【高考调研】2020届高考数学一轮复习课时作业(三十四) 理 新人教版

课时作业(三十四)
1．点(3,1)和(－4,6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则( ) A ．a ＜－7或a ＞24 B ．－7＜a ＜24 C ．a ＝－7或a ＝24 D ．以上都不对
答案 B
解析 ∵(3,1)和(－4,6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧．∴(9－2＋a )·(－12－12＋
a )<0，
即(a ＋7)(a －24)<0，∴－7<a <24.选B.
2．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )
A ．2
B ．1 C.12
D.14
答案 B
解析 令x ＋y ＝u ，x －y ＝v ， 于是集合B 转化为不等式组
⎩⎪⎨⎪
⎧
u ≤1，u ＋v ≥0，u －v ≥0
的平面区域，
如图，平面区域的面积为1
2
×2×1＝1.
3．(2020·山东文)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y －5≤0，x －y －2≤0，
x ≥0，
则目标函数z ＝2x
＋3y ＋1的最大值为( )
C ．9
D ．8.5
答案 B
解析 画出不等式组表示的平面区域如图，由目标函数得y ＝－23x ＋z －1
3，根据目标函
数的几何意义，显然当直线y ＝－23x ＋z －1
3在y 轴上的截距最大时z 最大，故在图中的点A
处目标函数取得最大值，点A (3,1)，所以z max ＝2×3＋3×1＋1＝10.
4．(2020·浙江理)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y －5>0，2x ＋y －7>0，
x ≥0，y ≥0.
若x ，y 为整数，则
3x ＋4y 的最小值是( )
A ．14
B ．16
C ．17
D ．19
答案 B
解析 对于线性区域内边界的整点为(3,1)因此最符合条件的整点可能为(4,1)或(3,2)，对于点(4,1)，3x ＋4y ＝3×4＋4×1＝16；对于点(3,2)，3x ＋4y ＝3×3＋4×2＝17，因此3x ＋4y 的最小值为16.
5．(2020·广东理)已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧
0≤x ≤2
y ≤2
x ≤2y
给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →
的最大值为( )
C ．3 2
D ．4 2
答案 B 解析
画出区域D ，如图中阴影部分所示，而z ＝OM →·OA →
＝2x ＋y ，∴y ＝－2x ＋z ，令l 0∶
y ＝－2x ，将l 0平移到过点(2，2)时，截距z 有最大值，故z max ＝2×2＋2＝4.
6．已知x 、y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≥x x ＋y ≤2
x ≥a ，且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的3倍，则
a ＝( )
A ．0 B.13 C.2
3 D ．1
答案 B
解析 依题意可知a <1.作出可行域如图所示，z ＝2x ＋y 在A 点和B 点处分别取得最小
值和最大值．由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝a
y ＝x 得A (a ，a )，由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋y ＝2
y ＝x 得B (1,1)．∴z max ＝3，z min ＝3a .∴a ＝1
3
.
7．给出平面区域如图所示，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为( )
A.1
4 B.3
5 C ．4 D.53
答案 B
解析 －a ＝k AC ＝－35⇒a ＝3
5
.
8．(2020·合肥质检)已知函数f (x )＝x 33
＋12
ax 2
＋2bx ＋c 的两个极值分别为f (x 1)，f (x 2)，
若x 1，x 2分别在区间(0,1)与(1,2)内，则b －2a 的取值范围是( )
A ．(－4，－2)
B ．(－∞，2)∪(7，＋∞)
C ．(2,7)
D ．(－5，－2)
答案 C 解析
由题，求导可得f ′(x )＝x 2
＋ax ＋2b ，由题意可知
⎩⎪⎨⎪
⎧
f ′0＝2b >0，f ′1＝1＋a ＋2b <0，f ′2＝4＋2a ＋2b >0，
所以a ，b 满足的区域如图所示(不包括外界)，因为b
－2a 在B (－1,0)处取值为2，在C (－3,1)处取值为7，所以b －2a 的取值范围是(2,7)．
9．在区域M ＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪
⎫0<x <20<y <4内随机撒一粒黄豆，落在区域N ＝{(x ，y )|⎩⎪
⎨⎪⎧
x ＋y <4
y >x x >0
}
内的概率是________．
答案 1
2
解析 作出可行域，可知区域M 的面积为8，区域N 的面积为4.故黄豆落在区域N 的概率为48＝12
.
10．(2020·衡水调研卷)不等式组⎩⎪⎨
⎪⎧
x ≥0，
y ≥0，
x ＋y －2－1≤0，x －ky ＋k ≥0.
表示的是一个轴对称四
边形围成的区域，则k ＝________.
答案 k ＝±1
解析 要使不等式组表示的是一个轴对称四边形区域，则直线x －ky ＋k ＝0与直线x ＋
y －2－1＝0平行或垂直，∴k ＝±1.
