中考数学复习专题突破专题23 二次函数图象与性质(提升篇)(全国通用)(1)

专题23 二次函数图象与性质（提升篇）
纵观各省市中考题，二次函数为必考点，大题以压轴题形式出现，而压轴题往往分为两到三个小问题，第一问多以求二次函数解析式，二三小题多以图形变换相结合，另外考点以填空或选择题的形式出现，重在对学生二次函数的图象与性质作为考查点，鉴于此，二次函数为中考重中之中的复习内容，无论对中等生还是优秀学生都为巩固学习之内容，本专题从基础到综合，分为基础训练篇，巩固提升篇，以数形结合为主线，汇编一系列专题对学生补弱提优。

本专缉为老师提供有代表性的常考题，帮助学生为中考冲刺，力争学生能得以全面提升。

一、单选题
1．将函数()24+1y x =-+的图象向右平移2个单位．再向下平移4个单位．所得图象的对称轴是（ ）
A ．2x =-
B ．2x =
C ．4x =-
D ．3x =- 【答案】A
【分析】根据函数图象向右平移减，向下平移减，可得答案．
解：将y ＝﹣（x +4）2+1的图象向右平移2个单位，再向下平移4个单位，所得图象的函数表达式是y ＝﹣（x ﹣2+4）2+1﹣4，
即y ＝﹣（x +2）2﹣3．
所以对称轴为x ＝﹣2，
故选：A ．
【点睛】 本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移的规律是左加右减，上加下减．
2．若数a 使二次函数()2312
y a x x a =-+++的图像与y 轴的交点坐标为正数，且使关于x 的不等式组52113
2x a x x x +≤-⎧⎪+-⎨>⎪⎩有且只有4个整数解，则符合条件的所有整数a 的取值的和是（ ）
A ．-1
B ．0
C ．1
D ．2 【答案】C
【分析】根据二次函数图象与y 轴的交点纵坐标为正数可得a>32
-，再结合不等式组
521132x a x x x +≤-⎧⎪+-⎨>⎪⎩
有且只有四个整数解，求得a 的取值范围即可求得答案 ． 【详解】∵二次函数()2312
y a x x a =-+++的图象与y 轴的交点坐标为正数， ∴302
a +>且10a -≠， ∴32a >-
且1a ≠ ， 解不等式组521132x a x x x +≤-⎧⎪+-⎨>⎪⎩，得24a +≤x<5， ∵不等式组有且只有四个整数解
∴0<24
a +≤1 ， ∴-2＜a≤2， 综上，32
-＜a≤2且1a ≠， 所以符合条件的所有整数a 有-1，0， 2，
-1+0+2=1，
所以符合条件的所有整数a 的和为1，
故选C ．
【点睛】本题考查二次函数与y 轴的交点问题以及不等式组的求解.正确的计算出a 的取值范围是解题的关键．
3．已知二次函数222y x x k =-+-与x 轴两个交点坐标分别为1(0)x ，
，2(0)x ，，若()22112424x x x k ---=，则k 的值是（ ）
A ．2
B ．-1
C ．1
D ．-1或2
【答案】A
【分析】先根据二次函数与一元二次方程的联系可得12,x x 是关于x 的方程2220x x k -+-=的两个不相等的实数根，再根据一元二次方程根的定义、根与系数的关
系、根的判别式可得1212122,2x x k x x -=-+=和k 的取值范围，然后代入可得一个关于
k 的一元二次方程，解方程即可得．
【详解】由题意得：12,x x 是关于x 的方程2220x x k -+-=的两个不相等的实数根，
则211220x x k -+-=，即21122x x k -=-，
由根与系数的关系得：122x x +=，
由根的判别式得：2
(2)4(2)0k ∆=--->，解得1k >，
则()()221121112424282x x x x x x x ---=--++， 2228k =-⨯-+，
2k =+，
()22112424x x x k ---=，
22k k ∴+=，
解得2k =或11k =-<（舍去），
故选：A ．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的联系、一元二次方程根的定义、根与系数的关系、根的判别式等知识点，熟练掌握二次函数与一元二次方程的联系是解题关键． 4．已知二次函数21y ax bx =++（a ＜0）的图象过点（1，0）和（x 1，0），且﹣2＜x 1＜
﹣1，下列4个判断中：
①a +b =-1；①a ＞b ﹣1；①b ﹣a ＜0；①﹣1＜a ＜﹣12，正确的是（ ） A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．②③④ 【答案】B
【分析】①将（1，0）代入解析式中即可判断；
②根据﹣2＜x 1＜﹣1，结合a ＜0即可判断当x=-1时y 的值，即a -b+1的取值范围；
③由②得知对称轴的位置，求出b 的取值范围，然后即可判断③； ④由根与系数的关系得到12c x x a
=
，代入得到x 1和a 的关系，，然后结合﹣2＜x 1＜﹣1求解不等式即可判断．
