基于潘氏极大值原理的边坡稳定性的整体分析法

利用 2 个力平衡条件可得
σ I ( x) = ∑ a j l j ( x )
j =0
n
（14）
式中：σ I ( x j ) = a j ；l j ( x) 为对应于节点 x j 的线性插 值函数，具体表示如下：
Ωk τ σ
tvk
thk
x 坐标依次为 x j ( j = 0, 1, 2, …, n) ，注意 x0 = x A 和 xn = xD ， x A 、 xD 分别为滑面 s 的低端 A 点和顶端 D 点的 x 坐标，如图 1 所示。本文选择分段线性插
值来逼近 σ I ，即
Fig.2
图 2 下滑体的受力示意图 Sketch diagram of a lower slip body
（12）
3 优化模型的建立
现假定滑面已知，为了使问题定解，文献[6]利 用仅含 2 个待定参数 a 和 b 的函数 f ( x; a, b ) 来逼近 （4） 式（11）中的 σ I 。但这样构造的 σ I 不能确保所得 到的力系为静力许可。本文用含 n+1 (n >1)个待定 参数 a0 , a1 , a2 ," , an 的函数 f ( x, a0 , a1 , a2 ," , an ) 来逼近 σ I 。由于安全系数 F 已经占据了一个未知 数，仅用 3 个平衡方程还不足以确定 n +2( >3)个未 知数， 因此， 将借助于潘氏极大原理来解决此问题。 这样所构成的优化问题为 （6）
－8]
来实现潘
氏极大原理。整体分析法有良好的数值特性，并可 归结为一个代数特征值问题[7]，也可很方便地实现 三维严格极限平衡法[7
－8]
。
（1）
2 整体分析法的原理
设滑体 Ω 是由边坡外轮廓线 g 和某一潜在滑 滑体内可以包含多种介质， 面 s 所围成的平面区域， 如图 1 所示。取整个滑体 Ω 为受力体，其所受到的
1 引 言
对于边坡稳定性分析，潘家铮给出了 2 个极值 原理 ： （1）滑坡如能沿许多滑面滑动，则失稳时 它将沿抵抗力最小的一个滑面破坏（最小值原理） ； （2）滑坡体的滑面给定时，则滑面上的反力（以及 滑坡体内的内力）能自行调整，以发挥最大的抗滑 能力（最大值原理） 。 由于抗滑能力是用安全系数 F 来表征的，所以 由潘氏极值原理可知，边坡稳定性分析实际上可归 结为一个鞍点问题：
由文献[6]可知，滑面上任一点 J 的法向应力 σ 可表示为
σ = σ0 + σ I
献，是已知的； σ I 为滑动修正应力。
（8）
式中：σ 0 为来自滑体上的外载荷对滑面正应力的贡 为简单起见，以下公式推导中均假定自重为惟 一的外载。则 σ 0 可表示成
σ 0 = σ w cos 2α
式中： α 为点 J 处的滑面与 x 轴所成的角度。
Abstract: On the basis of global analysis procedure and PAN Jia-zheng’s maximum principle for the stability analysis of slopes, a nonlinear optimum model is set up for calculating the factor of safety, which takes as independent variables the factor of safety as well as the normal stress on the slip surface. The objective function is just the factor of safety. The constraint conditions include that (1) the equilibrium equations are satisfied; (2) the normal stress and the interslice thrust are not negative; and (3) the thrust line is within the slip body. Since the objective function is linear and the constraint functions are polynomials of at most degree two, the model has weaker nonlinearity, enjoys a large scope of convergence, and can be solved by means of the conventional optimization algorithms. Key words: slope stability; limit equilibrium method; nonlinear optimization problem; Pan’s maximum principle
Global method for stability analysis of slopes based on Pan’s maximum principle
YANG Zhao-liang1, SUN Guan-hua2, ZHENG Hong1, 2
(1. Key Laboratory of Geological Hazards in Three Gorges Reservoir of Ministry of Education, China Three Gorges University, Yichang, Hubei 443002, China; 2. State Key Laboratory of Geomechanics and Geotechnical Engineering, Institute of Rock and Soil Mechanics, Chinese Academy of Sciences, Wuhan 430071, China)
该问题的独立变量为 F 和 n+1 个待定参量
a0 , a1 , a2 ," , an ，文献[9]给出了约束条件集 TE 的
构成方法。
第2期
杨召亮等：基于潘氏极大值原理的边坡稳定性的整体分析法
