专训1 三角形内角和与外角和的几种常见应用类型(3)
【初中数学知识点解析】三角形内角和与外角和应用
三角形内角和与外角和有着广泛的应用，利用它们可以解决有 关角的很多问题： 直接计算角度 三角尺或直尺中求角度 与平行线的性质综合求角度 截角或折叠问题中求角度等
类型1 直接计算角度
1．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，点D，E分别在BC，AC的 延长线上，则∠1＝____8_0_°__.
等于( B )
A．360°
B．250° C．180° D．140
类型4 截角和折叠综合求角度
6．如图，将△ABC沿着DE翻折，使B点与B′点重合，若∠1＋∠2＝80°， 求∠B的度数． 解：由折叠知∠1＋∠2＋2(∠BED＋∠BDE)＝360°，
即80°＋2(∠BED＋∠BDE)＝360°， 所以∠BED＋∠BDE＝140°， 所以∠B＝180°–(∠BED＋∠BDE)＝180°–140°＝40°.
点E落在AC边上，且ED∥BC，则∠CEF的度数为________．
类型2 三角尺或直尺中求角度
3．一副三角尺如图所示摆放，以AC为一边，在△ABC外作∠CAF＝∠DCE， 边AF交DC的延长线于点F，求∠F的度数．
解：因为∠BCA＝90°，∠DCE＝30°， 所以∠ACF＝180°–∠BCA–∠DCE＝180°–90°–30°＝60°. 因为∠CAF＝∠DCE＝30°， 所以∠F＝180°–∠CAF–∠ACF＝180°–30°–60°＝90°.
同类变式 在△ABC中，三个内角∠A，∠B，∠C满足∠B–∠A＝∠C–∠B，
则∠B＝________．
尺的一边上，若∠1＝50°， 则∠2的度数是( B ) A．50° B．40° C．30° D．25°
同类变式 一副三角尺ABC和DEF如图放置(其中∠A＝60°，∠F＝45°)，使
新人教版数学八年级上册 小专题(二) 三角形内角和与外角的几种常见应用
小专题( 二)三角形内角和与外角的几种常见应用三角形的内角和为180°,三角形的中线、高线、角平分线是三角形的三条特殊线段,它们之间形成的特殊角与三角形的内角之间存在一定的数量关系,是考试命题中的热点,也是一些探究题的命题素材.解题时注意利用转化的思想和数形结合的思想来求解,学习时注意及时总结规律.类型1三角形内角和定理的应用三角形内角和定理的应用一般都需要将不相邻的角转化成同一个三角形中的内角,在解题时要关注“8字形”中对顶角相等的关系.1.( 青海中考)小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起,其中∠E=90°,∠C=90°,∠A=45°,∠D=30°,则∠1+∠2等于( C)A.150°B.180°C.210°D.270°2.已知在△ABC中,∠ABC-∠ACB=20°,∠ACB的度数是∠BAC度数的求∠ABC的度数.解:设∠ACB=x,则∠ABC=x+20°,∠BAC=2x,∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,∴x+20°+x+2x=180°,解得x=40°,∴∠ABC=60°.类型2三角形外角性质定理的应用三角形外角性质定理的应用也需要用到“转化”思想去解题,在解题时运用恰当可以达到事半功倍的效果,难点在于在众多的三角形中正确找出某个三角形的外角并灵活运用转化思想解题.3.如图,图中x的值为( B)A.50B.60C.70D.754.如图,直线a∥b,c,d是截线且交于点A,若∠1=60°,∠2=100°,则∠A等于( A)A.40°B.50°C.60°D.70°5.如图,EP平分∠AED,FP平分∠AFB,ED与FB相交于点C,请你找出∠P,∠A,∠ECF之间的一个确定的数量关系式,并说明理由.解:∠A+∠ECF=2∠P.理由:延长EP交AF于点G,则∠EPF=∠PGF+∠AFP.∵∠PGF=∠A+∠AEP,∴∠EPF=∠A+∠AEP+∠AFP.∵∠ECF=∠CDF+∠CFD,∠CDF=∠A+∠AED,又∵EP平分∠AED,FP平分∠AFB,∴∠ECF=∠A+∠AED+∠CFD=∠A+2∠AEP+2∠AFP,∴∠A+∠ECF=2∠A+2∠AEP+2∠AFP=2∠EPF.类型3三角形内角和与外角性质定理的综合应用这类题一般都是不规则的多边形,解决此类问题除了运用前面介绍的转化思想之外,还可以借助辅助线,结合平行线的性质等知识综合解决问题.6.已知三角形的三个内角的比为1∶3∶6,则它对应的三个外角的比为( C)A.1∶3∶6B.6∶3∶1C.9∶7∶4D.3∶5∶27.如图,七角星中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=180°.8.如图,在△ABC中,∠B=∠C,D是BC边上任意一点,点E在AC边上,且∠ADE=∠AED. ( 1 )若∠BAD=40°,求∠EDC的度数;( 2 )若∠EDC=15°,求∠BAD的度数;( 3 )根据上述两小题的答案,试写出∠EDC与∠BAD的关系.解:( 1 )∵∠B=∠C=( 180°-∠BAC)=90°-BAC,∴∠ADC=∠B+∠BAD=130°-BAC.∵∠DAC=∠BAC-∠BAD=∠BAC-40°,∴∠ADE=∠AED=( 180°-∠DAC)=110°-BAC,∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=130°-BAC--=20°.( 2 )∵∠AED=∠EDC+∠C,∠ADC=∠B+∠BAD,∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=2∠EDC+∠C.∵∠B=∠C,∠EDC=15°,∴∠BAD=2∠EDC=30°.( 3 )∠EDC=BAD.类型4三角形特殊线段形成的角解决这类题的关键在于梳理三种特殊线段各自的特征.( 1 )角平分线的特征:所分成的两个角相等;( 2 )中线的特征:所分成的两个三角形面积相等;( 3 )高线的特征:所分成的两个三角形都是直角三角形.9.如图,BP是△ABC中∠ABC的平分线,CP是△ABC的外角∠ACM的平分线,如果∠ABP=20°,∠ACP=50°,则∠A+∠P等于( C)A.70°B.80°C.90°D.100°10.如图,已知AD是△ABC的角平分线( ∠ACB>∠B),EF⊥AD于点P,交BC的延长线于点M.求证:( 1 )如果∠ACB=90°,则∠M=∠1;( 2 )∠M=( ∠ACB-∠B).证明:( 1 )∵AD是△ABC的角平分线,∴∠1=∠2.∵EF⊥AD,∴∠2+∠AFP=90°.∵∠ACB=90°,∴∠M+∠CFM=90°.∵∠CFM=∠AFP,∴∠M=∠2=∠1.( 2 )∵EF⊥AD,AD平分∠BAC,∴∠APE=∠APF=90°,∠1=∠2.又∵∠AEF=90°-∠1,∠AFE=90°-∠2,∴∠AEF=∠AFE.∵∠CFM=∠AFE,∴∠AEF=∠AFE=∠CFM.∵∠AEF=∠B+∠M,∠CFM=∠ACB-∠M,∴∠B+∠M=∠ACB-∠M,即∠M=( ∠ACB-∠B).11.在△ABC中,∠A=64°,角平分线BP,CP相交于点P.( 1 )如图1,若BP,CP是两内角的平分线,则∠BPC=122°;( 2 )如图2,若BP,CP是两外角的平分线,则∠BPC=58°;( 3 )如图3,若BP,CP分别是一内角和一外角的平分线,则∠BPC=32°;( 4 )由( 1 )( 2 )( 3 )可知∠BPC与∠A有着密切的数量关系,请写出你的发现.解:( 4 )若BP,CP是两内角的平分线,则∠BPC=90°+A;若BP,CP是两外角的平分线,则∠BPC=90°-A;若BP,CP分别是一内角和一外角的平分线,则∠BPC= A.。
三角形的内角和外角三角形的内角和外角的性质
三角形的内角和外角三角形的内角和外角的性质三角形的内角和外角是三角形的基本性质之一，它们的和有着固定的关系。
本文将探讨三角形的内角和外角的性质以及相关的数学定理。
