平面向量的基本定理及坐标表示(重点)-备战2023年高考数学一点微专题(新高考地区专用)(解析版)

考向24 平面向量的基本定理及坐标表示
【2022·全国·高考真题（文）】已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，
，则a b -（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
【答案】D
【解析】因为()()()2,12,44,3a b -=--=-，所以()2
2435-=+-=a b .
故选：D
【2021·全国·高考真题（理）】已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+．若a c ⊥，则k =________． 【答案】10
3
-
. 【解析】()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+,
(),33110a c a c k ⊥∴⋅=++⨯=，解得103
k =-
, 故答案为：103
-
.
1．应用平面向量基本定理的关键点
（1）平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．
（2）选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．
（3）强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．
2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路
（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行
向量的运算．
（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式．
3．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系． 4．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．
向量共线（平行）的坐标表示
1．利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为a λ（λ∈R ），然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入a λ即可得到所求的向量．
2．利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若11(),a x y =，22(),b x y =，则a b ∥的充要条件是1221x y x y =”解题比较方便．
3．三点共线问题．A ，B ，C 三点共线等价于AB 与AC 共线．
4．利用向量共线的坐标运算求三角函数值：利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再利用三角恒等变换求解．
1．平面向量基本定理和性质 （1）共线向量基本定理
如果()a b R λλ=∈，则//a b ；反之，如果//a b 且0b ≠，则一定存在唯一的实数λ，使a b λ=．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．
（2）平面向量基本定理
如果1e 和2e 是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量a ，都存在唯一的一对
实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+，我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为
{}1
2
,e e ，11
22
e e
λλ+叫做向量a 关于基底{}
12,e e 的分解式．
注意：由平面向量基本定理可知：只要向量1e 与2e 不共线，平面内的任一向量a 都可以分解成形如1122a e e λλ=+的形式，并且这样的分解是唯一的．1122e e λλ+叫做1e ，2e 的一个线性组合．平面向量基本
定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．
推论1：若11223142a e e e e λλλλ=+=+，则1324,λλλλ==． 推论2：若11220a e e λλ=+=，则120λλ==． （3）线段定比分点的向量表达式
如图所示，在ABC △中，若点D 是边BC 上的点，且BD DC λ=（1λ≠-），则向量1AB AC
AD λλ
+=
+．在
向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握．
（4）三点共线定理
平面内三点A ，B ，C 共线的充要条件是：存在实数,λμ，使OC OA OB λμ=+，其中1λμ+=，O 为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握．
A 、
B 、
C 三点共线
⇔存在唯一的实数λ，使得AC AB λ=； ⇔存在唯一的实数λ，使得OC OA AB λ=+； ⇔存在唯一的实数λ，使得(1)OC OA OB λλ=-+； ⇔存在1λμ+=，使得OC OA OB λμ=+．
（5）中线向量定理
如图所示，在ABC △中，若点D 是边BC 的中点，则中线向量1
(2
AD AB =+)AC ，反之亦正确．
D
A
C
B
2．平面向量的坐标表示及坐标运算 （1）平面向量的坐标表示．
在平面直角坐标中，分别取与x 轴，y 轴正半轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数,x y 使a xi yj =+，我们把有序实数对(,)x y 叫做向量a 的坐标，记作(,)a x y =．
（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有 向量(,)
x y 一一对应
向量OA
一一对应
点(,)A x y ．
（3）设11(,)a x y =，22(,)b x y =，则1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．
若(,)a x y =，λ为实数，则(,)a x y λλλ=，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标．
（4）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB OB OA =-=12(,x x -12)y y -，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．
3．平面向量的直角坐标运算
①已知点11()A x y ，，22()B x y ，，则2121()AB x x y y =--，，222121||()()AB x x y y =-+- ②已知11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a b ±1212()x x y y =±±，，11(,)a x y λλλ=， =a b ⋅1212x x y y +，2211||a x y =+．
a b ∥⇔12210x y x y -=，a b ⊥⇔12120x x y y +=
D
A
C
B
1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知在ABC 中， 3AD BD =-，CD CE λ=，2
3
AE AB AC μ=+
，则μ=（ ） A ．14
B ．12
C ．34
D ．1
【答案】A
【解析】解：因为3AD BD =-， 所以4
3
AB AD =
， 因为2
3
AE AB AC μ=+， 所以42
33
AE AD AC μ=
+， 又CD CE λ=， 所以1
1
AE AD AC λλ
λ
-=
+
， 又12
33
AE AD AC =+，
所以143
123μλλλ
⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，
得1
4
μ=
． 故选：A
2．（2022·上海静安·二模）设(,)a x y =，(,)b m n =，且a ，b 均为非零向量，则“x y
m n
=”是“a b ∥”的（ ）条件
A ．充分非必要
B ．必要非充分
C ．充要
D ．既非充分又非必要
【答案】A 【解析】若
x y
m n
=，则nx my =，则a b ∥，满足充分性；反之，若a b ∥，则nx my =，不能推出
x y m n
=，
比如0m x ==，显然满足nx my =，但x y m n
=无意义，不满足必要性；故“
x y
m n
=”是“a b ∥”的充分非必要条件. 故选：A.
