（）
A．B．﹣C．D．﹣
2．已知，则A⊂B的充要条件是（）
A．（，+∞）B．0＜a＜C．0＜a≤1D．a＞l
3．已知双曲线C：的右焦点F到渐近线和直线的距离之比为2：1，则双曲线的渐近线方程为（）
A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x
4．已知=（）
A．﹣B．C．﹣D．
5．阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）
A．B．C．D．
6．在正方体ABCD﹣A1 B l C1D1中，AB=2，点A，B，C，D在球O上，球O与BA1的另一个交点为E，且AE⊥BA1，则球O的表面积为（）
A．6πB．8πC．12π D．16π
7．非零向量，夹角为120°，且|﹣|=1，则|+|的取值范围为（）A．（1，] B．[，1）C．（，1）D．[，3]
8．已知1﹣x+x2﹣x3+…+x8=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a n（x+1）8，则a2=（）
A．120 B．84 C．72 D．48
9．已知函数f（x）=cos2x+2sinxcosx，则下列说法正确的是（）
A．若f（x1）=f（x2），则x1﹣x2=kπ，k∈Z
B．f（x）的图象关于点（，0）对称
C．f（x）的图象关于直线对称
D．f（x）的图象向右平移个单位长度后得
10．已知椭圆E：，直线l交椭圆于A，B两点，若AB的中点坐标为（，﹣1），则l的方程为（）
A．2x+y=0 B．C．2x﹣y﹣2=0 D．
11．某几何体的三视图，如图所示，则该几何体的体积为（）
A．7﹣B．7﹣C．6﹣D．6﹣π
12．已知函数f（x）=，若函数f（x）的图象在点A、B处的切线重合，则a
的取值范围是（）
A．（﹣1，+∞）B．（﹣ln2，+∞）C．（﹣2，﹣1）D．（1，2）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.
13．若f（x）=e x﹣ae﹣x为奇函数，则f（x﹣1）＜e﹣的解集为．
14．某个部件由3个型号相同的电子元件并联而成，3个电子元件中有一个正常工作，则改部件正常工作，已知这种电子元件的使用年限ξ（单位：年）服从正态分布，且使用年限少于3年的概率和多于9年的概率都是0.2．那么该部件能正常工作的时间超过9年的概率
为．
15．已知由不等式组（k≤0）确定的平面区域Ω的面积为7，点M（x，y）∈Ω，则z=+y的最大值是．
16．已知函数f（x）=﹣x2+2x，g（x）=，关于x的方程g（x）=t对于任意的t＜1都恰有两个不同的解，则实数a取值集合是．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且b=2，a＞c．（1）求ac的值．
（2）若△ABC的面积S=，求a，c的值．
18．已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足a=2S n+n+4，且a2﹣1，a3，a7
恰为等比数列{b n}的前3项．
（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（2）令c n=﹣，求数列{c n}的前n项和T n．
19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAC⊥底面ABCD，BC=CD=，∠ACB=∠ACD=．（1）证明：AP⊥BD；
（2）若AP=，AP与BC所成的余弦值为，求二面角A﹣BP﹣C的余弦值．
20．2015年高中学业水平考试之后，为了调查同学们的考试成绩，随机抽查了某高中的高二一班的10名同学的语文、数学、英语成绩，已知其考试等级分为A ，B ，C ，现在对他们的成绩进行量化：A 级记为2分，B 级记为1分，C 级记为0分，用（x ，y ，z ）表示每位同学的语文、数学、英语的得分情况，再用综合指标w=x+y+z 的值评定该同学的得分等级．若w≥4，则得分等级为一级；若2≤w≤3．则得分等级为二级；若0≤w≤1，则得分等级为三级．得到如下结果： 人员编号 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 A 9 A 10 （x ，y ，z ） （1，1，2） （2，1，1） （2，2，2） （0，0，1） （1，2，1） （1，2，2） （1，1，1） （1，2，2） （1，2，1） （1，1，1） （Ⅰ）在这10名同学中任取两人，求这两位同学英语得分相同的概率；
（Ⅱ）从得分等级是一级的同学中任取一人，其综合指标为a ，从得分等级不是一级的同学中任取一人，其综合指标为b ，记随机变量X=a ﹣b ，求X 的分布列及其数学期望．
21．已知抛物线C 1：y 2
=x 的焦点与抛物线C 2：x 2
=2px （p ＞0）的焦点之间的距离为
．
（1）求抛物线C 2的标准方程；
