2021年北京初二(下)期中数学试卷汇编：四边形章节综合2

2021北京初二（下）期中数学汇编
四边形章节综合2
一、解答题
1．（2021·北京昌平·八年级期中）如图，Rt△ABC中，，CD是斜边AB上的中线，分别过点A，C作
∠ACB=90°
AE∥DC CE∥AB
，，两线交于点E．
(1)求证：四边形AECD是菱形；
(2)若∠B＝45°，CD＝2，求四边形AECD的面积．
2．（2021·北京昌平·八年级期中）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=10，△ABF的面积是24，点E为DC边上的一点，将△ADE沿直线AE折叠，点D刚好落在BC边上的点F处，求AE的长．
3．（2021·北京昌平·八年级期中）如图，在□ABCD中， E、F分别是边AB，DC上的点，DE⊥AB，BF⊥CD．求证：BE＝DF．
4．（2021·北京大兴·八年级期中）已知：如图，点在的边上，过点、分别作、的平行线相交于
F△ABC AC F B AB AC
E B
F AB=AF
点，连接，．
ABEF
求证：四边形是菱形．
5．（2021·北京大兴·八年级期中）已知：如图，在中，是边上任意一点，是边中点，过点作的
△ABC D AB E BC C AB DE F BF CD
平行线，交的延长线于点，连接，．
CDBF
求证：四边形是平行四边形．
6．（2021·北京朝阳·八年级期中）已知：如图，点A是直线l外一点，B，C两点在直线l上，∠BAC＝90°，BC＝2BA．
（1）按要求作图：（保留作图痕迹）
①以A为圆心，BC为半径作弧，再以C为圆心，AB为半径作弧，两弧交于点D；
②作出所有以A，B，C，D为顶点的四边形；
（2）比较在（1）中所作出的线段BD与AC的大小关系．
7．（2021·北京昌平·八年级期中）如图，已知在正方形ABCD中，点M是对角线AC上一点，连接BM，在BM左侧，以BM为边作正方形BMEF，连接 AF．
(1)根据题意补全图形；
(2)猜想AF与CM的关系，并证明．
(3)若正方形ABCD边长是4，，求正方形BMEF边长．
CM=32
8．（2021·北京昌平·八年级期中）在平面直角坐标系中，若，为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边
xOy P Q
P Q P Q A
均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点，的“关联矩形”．图1为点，的“关联矩形”的示意图，已知点的坐标(1,2)
为．
(1)如图2，点的坐标为．
B(b,0)
A B
①若b=2，则点，的“关联矩形”的面积是_______；
A B b
②若点，的“关联矩形”的面积是10，则的值为_______．
(2)如图3，点在直线y=5上，若点，的“相关矩形”是正方形，求直线的表达式；
C A C AC
(3)如图4，等边的边在轴上，顶点在轴的正半轴上，点的坐标为．点的坐标为，若在
△DEF DE y F x D(0,1)M(2,m)
△DEF N M N m
的边上存在一点，使得点，的“相关矩形”为正方形，请直接写出的取值范围．
9．（2021·北京昌平·八年级期中）下面是小李设计的“做菱形ABCD”的尺规作图过程．
已知：线段AC，如图．
求作：以线段AC为对角线的一个菱形ABCD．
作法：（1）作线段AC的垂直平分线MN交AC点于O；
（2）以点O为圆心，任意长为半径画弧，交直线MN于点B，D；
（3）顺次连结点A，B，C，D．则四边形ABCD即为所求作的菱形．
根据小明设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：∵直线MN是AC的垂直平分线，
∴OA = OC，MN⊥AC
∵__________=__________①
∴四边形ABCD是平行四边形（）②
∴平行四边形ABCD是菱形（）③
10．（2021·北京大兴·八年级期中）将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，
ABCD(AB<AD)B A BC F BE E D BE D′EG
折痕为（如图①）；再沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕为（如图②）；再展平纸片（如图③）．