一、三角形的内角和外角的定义三角形由三条边和三个角组成。
其中每个角都有对应的内角和外角。
内角是指位于三角形内部的角，即由两条边组成的夹角。
外角是指位于三角形外部的角，即由一条边和与其相邻的内角组成的夹角。
二、三角形的内角和外角的关系1. 内角和定理对于任意三角形，其内角的和等于180度。
即三个内角的度数之和为180度。
若设三角形的三个内角分别为∠A、∠B、∠C，则有∠A + ∠B + ∠C = 180度。
2. 外角和定理对于任意三角形，其外角的和也等于180度。
即三个外角的度数之和为180度。
若设三角形的三个外角分别为∠A'、∠B'、∠C'，则有∠A' +∠B' + ∠C' = 180度。
3. 内角和与外角和的关系对应一个内角和一个外角，它们的度数之和为180度。
即对于三角形的任意一组内角和外角，有∠A + ∠A' = 180度；∠B + ∠B' = 180度；∠C + ∠C' = 180度。
三、三角形的内角和外角的性质1. 三角形的内角性质a. 锐角三角形：三个内角都小于90度。
b. 直角三角形：一个内角为90度。
c. 钝角三角形：一个内角大于90度。
2. 三角形的外角性质a. 锐角三角形：三个外角都大于0度且小于180度。
b. 直角三角形：一个外角为90度。
c. 钝角三角形：两个外角大于90度且小于180度，一个外角为0度。
3. 三角形的内角和外角关系a. 两个内角的和大于第三个内角。
即∠A + ∠B > ∠C，∠A +∠C > ∠B，∠B + ∠C > ∠A。
b. 两个外角的和等于第三个外角。
即∠A' + ∠B' = ∠C'，∠A' +∠C' = ∠B'，∠B' + ∠C' = ∠A'。
专题17 三角形基础(归纳与讲解)(原卷版)
专题17 三角形基础【专题目录】技巧1：三角形三边关系的巧用技巧2：三角形的三种重要线段技巧3：三角形内角和与外角的几种常见应用类型【题型】一、三角形的分类【题型】二、构成三角形三边的条件【题型】三、确定三角形第三边的取值范围【题型】四、与三角形高有关的相关计算问题【题型】五、与三角形重心有关的计算【题型】六、与三角形内角和定理的有关的计算【题型】七、利用直角三角形两个锐角互余进行相关计算【题型】八、利用三角形外角性质进行相关计算【考纲要求】1、了解三角形和全等三角形有关的概念，掌握三角形的三边关系．2、理解三角形内角和定理及推论．3、理解三角形的角平分线、中线、高的概念及画法和性质．【考点总结】一、三角形的概念【考点总结】二、三角形中的重要线段和有关的角【技巧归纳】技巧1：三角形三边关系的巧用【类型】一、判断三条线段能否组成三角形1．下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，不能摆成三角形的一组是()A．4，4，8 B．5，5，1C．3，7，9 D．2，5，42．有四条线段，长度分别为4 cm，8 cm，10 cm，12 cm，选其中三条组成三角形，试问可以组成多少个三角形？分别写出来．【类型】二、求三角形第三边的长或取值范围3．一个三角形的两边长分别为5 cm和3 cm，第三边的长是整数，且周长是偶数，则第三边的长是() A．2 cm或4 cm B．4 cm或6 cm C．4 cm D．2 cm或6 cm4．如果三角形的两边长分别为3和5，则周长l的取值范围是()A．6＜l＜15 B．6＜l＜16C．11＜l＜13 D．10＜l＜165．若三角形的三边长是三个连续的自然数，其周长m满足10＜m＜22，则这样的三角形有________个．【类型】三、三角形的三边关系在等腰三角形中的应用6．等腰三角形的一条边长为6，另一条边长为13，则它的周长为()A．25 B．25或32C．32 D．197．已知等腰三角形ABC的底边BC＝8 cm，|AC－BC|＝2 cm，则AC＝________．8．若等腰三角形的底边长为4，且周长小于20，则它的腰长b的取值范围是____________．【类型】四、三角形的三边关系在代数中的应用9．已知三角形三边长分别为a，b，c，且|a＋b－c|＋|a－b－c|＝10，求b的值．10．已知a，b，c是△ABC的三边长，b，c满足(b－2)2＋|c－3|＝0，且a为方程|x－4|＝2的解，求△ABC的周长．【类型】五、利用三角形的三边关系说明边的不等关系11．如图，已知D，E为△ABC内两点，说明：AB＋AC＞BD＋DE＋CE.技巧2：三角形的三种重要线段【类型】一、三角形的高题型1：找三角形的高1．如图，已知AB⊥BD于点B，AC⊥CD于点C，AC与BD交于点E.△ADE的边DE上的高为________，边AE上的高为________．题型2：作三角形的高2．(动手操作题)画出图中△ABC的三条高．(要标明字母，不写画法)题型3：应用三角形的高3．如图，在△ABC中，BC＝4，AC＝5，若BC边上的高AD＝4.(1)求△ABC的面积及AC边上的高BE的长；(2)求AD∶BE的值．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC，垂足分别为点E，F，G.试说明：DE＋DF＝BG.【类型】二、三角形的中线题型1：利用中线求长度5．如图，AE是△ABC的中线，已知EC＝4，DE＝2，则BD的长为()A．2 B．3 C．4 D．66．如图，已知BE＝CE，ED为△EBC的中线，BD＝8，△AEC的周长为24，则△ABC的周长为()A．40B．46C．50D．567．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分成15 cm和6 cm两部分，求这个等腰三角形的三边长．题型2：利用中线求面积8．图，△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG∶GD＝2∶1，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是________．9．操作与探索：在图①～③中，△ABC的面积为a.(1)如图①，延长△ABC的边BC到点D，使CD＝BC，连接DA，若△ACD的面积为S1，则S1＝________(用含a的代数式表示)；(2)如图②，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD＝BC，AE＝CA，连接DE，若△DEC的面积为S2，则S2＝________(用含a的代数式表示)，请说明理由；(3)如图③，在图②的基础上延长AB到点F，使BF＝AB，连接FD，FE，得到△DEF，若阴影部分的面积为S3，则S3＝________(用含a的代数式表示)．【类型】三、三角形的角平分线题型1：三角形角平分线定义的直接应用10．(1)如图，在△ABC中，D，E，F是边BC上的三点，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4，以AE为角平分线的三角形有__________；(2)如图，若已知AE平分∠BAC，且∠1＝∠2＝∠4＝15°，计算∠3的度数，并说明AE是△DAF的角平分线．题型2：三角形的角平分线与高线相结合求角的度数11．如图，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝20°，∠C＝60°，求∠DAE的度数．题型3：求三角形两内角平分线的交角度数12．如图，在△ABC中，BE，CD分别为其角平分线且交于点O.(1)当∠A＝60°时，求∠BOC的度数；(2)当∠A＝100°时，求∠BOC的度数；(3)当∠A＝α°时，求∠BOC的度数．技巧3：三角形内角和与外角的几种常见应用类型【类型】一、直接计算角度1．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，点D，E分别在BC，AC的延长线上，则∠1＝________．2．在△ABC中，三个内角∠A，∠B，∠C满足∠B－∠A＝∠C－∠B，则∠B＝________．【类型】二、三角尺或直尺中求角度3．