（2）设C 1与C 2在第一象限的交点为A ，过A 的斜率为k （k ＞0）的直线l 1与C 1的另一个交点为B ，过A 与l 1垂直的直线l 2与C 2的另一个交点为C ，设m=
，试求m 的取值范围．
22．已知f （x ）=e x
，g （x ）=x ﹣m （m ∈R ），设h （x ）=f （x ）•g（x ）． （Ⅰ）求h （x ）在[0，1]上的最大值．
（Ⅱ）当m=0时，试比较e f （x ﹣2）
与g （x ）的大小，并证明．
2015-2016学年河北省邯郸市高三（上）9月摸底数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知i是虚数单位，若在z（1+2i）=i，则z的虚部为（）
A．B．﹣C．D．﹣
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．
【解答】解：z（1+2i）=i，
∴z（1+2i）（1﹣2i）=i（1﹣2i），
∴z=，
则z的虚部为，
故选：A．
【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．已知，则A⊂B的充要条件是（）
A．（，+∞）B．0＜a＜C．0＜a≤1D．a＞l
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【专题】计算题；集合．
【分析】化简集合A，B，利用A⊂B，即可得出结论．
【解答】解：由题意，2x﹣1≥0，∴x≥0；x2+lga≥lga，
A⊂B时，lga≤0，
∴0＜a≤1．
故选：C．
【点评】本题考查集合的包含关系，考查学生的计算能力，比较基础．
3．已知双曲线C：的右焦点F到渐近线和直线的距离之比为2：1，则双曲线的渐近线方程为（）
A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用已知条件求出双曲线的焦点坐标，列出方程得到ab的关系，然后求出双曲线的渐近线方程．
【解答】解：由题意双曲线的渐近线方程为：y=±，F（c，0）到渐近线的距离为：
=b，
到直线的距离为：c﹣=，
双曲线C：的右焦点F到渐近线和直线的距离之比为2：1，可得：b：，可得c=2b，∴a=，
双曲线的渐近线方程为：y=．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
4．已知=（）
A．﹣B．C．﹣D．
【考点】两角和与差的余弦函数．
【专题】三角函数的求值．
【分析】由条件利用两角和的正弦公式求得sin（a﹣）=，再利用二倍角的余弦公式求得cos（2a﹣）的值．
【解答】解：∵sin（a+）﹣cosa=sina•+cosa•﹣cosa=sin（a﹣）=，
故cos（2a﹣）=1﹣2=1﹣2×=，
故选：D．
【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．
5．阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）
A．B．C．D．
【考点】程序框图．
【专题】图表型．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量x，y的值，最后输出的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过
程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．
【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：
是否继续循环 x y z
循环前/1 1 2
第一圈是 1 2 3
第二圈是 2 3 5
第三圈是 3 5 8
第四圈是 5 8 13
第五圈是 8 13 21
第六圈否
此时=
故答案为：
【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．
6．在正方体ABCD﹣A1 B l C1D1中，AB=2，点A，B，C，D在球O上，球O与BA1的另一个交点为E，且AE⊥BA1，则球O的表面积为（）
A．6πB．8πC．12π D．16π
【考点】球的体积和表面积．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】设与CD1的另一个交点为F，连结EF，DF，得BCEF是矩形，则三棱柱ABE﹣DCF是球O的内接直三棱柱，求出球O的半径，即可求出球O表面积．
【解答】解：设球O与CD1的另一个交点为F，连结EF，DF，可得BCEF是矩形，
则三棱柱ABE﹣DCF是球O的内接直三棱柱，
∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AE⊥BA1，
∴AE=BE=，
∴球O的半径R==，
∴球O表面积为：4πR2=4π•（）2=8．
故选：B．