11．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥1y ≤2
x －y ≤0
表示的平面区域的外接圆的方程为
________ .
答案 (x －32)2＋(y －32)2＝1
2
解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．易知△ABC 为等腰直角三角形．从而可得A (2,2)，B (1,1)，因此△ABC 的外接圆的圆心为(32，3
2
)，半径为
2－1
2
＋2－1
2
2
＝
22.所以所求外接圆的方程为(x －32)2＋(y －32)2＝12
. 12．某企业生产A ，B 两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：
产品品种
劳动力(个)
煤(吨) 电(千瓦)
A 产品 3 9 4
B 产品
10
4
5
制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业如何安排生产，才能获得最大利润？
解析
设生产A ，B 两种产品分别为x 吨，y 吨，利润为z 万元，依题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧
3x ＋10y ≤3009x ＋4y ≤360，4x ＋5y ≤200，x ≥0，y ≥0.
目标函数为z ＝7x ＋12y ，作出可行域，如图阴影所示．
当直线7x ＋12y ＝0向右上方平行移动时，经过M (20,24)时z 取最大值． ∴该企业生产A ，B 两种产品分别为20吨和24吨时，才能获得最大利润．
13．某公司计划2020年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
解析 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元．
由题意得⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤300500x ＋200y ≤90000
x ≥0，y ≥0
，
目标函数为z ＝3000x ＋2000y .
二元一次不等式组等价于⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤3005x ＋2y ≤900
x ≥0，y ≥0
，
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图． 作直线l ：3000x ＋2000y ＝0， 即3x ＋2y ＝0.
平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值．
联立⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋y ＝300
5x ＋2y ＝900，
解得x ＝100，y ＝200. ∴点M 的坐标为(100,200)， ∴z ＝3000x ＋2000y ＝700000(元)，
即在甲、乙两个电视台的广告时间分别为100分钟、200分钟时，收益最大，最大为700000元．
1．(2020·福建理)已知O 是坐标原点，点A (－1,1)．若点M (x ，y )为平面区域
⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2
上的一个动点，则OA →·OM →
的取值范围是( )
A ．[－1,0]
B ．[0,1]
C ．[0,2]
D ．[－1,2]
答案 C
解析 平面区域如图中阴影部分所示的△BDN ，N (0,2)，D (1,1)，设点M (x ，y )，因点A (－1,1)，则z ＝OA →·OM →
＝－x ＋y ，由图可知；当目标函数z ＝－x ＋y 过点D 时，z min ＝－1＋1＝0；当目标函数z ＝－x ＋y 过点N 时，z max ＝0＋2＝2，故z 的取值范围为[0,2]，即OA →·OM →
的取值范围为[0,2]，故选C.
2．如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥1，y ≤2，
x －y ≤0，
上，点M 的坐标为(3,0)，那么|PM |的最小值
是________．
答案
32
2
解析 点P 所在的可行域如图中阴影部分所示(包括边界)，点M 到阴影区域的最小值为：点M (3,0)到直线x －y ＝0的距离为322.故|PM |的最小值为322
.
3．(2020·山西四校联考)已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －y ≤0，x －2y ＋3≥0，
x ≥0，则z ＝log 2(x ＋y ＋
5)的最大值为( )
A ．8
B ．4
C ．3
D ．2
答案 C
解析 在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线x ＋y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(1,2)时，相应直线在y 轴上的截距最大，此时x ＋y ＋5取得最大值，最大值是x ＋y ＋5＝8，此时log 2(x ＋y ＋5)取得最大值3，选C.
4．已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，y ≤x ，
2x ＋y ＋k ≤0，
(k 为常数)，若z ＝x ＋3y 的最大值为8，
则k ＝________.
答案 －6
解析 结合不等式组所表示的区域以及z ＝x ＋3y 的最大值，不难得出z ＝x ＋3y 经过直线y ＝x 和2x ＋y ＋k ＝0的交点(－k 3，－k 3)时，z ＝x ＋3y 取得最大值8，∴－k 3＋3(－k
3)＝8.
∴k ＝－6.
5．家具公司做书桌和椅子，需木工和漆工两道程序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8000个工时，漆工平均每两个小时漆
一把椅子，一个小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1300个工时，又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，根据以上条件，安排生产多少把椅子，多少张书桌，能获得最多利润？
答案 200 900
解析 设生产x 把椅子，y 张书桌，获得利润为z 元，则 ⎩⎪⎨⎪⎧
4x ＋8y ≤8000，2x ＋y ≤1300，x ≥0，y ≥0.
即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋2y ≤2000，
2x ＋y ≤1300，x ≥0，y ≥0，
目标函数z ＝15x ＋20y .
由线性规划知识，作可行域易知x ＝200，y ＝900时，z 取得最大值．
1．(2020·湖南)设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≥x ，y ≤mx ，
x ＋y ≤1.