把一个直尺与一块三角尺按如图所示的方式放置，若∠1＝40°，则∠2的度数为()A．125°B．120°C．140°D．130°4．一副三角尺ABC和DEF如图放置(其中∠A＝60°，∠F＝45°)，使点E落在AC边上，且ED∥BC，则∠CEF的度数为________．5．一副三角尺如图所示摆放，以AC为一边，在△ABC外作∠CAF＝∠DCE，边AF交DC的延长线于点F，求∠F的度数．【类型】三、与平行线的性质综合求角度6．如图，AB ∥CD ，∠ABE ＝60°，∠D ＝50°，求∠E 的度数．【类型】四、与截角和折叠综合求角度7．如图，在△ABC 中，∠C ＝70°，若沿图中虚线截去∠C ，则∠1＋∠2等于( )A ．360°B ．250°C ．180°D ．140°8．△ABC 是一个三角形的纸片，点D ，E 分别是△ABC 边AB ，AC 上的两点．(1)如图①，如果沿直线DE 折叠，则∠BDA′与∠A 的关系是____________；(2)如果折成图②的形状，猜想∠BDA′，∠CEA′和∠A 的关系，并说明理由；(3)如果折成图③的形状，猜想∠BDA′，∠CEA′和∠A 的关系，并说明理由．【题型讲解】【题型】一、三角形的分类例1、已知①ABC 中::3:4:7A B C ∠∠∠=，则①ABC 一定是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定【题型】二、构成三角形三边的条件例2、三角形的两边长分别为3cm 和6cm ，则第三边长可能为（ ）A ．2cmB ．3cmC ．6cmD ．9cm【题型】三、确定三角形第三边的取值范围例3、如图，ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，若6AC =，8BD =，则AB 的长可能是（ ）A ．10B ．8C ．7D ．6【题型】四、与三角形高有关的相关计算问题例4、如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，过点C 作CD AB ⊥于点D ，已知12AC =，13AB =，则CD 的长是（ ）A ．5B ．6013C ．6D ．6512【题型】五、与三角形重心有关的计算例5、如图，在①ABC 中，AD ，BE 分别是BC ，AC 边上的中线，且AD①BE ，垂足为点F ，设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，则下列关系式中成立的是（ ）A ．a 2+b 2＝5c 2B ．a 2+b 2＝4c 2C ．a 2+b 2＝3c 2D ．a 2+b 2＝2c 2【题型】六、与三角形内角和定理的有关的计算例6、如图所示，直线EF //GH ，射线AC 分别交直线EF 、GH 于点B 和点C ，AD ①EF 于点D ，如果①A ＝20°，则①ACG ＝（ ）A ．160°B ．110°C ．100°D ．70°【题型】七、利用直角三角形两个锐角互余进行相关计算例7、如图，在四边形ABCD 中，CD①AB ，AC①BC ，若①B ＝50°，则①DCA 等于（ ）A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°【题型】八、利用三角形外角性质进行相关计算例8、如图，已知//,AB CD 直线AC 和BD 相交于点,E 若70,40ABE ACD ∠=︒∠=︒，则AEB ∠等于（ ）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒三角形基础（达标训练）一、单选题1．如图，在①ABC 中，D 为BC 的延长线上一点，若①B =70°，①1=110°，则①A =（ ）A ．35°B ．40°C ．55°D ．70°2．如图，已知直线AE ①BD ，且①C ＝15°，①1＝110°，则①2的度数是（ ）A ．45°B ．55°C ．65°D ．75°3．数学课上，同学们在作ABC 中AC 边上的高时，共画出下列四种图形，其中正确的是（ ）．A ．B ．C ．D ．4．某班级计划在耕读园里搭三角形围栏，可以选择三种长度的木条组合是（ ）A ．3、4、8B ．4、4、8C ．3、5、6D ．5、6、115．如图，人字梯中间设计一“拉杆”，在使用梯子时，固定拉杆会增加安全性．这样做蕴含的数学道理是（ ）A ．三角形具有稳定性B ．两点之间线段最短C ．经过两点有且只有一条直线D ．垂线段最短二、填空题6．如图，点B 、C 、D 在同一直线上，AB ①CE ，若①A ＝55°，①ACB ＝65°，则①1为___°．7．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，点E 、F 分别是边AB AC 、上，且AF EF =．若72CFE ∠=︒，则B ∠=_________°．三、解答题8．如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，130BCD ∠=︒，BE 平分ABC ∠交AD 于点E ，交CD 的延长线于点F ．(1)求ABE ∠的大小；(2)若48ADC ∠=︒，求DEF ∠的大小．三角形基础（提升测评）一、单选题1．如图，点C ，D 在直线AB 上，OC OD ⊥，若120ACO ∠=，则①BDO 的大小为（ ）A ．120B ．140C ．150D ．1602．一把直尺和一块三角板ABC （含45°角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D 和点E ，另一边与三角板的两直角边分别交于点F 和点A ，①CED =25°，则①BF A 的大小为（ ）A ．105°B ．110°C ．115°D ．125°3．如图，BE 是ABC 的中线，AD BC ⊥交BE 于点F ，且BD AE =，50∠︒=EAD ，则EBC ∠的度数为（ ）A ．30°B ．25°C ．20°D ．15°4．如图，在ABC 中，BD 为AC 边上的中线，已知8BC =，5AB =，BCD △的周长为20，则ABD △的周长为（ ）A ．17B ．23C ．25D ．285．如图，Rt ①ABC 中，①C ＝90°，BD 平分①ABC 交AC 于点D ，点E 为AB 的中点，若AB ＝12，CD ＝3，则①DBE 的面积为（ ）A ．10B ．12C ．9D ．6二、填空题6．如图，在ABC ∆ 中，AD 平分CAB ∠ ，AB AC CD =+ ，若81CAB ∠=︒ ，则B ∠ 度数为______．7．如图，在ABC 中，AB AC =，点D 在边BC 上，AD BD =，如果102∠=︒DAC °，那么BAD ∠=___________度．三、解答题8．如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，将Rt ABC △绕点A 旋转一定的角度得到Rt ADE △，且点E 恰好落在边BC 上．(1)求证：AE 平分CED ∠；(2)连接BD ，求证：90DBC ∠=︒．。
三角形的内角和与外角和关系(基础)知识讲解