△EBG
（1）判断的形状并加以证明；
∠BEF∠FEG
（2）用等式表示图③中与之间的数量关系是：______．
11．（2021·北京大兴·八年级期中）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作且，
ABCD AC BD O D DE//AC DE=1
AC
2 CE OE AE OD F
连接、，连接交于点．
OE=CD
求证：．
12．（2021·北京大兴·八年级期中）在正方形外侧作直线，点关于直线的对称点为连接，，其
ABCD AP B AP E BE DE DE AP F AE∠PAB=20°∠ADF
中交直线于点．连接，若，求的度数．
13．（2021·北京大兴·八年级期中）在矩形中，，，是边上一点，连接，过点作
ABCD AB=4BC=3E AB CE E
EF⊥CE AD F∠AEH=∠BEC FD H CD N
交于点，作，交射线于点，交射线于点．
（1）如图1，当点与点重合时，求的长；
H F BE （2）如图2，当点在线段上时，用等式表示线段与之间的数量关系（其中），并证明． H FD BE DN 2<BE ≤314．（2021·北京朝阳·八年级期中）四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，点E 在边AB 上，点F 在AD 的延长线上，且点E 与点F 关于直线CD 对称，过点E 作EG ∥AF 交CD 于点G ，连接FG ，DE ．
（1）求证：四边形DEGF 是菱形；
（2）若AB ＝10，AF ＝BC ＝8，求四边形DEGF 的面积．
15．（2021·北京朝阳·八年级期中）我们设定，当一条直线与一个正方形的边有两个不同的公共点时，称这条直线与这个正方形相交．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点为A （2，1）、B （2，2）、C （1，2）．D （1，1）．
（1）判断直线与正方形OABC 是否相交，如果是，求出交点，否则说明原因；
y =13x +56（2）若直线与正方形OABC 相交，求b 的取值范围．
y =13x +b 16．（2021·北京房山·八年级期中）如图1，在▱ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，E 恰为BC 的中点，＝2．
AE BE （1）求证：AD ＝AE ；
（2）当点P 为线段BE 上任意一点，连接DP ，作EF ⊥DP 于点F ，连接AF ．
①依题意补全图形；
②求证：DF ﹣EF ＝AF ． 2
17．（2021·北京房山·八年级期中）已知：如图，□ABCD中，E，F是AB，CD上两点，且AE=CF．求证：
DE=BF．
18．（2021·北京大兴·八年级期中）定义：在平面直角坐标系中，矩形的一边平行于轴，点为
xOy PQRS PQ x M RS R S M PQ M PQ MP+MQ PQ
（不与点、重合）上一点，当点到的距离为1时，称为的“单位高点”，称此时为的“单位高P(1,1)Q(4,1)
距离”，已知，．
(2,0)(52,4)(3,2)PQ
（1）在，，所表示的点中，表示的“单位高点”的坐标是______．
PQ M(t,0)
（2）要使的“单位高距离”的值最小，“单位高点”应在什么位置，在图上标出它的位置，并求出这个“单位高距离”的最小值．
19．（2021·北京房山·八年级期中）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，
y2），且x1≠x2，y1≠y2.若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q 的“相关矩形”，如图①为点P，Q的“相关矩形”的示意图．已知点A的坐标为（2，1），
（1）若点B的坐标为（4，0），直接写出点A，B的“相关矩形”的面积；
（2）若点C在y轴上，且点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；
（3）若点D的坐标为（4，2），当直线y＝kx﹣2与点A，D的“相关矩形”没有公共点时，求k的取值范围；
