应用Filippov方法分析双向直流变换器稳定性

电力电子技术
Power Electronics
第54卷第11期
2020年11月Vol.54, No. 11November 2020
应用Filippov 方法分析双向直流变换器稳定性
郭楠，陆益民
(广西大学，电气工程学院，广西南宁530004)
摘要：恒功率负载的负增量阻抗特性可能导致DC/DC 变换器系统不稳定。

这里釆用Filippov 方法对带恒功率负载 的双向DC/DC 变换器在峰值电流控制下的稳定性进行了分析。

首先根据开关切换建立了双向DC/DC 变换器
在恒功率负载下的电池供电和充电连续模型，然后针对恒功率负载釆用泰勒级数展开并釆用Filippov 方法构
建了系统的跳跃矩阵和单值矩阵，利用Floquet 理论分析了系统的稳定性。

最后，选取参考电流和供电电压为分 岔参数对系统在电池供电和电池充电模式下的行为进行了仿真和实验验证，通过分岔图、时域波形图和相轨
图观察系统的非线性动力学现象。

仿真和实验结果验证了理论分析的正确性。

关键词：变换器：恒功率负载；稳定性 中图分类号:TM46
文献标识码：A
文章编号:1000-100X (2020) 11 -0097-05
Application of Filippov Method to Analyze the Stability of
Bidirectional DC Converter
GUO Nan, LU Yi-ming
(Guangxi University , Nanning 530004, China)
Abstract : The negative incremental impedance characteristics of a constant power load may cause the DC/DC convert ­
er system instability.The Filippov method is used to analyze the stability of bidirectional DC/DC converter with con ­stant power load under peak current control.Firstly , a continuous model of bidirectional DC/DC converter under con ­stant power load is established based on the switch.Then the Taylor series expansion is used for constant power load ,
and the saltation matrix and monodromy matrix of the system are constructed by using Filippov theory , the stability of the system is analyzed by using Floquet theory.Finally , the reference current and the supply voltage are selected as the bifurcation parameters to simulate and experimentally verify the system ' s behavior in the mode of battery power
supply and battery charge , the nonlinear dynamic phenomena of the system are observed by bifurcation diagram , time
domain waveform and phase orbital diagram.The results of simulations and experiments verify the correctness of the
theoretical analysis.
Keywords : converter ； constant power load ； stability
Foundation Project : Supported by National Natural Science Foundation of China (No.51667005 ) ； Guangxi Natural Sc ­
ience Foundation (No.2018GXNSFDA281037)
1引言
双向DC/DC 变换器⑴能实现电能双向变换， 被广泛应用于微电网、新能源汽车、潜艇电力系统
等领域。

在微电网系统中，许多技术设备如电信交
换机、无线通信基站等常表现为恒功率负载特性， 恒功率负载的负增量阻抗特性与DC/DC 变换器
的非线性特性会导致周期轨道失稳而致使直流母 线电压振荡，整个直流微电网系统不能可靠运行叫
基金项目：国家自然科学基金(51667005 )；广西自然科学 基金(2018GXNSFDA281037)
定稿日期:2020-04-08
作者简介：郭楠(1995-),女，广东肇庆人，硕士研究生，
研究方向为电力电子技术。

因此稳定性分析是直流微电网研究的重要问题。

目前针对带恒功率负载的DC/DC 变换器的稳定 性和动力学行为分析方法比较多。

小信号模型方
法⑼常用于慢时间尺度的系统稳定性分析，是一种
估计DC/DC 变换器稳定裕度的直接方法，但难以
获取快时间尺度下系统不稳定信息。

Lyapunov 指 数定量描述了系统的稳定性，但对于分段系统， Jacobi 矩阵需要在奇异点处增加转换条件，使应
用受到限制⑷。

而Filippov 方法可分析某些参数微 小变化引起的快尺度系统不稳定性，适用于分段
光滑动态系统的稳定性分析叫
这里采用Filippov 方法研究恒功率负载下双
向DC/DC 变换器周期轨道的稳定性。

先对系统在 其平衡点处进行泰勒级数展开并建立系统模型，
97
第54卷第11期
2020年11月电力电子技术
Power Electronics
Vol.54, No. 11November 2020
再釆用Filippov 方法分析系统的稳定性，最后通 过仿真和实验对理论分析进行验证。

