【高三】2021届高三数学理科平面向量总复习教学案

【高三】2021届高三数学理科平面向量总复习教学案第四平面向量
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考试要求重难点击命题展望
1.平面向量的实际背景和基本概念
(1)了解向量的实际背景；
（2）理解平面向量的概念和两个向量相等的含义；
(3)理解向量的几何表示.
2.向量的线性运算
(1)掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；
（2）掌握向量乘法的运算和几何意义，理解两个向量共线的意义；
(3)了解向量线性运算的性质及其几何意义.
3.平面向量的基本定理及其坐标表示
(1)了解平面向量的基本定理及其意义；
（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；
(3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；
（4）理解用坐标表示的平面向量的共线条
4.平面向量的数量积
（1）理解平面矢量量积的含义及其物理意义；
(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系；
（3）掌握量积的坐标表达式，能计算平面向量的量积；
(4)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
5.向量的应用
(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；
（2）能用矢量法解决一些简单的力学问题和其他实际问题本项目的重点：
1.向量的各种运算；
2.矢量坐标运算和数形结合的思想；
3.向量的数量积在证明有关向量相等、两向量垂直、投影、夹角等问题中的应用.
这个困难：
1.向量的直角坐标运算在证明向量垂直和平行问题中的应用；
2.矢量角公式和距离公式在求解平面矢量上两条直线之间的夹角和两点之间的距离时
的应用，是现代数学中重要的基本数学概念之一。

它是沟通代数、几何和三角函数的工具。

它有着极其丰富的实践背景。

同时，它也是数形结合思想应用的典范。

正是因为向量具有
几何形式和代数形式的“双重同一性”，它在高考中成为中学数学知识的交汇点，我们不
仅关注向量本身的基本知识和方法，还经常与解析几何、三角函数、数列等进行综合考察在考试要求的层次上更加突出向量的实际背景、几何意义、运算功能和应用价值.
知识网络
4.1 平面向量的概念及线性运算
典型案例分析
题型一向量的有关概念
[例1]以下命题：
①向量的长度与的长度相等；
② 如果向量a与向量B平行，则a和B的方向相同或相反；
③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；
④ 如果一个向量和一个向量共线，a，B，C和D必须在同一条线上
其中真命题的序号是.
[分析]① 对零向量和任意向量都是平行向量，但零向量的方向是任意的，所以② 这
是错误的；③ 显然是错的；是共线向量，那么a，B，C和D可以在同一条线上或共面，
但不在同一条线上，所以④ 因此，只有① 这是一个正确的命题
【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命
题只要举出一个反例即可.
[variant training 1]以下内容：
①a＝；
②（ab）c＝a（bc）
③－＝；
④ 在任意四边形ABCD中，如果n是AD的中点，n是BC的中点，则+=2；
⑤a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且a与b不共线，则(a＋b)⊥(a－b).
正确的数字是（）
a.1
b.2
c.3
d.4
[分析]选择D.A=正确；（ab）c≠a（bc）；－正确；如下图所示，
=++且=++，
将这两个公式相加，得到2=+，即命题④ 是正确的；
因为a，b不共线，且a＝b＝1，所以a＋b，a－b为菱形的两条对角线，
也就是说，（a+b）⊥ （a-b）
所以命题①③④⑤正确.
问题类型2：与向量线性运算相关的问题
【例2】如图，abcd是平行四边形，ac、bd交于点o，点在线段do上，且=，点n在线段oc上,且=,设=a,=b,试用a、b表示，，.
【分析】在ABCD中，AC和BD在O点相交，
所以＝12＝12(－)＝12(a－b)，
＝12＝12（＋）＝12（a＋b）。

又＝13，＝13，
所以=+=B+13
＝b＋13×12(a－b)＝16a＋56b，
＝＋＝＋13
＝43＝43×12(a＋b)＝23(a＋b).
所以=-
＝23(a＋b)－(16a＋56b)＝12a－16b.
向量线性运算的一个重要功能是，平面中的任何向量都可以用平面中的两个非共线向量来表示，这就是平面向量基本定理的应用。

