【精品解析】湖南省怀化市2020届高三数学第三次模拟考试统一检测试题解析 文(教师版)

精品解析：湖南省怀化市2020届高三第三次模拟考试统一检测数学
（文）试题解析（教师版）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上。

2．考生作答时，选择题、填空题、解答题均须做在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。

3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并收回。

4．本试题卷共4页，如有缺页，考生须声明，否则后果自负。

本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，时量：120分 试卷总评：
本试卷注重考查数学基础知识、基本技能和基本思想方法。

知识覆盖面广，试题难易布局合理，内容紧扣2020考试说明，是考前复习中查漏补缺的一套好检测好题。

第Ⅰ卷（选择题 共45分）
一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卡上. 1．设全集}7,5,3,1{=U ，集合}5,3{=A ,}7,3,1{=B ，则)(B C A U I 等于 A ．{5} B ．{3，5} C ．{1，5，7}
D ．φ
【答案】A
【解析】因{5}U C B =，所以)(B C A U I ={5}，选A 。

2．已知2
1i =-，则)31(i i -的值为
A.3i -
B.3i +
C.3i --
D.3i -+
【答案】B
直 【答案】D
【解析】因
11,22⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
r r a b =，所以1111(),,02222a b b ⎛⎫⎛⎫-⋅=-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r r ，选D 。

5. 设a 、R b ∈，那么“
1a
b
>”是“0>>b a ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8. 一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的 两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为 A ．π B ． 2π C ．3π D ．4π 【答案】C 【解析】由三视图可知原几何体可以看成是一个正方体切割下来的四棱锥，其外接球为正方
体的外接球，故直径为3，所以表面积为2
43S r ππ==，选C 。

9. 点A 是抛物线:1C x y 42
=与双曲线:2C 122
22=-b
y a x )0,0(>>b a 的一条渐近线的交
点，若点A 到抛物线1C 的准线的距离为2，则双曲线2C 的离心率等于
A ．6
B ．5
C ．3
D ．2 【答案】B
【解析】依题可知抛物线准线为1x =-，由点A 到抛物线1C 的准线的距离为2，可得
(1,2)A ±，不妨取(1,2)A ，则
2b
a
=，故21()5b e a =+=，选B 。

第Ⅱ卷（非选择题 共105分）
11．已知某试验范围为[]43,22，等分为21段，用分数法，则第一试点应安排在____________处.
【答案】35或30 ；
【解析】采用分数法，选用分数
13
21
，可知试点1322213521x =+⨯=或是
22433530x =+-=，即35或30 ；
（二）必做题（12～16题）
12．已知某程序框图如右图所示，若输入的x 值为2-， 则输出的值为_______. 【答案】
4
1
； 【解析】由程序框图可知其功能是求21,0()2,0
x x x f x x ⎧->⎪=⎨≤⎪⎩，所以2x =-时，输出2
124-=。

13．在两根相距6m 的木杆上端系直一根钢丝，并在钢丝上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m 的概率是 ． 【答案】
3
1； 【解析】由几何概型可知2163
P =
=。

14．小华的妈妈经营一家饮品店，经常为进货数量而烦恼，于是小华帮
妈妈进行统计，其中某种饮料的日销售量y （瓶）与当天的气温x （℃）的几组对照数据如下：
x 10 15 2025 30
y 110 125 160 185 220
根据上表得回归方程
$$
y bx a
=+
$，$48
a=
其中的，据此模型估计当气温为35℃时，该饮料的日销售量为瓶.
【答案】244；
【答案】⑴ 3⑵ {}1
0|≤
<a
a.
【解析】由方程2()()0
f x af x
-=可得()0
f x=或()
f x a
=，结合
2
2,0,
()
log,0
x x
f x
x x
⎧≤
=⎨
>
⎩
的图像可知，1
a=时，方程有3个实数解，要使方程恰有3个不同的实数解则01
a
<≤，即{}1
0|≤
<a
a。