3．（2022·上海闵行·二模）已知、、A B C 是平面内不共线的三点，点O 满足20,OA OB OC λλ++=为实常数，现有下述两个命题：（1）当3λ≠-时，满足条件的点O 存在且是唯一的；（2）当3λ=-时，满足条件的点O 不存在.则说法正确的一项是（ ） A ．命题（1）和（2）均为真命题
B ．命题（1）为真命题，命题（2）为假命题
C ．命题（1）和（2）均为假命题
D ．命题（1）为假命题，命题（2）为真命题 【答案】A
【解析】当3λ≠-时，20OA OB OC λ++=， 所以220AO AB AO AC AO λλ-+-+-=， 所以233
AO AB AC λ
λλ=
+++， 因为,AB AC 不共线，由向量的基本定理得：满足条件的点O 存在且是唯一，①正确； 当3λ=-时，()
2OC OA OB OC -=-，即2AC CB =，所以AC ∥CB ， 因为AC ，CB 有公共点C ，所以、、A B C 三点共线，
这与题干条件、、A B C 是平面内不共线的三点相矛盾，故满足条件的点O 不存在， （2）为真命题. 故选：A
4．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB =（ ） A ．32m n - B ．23m n -+ C ．32m n + D ．23m n +
【答案】B
【解析】因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()
2CD CB CA CD -=-， 所以CB =3232CD CA n m -=-23m n =-+． 故选：B ．
5．（2022·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD 中，设CB a =，CD b =，E 为AD 的中点，CE 与BD 交于F ，则AF =（ ） A ．23
a b +-
B ．23
a b
+-
C ．23
a b
--
D ．23
a b
--
【答案】B
【解析】如下图所示，连接AC 与BD 交于O ，则O 为AC 的中点，因为E 为AD 的中点， 所以F 为三角形ACD 的重心，所以()()
112333
a b
AF AC AD a b a +=+=---=-
. 故选：B.
6．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2EO AE =，则EB （ ）
A ．15
66AB AD -
B ．15
66AB AD +
C ．51
66AB AD -
D ．51
66
AB AD +
【答案】C
【解析】解：因为2EO AE =，所以()
111
366
AE AO AC AB AD ===+， 所以()
151
666
EB AB AE AB AB AD AB AD =-=-+=-. 故选：C.
1．（2022·云南师大附中模拟预测（理））已知向量()2,2a t =，()2,5b t =---，若向量a 与向量a b +的夹角为钝角，则t 的取值范围为（ ）
A ．()3,1-
B ．()()3,11,1---
C ．()1,3-
D ．111,,322⎛
⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
【答案】D
【解析】因为(23)a b t +=--，
，又a 与a b +的夹角为钝角， 当a 与a b +共线时，1
62(2)0,2
t t t ---==
， 所以()0a a b ⋅+<且a 与a b +的不共线，即2230t t --<且1
2
t ≠， 所以111322t ⎛
⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，，
， 故选：D ．
2．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（文））已知向量()1,2a =，(),1=-b m ，若a b ∥，则⋅=a b （ ） A ．32
-
B ．32
C ．52
-
D ．52
【答案】C
【解析】因为向量()1,2a =，(),1=-b m ，//a b ， 所以120m --=，1
2
m =-，
所以 15
222
⋅=--=-a b .
故选：C.