当使用向量来解决问题时，通常需要这种变形
【变式训练2】o是平面α上一点，a、b、c是平面α上不共线的三点，平面α内的动点p满足＝＋λ(＋)，若λ＝12时，则(＋)的值为.
[分析]根据已知的-=λ（＋）
即＝λ(＋)，当λ＝12时，得＝12(＋)，
所以2=+，即--=--，
所以＝，
所以+=+=0，
所以(＋)＝0＝0，故填0.
问题类型三向量共线问题
【例3】设两个非零向量a与b不共线.
（1）如果=a+B，=2A+8b，=3（a-B），
求证：a，b，d三点共线；
（2）尝试确定实数k，使Ka+B和a+KB共线
【解析】(1)证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
所以=+=2A+8b+3（a-b）=5（a+b）=5，
所以，共线.又因为它们有公共点b，
所以a，B和D是共线的
(2)因为ka＋b和a＋kb共线，
所以有实数λ，使Ka+B=λ（a＋kb）
所以(k－λ)a＝(λk－1)b.
因为a和B是两个不共线的非零向量，
所以k－λ＝λk－1＝0，所以k2－1＝0，所以k＝±1.
【点击】（1）在向量共线的充要文章中，需要注意的是，当两个向量共线时，通常只有非零向量可以表示与它们共线的其他向量，应注意待定系数法和方程思想的应用
(2)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.
[variant training 3]假设O是正三角形BAC的内点，+2+3=0，则△ OAC至△ OAB 是（）
a.32
b.23
c、 2d。

十三
【解析】如图，在三角形abc中，＋2＋3＝0，整理可得＋＋2(＋)＝0.令三角形abc 中ac边的中点为e，bc边的中点为f，则点o在点f与点e连线的13处，即oe＝2of.
设三角形ABC中AB边的高度为h，则s△ OAC=s△ OAE+s△ OEC=12oe（H2+H2）
=12oe，
s△oab＝12ab12h＝14abh，
因为AB=2ef，OE=23ef，AB=3oe，
所以s△oacs△oab＝＝23.故选b.
总结与改进
1.向量共线也称向量平行，它与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合)的情形，而向量平行则包括共线(即重合)的情形.
2.判断两个非零向量是否平行实际上是找到一个实数，这样实数可以用一个向量表示另一个向量
3.当向量a与b共线同向时，a＋b＝a＋b；
当向量a和B共线且相反时，a+B=a-B；
当向量a与b不共线时，a＋b＜a＋b.
4.2平面向量及其坐标表示的基本定理
典例精析
平面向量基本定理的应用
【例1】如图abcd中,,n分别是dc，bc中点.已知=a,=b,试用a，b表示，与
[分析]易懂=+
＝＋12，
＝＋＝＋12，
即
So=23（2b-a），=23（2a-b）
所以＝＋＝23(a＋b).
利用平面向量和线性运算的基本定理，平面上的任何向量都可以用基来表示，这里的方程思想的应用值得仔细理解
【变式训练1】已知d为△abc的边bc上的中点，△abc所在平面内有一点p，满足＋＋＝0，则等于( )
a、十三
b、十二
c、一,
d、二,
【解析】由于d为bc边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知＋＝2，因此结合＋＋＝0即得＝2，因此易得p，a，d三点共线且d是pa的中点，所以＝1，即选c.
问题型二向量的坐标运算
【例2】已知a＝(1，1)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b.
（1）如果u=3V，求X；（2）如果你是V，找到X
【解析】因为a＝(1，1)，b＝(x，1)，
所以u=（1，1）+2（x，1）=（1，1）+（2x，2）=（2x+1，3），
v＝2(1，1)－(x，1)＝(2－x，1).
（1） u＝3v（2x＋1,3）＝3（2－x，1）
(2x＋1，3)＝(6－3x，3)，
所以2x+1=6-3x，解为x=1
(2)u∥v(2x＋1，3)＝λ(2－x，1)
(2x＋1)－3(2－x)＝0x＝1.
对于用坐标表示的向量，向量相等意味着坐标相等，这在解决问题时非常重要，应该注意
【变式训练2】已知向量an＝(cosnπ7，sinnπ7)(n∈n*)，b＝1.则函数y＝a1＋b2＋a2＋b2＋a3＋b2＋…＋a141＋b2的最大值为.
【分析】设B=（COS）θ，sinθ），所以y=a1+B2+A2+B2+a3+B2+…+A141+B2=（A1）2+B2+2（COSπ7，sinπ7）（COS）θ，sinθ）＋…＋（A141）2＋B2＋2（cos141π7，sin141π7）（COSθ，sinθ）＝282＋2cos（π7－θ），所以Y的最大值为284
题型三平行(共线)向量的坐标运算
[例3]已知，角a、B和C的相对侧△ ABC分别是a、B和C。

