人教版新高考数学二轮复习课件--三角恒等变换与解三角形

tan
2tan
2α=
.
2
1-tan
温馨提示降幂公式:sin
2α=1-cos2,cos 2α=1+cos2;
2
2
2
2
升幂公式:1+cos α=2cos ,1-cos α=2sin .
2
2
3.辅助角公式
asin x+bcos x=

注意不是 tan φ=

2
+ 2 sin(x+φ),其中
则 β=(
2π
A. 3
)
π
B.2
π
C.3
π
D.6
答案 A
解析 当
π
α=3时,sin(α+β)=sin
3
所以 sin
2
以
π
β+
6
3
β+ cos
2
=
5π
,解得
6
3
β= ,即
2
2π
β= .
3
α-sin β 等价于
sin
π
+
6
=
π
π
sin(3+β)=sin3-sin
1
,因为
2
β,
π
π
β∈(0,π),所以 <β+
=
2tan
tan2 +1
=
2× - 2
4 3
=- 7 .
2
3
- 2 +1
突破点二 正弦定理、余弦定理及其简单应用
[例 2—1](多选题)(2021·海南枫叶国际学校期末)在△ABC 中,角 A,B,C 的对
边分别为 a,b,c,若 b=2 3,c=3,A+3C=π,则下列结论正确的是(
3
A.cos C= 3
(2)由题意 tan
cos
β=1+sin
=
1-cos 2
=
5
.
3
sin
,
cos
∴cos αcos β=sin β+sin αsin β,
即 sin β=cos αcos β-sin αsin β=cos(α+β).
∵α, ∈
π
0,
2
,∴sin β>0,∴cos(α+β)>0,∴α+ ∈

tan φ= .

4.正弦定理



在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,则
=
=
=2R(R 为
sin sin sin
△ABC 外接圆的半径);

变形:a=2Rsin A,sin A=2,a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C 等.
余弦定理
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则a2=b2+c2-2bccos A;
为 3 ,B=60°,a2+c2=3ac,则b=
.
答案 2 2
解析 由题意可知△ABC 的面积1S=2acsin
60°= 3,
整理得 ac=4.
结合已知得 a2+c2=3ac=12.
因为 B=60°,由余弦定理可得 b2=a2+c2-2accos B=12-2×4×cos 60°=8,所以
b=2 2.
解析 在△SAB中,易知∠SAB=α+θ=25.45°,∠SBA=β+θ=46.55°,
所以∠ASB=180°-25.45°-46.55°=108°.

由正弦定理得
sin∠
=

,可得
sin∠
AS≈
500×0.726
0.951
≈382(km).
所以
3
,sin
3
1
S△ABC=2absin
3×
6
3
2 3sin C
B=sin 2C
C,化简得到 a2-4a+3=0,解得
π
π
A=C=4,B=2,不符合题意,故
1
C=2 ×1×2
=

,即
sin
a=1.
= 2,故选 AD.
[例2-2](2021·全国Ⅰ,理15)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积
水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为( 3 ≈1.732)(
A.346 B.373
C.446 D.473
)
答案 B
解析 过点 C 作 CD⊥BB'于点 D,过点 B 作 BE⊥AA'于点 E(图略).由题意
100
得,C'B'=CD=
,AE=BE=B'A',AA'-CC'=AE+100=B'A'+100,
对点练2
(1)(2021·陕西榆林一模)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,若

A=3,b=4,△ABC 的面积为 3 3,则 sin B=(
2 39
A.
13
39
B.
13
5 2
C. 13
3 13
D. 13
)

(2)(2021·湖北宜昌一模)在△ABC 中,AB=4,BC= 3,B= ,D 在线段 AB 上,若
,
sin15°·sin30°
在 Rt△DCM 中,CD=CM·
sin
2
3
(15 3-15)× 2 × 2
=30
6- 2 1
×2
4
=

,
sin45°
3(m).
·sin45°·sin60°
60°=
sin15°·sin30°
=
规律总结解三角形应用题的一般步骤
(1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间
的关系.
(2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型.
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解.
(4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中有关单位的问题、近似
计算的要求等.
对点练3
(2021·浙江余姚月考)仰望星空,时有流星划过天际,如图,有两个观察者在
地球上A,B两地同时看到S处有一颗流星,仰角分别是α和β(MA,MB表示当
=

,
sin
2 39
.
13
(2)因为△ADC与△BDC的面积之比为3∶1,
所以AD∶BD=3∶1,故BD=1.
所以 CD =CB +BD -2BD·
CB·
cos B=( 3) +1 -2×1× 3 ×
2
2
2
2
2
3
=1,所以
2
CD=1.
突破点三 解三角形的实际应用
[例3-1](2021·全国Ⅱ,理8)2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛
解析 ∵2tan θ-tan
∴2tan
tan+1
θ=7,令
1-tan
π
+
4
=7,
t=tan θ,t≠1,则
1+
2t- =7,
1-
整理得 t2-4t+4=0,解得 t=2,即 tan θ=2.
)
π
[例 1—3](2021·山东淄博期中)已知 sin(α+β)=sin α-sin β,若 α=3,且 β∈(0,π),
∴sin(α+2β)=1.
π
0,
2
π
,∴β+(α+β)= ,
2
(3)∵sin
π
- 3
=-3cos
π
- 6
1
,即2sin
α-
3
cos
2
α=-3
3
cos
2
1
+ 2 sin
,整理得
2sin α=- 3cos α,
3
∴tan α=-
3
,因此
2
sin 2α=2sin αcos
2sincos
α=sin2 +cos2
对点练1
(1)已知α∈(0,π),且3cos 2α-8cos α=5,则sin α=(
5
A. 3
2
B.3
1
C.3
5
D. 9
)