2系统建模
双向DC/DC 变换器有供电模式和充电模式。

恒功率负载下的双向变换器控制系统如图1所 示，该系统采用峰值电流反馈方式控制。

主电路由
输入电压(供电电压)几,两个金属-氧化物半导体
场效应晶体管(MOESET)V 1和V2,滤波电容C o , 电感厶和阻抗负载&组成山为流过厶的电流；
为直流母线电压；P&为恒功率负载;b 为参考 电流。

以下对系统的两种工作模式进行建模。

-rum ____J
0対-
甘]直流
母线
rE
HI
:Co
U7?o
j ¢1^/(17=-( l-u)x 2+E hal
(5)
I dxjdT=( l-U )X|+Po(%2_%20)X m
2.2 电池充电模式
当母线上负荷降低或正常工作时，双向变换
器切换到电池充电模式。

此时系统在连续导通工
作模式有两种状态。

参照供电模式的推导，X截
止V 2导通和V,导通V 2截止时，系统状态方程为：厶o di/./dQ-Ubo+uUde, Codu/dEz-R/ubo (6) 式中：ua 为电池充电时的输出电压；&为电池充电功率。

取灯=(Zo/S)iM2'=UH/E,式(6)可转化为：
dxi7dT=-%2‘+uEbai', dx 2'/dr=x t '-P o '/%2 (7)
式中：阳'={4/〃”讯'=3…/研讯。

对上式进行一次泰勒级数展开并略去高次
项，则式(7)可写成如下形式：
dx|7dr=-x 2,+uE bat ,
I dx 27dT=X 1，+/>0, (%2‘-%20‘ )/(%20‘ )2-P o 7%2o '
其中，3o ',%20‘)为平衡点且满足
3带恒功率负载的双向变换器系统稳定性
图1控制系统结构图
Fig. 1 Control system structural diagram
2.1电池供电模式
当母线上的负荷增大或在孤岛运行时，双向变
换器工作在电池供电模式，以平衡微电网系统中
的能量变化。

双向DC/DC 变换器有连续导通模式 和断续导通模式两种工作状态。

这里主要分析连
续导通模式下的双向DC/DC 变换器的工作特性。

系统在连续导通工作模式时有两种工作状态。

当
V,截止V 2导通和V.导通v 2截止时，系统状态方 程可合并为：
仏o di/dt=-(l-u)
([)
i 血〃/曲=(1 -1》l -P 皿l U,JR"
式中：u 为开关切换的控制变量，且u e [0, 1 |
参考文献[6],取xi = (ZJUJiL,U ”为额定输入
电压，这里为电池供电电压，即U=U tM ,Z n =y/LJC n ,
血=〃/〃"，式(1)可以推导为如下形式：
dxj/dT=-(\-u)x 2+E lM , dx 2/dr=( 1-u ')X\-PJ x 2-R x 2(2) 式中 /—tVSmZi/UCPdjpMeui/g 石；R=ZJRg
将式(2)写成如下形式：
<lX/dT^f(X,u)
(3)
式中：X=% X 2]T o
取/(X,u)=0并消去变量u,得到系统的平衡
点X 0=[x 10 xjo ]t 满足如下方程：
-Rx-^+Eijc m =P 0
(4)
对式(2)中Po/12在平衡点X 0=[x 10牡]1'处进行
一次泰勒级数展开并略去高次项，则式(2)可写为：
下面采用Filippov 方法求解系统的单值矩阵
并结合Floquet 理论进行稳定性分析。

3.1 Filippov 方法
Filippov 方法主要是针对式(5)和式(8)来构 建系统的单值矩阵，并通过单值矩阵的特征值来
分析系统的稳定性，该矩阵的特征值可以直接反
映系统在小扰动下的周期轨道稳定性。

针对式(5) 和式(8),釆用峰值电流反馈的连续导通控制模式，
其开关的切换面由下列方程得到：
(9)
式中：人nWhW /噺。

对于电池供电模式，对式(5)开关切换前(u=
0)、后(u 二1)的子系统按矩阵格式写成如下形式：
广(X)二
-%2+Ebat
X1+P O (衍-%20 ) /兀显-血2 -P o/%20
=4X+B (10)
f(X)二
Ebai
Po ( X 2-%20 )/X2O 2-^2-P o /^2O
-1PTR
=A^B (11)
Ebat 1 -2% r
对于电池充电模式，对式(8)开关切换前(u ：
0)、后(仏二1)的子系统按矩阵格式写成如下形式:式中：A,= ^
f(X)二;A 2=
0 0
0 PJx^-R
;B=
如'+P 。