让向量M=（a，b），n=（SINB，Sina），P=（b-2，a-2）
(1)若m∥n，求证：△abc为等腰三角形；
（2）如果我⊥ P、边长C=2，角度C=π3，求出△ 基础知识
【解析】(1)证明：因为m∥n，所以asina＝bsinb.
根据正弦定理，A2=B2，也就是a=B。

因此，△ ABC是等腰三角形
(2)因为m⊥p，所以mp＝0，即
A（b-2）+b（A-2）=0，所以A+b=ab
由余弦定理，得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，
So（AB）2-3ab-4=0
所以ab＝4或ab＝－1(舍去).
所以△ ABC=12 absinc=12×4×32＝3。

【点拨】设m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，则
①M∥nx1y2＝x2y1②m⊥nx1x2＋y1y2＝0。

【变式训练3】已知a，b，c分别为△abc的三个内角a，b，c的对边，向量m＝
(2cosc－1，－2)，n＝(cosc，cosc＋1).若m⊥n，且a＋b＝10，则△abc周长的最小值为( )
a、 10－53b。

10＋53
c.10－23
d.10＋23
[分析]来自m⊥ n、 2cos2c-3cosc-2=0，溶液为COSC=-12或COSC=2（四舍五入），因此C2=A2+b2-2ABC=A2+b2+AB=（a+b）2-AB=100 AB，从10=a+b≥ 2abab≤ 25，那么
C2≥ 75，即C≥ 53所以a+B+C≥ 10 + 53. 当且仅当a=b=5时，等号成立，因此，b
总结提高
1.向量的坐标表示实际上是向量的代数表示。

引入向量的坐标表示后，向量运算可以完全代数化，数与形可以紧密结合，向量法是几何方法与代数方法的结合。

许多几何问题可以转化为众所周知的向量运算
2.向量的运算中要特别注意方程思想的运用.
3.矢量运算分为矢量形式和坐标形式矢量形式是平行四边形规则和三角形规则，坐标形式是直角坐标代入矢量
4.3 平面向量的数量积及向量的应用
典型案例分析
题型一利用平面向量数量积解决模、夹角问题
【示例1】已知a和B的夹角为120°，且a=4，B=2。

查找：
(1)a＋b；
（2）（a＋2b）（a＋b）
(3)a与(a＋b)的夹角θ.
[分析]（1）（a+b）2=A2+B2+2Ab
＝16＋4－2×4×2×12＝12，
所以a+B=23
(2)(a＋2b)(a＋b)＝a2＋3ab＋2b2
＝16－3×4×2×12＋2×4＝12。

(3)a(a＋b)＝a2＋ab＝16－4×2×12＝12.
所以cosθ＝124×23=32，所以θ＝π6。

【点拨】利用向量数量积的定义、性质、运算律可以解决向量的模、夹角等问题.
[variant training 1]假设向量a、B和C满足：a=1、B=2、C=a+B和C⊥ a、 a和B 之间的角度是
【解析】由c⊥aca＝0a2＋ab＝0，
所以cosθ＝12，所以θ＝120°。