α
(2)(2021·山东实验中学月考)已知 α,β∈ 0, ,且 tan β=
,则
2
1+α
sin(α+2β)=(
A.1
)
3
B. 2
2
C. 2
1
D.2


(3)(2021·湖南岳阳期末)已知 sin α- 3 =-3cos α- 6 ,则 sin 2α 的值是(
2
2
2
关键能力•学案突破
突破点一 三角恒等变换及其应用
sin(1+sin2)
[例 1—1](2021·新高考Ⅰ,6)若 tan θ=-2,则 sin+cos =(
6
A.5
2
B.5
2
C.
5
)
6
D.
5
答案 C
解析
sin(1+sin2)
sin+cos
sin2 +sincos
= sin2+cos2
tan15°
''
∠B'A'C'=75°,在△A'B'C'中,由正弦定理得
sin∠'''
''
,所以
sin45°
100
×sin45°
tan15°
B'A'=
sin75°
AA'-CC'=B'A'+100=373.2≈373.
=
100
tan15°
''
,即
sin∠'''
sin75°
=100( 3+1)≈273.2,所以
=
[例 3—2](2021·辽宁大连模拟)小明同学为了估算某教堂的高度,在教堂的
正东方向找到一座建筑物 AB,高为(15 3-15)m,在它们之间的地面上的点
M(B,M,D 三点共线)处测得楼顶 A、教堂顶 C 的仰角分别是 15°和 60°,
在楼顶 A 处测得教堂顶 C 的仰角为 30°,则小明估算该教堂的高度为
规律总结三角形中边角互化的基本原则
(1)若式子中含有正弦的齐次式,优先考虑正弦定理“角化边”.
(2)若式子中含有a,b,c的齐次式,优先考虑正弦定理“边化角”.
(3)若式子中含有余弦的齐次式,优先考虑余弦定理“角化边”.
(4)含有面积公式的问题,要考虑结合余弦定理求解.
(5)同时出现两个自由角(或三个自由角)时,要用到三角形的内角和定理.
峰最新高程为8 848.86(单位:m).三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.
三角高程测量法的一个示意图如图所示.现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水
平面上的投影A',B',C'满足∠A'C'B'=45°,∠A'B'C'=60°.由C点测得B点的仰
角为15°,BB'与CC'的差为100,由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到
A.2 3
4 3
B. 7
C.-2 3
4 3
D.- 7
)
答案(1)A (2)A
(3) D
解析 (1)由 3cos 2α-8cos α=5,得 6cos2α-8cos α-8=0,即 3cos2α-4cos α-4=0,解得
cos
2
α=- 或
3
cos α=2(舍去),又 α∈(0,π),所以 sin α=
2022
高中总复习优化设计
GAO ZHONG ZONG FU XI YOU HUA SHE JI
专题二
第2讲 三角恒等变换与解三角形
内
容
索
引
01
必备知识•精要梳理
02
关键能力•学案突破
必备知识•精要梳理
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β;
)
(
B.30 m
A.20 m
D.30 3 m
C.20 3 m
答案 D
解析 由题意知∠CAM=45°,∠AMC=105°,所以∠ACM=30°,
在

Rt△ABM 中,AM=sin∠
=

,
sin15°

在△ACM 中,由正弦定理得sin30°
所以
·sin45°
CM= sin30°
=
·sin45°
地的地平线),假设O为地球中心,且点S,A,B,O共面,劣弧AB所对的圆心角为
2θ.若测算到α=23.2°,β=44.3°,θ=2.25°,AB≈500 km,则AS≈
1 km).参考数据:sin 23.2°≈0.394,sin 46.55°≈0.726,sin 72°≈0.951.
km(精确到
答案 382
cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β;
tan±tan
tan(α±β)=
.
1∓tantan
温馨提示注意公式的逆用与变形用,
例如:tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β).
2.二倍角公式
sin 2α=2sin αcos α,cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,
=
=
sin(sin+cos)2
=sin
sin+cos
tan2 +tan
tan2 +1
=
4-2
4+1
=
2
.
5
θ(sin θ+cos θ)=sin2θ+sin θcos θ
π
[例 1—2]已知 2tan θ-tan + =7,则 tan θ=(
4
A.-2
B.-1 C.1
D.2
答案 D
6
△ADC 与△BDC 的面积之比为 3∶1,则 CD=
.
答案 (1)A
(2)1
解析 (1)由题意得,△ABC 的面积
1
S=2bcsin
理可得 a =b +c -2bccos A=13,得 a=
2
所以 sin
2
2
sin
B=

=
A= 3c=3 3,所以 c=3,由余弦定

13,由正弦定理可得sin
2
B.sin B= 3
C.a=3
D.S△ABC= 2
)
答案 AD
解析 因为 A+3C=π,故

B=2C.根据正弦定理得sin
=3×2sin Ccos C,由于 sin C≠0,故 cos C=
=2sin Ccos
6
C= ,sin
3