2006线性代数复习题与答案(上)

线性代数复习题与答案（上）
1、 判断题：（正确打0，不正确打 ）
（1）对任意同阶方阵A 和B ，必有A B B A 0-=。

（ ） （2）对n 阶方阵A 和单位阵E , 若A A I 0()-=，则必有A 0=或A I =。

（ ） （3）若n 阶方阵A 可逆， 为任意实数，则11A A ()λλ--=。

（ ） （4）若A 为3阶方阵，则必有2A 2A =. ( ) （5）齐次线性方程组A x 0=只有零解的充要条件是A 的列向量线性无关。

（ 0 ） （6）向量组T T T 123=110, =001, =2,20(,,)(,,)(,)ααα是线性无关的。

（ ） 2、计算题：
（1）n 阶行列式01111
011D =11011
1
1
-=--1
(1)(1)n n ,
(2) 行列式23222
3
a
a a D =b
b b
c c c
=---()()()abc c a c b b a
（3）求3
1-12-5134D =
20111
5
3
3
----中(2,3)元素的代数余子式。

答： (2,3)元素的代数余子式为： 30。

（4）求0
178A=1
3382
5
1
8⎡⎤
⎢
⎥
⎢⎥⎢⎥---⎣⎦
的秩。

答：=()2R A 。

3、设矩阵1
01A =0201
1⎡⎤
⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎣⎦
，证明（1）2A =2A ，（2）87A 2A =0-。

4、设矩阵X 满足X A X B =+，其中010A =-1
11-10
-1⎡⎤
⎢
⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1
-1B =205-3⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
, 求X 。

答：1
()3
-1X = I A B =201
-1-⎡⎤
⎢⎥-⎢
⎥⎢⎥⎣⎦
5、设矩阵1
00A =2
253
4
5⎡⎤
⎢
⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，求1A *()-。

答：-=
=-
1()
10
1
A A *A A
6、设A 为2阶方阵，且A =2-，则=-82
A
= 4 , 2A 。

7、设A 为3阶方阵，且A =2，则--
1*2
-1
3A
2A =。

8、因为 k k 2
A (2)(1),=-+-为使A 的秩为2，必有0A =，即k 2k 1,=-=或。

容易看出，当k =1时，A 的秩为1，所以，当k 2=-时，A 的秩为2。

9、若12312,,,,αααββ都是四维向量，且行列式1231 m =αααβ，
1232 n =αααβ，求12123 ()+ααββα的值。

答：12123 ()+ααββα=+12131223 ααβαααβα =--=-+()1231
1232
m n αααβαααβ。

10、求方程组123412412341234 x 2x 3x x 5
2x 4x x 3x 2x 3x 2x 8 x 2x 9x 5x 21
+++=⎧⎪
+-=-⎪⎨--++=⎪
⎪+--=-⎩
的解。

答：令⎡⎤-⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎢⎥⎣⎦
*113212010,,13016020 ηξξ， 则方程组的通解为++∈1212*(,)12x = c c c c R ξξη
11、a 取何值时，线性方程组
123123123 x 2x x 12x 3x +a+2x 3 x + ax 2x 0
()++=⎧⎪
+=⎨⎪
-=⎩ 有唯一解，无解，有无穷多解？并在有无穷多解时，求其通解。

答：当≠-a 1，且≠3a 时，有唯一解； 当=-a 1时，无解；
当a = 3时，有无穷多解：-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
=+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
123733110x x k x
12、设123,,ααα是齐次线性方程组A x 0=的基础解系，
111222122331321t +t , t +t , t +t ===βααβααβαα
问常数12t t ,为何值时，向量组123,,βββ也是的基础解系。

答：当3
3
12t + t 0≠时，向量组123,,βββ也是的基础解系。