【点评】本题主要考查球的表面积公式，以及球内接三棱柱的关系，考查空间想象能力以及计算能力．
7．非零向量，夹角为120°，且|﹣|=1，则|+|的取值范围为（）A．（1，] B．[，1）C．（，1）D．[，3]
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用．
【分析】由向量数量积的定义和性质，可得（﹣）2=||2+||2+||•||，再由基本不等式可得0＜||•||≤，即可得到所求范围．
【解答】解：非零向量，夹角为120°，且|﹣|=1，
即有（﹣）2=2﹣2•+2=2﹣2||•||cos120°+2
=||2+||2+||•||≥2||•||+||•||=3||•||，
即有0＜||•||≤，当且仅当||=||，取得等号．
则|+|==，
即有≤|+|＜1．
故选：B．
【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，以及基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．
8．已知1﹣x+x2﹣x3+…+x8=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a n（x+1）8，则a2=（）
A．120 B．84 C．72 D．48
【考点】二项式定理的应用．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理．
【分析】令x+1=t，可得1﹣（t﹣1）+（t﹣1）2 ﹣（t﹣1）3+…+（﹣1）8•（t﹣1）8=a0+a1t+a2t2+…+a8t8，从而求得a2的值．
【解答】解：令x+1=t，则x=t﹣1，故由题意可得1﹣（t﹣1）+（t﹣1）2 ﹣（t﹣1）3+…+（﹣1）8•（t﹣1）8=a0+a1t+a2t2+…+a8t8，
故 a2=+++…+=84，
故选：B．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
9．已知函数f（x）=cos2x+2sinxcosx，则下列说法正确的是（）
A．若f（x1）=f（x2），则x1﹣x2=kπ，k∈Z
B．f（x）的图象关于点（，0）对称
C．f（x）的图象关于直线对称
D．f（x）的图象向右平移个单位长度后得
【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】化简可得f（x）=sin（2x+），由三角函数的图象和性质逐个选项验证可得．【解答】解：化简可得f（x）=cos2x+2sinxcosx
=cos2x+sin2x=sin（2x+），
计算可得f（﹣）=f（）=0，
但﹣﹣=﹣≠kπ，故A错误；
当x=﹣时，2x+=﹣，
故x=﹣为函数的对称轴，故B错误；
当x=时，2x+=，
故x=为函数的对称轴，故C正确；
f（x）的图象向右平移个单位后得到
y=sin（2x﹣）的图象，故D错误．
故选：C
【点评】本题考查三角函数的图象和性质，涉及和差角的三角函数公式，属基础题．
10．已知椭圆E：，直线l交椭圆于A，B两点，若AB的中点坐标为（，﹣1），
则l的方程为（）
A．2x+y=0 B．C．2x﹣y﹣2=0 D．
【考点】直线与圆锥曲线的关系．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用“点差法”可求得直线AB的斜率，再利用点斜式即可求得直线l的方程．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（，﹣1）是线段AB的中点，
则x1+x2=1，y1+y2=﹣2；
依题意，，
①﹣②得：（x1+x2）（x1﹣x2）=（y1+y2）（y2﹣y1），
由题意知，直线l的斜率存在，
∴k AB==﹣×=，
∴直线l的方程为：y+1=（x﹣），
整理得：．
故直线l的方程为．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的简单性质与直线的点斜式方程，求直线l的斜率是关键，也是难点，着重考查点差法，属于中档题．
11．某几何体的三视图，如图所示，则该几何体的体积为（）
A．7﹣B．7﹣C．6﹣D．6﹣π
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】数形结合；数形结合法；立体几何．
【分析】由三视图可知该几何体为边长为2的正方体去掉两个底面为等腰直角三角形，高为2的直三棱柱，再去掉两个高为1的圆柱．
【解答】解：由三视图可知该几何体为边长为2的正方体去掉两个底面为等腰直角三角形，高为2的直三棱柱，再去掉两个高为1的圆柱．
∴该几何体的体积为23﹣﹣π×12×1×2=6﹣．
故选C．
【点评】本题考查了空间几何体的三视图和结构特征，分析几何体的构成是关键．
12．已知函数f（x）=，若函数f（x）的图象在点A、B处的切线重合，则a