题型二利用数量积解决垂直与平行的问题
[例2]在△ ABC，=（2,3），=（1,k），以及△ ABC是直角，求K的值
【解析】①当∠a＝90°时，有＝0，
so2×1+3K=0，sok=-23；
②当∠b＝90°时，有＝0，
和=-=（1-2，K-3）=（-1，K-3），
所以2×(－1)＋3×(k－3)＝0k＝113；
③ 什么时候∠ C=90°，是=0，
所以－1＋k(k－3)＝0，
所以k2-3k-1=0k=3±132
所以k的取值为－23，113或3±132.
【指向】由于哪个角度是直角尚未确定，在计算三角形中两个向量的量积时，必须分类讨论，我们应该注意两个向量之间的方向和角度
【变式训练2】△abc中，ab＝4，bc＝5，ac＝6，
找到+
【解析】因为2＋2＋2
＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝＋＋
＝－42－62－52＝－77.
所以+=-772
题型三平面向量的数量积的综合问题
[例3]数字轴ox和oy在点O和点O相交∠ xoy=π3，形成平面斜坐标系。

E1和E2
分别是与ox和oy方向相同的单位向量。

设p是坐标平面上的一个点，并且=xe1+Ye2，那
么点p的坐标是（x，y），Q（-1，2）是已知的
(1)求的值及与ox的夹角；
（2）直线L⊥ OQ通过点Q找到L的直线方程（在斜坐标系中）
【解析】(1)依题意知，e1e2＝12，
和=-E1+2e2，
所以2＝(－e1＋2e2)2＝1＋4－4e1e2＝3.
So=3
又e1＝(－e1＋2e2)e1＝－e21＋2e1e2＝0.
所以，⊥ E1，即与ox成90°角
(2)设l上动点p(x，y)，即＝xe1＋ye2，
及⊥ 五十、所以⊥,
即[(x＋1)e1＋(y－2)e2](－e1＋2e2)＝0.
所以-（x+1）+（x+1）-（Y-2）12+2（Y-2）=0，
所以y＝2，即为所求直线l的方程.
【拨号】综合运用向量线性运算和量积运算，与不等式、函数、方程、三角函数、数列、解析几何等交叉，是近年来高考命题的趋势
【变式训练3】在平面直角坐标系xoy中，点a(5，0).对于某个正实数k，存在函数
f(x)＝ax2(a＞0)，使得＝λ(＋)(λ为常数)，其中点p，q的坐标分别为(1，f(1))，(k，f(k))，则k的取值范围为( )
a、（2，＋∞)
b、（3，＋∞)
c.(4，＋∞)
d.(8，＋∞)
【分析】如图所示，如果=，=，+=，那么=λ。

因为P（1，a），q（k，ak2），=（1，0），=（KK2+a2k4，ak2k2+a2k4），=（KK2+a2k4+1，ak2k2+a2k4），直线og的方程是
y=ak2k+K2+a2k4x和λ，所以P（1，a）在直线og上，所以a=ak2k+K2+a2k4，所以A2=1-
2k
因为＝1＋a2＞1，所以1－2k＞0，所以k＞2.故选a.
总结与改进
1.本节是平面向量这一的重要内容，要准确理解两个?向量数量积的定义及几何意义，熟练掌握向量数量积的性质及运算律；数量积不满足结合律，即(ab)c≠a(bc)；数量积不
满足消去律，即ab＝ac推不出b＝c.
2.通过向量的量积，可以计算出向量的长度、平面上两点之间的距离以及两个向量的
夹角，从而判断两条直线是否垂直
3.向量的线性运算、数量积运算是平面向量的最基本知识，在解决向量与不等式、函数、方程、数列、三角函数、解析几何等综合性问题时，往往要找到其内在的联系以获得
正确的解题途径.。