下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值
小于2，则m 的取值范围为( )
A ．(1,1＋2)
B ．
(1＋2，＋∞) C ．(1,3) D ．(3，＋∞)
答案 A 解析
变换目标函数为y ＝－1m x ＋z m ，由于m >1，所以－1<－1
m
<0，不等式组表示的平面区域如
图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义，只有直线y ＝－1m x ＋z
m
在y 轴上的截距最
大时，目标函数取得最大值．显然在点A 处取得最大值，由y ＝mx ，x ＋y ＝1，得A (11＋m ，m
1＋m )，
所以目标函数的最大值是11＋m ＋m 2
1＋m <2，即m 2
－2m －1<0，解得1－2<m <1＋2，故m 的取
值范围是(1,1＋2)．
2.
(2020·浙江温州五校联考)已知f (x )是定义域为R 的奇函数，f (－4)＝－1，f (x )的导函数f ′(x )的图像如图所示．若两正数a ，b 满足f (a ＋2b )<1，则
a ＋2
b ＋2
的取值范围是( ) A ．(1
3，2)
B ．(1
2，3)
C ．(－1,0)
D ．(－∞，－1)
答案 B
解析 ∵f (x )是定义域为R 的奇函数，f (－4)＝－1，
∴f (－4)＝－f (4)， ∴f (4)＝1.
∴f (a ＋2b )<f (4)，又由f ′(x )≥0，得f (x )为增函数， ∴a ＋2b <4.
而a ，b 为正数，∴a ＋2b <4所表示的区域为如图所示的直角三角形AOB (不包括边界)，其中A (0,4)，B (2,0)，
a ＋2
b ＋2
可看成是直线PM 的斜率，其中P (－2，－2)，M 在直角三角形AOB 的内部(不包括边界)，
∴k PB <k PM <k PA .
而k PA ＝4－－20－－2＝3，k PB ＝0－－22－－2＝1
2，
∴1
2
<k PM <3，选B. 3．设双曲线4x 2
－y 2
＝t (t ≠0)的两条渐近线与直线x ＝2围成的三角形区域(包含边界)为D ，P (x ，y )为D 内的一个动点，则目标函数z ＝1
2
x －y 的最小值为( )
A ．－2
B ．－322
C ．0
D ．－522
答案 B 解析
双曲线4x 2
－y 2
＝t (t ≠0)的两条渐近线方程为2x －y ＝0,2x ＋y ＝0，与直线x ＝2围成的三角形区域如图中的阴影部分所示，所以目标函数z ＝1
2x －y 在点P (2，22)处取得最
小值．该值为z ＝122－22＝－3
2
2，故选B.
4．已知实系数一元二次方程x 2
＋(1＋a )x ＋a ＋b ＋1＝0的两个实根为x 1、x 2，并且0<x 1<2，
x 2>2，则b
a －1
的取值范围是( )
A ．(－1，－1
3)
B ．(－3，－1
3]
C ．(－3，－1
2)
D ．(－3，－1
2
]
答案 C
解析 令f (x )＝x 2
＋(1＋a )x ＋a ＋b ＋1， ∵0<x 1<2<x 2，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
f 0>0，
f
2<0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋
b ＋1>0，
3a ＋b ＋7<0.
可行域如图，A (－3,2)； 又
b
a －1
的几何意义是(a ，b )与B (1,0)两点连线的斜率，
k AB ＝
2－3－1＝－1
2
，3a ＋b ＋7＝0的斜率为－3， ∴
b
a －1∈(－3，－12
)． 5．已知向量m ＝(a －2b ，a )，n ＝(a ＋2b,3b )，且m ，n 的夹角为钝角，则在aOb 平面上，点(a ，b )所在的区域是( )
答案 A
解析 ∵m 、n 的夹角为钝角，
∴m ·n <0⇒(a －2b ，a )·(a ＋2b,3b )＝a 2
－4b 2
＋3ab ＝(a ＋4b )(a －b )<0
⇒⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＋4
b >0，a －b <0或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＋4
b <0，
a －
b >0，故选A.
6．(2020·陕西西安第一次质检)在平面直角坐标系中，若不等式组
⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0，
(a 为常数)所表示的平面区域内的面积等于2，则a 的值为________．
答案 3 解析
不等式组⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋y －1≥0，
x －1≤0，
表示的区域为甲图中阴影部分．又因为ax －y ＋1＝0恒过定
点(0,1)，当a ＝0时，不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －1≥0，x －1≤0，
ax －y ＋1≥0，
所表示的平面区域的面积为1
2
，不合题
意；当a <0时，所围成的区域面积小于1
2，所以a >0，此时所围成的区域为三角形，如图乙
所示，其面积为S ＝1
2
×1×(a ＋1)＝2，解之得a ＝3.。