3．（2022·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若
AP xAB y AC =+，则22x y +的最大值为（ ）
A ．8
3
B ．2
C ．43
D ．1
【答案】A
【解析】
作BC 的平行线与圆相交于点P ，与直线AB 相交于点E ，与直线AC 相交于点F ， 设AP AE AF λμ=+，则1λμ+=， ∵BC//EF ，∴设
AE AF k AB AC ==，则4
[0,]3
k ∈ ∴,AE k AB AF k AC ==，AP AE AF k AB k AC λμλμ=+=+ ∴,x k y k λμ==
∴22x y=+8
223
k k λμ+=≤（）
故选：A.
4．（2022·全国·高三专题练习）△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，设向量()()p a c b q b a c a =+=--，，，，若p q ∥，则角C 的大小为（ ）
A ．π6
B ．π3
C ．π2
D ．
2π3
【答案】B
【解析】因为//p q →
→
，
所以()()()0a c c a b b a +---=，
所以2222220,c a b ab a b c ab --+=∴+-=， 所以1
2cos ,cos ,2
ab C ab C =∴=
0πC <<，所以π3
C =
. 故选：B.
5．（2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））已知O 为坐标原点，1
22PP PP =-，若()11,2P 、()22,1P -，
则与OP 共线的单位向量为（ ） A ．()3,4-
B ．()3,4-或()3,4-
C ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭
D ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭
【答案】C
【解析】由122PP PP =-得1220PP PP +=，即1220PP PP +=，122PP P P =， 212OP OP OP OP -=-，
2122(2,1)(1
,2)(3,4)OP OP OP =-=--=-， 223(4)5OP =+-=，
与OP 同向的单位向量为34
(,)55OP
OP =-，反向的单位向量为34(,)55
-． 故选：C ．
6．（2022·浙江省江山中学模拟预测）在ABC 中，E ，F 分别为,AC BC 的中点，点D 是线段AF （不含端点）内的任意一点，AD mAB nAE =+，则（ ） A ．(0,1)m ∈ B ．(0,2)n ∈ C ．2n m = D ．1m n +=
【答案】C
【解析】因为点D 是线段AF （不含端点）内的任意一点， 所以可设(01)AD AF λλ=<<， 因为E ，F 分别为,AC BC 的中点，
所以1111
2222
AF AB BF AB BC AB AC AB AE =+=+=+=+，
所以2
AD AB AE λ
λ=+，又AD mAB nAE =+，
所以10,22m λ
⎛⎫
=
∈ ⎪⎝⎭，()0,1n λ=∈，2n m =，32
m n λ+=， 所以A ，B ，D 错误，C 正确， 故选：C.
7．（2022·吉林长春·模拟预测（理））互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，在斜坐标系中，过点P 作两坐标轴
的平行线，其在x 轴和y 轴上的截距a ，b 分别作为点P 的x 坐标和y 坐标，记(),P a b ，则在x 轴正方向和y 轴正方向的夹角为θ的斜坐标系中，下列选项错误的是（ ）
A ．当60θ=︒时()1,2A 与()3,4
B 距离为3B ．点()1,2A 关于原点的对称点为()1,2A '--
C ．向量11,a
x y 与22,b
x y 平行的充要条件是1221y x y x =
D ．点()1,2A 到直线10x y +-=2 【答案】D
【解析】设x 轴正方向的单位向量为1e ，y 轴正方向的单位向量为2e ， 对于A 选项：由已知得12,60e e =︒，所以1211112
2
e e ⋅=⨯⨯=. 由()()1,2,3,4A B 及斜坐标的定义可知12122,34OA e e OB e e =+=+，
(
)
2
1212
22AB OB OA e e e e =-=+=+22
11222211123e e e e =+⋅+=++
故A 选项正确；
对于B 选项：根据“斜坐标系”的定义可知：点()1,2A ，则122OA e e =+，设()1,2A 关于原点的对称点为
(),A x y '，则1212'2OA OA e e xe ye =-=--=+，
由于12,e e 不共线，所以1
2x y =-⎧⎨=-⎩，
故B 选项正确；
对于C 选项：11122122,a x e y e b x e y e =+=+，