（4）若点P在直线y＝﹣2x+2上，且点A，P的“相关矩形”为正方形，直接写出点P的坐标
20．（2021·北京朝阳·八年级期中）如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上（点E与点C、D不重合），过点E作FG⊥BE，FG与边AD相交于点F，与边BC的延长线相交于点G．
（1）BE与FG有什么样的数量关系？请直接写出你的结论： ；
（2）DF、CG、CE的数量之间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论．
（3）如果正方形的边长是1，FG＝1.5，直接写出点A到直线BE的距离．
参考答案
1．(1)证明见解析
(2)4
【分析】
(1)先根据两组对边分别平行，证明四边形AECD是平行四边形，然后再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明CD=AD，进而得到一组邻边相等，四边形AECD是菱形；
(2)根据三角形外角性质得到∠ADC=90°，进而得到四边形AECD变为正方形即可求出其面积．
(1)
证明：∵AE∥DC，CE∥AB，
∴四边形AECD是平行四边形，
∠ACB=90°
∵Rt△ABC中，，CD是斜边AB上的中线，
∴CD=AD，
∴四边形AECD是菱形．
(2)
∠ACB=90°
解：∵Rt△ABC中，，CD是斜边AB上的中线，
∴CD=AD=DB=2，
∴∠B=∠BCD=45°，
∴∠CDA=∠B+∠BCD=90°，
∴四边形AECD是正方形，
∴S正方形AECD= CD2=4．
【点睛】
本题考查了菱形、正方形的判定定理及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，熟练掌握菱形及正方形的判定方法是解题的关键．
2．AE=55
【分析】
由题意易得BF=6，则有CF=4，设EF=DE=x，则CE=8-x，然后根据勾股定理可建立方程求解x，最后问题可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，AB=8，BC=10，
∴AB=CD=8，BC=AD=10，∠B=∠C=∠D=90°，
∵△ABF的面积是24，
∴，
12AB ⋅BF =24∴，
BF =6∴CF =4，
由折叠的性质可得：DE =EF ，
设EF =DE =x ，则CE =8-x ，
在Rt △ECF 中，由勾股定理可得：，
42+(8−x )2=x 2解得：，即，
x =5DE =EF =5在Rt △ADE 中，．
AE =AD 2+DE 2=55【点睛】
本题主要考查矩形的性质、折叠的性质及勾股定理，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质及勾股定理是解题的关键． 3．证明见解析
【分析】
由平行四边形的性质，DE ⊥AB ，BF ⊥CD 证明四边形BFDE 为矩形，即可得证结论．
【详解】
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形
∴ AB CD
∥∴∠CDE +∠DEB =180°
∵ DE ⊥AB ，BF ⊥CD
∴∠DEB =∠DFB =∠CDE =90°
∴四边形BFDE 为矩形
∴BE =DF
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质等知识，关键在于熟练掌握这些知识．
4．见解析
【分析】
先由已知条件证得四边形是平行四边形，再由可得是菱形．
ABEF AB =AF ▱ABEF 【详解】
证明：∵EF //AB ，BE //AF ，
四边形是平行四边形，
∴ABEF ，
∵AB =AF 是菱形．
∴▱ABEF 【点睛】
本题主要考查了菱形的判定，熟悉菱形的判定定理是解决问题的关键．
5．见解析
【分析】
E BC△CEF≌△BED DE=FE
由已知是边中点，再证明，得，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可．
【详解】
CF//AB
证明：∵，
∠ECF=∠EBD
∴．
E BC
∵是中点，
CE=BE
∴．
∠CEF=∠BED
∵，
∴△CEF≌△BED
DE=EF
∴．
CDBF