【详解】①将（1，0）代入解析式，得01a b =++，即a +b =-1，
故①正确；
②∵a ＜0
∴抛物线在对称轴左侧时，y 随x 的增大而增大
∵﹣2＜x 1＜﹣1，另一交点为（1，0） ∴1022b a
-<-< ∴当x=-1时，y>0，即10a b -+>
∴1a b >-
故②正确； ③，由②得知1022b a
-<-<，且a ＜0 ∴b a >，即0b a ->
故③错误； ④由根与系数的关系得到121x x a =
∴11x a
= ∴121a
-<<-，解得﹣1＜a ＜﹣12 故④正确．
故选B ．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和系数的关系，根据系数判断式子正负是本部分的重难点题型，关键是熟记二次函数的性质．
5．将拋物线C ：y=2310x x +-平移到'C ，若两条拋物线C ，'C 关于直线x = 1对称，则下列平移方法中正确的是（ ）
A ．将抛物线C 向右平移1个单位
B ．将抛物线
C 向右平移3个单位 C ．将抛物线C 向右平移5个单位
D ．将抛物线C 向右平移6个单位
【答案】C
【分析】主要是找一个点，经过平移后这个点与直线x=1对称．抛物线C 与y 轴的交点为A （0，-10），与A 点以对称轴对称的点是B （-3，-10）．若将抛物线C 平移到C′，就是要将B 点平移后以对称轴x=1与A 点对称．则B 点平移后坐标应为（2，-10）．因此将抛物线C 向右平移5个单位．
【详解】∵抛物线C ：y=x 2+3x -10=(x+
32)2−494， ∴抛物线对称轴为x=-32
． ∴抛物线与y 轴的交点为A （0，-10）．
则与A 点以对称轴对称的点是B （-3，-10）．
若将抛物线C 平移到C′，并且C ，C′关于直线x=1对称，就是要将B 点平移后以对称轴x=1与A 点对称．
则B 点平移后坐标应为（2，-10）．
因此将抛物线C 向右平移5个单位．
故选：C ．
【点睛】本题主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
6．已知()13,y -，()22,y -，()31,y 是抛物线24y x =上的点，则（ ）
A ．123y y y <<
B ．312y y y <<
C ．321y y y <<
D ．231y y y <<
【答案】C
【分析】抛物线24y x =的对称轴为y 轴，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可． 解：抛物线24y x =的对称轴为直线x ＝0，
∵a ＝4＞0，
∴x ＝﹣3时，函数值最大，
又∵-2到0的距离比1到0的距离大，
∴321y y y <<．
故选：C ．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键．
7．在二次函数y=a 2x +bx+c 中，x 与y 的部分对应值如表：
则下列说法：
① 该二次函数的图象经过原点；②该二次函数的图象开口向下；
① 该二次函数的图象经过点(−1，3)；④当x>0时，y随着x的增大而增大；
⑤方程a2x+bx+c=0有两个不相等的实数根．
其中正确的个数有( )
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】直接利用表中数据对①进行判断；利用交点式求出抛物线解析式为y=x2-2x，则可利用二次函数的性质对②④进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对③进行判断；利用抛物线与x轴的交点个数对⑤进行判断．
【详解】∵由表格可得抛物线经过点（0，0），
∴①正确；
∵抛物线经过点（0，0），（2，0），（3，3），
设抛物线解析式为y=ax（x-2），
把（3，3）代入得a⨯3⨯1=3，解得a=1，
∴抛物线解析式为y=x2-2x，
∵a=1，
∴抛物线开口向上，
∴②错误；
当x=-1时，y=x2-2x=1+2=3，
∴点（-1，3）在抛物线上，
∴③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x＞1时，y随着x的增大而增大，所以④错误；
∵x=0和x=2时，y=0，
∴x2+bx+c=0有两个不相等的实数根，所以⑤正确．
∴正确的有①③⑤
故选：B ．
【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，
c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化解．关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．
8．函数23y ax bx =++．当1x =与2018x =时，函数值相等，则当2019x =时，函数值等于（ ）
A ．－3
B ．32-
C ．32