若a 是零向量，则//a b 成立，同时110x y ==，所以1221x y x y =成立， 此时1221//a b x y x y ⇔=；
若a 是非零向量，则//a b ⇔存在非零常数λ，使
b a λ=⇔21221112x e y e x e y e λλ+=+21
12x x y y λλ=⎧⇔⎨
=⎩⇔21121221y x y x x y x y λλ==⇔，所以1221//a b x y x y ⇔=. 故C 选项正确；
对于D 选项：设直线10x y +-=上的动点为(),P x y ,12OP xe ye =+， 因为10x y +-=，所以1x y +=，
设12,OC e OD e ==，则点(),P x y 在直线CD 上， 所以直线10x y +-=过点()()1,0,0,1C D ， 因为122OA e e =+，则222AC OC OA e =-==，
(
)
2
1212
3AD OD OA e e e e =-=+=
+=，
由于1,,60OC OD OC OD ===︒，所以1CD =. 所以2
2
2
AD CD AC +=，所以AD CD ⊥， 所以点A 到直线10x y +-=的距离为3AD =， 故D 选项错误. 故选：D
8．（2022·河南郑州·三模（理））在ABC 中，D 是BC 上一点，2BD DC =，M 是线段AD 上一点，
1
4
BM tBA BC =+，则t =（ ）
A ．12
B ．23
C ．34
D ．58
【答案】D
【解析】因为2BD DC =，则()
2AD AB AC AD -=-，所以，12
33
AD AB AC =+， ()
131444AM AB BM AB t AB AC AB t AB AC ⎛⎫
=+=-+
-=-+ ⎪⎝⎭
， 因为M 是线段AD 上一点，设12
33
AM AD AB AC λλλ==+，其中01λ≤≤，
所以，1
334
2134t λλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得3858t λ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩. 故选：D.
9．（多选题）（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）在ABC 中，D 为BC 中点，且2AE ED =，则（ ）
A ．21
36
CE CA CB =+
B ．11
33
CE CA CB =+
C ．CE ∥()
CA CB + D ．CE ⊥()
CA CB -
【答案】BC
【解析】因为2AE ED =，则,,A E D 三点共线，且2AE ED =， 又因为AD 为中线，所以点E 为ABC 的重心， 连接CE 并延长交AB 于F ，则F 为AB 的中点， 所以22111
()33233
CE CF CA CB CA CB ==⨯+=+，
所以CE ∥()
CA CB + 故选：BC ．
10．（多选题）（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知(cos ,sin )a αα=,(cos ,sin )b ββ=,其中,[0,2π)αβ∈，则以下结论正确的是（ ） A ．若//a b ，则αβ= B ．若a b ⊥，则π||2
αβ-=
或3π
2 C ．若1
2
a b ⋅=-，则||1a b +=
D ．若a b a -=，则3()2
a a
b ⋅+= 【答案】BCD
【解析】对于A ，若//a b ，则cos sin sin cos 0αβαβ-=，则sin()0βα-=，
因为,[0,2π)αβ∈，所以2π2πβα-<-<，则πβα-=-或0βα-=或πβα-=，故A 不正确； 对于B ，若a b ⊥，则cos cos sin sin 0αβαβ+=，则cos()0αβ-=， 因为,[0,2π)αβ∈，所以2π2παβ-<-<，所以π2αβ-=±或3π2
αβ-=±， 所以π||2
αβ-=
或3π
2，故B 正确； 对于C ，1
2a b ⋅=-，则2||()a b a b +=+222a b a b =++⋅2222cos sin cos sin 2a b ααββ=++++⋅
1
112()12
=++⨯-，故C 正确；
对于D ，若a b a -=，则2()1a b -=，则2221a b a b +-⋅=，则1121a b +-⋅=，即1
2
a b ⋅=
，所以213
()122
a a
b a a b ⋅+=+⋅=+
=，故D 正确. 故选：BCD.
11．（多选题）（2022·江苏·模拟预测）已知向量(3,2)a =-，(2,1)b =，(,1)c λ=-，R λ∈，则（ ）
A ．若(2)a b c +⊥，则4λ=
B ．若a tb c =+，则6t λ+=-
C ．a b μ+的最小值为75
D ．若向量a b +与向量2b c +的夹角为锐角，则λ的取值范围是(,1)-∞- 【答案】ABC
【解析】对于A ，因为2(1,4)a b +=，(,1)c λ=-，(2)a b c +⊥，所以14(1)0λ⨯+⨯-=，解得4λ=，所以A 正确.