∴四边形是平行四边形．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定，三角形全等的性质与判定，掌握平行四边形的判定是解题的关键．
6．（1）见解析；（2）在四边形ABDC中，BD＝AC；在四边形中，
ABCD′BD′>AC
【分析】
（1）根据要求作出图形即可．
（2）有两种情形，分别求解．
【详解】
ABCD′
解：（1）如图，四边形ABDC或四边形即为所作．
ABCD′
（2）在四边形ABDC和四边形中，
AB=CD=CD′AD=AD′=BC
∵，，
ABCD′
∴四边形ABDC和四边形是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，
∴四边形ABDC是矩形，
BD′＞BD=AC
∴BD＝AC，．
∴在四边形ABDC 中，BD ＝AC ；在四边形中，
ABCD′BD′＞AC 【点睛】
本题主要考查了作图—复杂作图，平行四边形的判定，及三角形的三边关系，根据题意作出符合题意的图形是解题的关键．
7．(1)补画图形见解析；
(2)，，证明见解析；
AF =CM CM ⊥AF (3)
10【分析】
（1）根据题意补画图形即可；
（2）首先借助正方形的性质证明△MBC 与△FBA 全等，进而可证；由正方形的性质及三角形全等，可证AF =CM ∠BAC 与∠BAF 均为45°，可证，即．
∠FAC =90°CM ⊥AF （3）过点F 作FG ⊥AB 交AB 于点G ，由小问（2）的证明过程可知，△AFG 为等腰直角三角形，又因为 ，易得线段FG 、BG 长度，在直角三角形BFG
中，根据勾股定理可得FB 长度，即正方形BMEF AF =CM =32边长．
(1)
如图：
(2)
猜想： AF =CM ，CM ⊥AF
证明：∵四边形ABCD 与四边形BMEF 为正方形，
∴ ，，，
AB =CB ∠ABC =∠FBM =90°BM =BF ∴，
∠MBC +∠ABM =∠FBA +∠ABM ∴
∠MBC =∠FBA 在三角形△MBC 与△FBA 中，
{BM =BF ∠MBC =∠FBA BC =BA
∴△MBC ≌△FBA （
SAS ）
∴，
AF =CM ∴，
∠FAB =∠BCM =90°
∵
又四边形ABCD为正方形，
∠BAC=∠BCA=∠BAF=45°
∴，
∠FAC=∠FAB+∠BAC=90°
∴，
∴CM⊥AF．
(3)
如图2，过点F作FG⊥AB 交AB 于点G，
∠AGF=∠BGF=90°
，
FG2+AG2=AF2
在Rt△AGF中，有，
∠FAB=45°AF=CM=32
∵，，
AG=FG=3
∴，
AB=4
∵，
BG=AB−AG=4−3=1
∴，
FG2+BG2=BF2
在Rt△BGF中，，
BF=BG2+FG2=12+32=10
∴，
10
即正方形BMEF边长为．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理等知识，解题关键是综合运用几何知识逐步推断和计算最终结果．
8．(1)①2；②6或−4
(2)或
y=x+1y=−x+3
(3)或
−3≤m≤3−22−3≤m≤3
【分析】
b>1b<1（1）①根据题意可得点B（2，0），再由“关联矩形”的定义，即可求解；②分两种情况讨论：当时，当
时，即可求解；
A(1,2)G AG=3A C AGCH
（2）过点作直线y=5的垂线，垂足为点，可得．再由点，的“相关矩形”是正方形，可得正AGCH3C x=1C x=1
方形的边长为．然后分两种情况：当点在直线右侧时，当点在直线左侧时，利用待定系数法，即可求解；
OF=3
（3）根据题意可得，然后分三种情况讨论：当点N在EF边上时，当点N在DF边上时，即可求解．(1)
解：①如图，
∵b=2，
∴点B（2，0），
A(1,2)
∵点的坐标为，
A B2×(2−1)=2
∴点，的“关联矩形”的面积是；
故答案为：2；
b>1A B2×(b−1)=2b−2
②当时，点，的“关联矩形”的面积是，
A B
∵点，的“关联矩形”的面积是10，
2b−2=10b=6
∴，解得：，
b<1A B2×(1−b)=2−2b
当时，点，的“关联矩形”的面积是，
A B
∵点，的“关联矩形”的面积是10，
2−2b=10b=−4
∴，解得：，
b
综上所述，的值为6或-4；
故答案为：6或-4；
(2)
A(1,2)G AG=5−2=3