的取值范围是（）
A．（﹣1，+∞）B．（﹣ln2，+∞）C．（﹣2，﹣1）D．（1，2）
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；分段函数的应用．
【专题】转化思想；构造法；导数的概念及应用．
【分析】先根据导数的几何意义写出函数f（x）在点A、B处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件列出关系式，从而得出a=lnx2+（﹣）2﹣1，最后利用导数研究它的单调性
和最值，即可得出a的取值范围．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
当x1＜x2＜0，或0＜x1＜x2时，f′（x1）≠f′（x2），故x1＜0＜x2，
当x1＜0时，函数f（x）在点A（x1，f（x1））处的切线方程为：
y﹣（x12+x1+a）=（2x1+1）（x﹣x1）；
当x2＞0时，函数f（x）在点B（x2，f（x2））处的切线方程为y﹣lnx2=（x﹣x2）；
两直线重合的充要条件是=2x1+1①，lnx2﹣1=﹣x12+a②，
由①及x1＜0＜x2得0＜＜1，
由①②得a=lnx2+（﹣）2﹣1=﹣ln+（﹣1）2﹣1，
令t=，则0＜t＜1，且a=（t﹣1）2﹣1﹣lnt，
设h（t）=（t﹣1）2﹣1﹣lnt，（0＜t＜1），
则h′（t）=（t﹣1）﹣=＜0，
∴h（t）在（0，1）为减函数，
则h（t）＞h（1）=﹣ln1﹣1，∴a＞﹣1，
∴若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，
a的取值范围（﹣1，+∞）．
故选：A．
【点评】本题主要考查了导数的几何意义等基础知识，考查了推理论证能力、运算能力、创新意识，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．若f（x）=e x﹣ae﹣x为奇函数，则f（x﹣1）＜e﹣的解集为（﹣∞，2）．
【考点】函数单调性的性质；函数奇偶性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据函数奇偶性的性质先求出a的值，结合函数单调性的性质进行求解即可．
【解答】解：∵f（x）=e x﹣ae﹣x为奇函数，
∴f（0）=0，即f（0）=1﹣a=0，
则a=1，
即f（x）=e x﹣e﹣x，则函数f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，
则f（1）=e﹣，
则不等式f（x﹣1）＜e﹣等价为f（x﹣1）＜f（1），
即x﹣1＜1，
解得x＜2，
即不等式的解集为（﹣∞，2），
故答案为：（﹣∞，2）．
【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质先求出a的值是解决本题的关键．
14．某个部件由3个型号相同的电子元件并联而成，3个电子元件中有一个正常工作，则改部件正常工作，已知这种电子元件的使用年限ξ（单位：年）服从正态分布，且使用年限少于3年的概率和多于9年的概率都是0.2．那么该部件能正常工作的时间超过9年的概率为
0.488 ．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】应用题；概率与统计．
【分析】利用使用年限少于3年的概率和多于9年的概率都是0.2，可得正态分布的对称轴为ξ=6，9年内每个电子元件能正常工作的概率为0.2．求出9年内部件不能正常工作的概率，即可求出该部件能正常工作的时间超过9年的概率．
【解答】解：∵使用年限少于3年的概率和多于9年的概率都是0.2，
∴P（0＜ξ＜3）=P（ξ＞9）=0.2，
∴正态分布的对称轴为ξ=6，
∴9年内每个电子元件能正常工作的概率为0.2．
∴9年内部件不能正常工作的概率为0.83=0.512，
∴该部件能正常工作的时间超过9年的概率为1﹣0.512=0.488．
故答案为：0.488．
【点评】本题考查概率的计算，考查正态分布、对立事件的概率，属于中档题．
15．已知由不等式组（k≤0）确定的平面区域Ω的面积为7，点M（x，y）∈Ω，
则z=+y的最大值是．
【考点】简单线性规划．
【专题】转化思想；数形结合法；不等式．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据阴影部分确定对应的面积，求出k的值，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．
【解答】解：依题意画出不等式组所表示的平面区域（如右图所示）
可知其围成的区域是等腰直角三角形面积为8，
由直线y=kx+2恒过点B（0，2），且原点的坐标恒满足y﹣kx≤2，
当k=0时，y≤2，此时平面区域Ω的面积为6，
由于6＜7，由此可得k＜0．
由，可得D（，），
依题意应有，
解得k=﹣1（k=3，舍去）