三、解答题（本大题共6小题，共75分，答题时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）
设ABC
∆的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知1
=
a,2
=
b,
4
1
cos=
C.
（1）求c边的值
（2）求()
cos A C
-的值
【解析】：（1）222
1
2cos1444
4
c a b ab C
=+-=+-⨯=
Q 2.
c
∴= ---------4分
（2）22
1115
cos,sin1cos1().
444
C C C
=∴=-=-=
Q--------6分
15
sin 15
4sin 28
a C A c ∴=== ,a c A C <∴<Q ，故A 为锐角，
22157
cos 1sin 1(
).88
A A ∴=-=-= -----------10分 16
11
415
8154187
sin sin cos cos )cos(=⨯+⨯=+=-C A C A C A -------12分
【点评】本题考查了利用正弦定理、余弦定理解三角形的知识，考查化归与转化的数学思想
方法和运算求解能力。

18. （本小题满分12分）
某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[)50,40，[)60,50…[]100,90，然后画出如下部分频率分布直方图. 观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）估计这次考试的及格率（60分及60分以上为及格）和平均分；
（3）从成绩是[)50,40和[]100,90的两段学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.
【解析】：
（3）分数在“[)50,40，[90,100]”的人数分别为6, 3； 记[)50,40中的6人为
123456,,,,,a a a a a a ，[90,100]中的3位学生为12,b b 3b ，从中选两人共有36种结果，他们
在同一分数段有15+3=18种，他们在同一分数段的概率。

181
362
P =
=……………………12分 【点评】本题主要考查频率分布直方图的基础知识，考查古典概型概率计算，考查必然与或然思想、分类与整合思想等． 19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PD 底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，A D PD =，E ，F 分别是AB ，PB 的中点． （1）求证:CD EF ⊥； （2）当2=
EF 时，求在四棱锥ABCD F -的体积.
∴四棱锥ABCD F -的体积为
3
4
12231=⨯⨯⨯……………………12分 【点评】本小题主要考查空间线线垂直关系的论证、几何体体积的计算等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。

20. （本小题满分13分）
已知三次函数)(x f 的导函数ax x x f 33)(2
-='，b f =)0(，a 、b 为实数. （1）若曲线=y )(x f 在点))1(,1(++a f a 处切线的斜率为12，求a 的值；
（2）若)(x f 在区间]1,1[-上的最小值、最大值分别为2-和1，且21<<a ，求函数)(x f 的解析式。

【解析】：（1）由导数的几何意义'(1)12f a +=
23(1)3(1)12a a a ∴+-+=，39,3a a ∴=∴=
【点评】本题考查了运用导数的简单应用，考查函数与方程、化归与转化的数学思想方法，推理论证能力和运算求解能力。

21．（本小题满分13分）
设),(11y x A 、),(22y x B 是椭圆)0(122
22>>=+b a b x a y 上的两点，已知向量
),(11a
y b x m =ρ，),(22a y b x n =ρ满足0=⋅n m ρ
ρ，且椭圆的离心率,23=e 短轴长为2，O 为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线AB 过椭圆的焦点),0(c F ，（c 为半焦距），求直线AB 的方程. 【解析】：（1）22,1b b ==Q ---------1分
223
2.2
c a b e a a a -===⇒=Q ------------3分 3c ∴=
椭圆的方程为14
22
=+x y ------------5分 （2）设AB 的方程为3+=kx y 由222
2
3(4)231014
y kx k x kx y x ⎧=+⎪
⇒++-=⎨+=⎪⎩
1212
22231
,44k x x x x k k --+=
=++ ------------------------8分 由已知 12121212221
0(3)(3)
4x x y y x x kx kx b a =+=+++ 43)(43)41(21212++++=x x k x x k 222413233(),44444k k k k k +-=-+⋅+++
2k ∴=±--------------11分
所求直线方程为：23y x =+和23y x =-+-------------------13分
【点评】本小题主要考查直线与椭圆的方程和位置关系，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力。

()1
1
12142122--⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⨯=⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=-∴n n n b b ………6分
n
n b ⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯+=∴2182………7分
（2）设k k b a k f -=)(k
2171928222k k ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥
⎣⎦
2k
17491872242k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
=---⨯+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
……………8分
所以当4≥k 时，)(k f 是增函数……………10分
又21)4(=f Θ，所以当4k ≥时2
1
)(≥k f ……………11分
又0)3()2()1(===f f f Θ，。