D ．3 【答案】D
【分析】根据二次函数的对称性可得x=2019与x=0的函数值相等，由此可得结果．
【详解】∵当x=1与x=2018时，函数值相等，故该函数为二次函数，
∴对称轴为：x=12018201922
+-=- ∴x=2019与x=0的函数值相等，
∵当x=0时，y=3，
∴当x=2019时，y=3，
故选：D ．
【点睛】题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，理解二次函数的对称性是解答此题的关键．
9．设函数()()12y x x m =--，23y x =
，若当1x =时，12y y =，则（ ） A ．当1x >时，12y y <
B ．当1x <时，12y y >
C ．当0.5x <时，12y y <
D ．当5x >时，12y y > 【答案】D
【分析】当y 1＝y 2，即（x ﹣2）（x ﹣m ）＝
3x ，把x ＝1代入得，（1﹣2）（1﹣m ）＝3，则m ＝4，画出函数图象即可求解．
【详解】当y 1＝y 2，
即（x ﹣2）（x ﹣m ）＝3x
， 把x ＝1代入得，（1﹣2）（1﹣m ）＝3，
∴m ＝4，
∴y 1＝（x ﹣2）（x ﹣4），
抛物线的对称轴为：x ＝3，
如下图：设点A 、B 的横坐标分别为1，5，
则点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，从图象看在点B 处，即x ＝5时，y 1＞y 2， 故选：D ．
【点睛】本题考查的是二次函数与不等式（组），主要要求学生通过观察函数图象的方式来求解不等式．
10．如图是抛物线()2
10y ax bx c a =++≠图象的一部分，抛物线的顶点坐标是()1,3A ，与x 轴的一个交点()4,0B ，直线()20y mx n m =+≠与抛物线交于A ，B 两点，下列结论：①20a b +=；②0abc >；③方程23ax bx c ++=有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点是1,0；⑤当14x <<时，有12y y >；⑥()a b m am b +>+．（m 为任意实数）其中正确的是（ ）
A ．①③⑥
B ．①④⑤
C ．①③⑤
D ．②④⑥
【答案】C 【分析】根据拋物线的开口方向以及对称轴为x ＝1，即可得出a 、b 之间的关系以及ab 的正负，由此得出①正确；根据抛物线与y 轴的交点在y 轴正半轴上，可知c 为正，结合a ＜0、b ＞0即可得出②错误；将抛物线往下平移3个单位长度可知抛物线与x 轴只有一个交点从而
得知③正确；根据拋物线的对称性结合抛物线的对称轴为x ＝1以及点B 的坐标，即可得出抛物线与x 轴的另一交点坐标，④错误；⑤根据两函数图象的上下位置关系即可判断y 2＜y 1，故⑤正确；当1x ＝时，y 1有最大值，a ＋b ＋c ≥am 2＋bm ＋c ，即可判断⑥错误．
【详解】由抛物线对称轴为直线x ＝2b a
-，从而b ＝﹣2a ，则2a ＋b ＝0，故①正确； 抛物线开口向下，与y 轴相交与正半轴，则a ＜0，c ＞0，而b ＝﹣2a ＞0，因而abc ＜0，故②错误；
方程ax 2＋bx ＋c ＝3从函数角度可以看做是y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y ＝3求交点，从图象可以知道，抛物线顶点为（1，3），则抛物线与直线有且只有一个交点，故方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根，故③正确；
由抛物线对称性，与x 轴的一个交点B （4，0），则另一个交点坐标为（﹣2，0），故④错误；
由图象可知，当1＜x ＜4时，y 2＜y 1，故⑤正确；
因为x ＝1时，y 1有最大值，所以a ＋b ＋c ≥am 2＋bm ＋c ，即a ＋b ≥m （am ＋b ）（m 为任意实数），故⑥错误．
故选：C ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像、一次函数图像、二次函数的图象与系数的关系等知识考查知识点较多．解答的关键在于读懂图象信息，掌握二次函数知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
11．若二次函数2322y x x m =+-的图象与x 轴有两个交点，则关于x 的一元二次方程2322x x m +=的根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．没有实数根
D ．不能确定
【答案】A
【分析】根据题意和二次函数与一元二次方程之间的关系可以解答本题．
解：∵二次函数y=3x 2+2x -2m 的图象与x 轴有两个交点，
∴当y=0时，3x 2+2x -2m=0，
此时使得3x 2+2x -2m=0成立的x 的值有两个，