由z=x﹣2y得y=，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：
由z=+y得y=﹣+z
平移直线y=﹣+z，
由图象可知当直线y=﹣+z，过点D时，直线y=﹣+z截距最大，此时z最大，
由，解得，即D（﹣1，3）．
代入目标函数z=+y=﹣+3=．
∴目标函数z=+y的最大值是．
故答案为：
【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，先根据区域面积求出k的值，以及利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．
16．已知函数f（x）=﹣x2+2x，g（x）=，关于x的方程g（x）=t对
于任意的t＜1都恰有两个不同的解，则实数a取值集合是{2} ．
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【专题】计算题；数形结合；转化思想；函数的性质及应用．
【分析】通过当x≤a时，求出g（x，当a＜x≤a+1时，得到g（x）在（a，a+1]上的图象，然后分析判断交点个数．
【解答】解：当x≤a时，g（x）=f（x）=﹣x2+2x，当a＜x≤a+1时，a﹣1＜x﹣1≤a，
g（x﹣1）=f（x﹣1），又因为g（x）=g（x﹣1）﹣1．所以g（x）=f（x﹣1）﹣1，将
y=﹣x2+2x向左平移1单位，在向下平移1单位，可得y=﹣（x﹣2）2，可得g（x）在（a，a+1]上的图象，如图所示，
注意到点（2，0）在y=﹣x2+2x上，要使∀t＜1，g（x）=t只有两解，当a＞2或a＜2时，g （x）=t的解的个数不等于2个，不符合题意，
所以a=2，
又因为g（2）=0，g（3）=﹣1，所以可以保证在其余的位置当∀t＜1时，g（x）=t只有两解．故答案为：{2}．
【点评】本题考查函数的图象的应用，函数的零点个数的判断，考查计算能力．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且b=2，a＞c．（1）求ac的值．
（2）若△ABC的面积S=，求a，c的值．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】计算题；解三角形．
【分析】（1）由余弦定理化简已知等式可得：b2=ac，结合b=2，即可得解．
（2）由S=acsinB=×sinB=，可解得：sinB=，cosB=±，又由余弦定理可得
a2+c2=10，结合a＞c即可求得c，a的值．
【解答】解：（1）∵由余弦定理可得：cosA=，cosC=，
∴=，整理可得：b2=ac，
∵b=2，
∴ac=4．
（2）∵S=acsinB=×sinB=，
∴解得：sinB=，cosB=±，
又∵由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，
∴4=a2+c2﹣2×，解得：a2+c2=10或﹣2（舍去），
∵由（1）可得ac=4，
∴解得：c=2，或，
当c=2时，解得a=，当a=，解得：c=2（由a＞c舍去）．
故c=2，a=．
【点评】本题主要考查了扎西德勒，余弦定理，三角形面积公式的综合应用，解题时要注意结合已知条件舍去不合理的根，属于基本知识的考查．
18．已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足a=2S n+n+4，且a2﹣1，a3，a7
恰为等比数列{b n}的前3项．
（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（2）令c n=﹣，求数列{c n}的前n项和T n．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】方程思想；作差法；等差数列与等比数列．
【分析】（1）将n换为n﹣1，两式相减，可得a n+1﹣a n=1，即公差d=1，再由等比数列的性质和等差数列的通项公式，解方程可得a2=3，再由等差数列的通项公式可得通项；再由等比数列的定义和通项公式可得所求；
（2）求得c n=﹣=﹣=﹣（﹣），分别运用数列的
求和方法：错位相减法和裂项相消求和，计算即可得到所求和．
【解答】解：（1）当n=1时，a22=2S1+1+4=2a1+5，
当n＞1时，a n+12=2S n+n+4，①
可得a n2=2S n﹣1+n﹣1+4，②
①﹣②可得，a n+12﹣a n2=2a n+1，
即有a n+12=（a n+1）2，
数列{a n}的各项均为正数，
可得a n+1﹣a n=1，即公差d=1，
由a2﹣1，a3，a7恰为等比数列{b n}的前3项，
可得a32=（a2﹣1）a7，
即为（a2+1）2=（a2﹣1）（a2+5），解得a2=3，
则a n=a2+n﹣2=n+1；b1=a2﹣1=2，公比q===2，
则b n=b1q n﹣1=2n；
（2）c n=﹣=﹣=﹣（﹣），
