第三章 不连续函数

有界，有限个极大和极小值，有限个
1。 L f t g t f s g s
2。
Laf t af s
3。 L f t f 0 sf s
L f t f 0 sf 0 s 2 f s
n 0 0 0
t
t t0
n 1
n 1
2. Dirac DELTA Function
定义: t t d u t t 0 0 dt
u t t t t dt u t t0
0 0 t

s 0
s
lim L f t lim f 0 sf s
s

df t st e dt 0 dt
f 0 lim sf s 0
s 0
(2） lim L f t dt lim sf s f ，此理论可用于long-time asymptotic behavior
三. 积分方程定义
第一类 Fredholm方程
f x K x, d
a b
第二类Fedholm方程
x K x, d f ( x)
0 b
core
第一类Voltera方程
f x K x, d


1 s2 a2 1
exp b s 2 a 2


n2 2 exp 2 4t t
n n 1 erf 2 t
s s
exp n s


cost
sin t
s s2 2

2
s 2
J0为零阶Bessel函数，erf为误差函数
delta函数doubletfunction偶极函数实参数转变换参数要求piecewiseregular分段正则阶exponentialorder即指数阶piecewiseregular有界有限个极大和极小值有限个不连续点其性质
一. 不连续函数(Discontinuity Functions)
1. 单位阶梯函数 （unit step function）
s 0
s 0

常用转换表
f t u t
t
f s
1 s
1
1
t
e t
1 e
t
s
1
1
1
s s


1

2
1 e
t
s 2 s
tn
Jo a t b u t b
2 2
n!s n1, n 0, t
定义:
1 1 u t t 0 2 0
映射
t t0 t t0 t t0
u t t0
t0
t
x

t
t

f t u t t0 dt u t t0 f t dt
极值定理 Limit theorem 5。 （1） lim L f t lim sf s f behavior s s


0 .此理论可用于short-time asymptotic


证：
lim L f t lim
s
s

t
t t0 0

t t0 dt t t0
t
二. Laplace变换
定义:
化参数,或变换参数 。
不连续点，其性质：
L f t f t e st dt f s
n
n1
f 0 0
则：
L f t sf


s s
n L f t s n f
卷积定理 Convolution theorem 4。
h t f t g t t dt
0

Lh t Lg t L f t
t0
当 f t 1 ，则 Ramp function
u t t dt u t t t t f t
0 0 0
u t t dt u t t t t
1 t a
t t
4. 乘法定理
f t t f 0 t
5.
t f t dt f ' 0


6. 函数的Laplace变换
sin wt 7. t lim w t
f t t t dt
0
t
t0
0
0
t
0
f t t t0
t

f t t t dt
u t t0 1
t
f t0 u t t 0 f t0
t t0 为 delta 函数
• 其重要性质
1. 筛选性
当 t0=0
u t t f t t t dt f t
0 0 0
t



(t ) f t dt f 0
2. 函数是偶函数
3.
at
u t t0
1
证：
0 t t t t t 0 0 0
t 0
t t0
t t0

t t0 t t0
t0 t
0
0 t0 t
t0
t t dt
0
t0 t
t t0 dt 1
t0 t
0
s为非负 实参数转变换参数,要求 f t -piecewise regular 分段正则, 和n 阶exponential order 即指数阶 f t Me t t T , M , , T , 为正数，称为 转
Piecewise regular 为
0 t1 t ， f t



t e st dt 1
sinwt
8. 9.



cos wtdw 2 t
2
2
1 t 2



e iwt dw


3． The Doublet dt t t0
s 0

s 0
证：
lim L f t dt lim


lim L f t dt lim f 0 lim sf s
s 0


lim sf s f
s0

s 0 0
df t st e dt f f 0 dt
a x
第二类Voltera方程
x f x K x, d
a
x

若 L f t 0 f t e dt
st

n 2 n n1 L f t f 0 s f 0
s n1 f 0 s n f s
，

且 t t 为齐次边界条件 f 0 f 0