三角形的内角和与外角和关系（基础）知识讲解【学习目标】1．理解三角形内角和定理的证明方法；2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质；3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.【要点梳理】要点一、三角形的内角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．2.结论：直角三角形的两个锐角互余.要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．要点二、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：（1）外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理、证明经常使用的理论依据．另外，在证明角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．【典型例题】类型一、三角形的内角和1．证明：三角形的内角和为180°.【答案与解析】解：已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°.证法1：如图1所示，延长BC 到E ，作CD ∥AB ．∵ AB ∥CD （已作），∴ ∠1=∠A （两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）．又∵∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义），∴∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）．证法2：如图2所示，在BC 边上任取一点D ，作DE ∥AB ，交AC 于E ，DF ∥AC ，交AB 于点F ．∵DF ∥AC （已作），∴∠1=∠C （两直线平行，同位角相等），∠2=∠DEC （两直线平行，内错角相等）．∵DE ∥AB （已作）．∴∠3=∠B ，∠DEC=∠A （两直线平行，同位角相等）．∴∠A=∠2（等量代换）．又∵∠1+∠2+∠3=180°（平角定义），∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）．证法3：如图3所示，过A 点任作直线1l ，过B 点作2l ∥1l ，过C 点作3l ∥1l ，∵1l ∥3l （已作）．∴∠l=∠2（两直线平行，内错角相等）．同理∠3=∠4．又∵1l ∥2l （已作），∴∠5+∠1+∠6+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠5+∠2+∠6+∠3=180°（等量代换）．又∵∠2+∠3=∠ACB ，∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°（等量代换）．【总结升华】三角形内角和定理的证明方法有很多种，无论哪种证明方法，都是应用的平行线的性质.2.在△ABC 中，已知∠A+∠B ＝80°，∠C ＝2∠B ，试求∠A ，∠B 和∠C 的度数．【思路点拨】题中给出两个条件：∠A+∠B ＝80°，∠C ＝2∠B ，再根据三角形的内角和等于180°，即∠A+∠B+∠C ＝180°就可以求出∠A ，∠B 和∠C 的度数．【答案与解析】解：由∠A+∠B ＝80°及∠A+∠B+∠C ＝180°，知∠C ＝100°．又∵ ∠C ＝2∠B ，∴ ∠B ＝50°．∴ ∠A ＝80°-∠B ＝80°-50°＝30°．【总结升华】解答本题的关键是利用隐含条件∠A+∠B+∠C ＝180°．本题可以设∠B ＝x ，则∠A ＝80°-x ，∠C ＝2x 建立方程求解．【高清课堂：与三角形有关的角 例1、】举一反三：【变式】已知，如图 ，在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A ，BD 是AC 边上的高，求∠DBC 的度数.【答案】解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得：x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中， BD是AC边上的高，∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°－90°-72°=18°类型二、三角形的外角【高清课堂：与三角形有关的角例2、】3.（1）如图，AB和CD交于点O，求证：∠A＋∠C＝∠B＋∠D ．（2）如图，求证：∠D=∠A＋∠B +∠C．【答案与解析】解：（1）如图，在△AOC中，∠COB是一个外角，由外角的性质可得：∠COB＝∠A＋∠C，同理，在△BOD中，∠COB＝∠B＋∠D，所以∠A＋∠C＝∠B＋∠D．（2）如图，延长线段BD交线段与点E，在△ABE中，∠BEC＝∠A＋∠B ①；在△DCE中，∠BDC＝∠BEC＋∠C ②，将①代入②得，∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C，即得证．【总结升华】重要结论：（1）“8”字形图：∠A＋∠C＝∠B＋∠D；（2）“燕尾形图”：∠D=∠A＋∠B +∠C．举一反三：【变式1】如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝40°，∠AOB＝75°，则∠C等于（）A、40°B、65°C、75°D、115°【答案】B【变式2】如图，在△ABC中，∠A＝70°，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，则∠BOC的度数为 .【答案】125°类型三、三角形的内角、外角综合4.如图所示，已知DE分别交△ABC的边AB、AC于D、E，交BC的延长线于F，∠B＝67°，∠ACB＝74°，∠AED＝48°，求∠BDF的度数．【思路点拨】要求∠BDF的度数，应从三角形内角和与三角形的外角出发，若将∠BDF看成△BDF的内角，只需求∠F的度数即可．【答案与解析】解：∵∠CEF＝∠AED＝48°，∠BCA＝∠CEF+∠F，∴∠F＝∠BCA-∠CEF＝74°-48°＝26°，∴∠BDF＝180°-∠B-∠F＝180°-67°-26°＝87°．【总结升华】三角形内角和与外角是进行与角有关的计算或证明的重要工具，本题也可将∠BDF看成△ADE的外角来求解．举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC中，P为内角平分线AD、BE、CF的交点，过点P作PG⊥BC 于G，试说明∠BPD与∠CPG的大小关系并说明理由．【答案】解：∠BPD＝∠CPG；理由如下：∵ AD、BE、CF分别是∠BAC、∠ABC、∠ACB的角平分线，∴∠1＝12∠ABC，∠2＝12∠BAC，∠3＝12∠ACB，∴∠1+∠2+∠3＝12(∠ABC+∠BAC+∠ACB)＝90°，又∵∠4＝∠1+∠2，∴∠4+∠3＝90°，又∵ PG⊥BC，∴∠3+∠5＝90°，∴∠4＝∠5，即∠BPD＝∠CPG．。
【初中数学】人教版八年级上册专题训练（一） 三角形内角和与外角的应用(练习题)
人教版八年级上册专题训练（一）三角形内角和与外角的应用(159)1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=26∘，则∠CDE的度数为（）A.71∘B.64∘C.80∘D.45∘2.如图，在△ABC中，∠C=70∘.若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2等于（）A.360∘B.250∘C.180∘D.140∘3.如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4=．4.如图，在△ABC中，∠A=60∘，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′EC=70∘，那么∠A′DE的度数为．5.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线．若∠B=35∘，∠ACE=60∘，则∠A=（）A.35∘B.95∘C.85∘D.75∘6.如图，a∥b,∠1+∠2=75∘,则∠3+∠4=．7.如图，AD∥BE，AC，BC分别平分∠DAB和∠EBA，试判断AC和BC的位置关系，并说明理由．8.如图，AB∥CD，∠ABE=60∘，∠D=50∘，求∠E的度数．9.将一副三角尺拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F．