解：过点作直线y=5的垂线，垂足为点，则．
C A C AGCH
∵点在直线y=5上，点，的“相关矩形”是正方形，
AGCH3
∴正方形的边长为．
C x=1CG=3
如图，当点在直线右侧时，，
∵，
CG =3∴C (4，5)．
设直线的表达式为，
AC y =k 1x +b 1(k 1≠0)把 ，C (4，5)代入，得：
A(1,2)，解得： ， {k 1+b 1=24k 1+b 1=5 {k 1
=1b 1
=1 ∴直线的表达式为y =x +1．
AC 如图，当点在直线左侧时，
C x =1
∵，
CG =3∴C (-2，5)．
设直线的表达式为，
AC y =k 2x +b 2(k 2≠0)把 ，C (-2，5)代入，得：
A(1,2)，解得： ， {k 2+b 2=2−2k 2+b 2=5 {k 2=−1
b 2=3
∴直线的表达式为y = -x +3．
AC 综上所述，直线的表达式为或；
AC y =x +1y =−x +3(3)
解：∵点的坐标为，
M (2,m )∴点M 在直线x =2上，
∵△DEF 是等边三角形，且顶点在轴的正半轴上，点的坐标为．
F x D (0,1)∴OD =OE ==1，
12DE
∴DE=DF=EF=2，
OF=3
∴，
当点N在EF边上时，若点N与点E重合时，点M、N的的“相关矩形”为正方形，则该正方形的边长为2，
M(2,−3)M(2,1)
∴点或，
2−3
若点N与F重合时，点M、N的的“相关矩形”为正方形，则该正方形的边长为，
M(2,3−2)M(2,2−3)
∴点或，
m−3≤m≤3−22−3≤m≤1
∴当点N在EF边上时，的取值范围为或；
当点N在DF边上时，若点N与点D重合，点M、N的的“相关矩形”为正方形，则该正方形的边长为2，
M(2,3)M(2,−1)
∴点或，
2−3
若点N与点F重合时，点M、N的的“相关矩形”为正方形，则该正方形的边长为，
M(2,2−3)M(2,3−2)
∴点或，
m2−3≤m≤3−1≤m≤3−2
∴当点N在DF边上时，的取值范围为或；
m−3≤m≤−11≤m≤3
当点N在DE边上时，的取值范围为或
m−3≤m≤3−22−3≤m≤3
综上所述，的取值范围为或．
【点睛】
本题主要考查了求一次函数解析式，矩形的性质，等边三角形的性质，理解新定义，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键．
9．(1)见解析
(2)，对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
OB=OD
【分析】
（1）根据题意作图即可；
（2）根据平行四边形的判定、菱形的判定方法解题．
(1)
解：菱形ABCD就是所求作图形．
(2)
OB=OD；
对角线互相平分的四边形是平行四边形；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
【点睛】
本题考查尺规作图—作菱形、平行四边形的判定、菱形的判定等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．10．（1）等腰三角形，理由见解析；（2）答案不唯一，如∠BEF=2∠FEG
【分析】
∠BEG=∠DEG AD//BC∠BEG=∠DEG∠BEG=∠BGE
（1）根据折叠，可知，由可知，等量代换即可得，根据等角对△EBG
等边即可判断为等腰三角形；
AE=EF=AB∠AEB=∠BEF=45°∠DEG=∠GEB=45°+α
（2）由折叠，可知，，则，由平角的定义，列方程即α∠BEF∠FEG
可求得，进而即可求得与之间的数量关系．
【详解】
(1)等腰三角形；
ABCD
证明：∵四边形是矩形，
AD//BC
∴．
∠BGE=∠DEG
∴，
D B
E EG
由点落在上，折痕为知，
∠BEG=∠DEG
，
∠BEG=∠BGE
∴，
BG=BE
∴，
△EBG
即为等腰三角形．
∠FEG=α
（2）如图，设，
ABCD
∵四边形是矩形，
,，
∵∠A=90°∠ABF=90°
∵
折叠，
,，
∴AE =EF ∠BFE =∠A 四边形是正方形，
∴ABFE ，
∴∠AEB =∠BEF =45°，
∴∠BEG =∠BEF +∠FEG =45°+α由（1）可知，
∠BEG =∠DEG ，
∴∠AEB +∠BEG +∠DEF =180°即，