前n项和T n=（1•+2•+…+n•（）n）﹣（﹣+﹣+…+﹣），
由F n=1•+2•+…+n•（）n，
F n=1•+2•+…+n•（）n+1，
两式相减可得， F n=+++…+（）n﹣n•（）n+1
=﹣﹣n•（）n+1
化简可得，F n=2﹣，
则T n=2﹣﹣（﹣）=﹣+．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法和裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．
19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAC⊥底面ABCD，BC=CD=，∠ACB=∠ACD=．（1）证明：AP⊥BD；
（2）若AP=，AP与BC所成的余弦值为，求二面角A﹣BP﹣C的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】（1）由∠ACB=∠ACD=，BC=CD．可得BD⊥AC．再利用面面垂直的性质可得BD⊥平面PAC，即可证明．
（2）连接BD与AC相交于点E，由于BC=CD=，∠ACB=∠ACD=．可得BD⊥AC，又BD ⊥平面PAC，分别以EB，EC为x，y轴，过点E与平面ABCD垂直的直线为z轴，则z轴⊂平面APC．设P（0，y，），由于AP与BC所成的余弦值为，可得
==，﹣3≤y≤0，解得y．可得P坐标，设平面ABP的法向量为=（x，y，z），利用，可得，同理可得平面BPC的法向量，利用=即可得出．
【解答】（1）证明：∵∠ACB=∠ACD=，BC=CD．∴BD⊥AC．
∵平面PAC⊥底面ABCD，平面PAC∩底面ABCD=AC，
∴BD⊥平面PAC，
∴BD⊥AP．
（2）解：连接BD与AC相交于点E，
∵BC=CD=，∠ACB=∠ACD=．
则BD⊥AC，
又BD⊥平面PAC，分别以EB，EC为x，y轴，过点E与平面ABCD垂直的直线为z轴，则z轴⊂平面APC．
可得B（，0，0），C（0，1，0），A（0，﹣3，0），设P（0，y，），=（﹣，1，0），=（0，y+3，）．
∵AP与BC所成的余弦值为，
∴===，﹣3≤y≤0，解得y=﹣1．
∴P（0，﹣1，），
∴=（﹣，﹣1，），=（，3，0），
设平面ABP的法向量为=（x，y，z），
则，∴，
取=．
同理可得：平面BPC的法向量=．
∴===．
∵二面角A﹣BP﹣C的平面角为钝角，
∴二面角A﹣BP﹣C的余弦值为．
【点评】本题考查了空间位置关系、空间角、向量的夹角关系、线面垂直与平行的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．2015年高中学业水平考试之后，为了调查同学们的考试成绩，随机抽查了某高中的高二一班的10名同学的语文、数学、英语成绩，已知其考试等级分为A，B，C，现在对他们的成绩进行量化：A级记为2分，B级记为1分，C级记为0分，用（x，y，z）表示每位同学的语文、数学、英语的得分情况，再用综合指标w=x+y+z的值评定该同学的得分等级．若w≥4，
则得分等级为一级；若2≤w≤3．则得分等级为二级；若0≤w≤1，则得分等级为三级．得到如下结果： 人员编号 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 A 9 A 10 （x ，y ，z ） （1，1，2） （2，1，1） （2，2，2） （0，0，1） （1，2，1） （1，2，2） （1，1，1） （1，2，2） （1，2，1） （1，1，1） （Ⅰ）在这10名同学中任取两人，求这两位同学英语得分相同的概率；
（Ⅱ）从得分等级是一级的同学中任取一人，其综合指标为a ，从得分等级不是一级的同学中任取一人，其综合指标为b ，记随机变量X=a ﹣b ，求X 的分布列及其数学期望． 【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 【专题】概率与统计．
【分析】（Ⅰ）在这10名同学中任取两人，基本事件总数n=
，10名学生中A 1，A 3，A 6，A 8
等4名学生的英语成绩都是2分，另外6名学生的英语成绩都是1分，再求出任取的两名学生的英语成绩相同的基本事件个数，由此能求出这两位同学英语得分相同的概率．
（Ⅱ）由已知条件求出X 的可能取值为1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，从而能求出X 的分布列数学期望．
【解答】解：（Ⅰ）在这10名同学中任取两人，基本事件总数n==45，
∵A 1，A 3，A 6，A 8等4名学生的英语成绩都是2分， 另外6名学生的英语成绩都是1分，
∴任取的两名学生的英语成绩相同的基本事件个数m==21，
∴这两位同学英语得分相同的概率p=
．
（Ⅱ）得分等级是一级的同学有A 1，A 2，A 3，A 5，A 6，A 8，A 9，
