2019年江苏省镇江市丹徒区谏壁中学高一数学理月考试题含解析

2019年江苏省镇江市丹徒区谏壁中学高一数学理月考
试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. （5分）若函数y=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且?（O为坐标原点），则A=（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；平面向量数量积的含义与物理意义．
专题：计算题；数形结合．
分析：根据图象求出函数的周期，再求出ω的值，根据周期设出M和N的坐标，利用向量的坐标运算求出A的值．
解答：由图得，T=4×=π，则?=2，
设M（，A），则N（，﹣A），
∵，A＞0，∴×﹣A×A=0，解得A=，
故选B．
点评：本题考查了由函数图象求出函数解析式的方法，考查向量的数量积的计算，考查了读图能力．
2. 如果指数函数y=（a﹣2）x在x∈R上是减函数，则a的取值范围是( )
A．a＞2 B．0＜a＜1 C．2＜a＜3 D．a＞3
参考答案：
C
【考点】指数函数的单调性与特殊点．
【专题】计算题．
【分析】利用底数大于0小于1时指数函数为减函数，直接求a的取值范围．
【解答】解：∵指数函数y=（a﹣2）x在x∈R上是减函数
∴0＜a﹣2＜1?2＜a＜3
故答案为：（2，3）．
故选C．
【点评】本题考查指数函数的单调性．指数函数的单调性与底数的取值有关，当底数大于1时指数函数为增函数，当底数大于0小于1时指数函数为减函数．
3. 下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是
A. B. C.
D.
参考答案：
C
略
4. 若sinθ＞cosθ，且tanθ＜0，则角θ的终边位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
参考答案：
B
【考点】G3：象限角、轴线角．
【分析】因为sinθ＞cosθ，可判断θ一定不是第四象限，又tanθ＜0，可得判断θ是第二或第四象限角，问题得以解决．
【解答】解：∵sinθ＞cosθ，
∴θ一定不再第四象限，
又tanθ＜0，
∴θ是第二或第四象限角，
可得θ是第二象限角，
故选B．
【点评】本题考查象限角的定义，熟练掌握三角函数在各个象限中的符号是解决问题的关键，属于基础题．
5. 设点M是Z轴上一点，且点M到A（1，0，2）与点B（1，﹣3，1）的距离相等，则点M 的坐标是（）
A．（﹣3，﹣3，0）B．（0，0，﹣3）C．（0，﹣3，﹣3）D．（0，0，3）
参考答案：
B
【考点】IS：两点间距离公式的应用．
【分析】设出M点的坐标，利用点M到A（1，0，2）与点B（1，﹣3，1）的距离相等，列出方程即可求出M的坐标．
【解答】解：由题意设M（0，0，z），因为点M到A（1，0，2）与点B（1，﹣3，1）的距离相等，
所以，
即，解得z=﹣3．
所以M的坐标为（0，0，﹣3）．
故选B．
6. 若，则的值为 ( )
A.3
B. 6
C.
2 D.
参考答案：
B
略
7. 三个数a=0.62，b=log20.6，c=20.6之间的大小关系是（）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a
参考答案：
C
【考点】对数值大小的比较．
【分析】分别根据指数幂和对数的性质分别判断a，b，c的大小即可．
【解答】解：∵0＜0.62＜1，log20.6＜0，20.6＞1，
∴0＜a＜1，b＜0，c＞1，
∴b＜a＜c，
故选：C．
8. 已知幂函数f（x）=xα（α为常数）的图象过点P(2，)，则f（x）的单调递减区间是（）
A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，+∞）
C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣∞，0）与（0，+∞）
参考答案：
D
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【分析】由题意代入点的坐标可求得α=﹣1；从而写出单调区间．