∴关于x 的一元二次方程3x 2+2x=2m 的根的情况是有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数与一元二次方程的关系解答．
12．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2﹣bx与y＝bx＋a的图象可能是（）A．B．C．
D．
【答案】A
【分析】首先根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论解析，即可解决问题．【详解】
A、对于直线y＝bx＋a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2﹣bx来
说，对称轴x＝﹣
2b a
-
＞0，在y轴的右侧，符合题意，图形正确．
B、对于直线y＝bx＋a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2﹣bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．
C、对于直线y＝bx＋a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2﹣bx来
说，对称轴＝﹣
2b a
-
＜0，应位于y轴的左侧，故不合题意，图形错误，
D、对于直线y＝bx＋a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2＋bx来说，图象应开口向上，故不合题意，图形错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用问题；解题的方法是首先根据其中一次函数图象确定a、b的符号，进而判断另一个函数的图象是否符合题意；解题的关键是灵活运用一次函数、二次函数图象的性质来分析、判断、解答．
13．已知二次函数242y x
x =--+，关于该函数在31x -≤≤的取值范围内，下列说法正
确的是（ ）． A ．有最大值6，有最小值-3
B ．有最大值5，有最小值-3
C ．有最大值6，有最小值5
D ．有最大值6，有最小值-1
【答案】A 【分析】根据二次函数图像的性质，首先计算二次函数的对称轴，结合题意，可计算得函数的最大值；再结合二次函数的图像，计算31x -≤≤范围内二次函数的最小值，即可得到答案．
【详解】∵242y x x =--+
∴二次函数图像的对称轴为：()()
422x -=-
=-- ∵31x -≤≤，且10-< ∴当2x =-时，函数取最大值()()224226y =----+=
又且242y x x =--+在2x =-右侧，y 随着x 的增大而减小；在2x =-左侧，y 随着x 的
增大而增大
且当3x =-时，()()2
34325y =----+=
当1x =时，1423y =--+=-
且35-<
∴31x -≤≤，二次函数取最小值-3
故选：A ．
【点睛】本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图像的性质，从而完成求解．
14．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为（ ）
A ．0.5米
B
米 C
．米 D ．0.85米
【答案】A 【分析】根据题意建立直角坐标系，点（0，2.5）、（2，2.5）、（0.5，1）都在抛物线上，设抛物线解析式，列方程组，求解析式，根据解析式很容易就可求出抛物线的顶点坐标，纵坐标的绝对值即为绳子的最低点距地面的距离．
【详解】
以A 为原点，AC 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系．
设抛物线的函数关系式为：2
y ax bx c =++．
将（0，2.5）、（2，2.5）、（0.5，1）代入2y ax bx c =++得： 2.542 2.50.250.51c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩
，
解得：242.5a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩
，
∴抛物线的表达式为：2
24 2.5y x x =-+；
∵2224 2.52(1)0.5y x x x =-+=-+，
∴抛物线的顶点坐标为（1，0.5），
∴绳子的最低点距地面的距离为0.5米．
故选：A ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，本题关键在于正确选择原点建立直角坐标系，正确确定有关点的坐标，求出抛物线解析式．
15．函数2
21y x x =--的自变量x 的取值范围为全体实数，其中0x ≥部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论：
①函数图象关于y 轴对称；