'(您'-血')/(血'尸-人‘/血'=A, X+B1( 12)
一%2‘+&
血
f(X)=
,
Ltl'+Po' (%2—20’)/(%20‘)-P%20‘
-2P°7*
式中/y
0 -1
1 MM
,二小+艮(13)
；B f
-2P&%
98
应用Filippov 方法分析双向直流变换器稳定4±
(15)
(16)
由Filippov 方法⑸，整个周期轨内的单值矩阵 M 可以表示为：
4.'(l-d)T A'dT
M=e Se
(14)
式中：d 为占空比；S 为跳跃矩阵,S=Z ”+[/-(X)子(X)]n7
[n r f \X) + dh/dr
为与状态变量维数相同的单位矩
阵,Y 为切换时间,"T 为"的转置,n 为切换面人的法向量。

对于电池供电模式，有：
…卩皿-血仏)]/% 0s=
叭(t)E& 1
对于电池充电模式，有：
c [-%2‘仏)/[-%2‘仏)+%'] 0
0 1
3.2系统稳定性分析
根据Floquet 理论叫如果单值矩阵M 所有特
征值的绝对值(也称为Floquet 乘子)都小于1,即 所有特征值位于一个单位圆内，则系统是稳定的。

为此以下列2种情况为例进行系统稳定性分析。

3.2.1 人变化时系统的稳定性
取电路的主要参数厶o=22 jiH,C o =9O 洛,冬= 20W,[/ta =24 V,ff 关切换频率/=2 kHz 。

人在 1~
5.8 A 范围内计算M 的特征值，其最大特征值的 幅度£皿变化如图2所示。

图2显示了 £喚随人 变化情况。

从图中可以看出，电池供电模式下，当
/曲》4.5 A 时，£皿工1,此时系统开始处于不稳定
状态；而充电模式下，人31.9 A 时，&«W1,系统
开始处于稳定状态。

1.4
1.21
J 0-8
0.6
0.4
0 9
U 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
/ref/A
图2不同〈时轨迹
Fig. 2 The trajectory of with different
电池供电模式下，取人中的4个点计算M 特
征根如表1所示，D 表示M 的特征根。

可知，当 /曲=3 A 时，M 对应的两个特征根0.48和-0.836 5
都在单位圆内，故系统是稳定的；当/^=4.6 A 时，
M 对应的特征根为0.966 3和-1,此时系统有一个 特征根在单位圆上即系统处于临界稳定状态；当
/”=4.8 A 时，M 对应的特征根1.024 4和-1.007 3 都穿过了单位圆，系统开始失去稳定。

同理，在电
池充电模式下，取人中的4个点计算M 特征根
如表2所示。

由表2可知，当/曲=1.2 A 时,M 对应 的特征根为1.168 2和-1.052 4,两个特征根在单
位圆外，系统不稳定；当人=2 A 时,M 对应的特征
电池供电模多
A 、、乎充电模一式
根为0.984 4和-0.799 1,两个特征根都在单位圆 内，此时系统开始处于稳定状态。

Table 1 D for variation of in battery discharge mode
表1电池供电模式/“变化时的P
/7A
D
3
0.48,-0.836 54.60.966 3,-14.8 1.024 4,-1.007 35.6
1.217 1,-1.056
表2
电池充电模式变化时的。

Table 2 D for variation of in battery charge mode
MA D
1.2 1.168 2,-1.052 4
1.8
-0.861 7,1.03120.984 4,-0.799 14.4
0.163 8±O.3O5i
3.2.2
%变化时系统的稳定性
取电路的主要参数厶=22 m H,C°=90 a F,P&= 20 W,/^=2 A,/=2 kHz o 为分析电池供电模式下几
和充电模式下(4变化时系统的稳定性，取%为 分岔参数，在12-31 V 范围变化内。

两种模式
下的£皿变化如图3所示。

电池供电模式
电池充电模式1.81.61.45 1.2
q I 0.8
0.6
0.4
12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32
如/
v
图3不同〃，时E 噺轨迹
Fig. 3 The trajectory of E nwi with different 〃血
图3中的实线为供电模式下E°随变化
情况。

从图中可以看出，当£/ta >20 V 左右时，£喚
维持在1以下，此时系统处于稳定状态。

图3中的 虚线为充电模式下E ”*的变化轨迹，当盅>18 V 时系统开始处于稳定状态。

在电池供电模式下，当U m 的取值范围为12~
32 V 时，计算了 5个的D 如表3所示。

由表3
中D 可知，在12.5-19.5 V 的范围内，系统处
于稳定与不稳定的波动状态，当t/ta =19.5 V 时，D
为0.451 1和1.007 2,此时系统有一个特征根在
单位圆外即系统处于不稳定状态；当〃m =20V
时,D 为0.447 8和0.999 5,其中两个特征根都在 单位圆内，系统开始处于稳态。