561
注意优化问题式（13）中的目标函数就为 F， 而 F 为独立变量，这一点是区别于其他边坡稳定性 的优化方法的根本所在。其他优化方法，如文献[3 －4]等都将 F 视作其他独立变量的一个隐函数，这 样就加剧了问题的非线性程度，从而使得经典的基 于下降类算法的优化方法难以实施。 现将滑面 s 分割成 n 段， 相应的 n +1 个端点的
560
岩
土
力
学
2011 年
主动力有体积力（包括自重和水平地震力）和作用 在外轮廓线 g 上的面力或集中力，所受到的约束反 力为滑面上的正应力 σ ( x) 和切向应力 τ ( x) 。 i = 1, 2, 任取不在同一直线上的 3 个点 ( xci , yci ) ， 3，为力矩中心，因 Ω 处于平衡状态，所以，作用 于其上的力系关于这 3 个力矩中心的和力矩为 0， 可以得到 ∫ s ( ∆xciσ − ∆yciτ ) dx + ( ∆xciτ + ∆yciσ ) dy + mci = 0 （2） 式 中 ： mci 为 作 用 在 滑 体 上 的 所 有 主 动 力 关 于 点 ( x, y ) 的位矢分量：
摘
要：基于整体分析法和潘家铮最大值原理，建立了求解给定滑面安全系数的非线性优化模型。该模型将安全系数和滑面
法向应力视为独立变量，目标函数就是安全系数本身，约束条件包括平衡方程、滑面法向应力和条间推力不负，以及推力线 位于滑体之内。由于目标函数又仅是线性函数，且约束函数至多是二次多项式函数，所以该模型的非线性程度较低，具有良 好的收敛性，可利用经典的优化算法进行求解。 关 键 词：边坡稳定性；极限平衡法；非线性优化问题；潘家铮最大值原理 文献标识码：A 中图分类号：TU 473
max F
TE
τ=
1 1 ce + f e (σ − u ) ⎤ ⎡ ≡ ( cw + f eσ ) ⎣ ⎦ F F
式中：F 为安全系数； ce 、 f e 为有效应力抗剪强度 参数； u 为孔隙水压力，
cw = ce − f e u
力 σ ( x) 为未知函数的积分方程组：
（5）
把式（4）代入式（2） ，可以得到以滑面法向应
∫ s L σ dx + L σ dy + mci F + dci = 0
x ci y ci
（13）
式中：
y Lx ci = F ∆xci − f e ∆yci ; Lci = F ∆yci + f e ∆xci d ci = ∫ s cw ∆xci dy − cw ∆yci dx
⎫ ⎪ ⎬ （7） ⎪ ⎭
T T ∆xc = ( ∆xc1 ,∆xc 2 ,∆xc 3 ) ; ∆yc = ( ∆yc1 ,∆yc 2 ,∆yc 3 ) ⎫ ⎪ 0 ⎪ mc = mc + ∫ s σ 0 ( ∆xc dx + ∆yc dy ) ⎪ ⎬ 0 d c = d c + ∫ s σ 0 f e ( ∆xc dy − ∆yc dx ) ⎪ ⎪ T T ⎪ mc = ( mc1 ,mc 2 ,mc 3 ) ; d c = ( d c1 ,d c 2 ,d c 3 ) ⎭
qn qt
力的贡献， 是未知的， 也是问题静不定的惟一原因。 把式（8 ）代入式（6） ，可得以滑面修正应力
Ω

τ (x)
σ ( x) 为未知函数的向量积分方程：
I
F ∫ s σ I ( ∆xc dx + ∆yc dy ) +
σ (x)
∫ sσ
式中：
I
0 f e ( ∆xc dy − ∆yc dx ) + Fmc + d c0 = 0
min max F
SL TE
中 F 为独立变量， 其他独立变量可以选择 M-P 法中 的条间力函数值[2]、 Janbu 法中的条间力合力作用点 高度[3]等等。然而已有的研究表明[2
－4]
，这种基于经
[1]
典条分法所建立的模型的数值性态很差，以至于必 须借助于智能优化技术如粒子群法等，才可能实现 问题的求解。 鉴于此，本文选择了整体分析法[5
式中：SL 为所有可能潜在滑面所成的集；TE 为满足 静力许可条件的所有力系所成的集。注意在此问题
收稿日期：2009-11-07 基金项目：国家自然科学基金（No. 50779031） ；国家杰出青年基金（No. 50925933）资助。 第一作者简介：杨召亮，男，1983 年生，硕士研究生，主要从事边坡稳定性分析分析方面的研究工作。E-mail: yzlyichang@
值得注意的是文献9还要求在截面上局部安全系数不小于整体安全系数f但考虑到当滑体非均质和或滑体内有地下水时截面的抗剪强度参数及有效应力都难以确定且当滑面光滑时该约束条件通常都是自动满足的所以本文未将此要求列入约束条件
第 32 卷第 2 期 2011 年 2 月
文章编号：1000－7598 (2011) 02－0559－05
（9）
( xci , yci ) 的力矩；∆xci 、∆yci 为 ( xci , yci ) 到滑面上的
∆xci = x − xci ; ∆yci = y − yci
（3）
σ w = ∫ y γ dy
J
yQ
（10）
式中： γ 为滑体的单位重度；Q 为过滑面 J 点的垂 线与滑体坡面的交点； y J 、 yQ 分别为点 J、Q 的纵 坐标。 式（8）中的 σ I 代表了滑体内力对滑面法向应
岩 土 力 学 Rock and Soil Mechanics
Vol.32 No.2 Feb. 2011
基于潘氏极大值原理的边坡稳定性的整体分析法
杨召亮 1，孙冠华 2，郑 宏 1, 2
（1.三峡大学 三峡库区地质灾害教育部重点实验室，湖北 宜昌 443002； 2.中国科学院武汉岩土力学研究所 岩土力学与工程国家重点实验室，武汉 430071）
（11）
Fig.1
图 1 滑体及其上的力系 Sliding body and system of forces on it
若不做特别声明，本节中的角标 i 皆为自由角 标，当它出现在一个公式中时，就表示指标 i 将遍 历 1、2、3，也就是依次取 3 个力矩中心 ( xci , yci ) 后 所得到的 3 个公式。同时，为了叙述上的简单，假 定边坡为右坡，即坡面高度随着 x 坐标的增加而上 升。 假定滑面仍然满足 Mohr-Coulomb 准则，则当 边坡处于极限平衡状态时，