对于B ，由a tb c =+，得(3,2)(2,1)(,1)(2,1)t t t λλ-=+-=+-，
则32,21,t t λ-=+⎧⎨=-⎩解得93t λ=-⎧⎨=⎩，故6t λ+=-，所以B 正确. 对于C ，因为(3,2)(2,1)(23,2)a b μμμμ+=-+=-+，
所以a b μ+=2
222449(23)(2)5813555μμμμμ⎛
⎫-++-+-+ ⎪⎝
⎭
则当45μ=
时，a b μ+取得最小值，为75
，所以C 正确. 对于D ，因为(1,3)a b +=-，2(4,1)b c λ+=+，向量a b +与向量2b c +的夹角为锐角， 所以()(2)1(4)310a b b c λ⋅+=-⨯+⨯++>，解得1λ<-；
当向量a b +与向量2b c +共线时，113(4)0λ-⨯-⨯+=，解得13
3
λ=-， 所以λ的取值范围是1313,,133⎛⎫⎛⎫
-∞-⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以D 不正确.
故选：ABC.
12．（多选题）（2022·全国·模拟预测）已知向量()2,3a m →=-，(),1b m →
=，则下列说法正确的是（ ） A ．若a b →→
∥，则1
2
m =
B ．若a b →→
⊥，则3m =
C ．2a b →
→
+的最小值为7 D ．若13m -<<，则a →
与b →
的夹角为钝角
【答案】AC
【解析】解： 若a b →→
∥，则23m m -=，解得1
2
m =
，故选项A 正确； 若a b →
→
⊥，则()230m m -+=，解得1m =-或3m =，故选项B 错误；
由题得()24,7a b m →→
+=-，故()2
2
2747a b m →→
+=+-≥，当且仅当4m =时取得最小值，故选项C 正确；
当0m =时，0a b →→⋅>，a →与b →
的夹角不为钝角，故选项D 错误． 故选：AC ．
13．（多选题）（2022·全国·模拟预测）在边长为2正六边形ABCDEF 中，G 是线段AB 上一点，AG AB λ=，则下列说法正确的有（ ） A ．若1
2λ=，则122
EG AB AF =--
B ．若向量CD 在向量AB 上的投影向量是AB μ，则1
2
μ=
C ．若P 为正六边形ABCDEF 内一点（包含端点），则AP AB ⋅的取值范围是[]2,6-
D ．若1CG C
E ⋅=，则λ的值为23
【答案】AC
【解析】对于A ，若1
2
λ=，则G 为AB 中点，
11222EG EF FA AG EB BF AF AB FA AF AB AF AB =++=+-+
=+--+1
22
AB AF =--，A 正确； 对于B ，由正六边形的性质知向量CD 与AB 的夹角为
23
π
， 则向量CD 在AB 上的投影向量为
2cos
132CD AB AB AB
π
⋅=-，1
2μ∴=-，B 错误；
对于C ，以A 为坐标原点，,AB AE 正方向为,x y 轴，可建立如图所示平面直角坐标系，
则()0,0A ，()2,0B ，设()(),13P m n m -≤≤，(),AP m n ∴=，()2,0AB =，
[]22,6AP AB m ∴⋅=∈-，C 正确；
对于D ，由题意知：()
0,23E ，()3,3C ，()2,0AB =，
设()(),002G t t ≤≤，(3CE ∴=-，(3,3CG t =-，
()3331CG CE t ∴⋅=---=，解得：53t =
，5,03AG ⎛⎫
∴= ⎪⎝⎭
，()2,0AB =， 56
AG AB ∴=
，即5
6λ=，D 错误.
故选：AC.