②函数既有最大值，也有最小值；
③当1x <-时，y 随x 的增大而减小；
④当21a -<<-时，关于x 的方程221x x a --=有4个实数根．
其中正确的结论个数是（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
【答案】A
【分析】根据函数解析式画出函数图象，结合函数图象进行判断．
【详解】
解：如图：
①如图所示，函数图象关于y 轴对称，故①符合题意．
②如图所示，函数没有最大值，有最小值，故②不符合题意．
③如图所示，当x ＜-1时，y 随x 的增大而减小，故③符合题意．
④如图所示，当-2＜a ＜-1时，关于x 的方程x 2-2|x|-1=a 有4个实数根，故④符合题意． 综上所述，正确的结论有3个．
故选：A ．
【点睛】本题为函数图象探究题，考查了根据函数图象判断函数的对称性、增减性以及从函数的角度解决方程问题．
二、填空题
16．一个函数有下列性质：①它的图象不经过第四象限；②图象经过点（1，2）；③当x>1时，函数值y 随自变量x 的增大而增大．满足上述三条性质的二次函数解析式可以是_________（只要求写出一个）．
【答案】2(1)2y x =-+（答案不唯一）
【分析】将图象经过的点看作顶点，再根据增减性判断开口方向，满足图象不经过第四象限即可．把图象经过点（1，2）特殊化，看作顶点，
【详解】当x ＞1时，函数值y 随自变量x 的增大而增大，
可知，对称轴为x=1，图象开口向上，a ＞0，此时图象不经过第四象限；
∴满足条件的解析式为y=（x -1）2 +2等．
故答案为：2(1)2y x =-+
【点睛】本题考查二次函数的性质，把题目的相关性质转化为解析式中的系数或系数符号，写出一个较简单的解析式即可．
17．如图，一段抛物线()()202y x x x =--≤≤，记为1C 与x 轴交于两点O ，1A ；将1C 绕点1A 旋转180°得2C ，与x 轴交于点2A ，将2C 绕点2A 旋转180°得3C ，与x 轴交于点
3A ……，按此规律继续作下去，直至得到6C ，若点23,2P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭
在6C 上，则m =______．
【答案】34
-
【分析】 将这段抛物线C 1通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x 轴的交点，由旋转的性质可以知道C 1与C 2的顶点到x 轴的距离相等，且OA 1＝A 1A 2，照此类推可以推导知道C 6顶点坐标为（11，−1），A 6（12，0），进而可得C 6解析式，继而将232
x =
代入上式即可求解． 【详解】∵y ＝−x （x−2）（0≤x ≤2），
∴配方可得y ＝−（x−1）2＋1（0≤x ≤2），
∴顶点坐标为（1，1），
∴A 1坐标为（2，0）
∵C 2由C 1旋转得到，
∴OA 1＝A 1A 2，即C 2顶点坐标为（3，−1），A 2（4，0）；
照此类推可得，C 3顶点坐标为（5，1），A 3（6，0）；
C 4顶点坐标为（7，−1），A 4（8，0）；
C 5顶点坐标为（9，1），A 5（10，0）；
C 6顶点坐标为（11，−1），A 6（12，0）；
∴C 6解析式为：222120y x x =-+ ∴将232
x =代入上式可得： 223232212022y ⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭
5292531204=
-+ 5291334
=- 34
=-． 故答案为：34
-． 【点睛】本题考查了二次函数的性质及旋转的性质，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标，学会从一般到特殊的探究方法，属于中考常考题型．
18．如图，抛物线224y x x =-+与x 轴交于点O ，A ，把抛物线在x 轴及其上方的部分记为1C ，将1C 以y 轴为对称轴作轴对称得到2C ，2C 与x 轴交于点B ，若直线y = m 与1C ，2C 共有4个不同的交点，则m 的取值范围是_______________．
【答案】02m <<
【分析】首先求出点A 和点B 的坐标，然后求出2C 解析式，分别求出直线y m =过抛物线
顶点时m 的值以及直线
y m =过原点时m 的值，结合图形即可得到答案． 【详解】令2
240y x x =-+=，
解得：0x =或2x =，
则A （2，0），B （-2，0），
∵1C 与2C 关于y 轴对称，1C ：()2224212y x x x =-+=--+，顶点为(1，2)， ∴2C 的解析式为()2221224y x x x =-++=--（20x -≤≤），顶点为(-1，2)，
当直线y m =过抛物线顶点时，它与1C ，2C 共有2个不同的交点，此时2m =；
当直线