(1)求证：CF∥AB；(2)求∠DFC的度数．10.将直尺和三角尺按如图所示叠放在一起，则∠1+∠2的度数是（）A.45∘B.60∘C.90∘D.180∘11.已知直线l1∥l2，一个含45∘角的直角三角尺按如图所示放置．若∠1=85∘，则∠2=∘.12.将一副直角三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB的度数为．13.如图是一副三角尺叠放的示意图，则∠α=．14.一副三角尺如图所示摆放，以AC为一边，在△ABC外作∠CAF=∠DCE，边AF交DC的延长线于点F，求∠F的度数．15.如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A=20∘，∠COD=100∘，则∠C的度数是（）A.80∘B.70∘C.60∘D.50∘16.如图，平面上直线a，b分别过线段OK的两端点(数据如图)，则a，b相交所成的锐角是（）A.20∘B.30∘C.70∘D.80∘17.如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A=40∘，则∠D的度数为（）A.40∘B.50∘C.60∘D.70∘18.如图，∠ACB=90∘，CD⊥AB，垂足为D，下列结论错误的是（）A.图中有三个直角三角形B.∠1=∠2C.∠1和∠B都是∠A的余角D.∠2=∠A19.在△ABC中，∠A=80∘，∠B=3∠C，则∠B=∘.20.如图，在△ABC中，∠B=40∘，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=．21.如图,在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线．已知∠A=40∘，求∠BDC 的度数．22.如图，把一个含30∘角的直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上．如果∠1=20∘，那么∠2的度数为（）A.20∘B.50∘C.60∘D.70∘参考答案1.【答案】:A【解析】:由折叠可得∠ACD=∠BCD，∠BDC=∠CDE．∵∠ACB=90∘，∴∠ACD=45∘.∵∠A=26∘，∴∠BDC=∠A+∠ACD=26∘+45∘=71∘，∴∠CDE=71∘2.【答案】:B4.【答案】:65∘5.【答案】:C【解析】:∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE=60∘，∴∠ACD=2∠ACE=120∘.∵∠ACD=∠B+∠A，∴∠A=∠ACD−∠B=120∘−35∘=85∘6.【答案】:105∘7.【答案】:AC⊥BC．理由如下：∵AD∥BE，∴∠DAB+∠EBA=180∘.又∵AC，BC分别平分∠DAB和∠EBA，∴∠CAB=12∠DAB，∠CBA=12∠EBA，∴∠CAB+∠CBA=12(∠DAB+∠EBA)=90∘，∴∠ACB=90∘，∴AC⊥BC【解析】:AC⊥BC．理由如下：∵AD∥BE，∴∠DAB+∠EBA=180∘. 又∵AC，BC分别平分∠DAB和∠EBA，∴∠CAB=12∠DAB，∠CBA=12∠EBA，∴∠CAB+∠CBA=12(∠DAB+∠EBA)=90∘，∴∠ACB=90∘，∴AC⊥BC8.【答案】:延长EB交DC于点F．∵AB∥CD,∠ABE=60∘,∴∠EFC=60∘.∵∠E+∠D=∠EFC,即∠E+50∘=60∘,∴∠E=10∘【解析】:延长EB交DC于点F．∵AB∥CD,∠ABE=60∘, ∴∠EFC=60∘. ∵∠E+∠D=∠EFC, 即∠E+50∘=60∘, ∴∠E=10∘9(1)【答案】∵CF平分∠DCE,∠DCE=90∘,∠DCE=45∘.∴∠DCF=∠ECF=12又∵∠BAC=45∘，∴∠BAC=∠DCF,∴CF∥AB(2)【答案】由三角形内角和定理可得∠DFC=180∘−∠DCF−∠D=180∘−45∘−30∘=105∘10.【答案】:C11.【答案】:4012.【答案】:105∘13.【答案】:75∘14.【答案】: 根据题意，得∠CAF=∠DCE=30∘.∵∠ACB=90∘，∴∠ACF=180∘−90∘−30∘=60∘，∴∠CAF+∠ACF=30∘+60∘=90∘.∴△ACF是直角三角形，即∠F=90∘【解析】: 根据题意，得∠CAF=∠DCE=30∘.∵∠ACB=90∘，∴∠ACF=180∘−90∘−30∘=60∘，∴∠CAF+∠ACF=30∘+60∘=90∘.∴△ACF是直角三角形，即∠F=90∘15.【答案】:C【解析】:∵AB∥CD，∠A=20∘，∴∠D=∠A=20∘.又∵∠COD=100∘，∴∠C=180∘−∠D−∠COD=60∘16.【答案】:B17.【答案】:A【解析】:∵AB⊥BD，∠A=40∘，∴∠AEB=90∘−40∘=50∘,∴∠DEC=50∘.∵AC⊥CD，∴∠D=90∘−50∘=40∘18.【答案】:B【解析】:∵∠ACB=90∘，∴△ABC是直角三角形．∵CD⊥AB，∴△ACD和△BCD都是直角三角形，故A选项正确；∵∠ACB=90∘，∴∠1+∠2=90∘，∠A+∠B=90∘.∵CD⊥AB，∴∠CDA=90∘，∴∠A+∠1=90∘，∴∠1和∠B都是∠A的余角，∠A=∠2，故选项C，D正确．无法得到∠1=∠2，故选项B不正确19.【答案】:75【解析】:∵∠A=80∘，∴∠B+∠C=180∘−80∘=100∘.∵∠B=3∠C，∴3∠C+∠C=100∘，∴∠C=25∘，∴∠B=75∘.故答案为75.20.【答案】:70∘【解析】:如图，∵△ABC的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∴∠EAC=12∠DAC，∠ECA=12∠ACF．又∵∠B=40∘，∠B+∠1+∠2=180∘，∴12∠DAC+12∠ACF=12(∠B+∠2)+12(∠B+∠1)=12(∠B+∠B+∠1+∠2)=110∘，∴∠AEC=180∘−(12∠DAC+12∠ACF)=70∘.故答案为70∘21.【答案】:∵BD，CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB，∴∠BDC=180∘−(∠DBC+∠DCB)=180∘−(12∠ABC+12∠ACB)=180∘−12(180∘−∠A)=90∘+12×40∘=110∘【解析】:∵BD，CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB，∴∠BDC=180∘−(∠DBC+∠DCB)=180∘−(12∠ABC+12∠ACB)=180∘−12(180∘−∠A)=90∘+12×40∘=110∘22.【答案】:B。
华师版七年级数学下册作业课件(HS) 第九章 多边形 专题训练(七) 三角形内角和与外角的应用
类型之三 结合三角板或直尺计算角度
10．将一副学生用三角板(即分别含30°角、45°角的直角三角板)按如 图所示方式放置，则∠1＝_____1_0_5_°__．
11．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等 腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M.如果∠ADF＝100°， 那么∠BMD为___8_5度．
15. 一副三角板按如图方式摆放，若∠1＝33°，则∠2的度数 为____7_8_°_．
16 ． 现 有 两 块 大 小 相 同 的 直 角 三 角 板 △ ABC ， △ DEF ， ∠ ACB ＝ ∠DFE＝90°，∠A＝∠D＝30°.将这两块三角板摆成如图所示的形式， 使点B，F，E，A在同一条直线上，点C在边DF上，DE与AC相交于点 G，求∠AGD的度数．
5．如图，直线a∥b，一块含60°角的直角三角板ABC(∠A＝60°) 按如图所示方式放置．若∠1＝55°，则∠2的度数为( C )
A．105° B．110° C．115° D．120°