其中A 1，A 2，A 5，A 9的综合指标为4，A 6，A 8的综合指标为5，A 3的综合指标为6， 得分等级为二级的同学有A 4，综合指标为1，A 7，A 10，综合指标都是3， ∴X 的可能取值为1，2，3，4，5， P （X=1）=
=
，
P （X=2）==，
P （X=3）==，
P （X=4）==，
P （X=5）==，
∴X的分布列为：
X 1 2 3 4 5
P
X的数学期望EX==．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，在历年高考中这部分内容都是必考知识点，是中档题．
21．已知抛物线C1：y2=x的焦点与抛物线C2：x2=2px（p＞0）的焦点之间的距离为．
（1）求抛物线C2的标准方程；
（2）设C1与C2在第一象限的交点为A，过A的斜率为k（k＞0）的直线l1与C1的另一个交点为B，过A与l1垂直的直线l2与C2的另一个交点为C，设m=，试求m的取值范围．
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）由抛物线C1：y2=x的焦点与抛物线C2：x2=2px（p＞0）的焦点之间的距离为，可得p，进而得到抛物线C2的标准方程；
（2）设出直线AB的方程，联立抛物线C1：y2=x，运用韦达定理和弦长公式，求得|AB|，再
设直线AC的方程，联立抛物线方程x2=4y，运用韦达定理和弦长公式，可得|AC|，再求m的范围，即可得到．
【解答】解：（1）∵抛物线C1：y2=x的焦点与抛物线C2：x2=2px（p＞0）的焦点之间的距离为，
∴=，
∴p=2，
∴抛物线C2的标准方程x2=4y；
（2）由C1与C2在第一象限的交点为A，可得A（2，1），
由题意得直线AB的方程为y﹣1=k（x﹣2），联立抛物线C1：y2=x，消去y，
得k2x2+[2k（1﹣2k）﹣]x+（1﹣2k）2=0，
则x A x B=，
∵x A=2，∴x B=（k≠），
即有|AB|2=（1+k2）|x A﹣x B|=（1+k2）•|﹣2|，
直线AC的方程为y﹣1=﹣（x﹣2），联立抛物线方程x2=4y，消去y，得kx2+4x﹣8﹣4k=0，
∴x A x C=﹣4﹣，
∵x A=2，∴x C=﹣2﹣，
即有|AC|2=（1+）|x A﹣x C|=（1+）•|﹣2﹣﹣2|，
则有m2=（）2=|﹣4+|，
∵0＜＜5，≠4，
∴有0＜m＜．
【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，考查韦达定理，以及弦长公式，注意化简整理，属于中档题．
22．已知f（x）=e x，g（x）=x﹣m（m∈R），设h（x）=f（x）•g（x）．
（Ⅰ）求h（x）在[0，1]上的最大值．
（Ⅱ）当m=0时，试比较e f（x﹣2）与g（x）的大小，并证明．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【专题】分类讨论；导数的综合应用；不等式的解法及应用．
【分析】（Ⅰ）求出h（x）的导数，讨论m的范围，若m≤1，若1＜m＜2时，若m≥2时，求出函数的单调性，即可得到最大值；
（Ⅱ）当m=0时，求得g（x），对x讨论，①当x≤0时，②当x＞0时，求出单调性，结合零点存在定理和对数的运算性质，即可判断大小．
【解答】解：（Ⅰ）h（x）=（x﹣m）e x，h′（x）=（x﹣m+1）e x，
由0≤x≤1，h′（x）＞0可得0≤x≤1且x＞m﹣1；
若m≤1，h（x）在[0，1]递增，h（x）max=h（1）=（1﹣m）e；
若1＜m＜2时，h（x）在[0，m﹣1）递减，在[m﹣1，1]递增，
h（x）max=max{h（0），h（1）}，而h（1）﹣h（1）=m（1﹣e）+e，
当1＜m＜时，h（x）max=（1﹣m）e，
当≤m＜2时，h（x）max=﹣m；
若m≥2时，h（x）在[0，1]递减，h（x）max=h（0）=﹣m．
综上可得h（x）max=；
（Ⅱ）当m=0时，e f（x﹣2）=，g（x）=x，
①当x≤0时，显然有e f（x﹣2）＞g（x）；
②当x＞0时，lne f（x﹣2）=e x﹣2，lng（x）=lnx，
设φ（x）=e x﹣2﹣lnx，φ′（x）=e x﹣2﹣，
φ′（x）在（0，+∞）递增，而φ′（1）＜0，φ′（2）＞0，
φ′（x）在（0，+∞）有唯一的实数根x0，
且1＜x0＜2，e x0﹣2﹣=，φ（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，
φ（x）≥φ（x0）=e x0﹣2﹣lnx0=+x0﹣2=＞0，
即有φ（x）=e x﹣2﹣lnx＞0，即e x﹣2＞lnx，
即有e f（x﹣2）＞g（x）．
综上可得，e f（x﹣2）＞g（x）．
【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查构造函数运用导数判断单调性，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．。