y m =过原点时，它与1C ，2C 共有3个不同的交点，此时0m =； ∴当02m <<时，直线
y m =与1C ，2C 共有4个不同的交点． 故答案为：02m <<．
【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数的图象与几何变换、一次函数与二次函数的关系，数形结合是解题的关键．
19．抛物线的部分图象如图所示，则当y ＜0时，x 的取值范围是_____．
【答案】1x <-或3x >
【分析】根据抛物线图像的对称性进行分析，即可得到答案．
【详解】根据题意得，当1x <-时，0y <；当1x =-时，0y =；
且抛物线对称轴为：1x =
∴当()1113x =+--=⎡⎤⎣⎦时，0y =
∴当3x >时，0y <
故答案为：1x <-或3x >．
【点睛】本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图像的性质，从而完成求解．
20．已知抛物线y ＝（x ﹣m ）2＋n 与x 轴交于点(1，0)，(4，0)，则关于x 的一元二次方程（x ﹣m ﹣3）2＋n ＝0的解是_____．
【答案】x 1＝4，x 2＝7
【分析】
将抛物线y＝（x﹣m）2＋n向右平移3个单位得到y＝（x﹣m﹣3）2＋n，则平移后的抛物线与x轴的交点为(4，0)、(7，0)，即可求解．
【详解】
解：抛物线y＝（x﹣m）2＋n与x轴交于点(1，0)，(4，0)，
将抛物线y＝（x﹣m）2＋n向右平移3个单位得到y＝（x﹣m﹣3）2＋n，
则平移后的抛物线与x轴的交点为：(4，0)、(7，0)；
故一元二次方程（x﹣m﹣3）2＋n＝0的解是：x1＝4，x2＝7，
故答案为：x1＝4，x2＝7．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．21．如图，在△ABC中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段AP 的长，y表示线段BP的长，y与x之间的函数关系如图②所示，其中，M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积为________
【分析】
根据题意及图像易得当x=0时，BP=AB=2，AC=5，当BP为最小值时，BP⊥AC，此时AP=1，进而根据勾股定理可得BP的最小值，最后根据三角形面积计算公式可求解．
【详解】
解：由图像及题意可得：当x=0时，BP=AB=2，AC=5，
根据点到直线垂线段最短可得当BP为最小值时，BP⊥AC，此时AP=1，
∴BP==，
∴11522ABC S AC BP =⋅=⨯=；
【点睛】本题主要考查勾股定理及二次函数的图像与性质，熟练掌握勾股定理及二次函数的图像与性质是解题的关键．
22．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别为（0，2），（1，0），顶点C 在函数22y x bx =+-的图象上，将正方形沿x 轴正方向平移后得到正方形A B C D ''''，当点D 的对应点D '落在抛物线上时，则DD '的长为____________．
1．
【分析】
过D 作DE ⊥y 轴于E ，过C 作CF ⊥x 轴于F ，先证明△EDA ≌△OAB （AAS ），
△FBC ≌△OAB且求出D （2,3）与C （3,1），利用点C 在抛物线上求出抛物线解析式，利用正方形平移D 与D′的纵坐标相同，求出D′的横坐标，求D 与D′的横坐标之差即可．
【详解】
过D 作DE ⊥y 轴于E ，过C 作CF ⊥x 轴于F ，
∴∠EDA+∠DAE=90º，
由正方形ABCD 得AD=AB ，∠DAB=90º，
∴∠DAE+∠BAO=90º，
∴∠EDA=∠OAB ，
在△EDA 和△OAB 中，
∠DEA=∠AOB=90º，
∠EDA=∠OAB ，
AD=BA ，
△EDA ≌△OAB （AAS ），
DE=OA=2，EA=OB=1，
OE=OA+EA=2+1=3，D（2,3），
同理可证△FBC≌△OAB，
CF=OB=1，BF=OA=2，
OF=OB+BF=1+2=3，C（3,1），
由点C在抛物线上，将C坐标代入抛物线解析式得，
2
=+-，
b
1332
b-，
解得=2
222
=-，
-
y x x
''''，当点D的对应点D落在抛物线上时，将正方形沿x轴正方向平移后得到正方形A B C D
D的纵坐标为y=3，
223
-，
x x-
2=
()216
x-=，
x=±，
1
由x>0，
x=，
Ｄ′（3）
DD′=21
=，
1．
【点睛】本题考查正方形的性质，三角形的全等，二次函数的性质，掌握正方形的性质，三角形的全等，二次函数的性质，会用正方形的性质找出全等需要的条件，利用全等求出D 与C的坐标，求抛物线解析式，利用函数求D′坐标，会求平移的距离是解题关键．
23．如图，抛物线()()13y a x x =+-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在B 的左侧），点C