14．（2022·全国·模拟预测（文））在ABC 中，M 为AB 的中点，N 为线段CM 上一点（异于端点），AN xAB yAC
=+，则11
x y
+的最小值为______． 【答案】322+
因为AN xAB yAC =+，M 为边AB 的中点， 所以2AN xAM yAC =+，
因为,,C N M 三点共线，所以210,0x y x y ，
则()2223323211121y x y x
x y x y x y
x y x y +=++
≥+⎛⎫+=+⨯ ⎪⎝⎭⨯=+ 当且仅当
2y x x y =，即21x =21y =时取等号，
故11
x y
+的最小值为322+ 故答案为：322+15．（2022·湖南·模拟预测）在三角形ABC 中，点D 在边BC 上，若2BD DC =，AD AB AC λμ=+(),λμ∈R ，则λμ-=______．
【答案】13
-
【解析】由已知2BD DC =，得()
22
33
BD BC AC AB ==-， 所以()
212
333
A A C A
B D AB BD AB A A B
C -+===+
+， 因为(),AD AB AC λμλμ=+∈R ，所以1
3λ=，23μ=，
所以121
333
λμ-=-=-．
故答案为：1
3
-
16．（2022·浙江·模拟预测）在平行四边形ABCD 中，1
2,cos 2
AB BAD =∠=
，E 、F 是边BC ，CD 上的点，12
BE BC =
，2
3CF CD =，若8AE BF ⋅=，则平行四边形的面积为_________．
【答案】43
【解析】如图，
1
2
AE AB AD =+
，23BF AD AB =-，
所以2
21228233
AE BF AD AB AD AB →→⋅=+⋅-=，
即2128||||8233AD AD →→+-=，解得||4AD →
=或16||3
AD →=-（舍去）， 所以平行四边形的面积为3
sin 243S AB AD BAD =⋅⋅∠=⨯=故答案为：43
17．（2022·江西·模拟预测（理））在ABC 中，1AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，P 是ABC 的外接圆上的一点，若AP mAB =+nAC ，则m n +的最小值是________ 【答案】12
-
【解析】由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠=14212cos603+-⨯⨯⨯=，所以3BC =所以222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥．以AC 的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，易得13
(1,0),(1,0),()2A C B -，
设P 的坐标为(cos ,sin )θθ，所以132AB ⎛=- ⎝⎭，(2,0)AC =-，AP =(cos 1,sin )θθ-，
又AP mAB nAC =+， 所以13(cos 1,sin )2m θθ⎛-=-+ ⎝⎭()32,022m n n ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以23m θ=，cos 1322n θθ=-
+，所以3cos 1111sin 1226222m n θπθθ⎛
⎫-+=-+≥-+=- =⎪⎭+⎝
， 当且仅当sin 16πθ⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭时，等号成立．
故答案为：1
2
-
18．（2022·湖南岳阳·三模）设点P 在以A 为圆心，半径为1的圆弧BC 上运动(包含B ，C 两个端点)，∠BAC ＝
23
π
，且AP xAB y AC =+，x ＋y 的取值范围为________．
【答案】[1，2]
【解析】建立如图所示的直角坐标系，
13
(0,0),(1,0),(2A B C -，设2π(cos ,sin )([0,])3P θθθ∈，
所以13
(1,0),(2AB AC ==-，因此有13()2xAB y AC x y y +=-，
因为(cos ,sin )AP θθ=，AP xAB y AC =+，
所以有1cos 2cos 33sin x y x y y
θθθθ⎧
=-⎪⎪
⇒=+⎨
⎪=⎪⎩， 于是有π
cos 32sin()6
x y θθθ+==+，
因为2π[0,]3θ∈，所以ππ5π[,]666θ+∈，所以π1sin()[,1]62
θ+∈， 即()[1,2]x y +∈，
故答案为：[1,2]
19．（2022·上海徐汇·二模）在ABC 中，已知1AB =，2AC =，120A ∠=︒，若点P 是ABC 所在平面上一点，且满足AP AB AC λ=+，1BP CP ⋅=-，则实数λ的值为______________．
【答案】1或14
【解析】由AP AB AC λ=+，得AP AB AC λ-=，即BP AC λ=，
(1)CP AP AC AB AC λ=-=+-，
在ABC 中，已知1AB =，2AC =，120A ∠=︒，
所以2
((1))(1))BP CP AC AB AC AC AB AC λλλλλ⋅=⋅+-=⋅+- 22cos1204(1)451λλλλλ=+-=-=-，
即24510λλ-+=，解得1λ=或14
λ= 所以实数λ的值为1或14
. 故答案为：1或14
. 20．（2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）已知0θπ<<，向量2sin ,2cos 2a θθ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,sin θ=b ，且a b ∥，则θ＝______________． 【答案】2
π 【解析】因为∥a b ，所以22sin 2cos 2θ
θ=， 所以2224sin cos 2cos 222θ
θ
θ
=，
因为0θπ<<，cos
02θ≠， 所以212sin ,sin 2222
θθ==， 因为0θπ<<，所以
24θπ=， 2πθ=． 故答案为：
2
π.