【解答】解：由题意得：2α=，则α=﹣1；
则y=f（x）=x﹣1，
函数的单调递减区间是（﹣∞，0），（0，+∞）；
故选：D．
【点评】本题考查了幂函数的基本性质，属于基础题．
9. 下列函数中是偶函数且在(0,+∞)上单调递增的是
A. B C.
D
参考答案：
A
y＝|x|在上单调递增，且为偶函数；在上单调递减；y＝(x＋1) 2在单调递增，是非奇非偶函数；在上单调递减，故选A．
10. 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上有单调性，且f（﹣2）＜f （1），则下列不等式成立的是（）
A．f（﹣1）＜f（2）＜f（3）B．f（2）＜f（3）＜f（﹣4）C．f（﹣2）＜
f（0）＜f（）D．f（5）＜f（﹣3）＜f（﹣1）
参考答案：
D
【考点】抽象函数及其应用；奇偶性与单调性的综合．
【分析】由已知可得函数f（x）在（﹣∞，0]上为增函数，结合函数f（x）是定义在R
上的偶函数，可得答案．
【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上有单调性，且f（﹣2）＜f（1）=f（﹣1），
故函数f（x）在（﹣∞，0]上为增函数，
则f（5）=f（﹣5）＜f（﹣3）＜f（﹣1），
故选：D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数过定点
参考答案：
(-2,-1)
12. （5分）已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=（x＞0），则给出以下四个结论：
①函数f（x）的值域为[0，1]；
②函数f（x）的图象是一条曲线；
③函数f（x）是（0，+∞）上的减函数；
④函数g（x）=f（x）﹣a有且仅有3个零点时．
其中正确的序号为．
参考答案：
④
考点：根的存在性及根的个数判断；函数单调性的判断与证明．
专题：函数的性质及应用．
分析：通过举特例，可得①、②、③错误；数形结合可得④正确，从而得出结论．解答：由于符号[x]表示不超过x的最大整数，函数f（x）=（x＞0），
取x=﹣1.1，则[x]=﹣2，∴f（x）=＞1，故①不正确．
由于当0＜x＜1，[x]=0，此时f（x）=0；
当1≤x＜2，[x]=1，此时f（x）=；
当2≤x＜3，[x]=2，此时f（x）=，此时＜f（x）≤1，
当3≤x＜4，[x]=3，此时f（x）=，此时＜g（x）≤1，
当4≤x＜5，[x]=4，此时f（x）=，此时＜g（x）≤1，
故f（x）的图象不会是一条曲线，且 f（x）不会是（0，+∞）上的减函数，故排除②、③．
函数g（x）=f（x）﹣a有且仅有3个零点时，函数f（x）的图象和直线y=a有且仅有3个交点，
此时，，故④正确，
故答案为：④．
点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于基础题．
13. 已知为第三象限的角，,则
参考答案：
14. 如图，在四面体A－BCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为1，则二面角A －CD－B的平面角的余弦值为________.
参考答案：
如图，取CD中点E，AC中点F，连接，
由题可知，边长均为1，则，
中，，则，得，
所以二面角的平面角即，
在中，，
则，
所以。

15. 若函数，则= .
参考答案：
-1
16. 已知数列{a n}的前n项和分别为S n，若，，则{a n}的通项公
式a n =___________，满足不等式的最小正整数n=____________．
参考答案：
；9
17. 已知幂函数在(0,+∞)是增函数，则实数m的值是．
参考答案：
1
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入
100元，已知总收入满足函数：
（1）将利润表示为月产量的函数f(x)；
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益=总成本-利润).
参考答案：
（1）设月生产量为台，则总成本为20000+100，
从而.
（2）当时，f(x)=
∴当x=300时，f(x)有最大值25000；
当x>400时，f(x)=6000-100x是减函数，又f(400)=f20000<25000，
∴当x=300时，f(x)的最大值为25000元.
即当月产量为300台时，公司所获最大利润为25000元
19. 平面向量=（，﹣1），=（，），若存在不同时为0的实数k和t，使
=+（t2﹣3）， =﹣k+t，且⊥，试求函数关系式k=f（t）．
参考答案：
【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【分析】由，得，由此利用向量垂直的性质能求出函数关系式k=f（t）．
【解答】解：由，
得，
∴．
20. 如图，在六面体中，平面∥平面，平面，
,,∥，且,．
(I）求证：平面平面；
(II）求证：∥平面；
(III）求三棱锥的体积．
参考答案：
（1）∵平面∥平面，平面平面, 平面平面
.
∴为平行四边形，.
平面,平面，
平面,
∴平面平面.
(2）取的中点为，连接、，
则由已知条件易证四边形是平行四边形，
∴，又∵，∴
∴四边形是平行四边形，即，
又平面故平面.
(3）平面∥平面，则F到面ABC的距离为AD.
＝
21. (本小题满分12分)已知为等差数列的前项和，
，求；
参考答案：
略
22. (本小题满分12分)
如图，在底面是菱形的四棱锥，
，，，
点是的中点．证明：
（Ⅰ）⊥平面；（Ⅱ）∥平面．
参考答案：
证明：（1）底面为菱形，，
．······································································ 2分
，，，
，同理可证
，········································································ 4分又，平面
．·························································· 6分
（2）连结相交于，则为的中点．
为的中点，
．········································································· 8分
又平面，平面
，·························································· 10分
平面
． (12)
分
略。