为抛物线上任意一点．．．．
（不与A ，B 重合），BD 为ABC 的AC 边上的高线，抛物线顶点E 与点D 的最小距离为1，则抛物线解析式为______．
【答案】2339424
y x x =-- 【分析】根据题意可确定出A ，B 两点的坐标，从而求出对称轴为x=1，依题意要使DE 最小则D 点必在对称轴上，从而根据题意画出图形求解即可．
解：如图所示，使DE 最小则D 点必在对称轴x=1上，过点E 作EF ⊥AB ，则AF=BF ，
∴AD=BD ，
∵BD 为ABC 的AC 边上的高线，
∴∠ADB=90°，
∴∠DBF=∠BDF=45°，
∴DF=BF=2．
当x=1时，y=-4a ，
∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∴EF=4a ．
∵DE=1，
∴4a -2=1
解得：a=34
． ∴抛物线解析式为3(1)(3)4y x x =
+- 即2339424
y x x =-- 故答案为：2339424
y x x =--． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，结图象求最值问题，利用好数形结合找出最小值的点是解题的关键．
24．如图，一段抛物线：(2)(02)y x x x =--≤≤记为1C ，它与x 轴交于点1,O A ；将1C 绕点1A 旋转180︒得2C ，交x 轴于点2A ；将2C 绕点2A 旋转180︒得3C ，交x 轴于点3A ⋯如此进行下去，则2020C 的顶点坐标是_______．
【答案】（4039，-1）
【分析】当n 时偶数时，抛物线C n 顶点纵坐标为：-1；横坐标的表达式为：2n -1，当n=2020时，对应的横坐标为：2×2020-1=4039，即可求解．
解：(2)(02)y x x x =--≤≤，令 y=0，则x=0或2，
∴A 1（2，0），
从点O 到点A 2是一个完整周期，OA 1=2，故：OA 2=4，
当n 时偶数时，抛物线C n 顶点纵坐标为：-1；
抛物线C n 横坐标的表达式为：2n -1，当n=2020时，对应的横坐标为：2×2020-1=4039， 故答案为：（4039，-1）．
【点睛】本题为二次函数综合运用题，涉及到函数与坐标轴交点、图形旋转，关键是通过找规律的方式确定C 2020的位置．
25．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 是一次函数y x =图像上两点，它们的横坐标分别为1，4，点E 是抛物线2
48y x x =-+图像上的一点，则ABE △的面积最小值是______．
【答案】218
【分析】设点E （m ，m 2﹣4m +8），过E 作EM 垂直于x 轴交AB 于点M ，作BF ⊥EM ，
AG ⊥EM ，垂足分别为F ，G ，由题意可得M （m ，m ），从而可用含m 的式子表示出EM 的长，根据二次函数的性质及三角形的面积公式可得答案．
【详解】
解：设点E （m ，m 2﹣4m +8），过E 作EM 垂直于x 轴交AB 于点M ，作BF ⊥EM ，AG ⊥EM ，垂足分别为F ，G ，
由题意得：M （m ，m ），
∴EM ＝m 2﹣4m +8﹣m
＝m 2﹣5m +8 ＝25
7()24
m -+， ∴S △ABE ＝S △AEM +S △EMB ＝1122
EM AG EM BF ⋅+⋅ 1()2
EM AG BF =+ 12
=(m 2﹣5m +8)×（4-1） 32
=
(m 2﹣5m +8) ＝23521()228
m -+， 由302
>，得S △ABE 有最小值． ∴当m ＝52时，S △ABE 的最小值为218
． 故答案为：218． 【点睛】本题考查了二次函数的最值、一次函数与二次函数图象上的点与坐标的关系及三角形的面积计算等知识点，熟练掌握相关性质及定理并数形结合是解题的关键．
26．在平面直角坐标系中，点A 是抛物线()2
4y a x k =-+与y 轴的交点，点B 是这条抛物线上的另一点，且//AB x 轴，则以AB 为边的等边三角形ABC 的周长为_____．
【答案】24
【分析】根据抛物线的解析式即可确定对称轴，则可以确定AB 的长度，然后根据等边三角形的周长公式即可求解．
【详解】抛物线2
(4)y a x k =-+的对称轴是4x =
过C 点作CD AB ⊥于点D ，如下图所示
则4=AD ，则28AB AD ==
则以AB 为边的等边ABC 的周长为2483=⨯．
故答案为24．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，根据抛物线的解析式确定对称轴，从而求得AB 的长是关键．
27．点A 为y 轴正半轴上一点，A ，B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线223
