最新沪科版八年级数学下册 18.1 第2课时 勾股定理的应用 (3)

第2课时 勾股定理的应用
1．会用勾股定理解决一些简单的实际问题；(重点)
2．通过对实际问题的探讨，培养学生分析问题和解决问题的能力．
一、情境导入
一个门框的宽为1.5m ，高为2m ，如图所示，一块长3m ，宽2.2m 的薄木板能否从门框内通过？为什么？
二、合作探究
探究点：勾股定理的应用
【类型一】 勾股定理的直接应用
如图，在离水面高度为5m 的岸
上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC 的长为13m ，此人以0.5m 每秒的速度收绳．问6秒后船向岸边移动了多少(假设绳子是直的，结果保留根号
)?
解析：开始时，AC ＝5m ，BC ＝13m ，即可求得AB 的值，6秒后根据BC ，AC 长度即可求得AB 的值，然后解答即可．
解：在Rt △ABC 中，BC ＝13m ，AC ＝5m ，则AB ＝BC 2－AC 2＝12m ，6秒后，B ′C ＝10m ，则AB ′
＝B ′C 2－AC 2＝53m ，则船向岸边移动距离为(12－53)m.
方法总结：本题直接考查勾股定理在直角三角形中的运用，求出6秒后AB 的长度是解题的关键．
【类型二】 利用勾股定理解决方位角问题
如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A 点出发，沿北偏东60°方向走了1003m 到达B 点，然后再沿北偏西30°方向走了100m 到达目的地C 点，求出A 、C 两点之间的距离．
解析：根据所走的方向可判断出△ABC
是直角三角形，根据勾股定理可求出解． 解：∵AD ∥BE ，∴∠ABE ＝∠DAB ＝60°.∵∠CBF ＝30°，∴∠ABC ＝180°－∠ABE －∠CBF ＝180°－60°－30°＝90°.在Rt △ABC 中，AB ＝1003m ，BC ＝100m ，∴AC ＝AB
2＋BC 2＝
（1003）2＋1002
＝200(m)，∴A 、C 两点之间的距离为200m.
方法总结：先确定是直角三角形，根据各边长，用勾股定理可求出AC 的长．
【类型三】
利用勾股定理解决最短距离问题
如图，长方体的长BE ＝15cm ，宽
AB ＝10cm ，高AD ＝20cm ，点M 在CH 上，且CM ＝5cm ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点M ，需要爬行的最短距离是多少？
解：分三种情况比较最短距离：如图①所示，AM ＝102＋（20＋5）2＝529(cm)；如图②所示，AM ＝202＋（10＋5）2＝
25(cm)；如图③所示，AM ＝（20＋10）2＋52＝537(cm)．∵537cm>529cm ＞25cm ，
∴第二种短些，此时最短距离为25cm.
答：需要爬行的最短距离是
25cm. 方法总结：因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏．不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况：前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而进行比较取其最小值即可．
【类型四】 勾股定理与方程思想、数形结合思想的应用
如图，在树上距地面10m 的D 处
有两只猴子，它们同时发现地面上C 处有一筐水果，一只猴子从D 处向上爬到树顶A 处，
然后利用拉在A 处的滑绳AC 滑到C 处，另一只猴子从D 处先滑到地面B ，再由B 跑到C ，已知两猴子所经过的路程都是15m ，求树高AB .
解析：Rt △ABC 中，∠B ＝90°，则满足AB 2＋BC 2＝AC 2.设BC ＝a m ，AC ＝b m ，AD ＝x m ，根据两只猴子经过的路程一样可得10＋a ＝x ＋b ＝15解方程组可以求x 的值，即可计算树高AB ＝10＋x .
解：Rt △ABC 中，∠B ＝90°，设BC ＝a m ，AC ＝b m ，AD ＝x m ，则10＋a ＝x ＋b ＝15.∴a ＝5，b ＝15－x .又在Rt △ABC 中，由勾股定理得(10＋x )2＋a 2＝b 2，∴(10＋x )2＋52＝(15－x )2，解得x ＝2，即AD ＝2m ，∴AB
＝AD
＋DB ＝2＋10＝12(m)．
答：树高AB 为12m.
方法总结：勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个已知量，通常需要巧设未知数，灵活地寻找题中的等量关系，然后利用勾股定理列方程求解．
三、板书设计
通过观察图形，探索图形间的关系，培养学生的空间观念．在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．在利用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学学习的魅力.。