6．如图，AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE于点E，若∠A＝42°， 则∠D＝________．48°
7 ． 如 图 ， a∥b ， ∠ 1 ＋ ∠ 2 ＝ 75° ， 则 ∠ 3 ＋ ∠ 4 ＝ ____1_0_5_°__．
12．(永州中考)一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板 的斜边AB，CE相交于点D，则∠BDC＝__7_5_°___．
13．一副直角三角板如图放置，点C在DF的延长线上，点A在边EF上， AB∥CD，∠ACB＝∠EDF＝90°，则∠CAF＝______1_5_°．
14．如图，一把直尺压在三角板上(忽略厚度)，直尺的一边 MN与三角板的两边AB，AC分别交于E，F，已知∠A＝30°， 则∠AEM＋∠AFN的度数是___2_1_0_°____．
三角形的内角和与外角性质解析
三角形的内角和与外角性质解析三角形是几何学中一种基本的图形，由三条边和三个内角组成。
在研究三角形的性质时，了解和理解三角形的内角和外角之间的关系非常重要。
本文将对三角形的内角和外角进行详细解析。
一、三角形的内角和任意一个三角形，其三个内角的和始终为180度。
这一性质也被称为三角形内角和定理。
无论三角形的形状如何变化，其内角的和始终保持不变。
证明一：假设三角形的三个内角分别为∠A、∠B、∠C，那么根据角度的定义，可知∠A + ∠B + ∠C = 180度。
二、三角形的外角和三角形的外角是指与三角形的一个内角相邻且不在三角形内部的角。
三角形的每个内角都对应一个外角，它们组成的和也是一个定值，恒为360度。
证明二：以三角形的一个内角为例，假设三角形内角为∠A，那么与∠A相邻的外角为∠A'。
根据相邻外角定义可知，∠A + ∠A' = 180度。
此外，外角∠A'与三角形的其他两个内角也满足同样的关系，即外角与其相邻的内角之和为180度。
因此，三角形的三个外角的和即为360度。
三、内角和与外角和的关系三角形的内角和与外角和之间存在一个特定的关系，即内角和与外角和的差为180度。
这一性质可以通过上述证明过程中的方程得到。
证明三：三角形的内角和记为∠A + ∠B + ∠C = 180度，外角和记为∠A' + ∠B' + ∠C' = 360度。
由于外角与其相邻的内角之和为180度，即∠A + ∠A' = 180度，同理可得∠B + ∠B' = 180度，∠C + ∠C' =180度。
将这三个等式相加，可得：∠A + ∠A' + ∠B + ∠B' + ∠C + ∠C' = 180度 + 180度 + 180度即 (∠A + ∠B + ∠C) + (∠A' + ∠B' + ∠C') = 180度 + 180度 + 180度根据内角和与外角和的定义可知 (∠A + ∠B + ∠C) = 180度，(∠A' + ∠B' + ∠C') = 360度，将其代入上式得：180度 + 360度 = 180度 + 180度 + 180度540度 = 540度由此可见，三角形内角和与外角和的差恒为180度。
三角形的内角和与外角和关系
三角形的内角和与外角和关系三角形是几何学中的重要概念，它由三条边和三个内角组成。
研究三角形的性质时，内角和与外角和关系是一个重要的问题。
本文将就三角形的内角和与外角和关系展开论述。
一、三角形内角和的定义与性质在了解三角形内角和与外角和的关系之前，我们首先需要了解三角形内角和的定义与性质。
1. 三角形内角和定义：三角形是由三条边所围成的图形，其中每个角都位于两条边之间。
三角形的内角和定义为三个内角的度数之和，通常表示为180度。
2. 三角形内角和的性质：（1）所有三角形的内角和都等于180度。
（2）对于任意三角形ABC，我们可以用角A、角B和角C来表示他们的内角和关系，即A + B + C = 180度。
二、三角形外角和的定义与性质了解了三角形内角和的定义与性质之后，我们再来了解一下三角形外角和的定义与性质。
1. 三角形外角和定义：三角形的每个内角都对应一个外角，位于与之相邻的两条边的延长线上，而外角和定义为三个外角的度数之和。
2. 三角形外角和的性质：（1）对于任意三角形ABC，它的外角和等于360度。
（2）对于任意三角形ABC，三个内角与其相应的外角满足以下关系：角A + 外角A = 180度；角B + 外角B = 180度；角C + 外角C = 180度。
三、三角形内角和与外角和的关系在前面的阐述中，我们已经分别了解了三角形内角和和外角和的定义与性质，那么他们之间究竟是否存在一定的关系呢？通过观察三角形内角和与外角和的定义，我们可以得出以下结论：（1）三角形的内角和与外角和的关系：内角和与外角和的和为360度。
（2）三角形的内角和与外角和的关系式：角A + 角B + 角C + 外角A + 外角B + 外角C = 360度。
通过以上结论，可以发现三角形的内角和与外角和之间存在一定的数学关系。
内角和与外角和的和总是等于360度，这是由三角形内角和和外角和的定义所决定的。
结论：三角形的内角和与外角和的关系是内角和与外角和的和为360度。
初二数学三角形内角和、外角专项练习题
初二数学三角形专题训练类型一：三角形内角和定理的应用1．已知一个三角形三个内角度数的比是1：5：6，则其最大内角的度数为（）A．60° B．75° C．90° D．120°举一反三：【变式1】在△ABC中，∠A=55°，∠B比∠C大25°，则∠B的度数为（）A．50° B．75°C．100° D．125°【变式2】三角形中至少有一个角不小于________度。
类型二：利用三角形外角性质证明角不等2．如图所示，已知CE是△ABC外角∠ACD的平分线，CE交BA延长线于点E。
求证：∠BAC ＞∠B。
举一反三：【变式】如图所示，用“＜”把∠1、∠2、∠A联系起来________。
类型三：三角形内角和定理与外角性质的综合应用3．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.举一反三：【变式】如图所示，五角星ABCDE中，试说明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。
类型四：与角平分线相关的综合问题4．如图9，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点Ｄ．（1）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，则∠BDC＝________；（2）若∠ABC＋∠ACB＝120°，则∠BDC＝________；（3）若∠A＝60°，则∠BDC＝________；（4）若∠A＝100°，则∠BDC＝________；（5）若∠A＝n°，则∠BDC＝________．举一反三：【变式1】如图10，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC= 140°，∠BGC=110°，求∠A的大小.80【变式2】如图11, △ABC的两个外角的平分线相交于点D，如果∠A＝50°，求∠D.【变式3】如图12，在△ABC中，AE是角平分线，且∠B=52°，∠C=78°，则∠AEB的度数是_____.【变式4】（2009北京四中期末）如图所示，△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线相交于点F，若∠A=68°，求∠F 的度数。
人教版八年级数学上册-专训-三角形内角和与外角和的几种常见应用类型
同类变式
8．如图，将△ABC沿着DE翻折，使B点与B′点重合， 若∠1＋∠2＝80°，求∠B的度数．
解：由折叠知∠1＋∠2＋2(∠BED＋∠BDE) ＝360°， 即80°＋2(∠BED＋∠BDE)＝360°， 所以∠BED＋∠BDE＝140°， 所以∠B＝180°－(∠BED＋∠BDE)＝ 180°－140°＝40°.
