2021年广东省广州市南武中学高二数学文测试题含解析

2021年广东省广州市南武中学高二数学文测试题含解
析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 中，、，则 AB边的中线对应方程为( ) A．B． C．D．
参考答案：
B
2. 若函数的图象总在直线的上方，则实数a的取值范围是
（）
A．(－∞,0) B．(0,+∞) C．(1,+∞) D．(－∞,1)
参考答案：
D
由题意得在区间上恒成立，，令函数
所以函数在区间（0，1）上单调递减，在区间
上单调递增，所以，所以，选D.
3. 如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,那么( )
(A)△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形
(B)△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形
(C)△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形
(D)△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形
参考答案：
D
略
4. 已知数列{a n}中，a1=t，a n+1=+，若{a n}为单调递减数列，则实数t的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣2，0）C．（0，2）D．（2，+∞）
参考答案：
D
【考点】数列的函数特性．
【分析】由a n+1=+，作差a n+1﹣a n=＜0，解得a n＞2或﹣2＜a n＜0，对t分类讨论即可得出．
【解答】解：∵a n+1=+，∴a n+1﹣a n=﹣=＜0，解得a n＞2或﹣2＜a n＜0，
（1）a1=t∈（﹣2，0）时，a2=＜﹣2，归纳可得：a n＜﹣2（n≥2）．
∴a2﹣a1＜0，但是a n+1﹣a n＞0（n≥2），不合题意，舍去．
（2）a1=t＞2时，a2=＞2，归纳可得：a n＞2（n≥2）．∴a n+1﹣a n＜0，符合题意．故选：D．
5. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的侧面积为（）
A．8 B．16C．10 D．6
参考答案：
B
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】根据三视图可得四棱锥为正四棱锥，判断底面边长与高的数据，求出四棱锥的斜高，代入棱锥的侧面积公式计算．
【解答】解：由三视图知：此四棱锥为正四棱锥，底面边长为4，高为2，
则四棱锥的斜高为=2，
∴四棱锥的侧面积为S==16．
故选B．
6. 已知变量x与y负相关，且由观测数据计算得样本平均数，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）
A．y=2x﹣1.5 B．y=0.8x+3.3 C．y=﹣2x+14.5 D．y=﹣0.6x+9.1
参考答案：
C
【考点】线性回归方程．
【分析】利用变量x与y负相关，排除选项A、B，
再利用回归直线方程过样本中心验证即可得出结论．
【解答】解：根据变量x与y负相关，排除选项A，B；
再根据回归直线方程经过样本中心（，），
把=4， =6.5，代入C、D中，
满足6.5=﹣2×4+14.5，C方程成立，D方程不成立．
故选：C．
7. ( ）
A．2－2i B．2+2i C．－2 D．2
参考答案：
D
8. 函数f（x）=log2（x+1）的定义域为（）
A．（0，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，+∞）D．（1，+∞）
参考答案：
C
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】由对数的性质可知真数大于0，即可求解．
【解答】解：要使函数有意义，则x+1＞0，即x＞﹣1．
∴函数的定义域为（﹣1，+∞）．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数的定义域求法．9. 函数f（x）=lnx﹣4x+1的递增区间为（）
A．（0，）B．（0，4）C．（﹣∞，）D．（，+∞）
参考答案：
A
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】先求函数的定义域，然后求函数f（x）的导数，令导函数大于0求出x的范围与定义域求交集即可．
【解答】解：∵f（x）=lnx﹣4x+1定义域是{x|x＞0}
∵f'（x）=﹣4=
当f'（x）＞0时，0＜x＜
故选：A
10. 定义域为R的奇函数的图像关于直线对称，且，则
（）
A. 2018
B. 2020
C. 4034
D. 2
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知直线l∥平面α，直线m?α，则直线l和m的位置关系是．（平行、相交、异面三种位置关系中选）
参考答案：
平行或异面
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】根据线面平行的性质定理得到直线与平面α内的所有直线没有公共点，得到直线l与m的位置关系．
【解答】解：因为直线l∥平面α，直线m?α，
所以直线l与平面α内的所有直线没有公共点，
则直线l和m的位置关系是：平行或异面；
故答案为：平行或异面．
12.
参考答案：
15
13. 抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且∠AFO=120°（O为坐标原点），AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是．
参考答案：
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】先确定抛物线的焦点坐标，准线方程，求出直线AF的方程，进而可求点A的坐标，由此可求△AKF的面积
【解答】解：由题意，抛物线y2=4x的焦点坐标为F（1，0），准线方程为x=﹣1
∵∠AFO=120°（O为坐标原点），
∴
∴直线AF的方程为：
代入抛物线方程可得：3（x﹣1）2=4x
∴3x2﹣10x+3=0
∴x=3或
∵∠AFO=120°（O为坐标原点），
∴A（3）
∴△AKF的面积是
故答案为：
【点评】本题以抛物线的性质为载体，考查三角形面积的计算，求出点A的坐标是关键．14. 甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有种．
参考答案：
60
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．
【分析】间接法：①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不
同的种数，作差可得答案．
【解答】解：根据题意，采用间接法：
①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C52C52=100，
②两人所选两门都相同的有为C52=10种，都不同的种数为C52C32=30，
故只恰好有1门相同的选法有100﹣10﹣30=60种．
故答案为60．
15. 已知函数的零点，则整数a的值为______.