y x =于P ，Q 两点．若点A 的坐标为(0,1)，且60PBQ ∠=，则所有满足条件的直线PQ 的函数解析式为：_______．
【答案】1y x =+
或1y x =+ 【分析】利用抛物线223
y x =的图象上点的坐标特征，待定系数法球函数解析式，根与系数的关系和相似三角形的判定与性质得到ABP ABQ ∠=∠=30°，继续由相似三角形，根与系数的关系、函数解析式求得结果．
解：如图，分别过点P ，Q 作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ．
设点A 的坐标为(0,)t ，则点B 的坐标为(0,)t -．
设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+，并设P ，Q 的坐标分别为(P x ，)P y ，(Q x ，)Q y ．由223y kx t y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩
， 得2203
x kx t --=， 于是32P Q x x t =-，即23
P Q t x x =-． 于是22222222()33332222()3333
P P P Q P P Q P P Q Q Q Q P Q Q Q P x t x x x x x x y t x BC BD y t x x t x x x x x x +--+=====-++--．， 又因为P Q x PC QD x =-，所以BC PC BD QD
=． 因为90BCP BDQ ∠=∠=︒，
所以BCP BDQ ∆∆∽，
故ABP ABQ ∠=∠=30°，
设PC a =，DQ b =，不妨设0a b >，
∴BC =
，BD =，
所以2AC -
，2AD =-．
因为//PC DQ ，所以ACP ADQ ∆∆∽．
于是PC AC DQ AD =，即a b =，
所以a b +=．
又32P Q x x t =-，即32ab -=-，所以3,2ab a b =+=
于是可求得2a b ==
将b =代入223y x =，得到点Q 的坐标1)2．
再将点Q 的坐标代入1y kx =+，求得3k =-
．
所以直线PQ 的函数解析式为13
y x =-+．
根据对称性知，所求直线PQ 的函数解析式为1y x =+或1y x =+．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质、根与系数的关系、待定系数法求函数解析式以及对称解决问题．
28．如图，抛物线223y x x =--+与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．若E 为射线CA
上一点，(,)F m n 为抛物线上一点，E 、A 是位于直线BF 同侧的不同两点，若2||EFB S
n =，
连接AF ，FAE AEB ∠=∠，则点E 的坐标为__________．
【答案】()4,1--
【分析】过点F 作FH ⊥x 轴于点H ，由题意易得点()()()3,0,1,0,0,3A B C -，则AB=4，进而可得EFB BAF S S =，然后可求直线AC 的解析式为3y x ，直线FB 的解析式为1y x =-，联立二次函数及直线FB 的解析式可求点F 的坐标，进而可得△AFB ≌△EBF ，最后根据两点距离公式可求解．
【详解】
解：过点F 作FH ⊥x 轴于点H ，如图所示：
∵抛物线223y x x =--+与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，
∴()()()3,0,1,0,0,3A B C -，
∴AB=4，
∵点(,)F m n ， ∴FH n =， ∴122BAF S
AB FH n =⋅=， ∵2EFB S n =，
∴EFB BAF S S =，
∴点A 、E 分别到FB 的距离相等，
∴AE ∥FB ，
设直线AC 的解析式为y kx b =+，则把点A 、C 代入得：
303k b b -+=⎧⎨=⎩，解得：13k b =⎧⎨=⎩
， ∴直线AC 的解析式为3y x ，
∴直线FB 的解析式为y x c =+，
把点B 代入得：c=-1，
∴直线FB 的解析式为1y x =-，
联立2231y x x y x ⎧=--+⎨=-⎩
，解得：10x y =⎧⎨=⎩或45x y =-⎧⎨=-⎩， ∴点F ()4,5--，
∵FAE AEB ∠=∠，
∴AFB EBF ∠=∠,
∴EB=AF ，
∵FB=FB ，
∴△AFB ≌△EBF （SAS ），
∴AB=EF=4，
设点E (),3+m m ，
∴4EF ==，
解得：124,8m m =-=-（不符合题意，舍去），
∴点E 坐标为()4,1--；
故答案为()4,1--．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质及几何知识点是解题的关键．。