------------------------- 赠予 ------------------------
【幸遇•书屋】
你来，或者不来 我都在这里，等你、盼你 等你婉转而至 盼你邂逅而遇
你想，或者不想 我都在这里，忆你、惜你 忆你来时莞尔 惜你别时依依
你忘，或者不忘 我都在这里，念你、羡你 念你袅娜身姿 羡你悠然书气
类型 3 与平行线的性质综合求角度
6. 如图，AB∥CD，∠ABE＝60°，∠D＝∥CD， 所以∠CFE＝∠ABE＝60°. 因为∠D＝50°， 所以∠E＝∠CFE－∠D＝60°－50°＝ 10°.
类型 4 截角和折叠综合求角度
7．如图，在△ABC中，∠C＝70°，若沿图中虚 线截去∠C，则∠1＋∠2等于( B ) A．360° B．250° C．180° D．140
4．一副三角尺ABC和DEF如图放置(其中∠A＝60°， ∠F＝45°)，使点E落在AC边上，且ED∥BC，则 ∠CEF的度数为________．
同类变式
5．一副三角尺如图所示摆放，以AC为一边，在△ABC 外作∠CAF＝∠DCE，边AF交DC的延长线于点F， 求∠F的度数．
因为∠BCA＝90°，∠DCE＝30°， 所以∠ACF＝180°－∠BCA－∠DCE＝ 180°－90°－30°＝60°. 因为∠CAF＝∠DCE＝30°， 所以∠F＝180°－∠CAF－∠ACF＝ 180°－30°－60°＝90°.
中考考点三角形的内角和外角和角平分线等性质
中考考点三角形的内角和外角和角平分线等性质中考考点：三角形的内角和、外角和、角平分线等性质三角形是初中数学中的重要概念之一，而其中与三角形的内角和、外角和、角平分线等性质相关的知识点往往是考试中经常出现的考点。
本文将围绕这几个知识点展开，为大家详细介绍相关定义和性质，以帮助大家更好地掌握这一部分内容。
一、三角形的内角和首先我们来认识一下三角形的内角和。
将一个三角形的三个内角相加，得到的和被称为该三角形的内角和。
对于任意一个三角形ABC来说，它的内角和可以表示为∠A+∠B+∠C，其中∠A、∠B、∠C分别代表三角形ABC的三个内角。
根据三角形的性质可知，三角形内角和等于180°，即∠A+∠B+∠C=180°。
这是因为三角形的两边之和必须大于第三边，所以三角形的内角和不能大于180°。
而当三角形是一条直线时，即三个角相加为180°时，我们称之为退化三角形。
二、三角形的外角和接下来我们来了解三角形的外角和。
对于三角形ABC来说，将其一个内角的补角与另外两个内角相加，所得的和被称为该三角形的外角和。
以∠A为例，∠A的补角为180°-∠A，而三角形的外角和可以表示为(180°-∠A)+∠B+∠C。
同样根据三角形的性质，我们可以得出外角和等于360°的结论，即(180°-∠A)+∠B+∠C=360°，这是因为补角与原角的和为180°，而三角形的外角和就是三个外角的总和，所以等于360°。
三、角平分线角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角平分成两个相等的角的线段。
在三角形中，角平分线还有一个重要性质，即角平分线和对边上的两个角相等。
以三角形ABC为例，角平分线从顶点A出发，将∠BAC分成两个相等的角∠BAD和∠CAD。
这时可以得出∠BAD=∠CAD的结论。
角平分线还有一个有趣的性质，即三角形的内心、外心和重心都位于三角形的角平分线的交点上。
完整版三角形的内角和与外角和关系基础知识讲解
三角形的内角和与外角和关系(基础)知识讲解【学习目标】1理解三角形内角和定理的证明方法；2•掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质；3•能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题【要点梳理】要点一、三角形的内角和1. 三角形内角和定理：三角形的内角和为180° •2. 结论：直角三角形的两个锐角互余.要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系.要点二、三角形的外角1 •定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角•如图，/ ACD是△ ABC的一个外角.L L)要点诠释：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线.(2 )三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角.所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角.2. 性质：(1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.(2)三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角.要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理、证明经常使用的理论依据•另外，在证明角的不等关系时也常想到外角的性质.3. 三角形的外角和：三角形的外角和等于360° .要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180° ,可推出三角形的三个外角和是360°.【典型例题】类型一、三角形的内角和1 .证明：三角形的内角和为180° .【答案与解析】解：已知：如图，已知△ ABC求证：/ A+Z B+Z C= 180° .••• AB // CD （已作），••• /仁/A （两直线平行，内错角相等）/ B=/ 2 （两直线平行，同位角相等） 又•••/ ACB+/ 1 + / 2=180°（平角定义）， •••/ ACB+/ A+/ B=180。
三角形内角和,外角和定理
三角形内角和，外角和定理三角形是我们初中数学学习的重点，而三角形内角和，外角和定理是我们学习三角形时需要掌握的基础知识。
本文将详细介绍三角形内角和，外角和定理，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
首先，让我们来看一下三角形内角和定理。
三角形的内角和是指一个三角形内部所有角度之和。
对于任意一个三角形ABC，它的内角和可以表示为：∠A+∠B+∠C=180°。
这个定理也可以写成：一个三角形的任意两个内角的和等于第三个内角的补角。
那么如何证明这个定理呢？这里我们来介绍一种简单的证明方法。
首先，我们假设在三角形ABC中，有一条线段DE平行于BC，如下题所示。
因为DE || BC，所以∠CDE=∠B。
又因为三角形ADE和三角形ABC中有两个角相等（∠A和∠D），所以它们的第三个角也相等（∠E和∠C）。
同理，三角形AED和三角形ABC中的第三个角也相等（∠A和∠E）。
因此，我们可以得出以下结论：∠A+∠B+∠C=∠A+∠D+∠E+∠C=180°因此，一个三角形的任意两个内角的和等于第三个内角的补角，也就是三角形内角和定理。
接下来，让我们来看一下三角形外角和定理。
一个三角形的外角是指这个三角形中任意一个顶点所对的补角。