1．（2022·全国·高考真题（文））已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】D
【解析】因为()()()2,12,44,3a b -=--=-，所以()22435-=+-=a b .
故选：D
2．（2020·全国·高考真题（文））已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是（ ）
A ．2a b +
B ．2a b +
C ．2a b -
D ．2a b -
【答案】D
【解析】由已知可得：11
cos 601122a b a b ︒⋅=⋅⋅=⨯⨯=.
A ：因为21
5
(2)221022a b b a b b +⋅=⋅+=+⨯=≠，所以本选项不符合题意；
B ：因为21
(2)221202a b b a b b +⋅=⋅+=⨯+=≠，所以本选项不符合题意；
C ：因为21
3
(2)221022a b b a b b -⋅=⋅-=-⨯=-≠，所以本选项不符合题意；
D ：因为21
(2)22102a b b a b b -⋅=⋅-=⨯-=，所以本选项符合题意.
故选：D.
3．（2019·全国·高考真题（文））已知向量()()2332a b ==，，，，则|–|a b =
A 2
B ．2
C ．2
D ．50
【答案】A
【解析】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)a b -=-=-， 所以22||(1)12a b -=-+
故选A
4．（2021·全国·高考真题（理））已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+．若a c ⊥，则k =________． 【答案】103
-. 【解析】()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+,
(),33110a c a c k ⊥∴⋅=++⨯=，解得103k =-
, 故答案为：103
-. 5．（2021·全国·高考真题（文））已知向量()()2,5,,4a b λ==，若//a b ，则λ=_________． 【答案】85
【解析】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2450λ⨯-⨯=， 解方程可得：85
λ=. 故答案为：85
. 6．（2021·全国·高考真题（文））若向量,a b 满足3,5,1a a b a b =-=⋅=，则b =_________. 【答案】32【解析】∵5a b -=
∴222229225a b a b a b b -=+-⋅=+-=
∴32b =. 故答案为：327．（2021·全国·高考真题（理））已知向量()()1,3,3,4a b ==，若()a b b λ-⊥，则λ=__________． 【答案】35
【解析】因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=--，所以由()
a b b λ-⊥可得，
()()3134340λλ-+-=，解得35λ=． 故答案为：35
． 8．（2020·江苏·高考真题）在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，
若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．
【答案】185
或0 【解析】∵,,A D P 三点共线，
∴可设()0PA PD λλ=>， ∵3
2PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， ∴32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即32m m PD PB PC λλ
⎛⎫- ⎪⎝⎭=+， 若0m ≠且32
m ≠，则,,B D C 三点共线， ∴321m m λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=，即32
λ=
， ∵9AP =，∴3AD =，
∵4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒，
∴5BC =，
设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-.
∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC x AD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-，
∵()cos cos 0θπθ+-=，
∴()()2
570665x x x --+=-，解得185x =， ∴CD 的长度为
185. 当0m =时，
32PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0， 当32
m =时，32PA PB =，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去. 故答案为：0或185
. 9．（2020·全国·高考真题（理））设,a b 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=______________.
3【解析】因为,a b 为单位向量，所以1a b == 所以()2222221a b a b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅= 解得：21a b ⋅=- 所以()222
23a b a b a a b b -=-=-⋅+= 310．（2020·全国·高考真题（文））设向量(1,1),(1,24)a b m m =-=+-，若a b ⊥，则m =______________.
【答案】5
【解析】由a b ⊥可得0a b ⋅=，
又因为(1,1),(1,24)a b m m =-=+-， 所以1(1)(1)(24)0a b m m ⋅=⋅++-⋅-=， 即5m =， 故答案为：5.
11．（2020·全国·高考真题（理））已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________.
2【解析】由题意可得：211cos 452
a b →→⋅=⨯⨯= 由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→
⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭， 即：2202
k a a b k →→→⨯-⋅=-
=，解得：2k =故答案为：22． 12．（2019·北京·高考真题（文））已知向量a =（－4，3），b =（6，m ），且a b ⊥，则m =__________.
【答案】8.
【解析】向量4,36,a b m a b =
-=⊥（），（），， 则•046308a b m m =-⨯+==，，.。