〃皿320 V 时，系统 开始一直处于稳定状态。

同理，电池充电模式下，
当〃&的取值范围为12-32 V 时，计算了 4个供 电电压的D 如表4所示。

当〃&=16 V 时，D 为
99
第54卷第11期2020年11月
电力电子技术
Power Electronics
Vol.54,No.11
November2020
1.0846和-0.888,有一个特征根在单位圆外，因此系统不稳定；当〃&=18.5V时，。

为-0.79和0.9945,两个特征值都在一个单位圆内，系统由不稳定状态过度到稳定状态；当〃*=22V时，D 为-0.6915和0.9031,两个特征值都在一个单位圆内，系统处于稳态。

表3电池供电模式Ug变化时的Q
Table3D for variation of in battery discharge mode
D
12.5-0.3455,-1.742
15.50.679l±0.361i
17.50.4914,1.0118
19.50.4511,1.0072
200.4478,0.9995
表4电池充电模式变化时的D
Table4D for variation of in battery charge mode u小D
16 1.0846,-0.888
18.5-0.79,0.9945
22-0.6915,0.9031
260.644±0.044li
4仿真和实验验证
为验证Filippov方法对变换器稳定性分析结果的正确性，对电池供电模式下的变换器进行仿真验证，同时有针对性地选取一些参考电流和供电电压(包括电池供电电压和电池充电时母线提供的电压)在电池供电和充电模式下进行实验验证。

4.1仿真验证
图4以人为分岔参数得到分岔图，人在1~ 10A范围内变化。

从图4中可以看到，当//4.7A 时，系统处于稳态；人=4.7A时，系统由稳定的周期一状态过渡到不稳定的状态，当人=5A时，系统由稳态开始产生倍周期分岔；当人＞8A时，系统处于混沌状态。

仿真结果基本与用Filippov方法分析的结果吻合。

12i-------------------------
10-二
8■
6-2
沁
024 6 81012
，ref/A
图4不同人时匚分岔图
Fig.4i L bifurcation diagram with different/詔图5是对Uz在12-31V范围内，采用Matlab 对系统1进行仿真的结果。

可见，当〃皿＜20V时，系统处于混沌状态，当〃皿在20-22V范围内时，系统由混沌过渡到倍周期分岔的不稳定状态，当〃皿＞22V时，系统处于周期一的稳态。

此外在£= 13V附近和t/ta为15-18V时有一个小范围的稳态，仿真结果基本上与Filippov理论分析结果吻合。

图5不同l/g时匚分岔图
Fig.5i L bifurcation diagram with different t/血
4.2实验验证
实验电路参数与仿真电路相同。

实验电路采用两级变换器串联，其中前级变换器为双向变换器，后级为Buck变换器，作为前级变换器的恒功率负载，后级变换器接一个200的阻性负载。

后级变换器的输入电压为10~64V,输出电压为5~ 60V,最大输出电流和输出功率分别为5A和240W o电池供电模式下选取分别为14V和24V,充电模式下选取人分别为1.5A和3A进行实验测量，并与仿真得到的电感电流波形以及输出电压和电感电流相轨迹图进行了对比。

图6和图7为电池供电模式下仿真和实验结果，其中图6为〃皿=14V,24V时仿真波形，图7为对应的实验波形，实验结果与仿真结果比较吻合。

可以看出，〃g=14V时匚岀现每个开关周期的幅度不一致的情况并在顶部出现小分岔，其对应的相轨迹图为多个重叠的周期轨道，表明此时系统处于混沌状态，表现出不稳定状态；而t/ta=24V 时每个开关周期电感电流幅度变化基本一致，其对应的相轨迹图为单个的闭合曲线，系统在这个〃皿下处于周期一轨道，表现出稳定状态。

实验和仿真结果也与Filippov方法分析结果基本相符。

(a)tZbat=14V时〃.仿真图
19.7619.7719.78
(c)Ua«=24V时％仿真图
«c/V
(b)^bat=14V时仿真相轨迹图
(d)(/bat=24V时仿真相轨迹图
图6电池供电模式下的仿真结果
Fig.6Simulation results in battery discharge mode
100
应用Filippov 方法分析双向直流变换器稳定性
(a)(/bat = 14 V 时”实验图
(b)t/bat = 14 V 时实验相轨迹图
(理、
vs.
05
(C)Ubat=24 V 时％实验图
(d)t/b at=24 V 时实验相轨迹图
图7电池供电模式下的实验测量结果
Fig. 7 Experimental results in battery discharge mode
图8,9为电池充电模式下仿真和实验结果,
其中图8为人=1.5 A,3 A 时仿真波形，图9为对
应的实验波形。