例如，在下题中，∠D是三角形ABC中顶点A所对的外角。
对于任意一个三角形ABC，它的外角和可以表示为：∠A'+∠B'+∠C'=360°。
这个定理也可以写成：一个三角形的任意一个外角等于其它两个内角之和。
同样地，我们也可以通过证明来理解这个定理。
假设在三角形ABC中，有一条线段DE平行于BC，并且交于顶点A处，如下题所示。
因为DE || BC，所以∠CDE=∠B。
又因为∠A'是∠D的补角，所以∠D=180°-∠A'。
同理，我们可以得到以下结论：∠A'+∠B'+∠C'=∠D+∠E+∠C'=180°+180°-∠A'=360°-∠A'因此，一个三角形的任意一个外角等于其它两个内角之和，也就是三角形外角和定理。
专训1 三角形内角和与外角和的几种常见应用类型(4)
专训1 三角形内角和与外角和的几种常见应用类型名师点金：三角形内角和与外角和有着广泛的应用，利用它们可以解决有关角的很多问题，一般可用于直接计算角度、三角尺或直尺中求角度、与平行线的性质综合求角度、截角或折叠问题中求角度等．直接计算角度(第1题)1．如图，在△中，∠A＝60°，∠B＝40°，点D，E分别在，的延长线上，则∠1＝．2．在△中，三个内角∠A，∠B，∠C满足∠B－∠A＝∠C－∠B，则∠B＝．三角尺或直尺中求角度3．【2015·咸宁】如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝50°，则∠2的度数是()A．50°B．40°C．30°D．25°(第3题)(第4题)4．一副三角尺和如图放置(其中∠A＝60°，∠F＝45°)，使点E落在边上，且∥，则∠的度数为．5．一副三角尺如图所示摆放，以为一边，在△外作∠＝∠，边交的延长线于点F，求∠F的度数．(第5题)与平行线的性质综合求角度6．如图，∥，∠＝60°，∠D＝50°，求∠E的度数．(第6题)截角和折叠综合求角度7．如图，在△中，∠C＝70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2等于( )(第7题)A．360°B．250°C．180°D．140°8．如图，将△沿着翻折，使B点与B′点重合，若∠1＋∠2＝80°，求∠B的度数．(第8题)答案1．80° 2.60°3 4.15°5．解：因为∠＝90°，∠＝30°，所以∠＝180°－∠－∠＝180°－90°－30°＝60°. 因为∠＝∠＝30°，所以∠F＝180°－∠－∠＝180°－30°－60°＝90°. 6．解：因为∥，所以∠＝∠＝60°.因为∠D＝50°，所以∠E＝∠－∠D＝60°－50°＝10°.7．B8．解：由折叠知∠1＋∠2＋2(∠＋∠)＝360°，即80°＋2(∠＋∠)＝360°，所以∠＋∠＝140°，所以∠B＝180°－(∠＋∠)＝180°－140°＝40°.。
三角形内角和与外角性质
2.1.3三角形的内角和与外角性质（第3课时）教学目标知识与技能：1.掌握三角形内角和定理及其推论；2.了解三角形的分类，会按角的大小对三角形进行分类，了解直角三角形的分类；3.掌握三角形外角性质。
过程与方法：1.通过对三角形分类的学习，使学生了解数学分类的基本思想，并会用方程思想去解决一些图形中求角的问题。
2.通过三角形内角和定理的证明，提高学生的逻辑思维能力，同事培养学生严谨的科学态度。
情感、态度与价值观：通过对定理及推论的分析与讨论，发展学生的求同和求异的思维能力，培养学生联系与转化的辩证思想。
重点、难点1．重点：三角形内角和定理及其推论和三角形外角性质的应用2．难点：三角形内角和定理的证明教学过程一、引入新课在我们生活中几乎随时可以看见三角形，它简单、有趣，也十分有用，三角形可以帮助我们更好地认识周围世界，可以帮助我们解决很多实际问题。
通过前面课程的学习，我们已经了解了三角形三边的关系，那么三角形的三个内角会不会像三边一样具有什么样的内在联系呢？本节课我们就一起来探索三角形的内角和与外角性质。
二、合作交流，共同探究1、三角形内角和定理在小学，我们通过对一个三角形进行折叠、剪拼等操作，知道三角形的内角和是180°，你能说出这些方法的原理吗？将三角形的三个内角拼到一起构成一个平角（教师板书：三角形的三个内角的和等于180°）①你能用已学的定理来证明这个结论吗？②三角形内角和定理还有其他的证明方法吗？③多种证明方法的核心是什么？（借助平行线的“移角”功能，将三个角转化成一个平角）2、三角形内角和定理的应用例1：在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A ，∠B ，∠C 的度数.解 设∠B 为x °，则∠A 为（3x ）°，∠C 为（x ＋ 15） °， 从而有3x ＋ x ＋（ x ＋ 15 ）＝ 180.解得 x ＝ 33.所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48.答： ∠A ， ∠B ， ∠C 的度数分别为99°， 33°， 48°.点明：几何问题借助方程来解，这是一个重要的数学思想。
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专训1 三角形内角和与外角和的几种常见应用类型名师点金：三角形内角和与外角和有着广泛的应用，利用它们可以解决有关角的很多问题，一般可用于直接计算角度、三角尺或直尺中求角度、与平行线的性质综合求角度、截角或折叠问题中求角度等．
直接计算角度
(第1题)
1．如图，在△中，∠A＝60°，∠B＝40°，点D，E分别在，的延长线上，则∠1＝．2．在△中，三个内角∠A，∠B，∠C满足∠B－∠A＝∠C－∠B，则∠B＝．
三角尺或直尺中求角度
3．【2015·咸宁】如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝50°，则∠2的度数是(
)
A．50°B．40°C．30°D．25°
(第3题)
(第4题)
4．一副三角尺和如图放置(其中∠A＝60°，∠F＝45°)，使点E落在边上，且∥，则∠的度数为．
5．一副三角尺如图所示摆放，以为一边，在△外作∠＝∠，边交的延长线于点F，求∠F的度数．
(第5题)
与平行线的性质综合求角度
6．如图，∥，∠＝60°，∠D＝50°，求∠E的度数．
(第6题)
截角和折叠综合求角度
7．如图，在△中，∠C＝70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2等于( )
(第7题)
A．360°
B．250°
C．180°
D．140°
8．如图，将△沿着翻折，使B点与B′点重合，若∠1＋∠2＝80°，求∠B的度数．
(第8题)
答案
1．80° 2.60°3 4.15°
5．解：因为∠＝90°，∠＝30°，
所以∠＝180°－∠－∠＝180°－90°－30°＝60°. 因为∠＝∠＝30°，
所以∠F＝180°－∠－∠＝180°－30°－60°＝90°. 6．解：因为∥，
所以∠＝∠＝60°.
因为∠D＝50°，
所以∠E＝∠－∠D＝60°－50°＝10°.
7．B
8．解：由折叠知∠1＋∠2＋2(∠＋∠)＝360°，即80°＋2(∠＋∠)＝360°，
所以∠＋∠＝140°，
所以∠B＝180°－(∠＋∠)＝180°－140°＝40°.。