参考答案：
3
【分析】
根据函数单调性可知若存在零点则零点唯一，由零点存在定理可判断出零点所在区间，从而求得结果.
【详解】由题意知：在上单调递增
若存在零点，则存在唯一一个零点
又，
由零点存在定理可知：，则
本题正确结果：
【点睛】本题考查零点存在定理的应用，属于基础题.
16. 一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几
何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表
面积是。

参考答案：
16π
略
17. 已知，是夹角为的两个单位向量，，，若，则实数k的值为__________.
参考答案：
.
【分析】
直接利用向量数量积公式化简即得解.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以=-7.
故答案为：-7
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 各项均为正数的数列{a n}中，a1=1，S n是数列{a n}的前n项和，对任意n∈N*，有
2S n=2pa n2+pa n﹣p（p∈R）
（1）求常数p的值；
（2）求数列{a n}的通项公式；
（3）记b n=，求数列{b n}的前n项和T．
参考答案：
【考点】数列递推式；数列的求和．
【分析】（1）根据a1=1，对任意的n∈N*，有2S n=2pa n2+pa n﹣p，令n=1，解方程即可求
得结果；
（2）由2S n=2a n2+a n﹣1，知2S n﹣1=2a n﹣12+a n﹣1﹣1，（n≥2），所以（a n﹣a n﹣1﹣1）（a n+a n﹣
）=0，由此能求出数列{a n}的通项公式．
1
（3）根据求出数列{b n}的通项公式，利用错位相减法即可求得结果．
【解答】解：（1）∵a1=1，对任意的n∈N*，有2S n=2pa n2+pa n﹣p
∴2a1=2pa12+pa1﹣p，即2=2p+p﹣p，解得p=1；
（2）2S n=2a n2+a n﹣1，①
2S n﹣1=2a n﹣12+a n﹣1﹣1，（n≥2），②
①﹣②即得（a n﹣a n﹣1﹣）（a n+a n﹣1）=0，
因为a n+a n﹣1≠0，所以a n﹣a n﹣1﹣=0，
∴
（3）2S n=2a n2+a n﹣1=2×，
∴S n=，
∴=n?2n
T n=1×21+2×22+…+n?2n③
又2T n=1×22+2×23+…+（n﹣1）?2n+n2n+1 ④
④﹣③T n=﹣1×21﹣（22+23+…+2n）+n2n+1=（n﹣1）2n+1+2
∴T n=（n﹣1）2n+1+2
19. 已知函数．
(I)若函数在点P(1,f(1))处的切线与直线x+2y+3=0垂直，求a的值；
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间；
(Ⅲ)记f’(x)为函数f(x)的导函数，若关于x的方程(e为自然对数的底数)有且仅有两个不同的实根，求a的取值范围．
参考答案：
20. 已知函数（，=2.718………），
（I）当时，求函数的单调区间；
（II）当时，不等式对任意恒成立，
求实数的最大值.
参考答案：
（1）
…………2分
由可知，
令得或
令得
即此时函数的单调递增区间为和，单调递减区间为
；
……5分（2）当时，不等式即
令，依题意得对任意恒成立
…………6分
又
…………7分
当时，，所以在上递增，且最小值为
（i）当，即时，对任意恒成立
在上递增
当时，满足题意；
…………9分
（ii）当，即时，
由上可得存在唯一的实数，使得
可得当时，，在上递减，
此时不符合题意；
…………11分
综上得，当时，满足题意，即符合题意的实数的最大值为. …………12分
21. （1）求函数，的最小值．
（2）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为（α，β），且0＜α＜β，试用α，β表示不等式cx2+bx+a＜0的解集．
参考答案：
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】（1）乘以“1”，换成sin2x+cos2x=1，利用基本不等式的性质求解．
（2）利用韦达定理求解．
【解答】解：（1）函数
=
，
当4sin4x=cos4x时取最小值9．
（2）不等式ax2+bx+c＞0的解集为（α，β），
由，知、是方程的两根，
又∵0＜α＜β，∴．而由已知不等式的解集知a＜0且，
∴c＜0，
∴不等式cx2+bx+a＜0的解集为．
22. （本小题满分12分）已知函数(R ，R)．
（Ⅰ）若从集合中任取一个元素，从集合中任取一个元素，
求方程有两个不相等实数根的概率；
（Ⅱ）若从区间中任取一个数，从区间中任取一个数，
求方程没有实数根的概率．
参考答案：
（Ⅰ）∵取集合中任一个元素，取集合中任一个元素，
∴基本事件共有16个： (0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,４)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,４)，(2,0)，(2,1)，(2,2) ，(2,４)， (3,0)，(3,1)，(3,2) ，(3,４)．……2分设“方程有两个不相等的实根”为事件，
当，时，方程有两个不相等实根的充要条件为>2
当>2时，事件共有4个：(1,0)，(2,0)，(3,0)，(3,1)，…………4分
∴方程有两个不相等实数根的概率为………………6分
（Ⅱ）∵从区间中任取一个数，从区间中任取一个数，则试验的全部结果构成区域，ks5u
这是一个矩形区域，其面积…………8分
设“方程没有实根”为事件，则事件所构成的区域为
它所表示的部分为梯形，
其面积…………10分
由几何概型的概率计算公式可得方程没有实数根的概率为
…12分。