由图8,9可见，人二1.5 A 时，其相轨迹图出现
许多叠加的周期轨道，系统处于不稳定状态;而/沪
3 A 时为周期一轨道，表明系统此时处于稳态，实 验和仿真结果与Filippov 方法分析结果基本一致。

5结论
由于恒功率负载的负阻抗特性及双向DC/DC
变换器开关切换的非线性特性影响，在系统的参
数、工作状态发生变化时会出现分岔和混沌等非
线性动力学特性现象。

这里采用Filippov 方法对
恒功率负载下的双向DC/DC 变换器稳定性进行
定量分析。

通过使用Filippov 方法，可计算出取不 同控制参数时保持周期一轨道稳定的可变参数范 围，为研究DC/DC 变换器的稳定性提供了依据。

1.61.41.21< 0.8 •二 0.60.40.20
-0 2
< 0.8二 0.60.40.2
32.8<2.62.42 2
.1
1.6
11.863 11.866 11.869 11.872
"(7V
(d)Z rc f=3A 时仿真相轨迹图
19.83 19.85 19.87 19.89 19.91
w(7V
3 2(b"ref=1.5AFhf 仿真相轨迹图//ms
(c)/ref=3 A 時％仿真图
图8电池充电模式下的仿真结果
£
w o
)、
7-
〃(I0»s/格)
(a)厶訂=1.5人时％实验图
Fig. 8 Simulation results in battery charge mode
"c/(10mV/格)
(b)/rcf =1.5A 时实验相轨迹图
«c/(2mV/格)
(d)/ref =3A 时实验相轨迹图
//(5 ps/格)
(C)/ref=3A 时％实验图
图9电池充电模式下的实验测量结果Fig. 9 Experimental results in battery charge mode
参考文献
[1] 肖智明，陈启宏，张立炎，等.电动汽车双向DC/DC 变
换器约束模型预测控制研究[J].电工技术学报，2018,
33(2):489-498.
[2] 滕昌鹏，王玉斌，周博恺，等.含恒功率负载的直流微
网大信号稳定性分析[J].电工技术学报,2019,34(5)：
973-982.
[3] Ayachit A , Reatti A , Kazimierczuk M K.Small-signal Mo ­deling of the PWM Boost DC/DC Converter at Bound ­ary-conduction Mode by Circuit Averaging Technique [A]. 2015 IEEE International Symposium on Circuits and S-
ystems (ISCAS)[C].2015 ： 229-232.[4]
黄良玉，陆益民.带恒功率负载DC/DC 变换器的Lya ­
punov 指数计算和动力学特性分析[J].电工技术学报， 2017,32(24) ：97-105.
[5] D Giaouris ,S Maity ,S Banerjee ,et al.Application of Fi ­lippov Method for the Analysis of Subharmonic Instabili ­ty in DC/DC Converters [J ]. International Journal of Circ ­
uit Theory and Applications , 2009,37(8)： 899-919.[6]
E Lenz , D J Pagano .Nonlinear Control for Bidirectional Power Converter in a DC Microgrid [J]. IFAC Proceedings Volumes , 2013,46 (23) ： 359-364.
[7]
El Aroudi A , Mandal K , Abusorrah A , et al. A Novel No ­nlinear Modulation Technique for Stabilizing DC/DC Sw ­
itching Converters[A].2017 IEEE International Symposium on Circuits and Systems( ISCAS )[C].2O17 ： 1-4.
2021第12期“电力电子器件和电力电子系统的可靠性”专辑征文启事
本刊拟将2021年第12期辟为“电力电子器件和电力电子系统的可靠性”专辑，以期对国内外电力电于器件和电力电
子可靠性的研发现状提供一个比较全面的展示平台。

本刊邀请西安交通大学雷万钧副教授和江苏宏微科技有限公司姚天
保高工作为本专辑餉特邀主编，所投论文将按本刊专辑审稿程序进行评审，评审结果将于2021年10月30日前通知作者。

截稿日期：2021年9月30日 录用通知发出日期：2021年11月1日
论文刊登期号：2021年第12期(2021年12月20日出版)
101。