45°+2(45°+α)=180°解得，
α=22.5°，
∴∠BEF =2∠FEG 故答案为：答案不唯一，如．
∠BEF =2∠FEG 【点睛】
本题考查了矩形的折叠问题，正方形的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握以上知识点．
11．见解析
【分析】
根据菱形的性质可得，，根据等量关系可得，再根据平行四边形的判定，矩形的判定∠COD =90°OC =12AC OC =DE 可得四边形是矩形，再根据矩形的性质即可得到．
OCED OE =CD 【详解】
证明：四边形是菱形，
∵ABCD ，，
∴∠COD =90°OC =12AC ，
∵DE =12AC ，
∴OC =DE ，
∵DE//AC ，
∴DE//OC 四边形是平行四边形，
∴OCED 四边形是矩形，
∴OCED ．
∴OE =CD 【点睛】
本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定和性质，关键是证明四边形是矩形．
OCED 12．25°
【分析】
由对称的性质可得，从而∠EAB =40°，即可求得∠EAD 的度数，再证明∠ADF =∠AED ，进而∠PAB =∠PAE =20°可求解．
【详解】
解：∵点关于直线的对称点为，
B AP E ∴是对称轴， AP
∴，
∠PAB =∠PAE =20°∴，AE =AB ，
∠EAB =2∠BAP =40°∵四边形是正方形，
ABCD ∴，
∠BAD =90°AB =AD ∴，，
AE =AD ∠EAD =130°∴，
∠ADF =∠AED ∴．
∠ADF =
180°−130°2=25°【点睛】
本题主要考查正方形的性质，对称的性质，等腰三角形的判定与性质，证得AE =AD 是解题的关键．
13．（1）3；（2），证明见解析
DN =2BE−4【分析】
（1）求出，由矩形的性质推出，即可得出答案；
∠BEC =45°BE =BC （2）过点作，垂足为点，推出，求出，得出，推出，即E EG ⊥CN G BE =CG ∠N =∠ECN EN =EC CN =2CG =2BE 可得出答案．
【详解】
解：（1）如图，
，
∵EF ⊥EC ，
∴∠NEC =90°，
∴∠AEF +∠BEC =90°，
∵∠AEF =∠BEC ，
∴∠BEC =45°四边形是矩形，
∵ABCD ，
∴∠B =90°，
∴BE =BC ，
∵BC =3；
∴BE =3（2）线段与之间的数量关系为．
BE DN DN =2BE−4证明：如图，过点作，垂足为点，
E EG ⊥CN G
∵ABCD
四边形是矩形，
∴AB//CN
，
∴∠B=∠BCG=90°=∠EGC
，
∴BEGC
四边形是矩形，
∴BE=CG
，
∵AB//CN
，
∴∠AEH=∠N∠BEC=∠ECN
，，
∵∠AEH=∠BEC
，
∴∠N=∠ECN
，
∴EN=EC
，
∴CN=2CG=2BE
，
∵CD=AB=4
，
∴CN=2CG=2BE=DN+4
，
∴DN=2BE−4
．
【点睛】
本题考查了平行线性质，矩形的性质和判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质和判定的应用，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
14．（1）见解析；（2）20
【分析】
（1）由轴对称的性质可得FD＝ED，FG＝EG，可证△FDG≌△EDG，可得∠EDG＝∠FDG，由平行线的性质可得∠EGD＝∠FDG＝∠EDG，可得ED＝EG，可得结论；
（2）连接FC，EC，先证四边形ABCF是矩形，可得AB＝CF，由轴对称的性质可得CE＝CF＝10，由勾股定理可求BE，AE，DF的长，即可求解．
【详解】
证明：（1）∵点E与点F关于直线CD对称，
∴FD＝ED，FG＝EG，且DG＝DG，
∴△FDG≌△EDG（SSS），
∴∠EDG＝∠FDG，
∵EG∥AF，
∴∠EGD＝∠FDG，
∴∠EGD ＝∠EDG ，
∴ED ＝EG ，
∴FD ＝ED ＝FG ＝EG ，
∴四边形DEGF 是菱形；
（2）连接FC ，EC ，则CE ＝CF
∵∠A ＝∠B ＝90°，
∴AF ∥CB ，且AF ＝BC ＝8，
∴四边形ABCF 是平行四边形，且∠A ＝90°，
∴四边形ABCF 是矩形，
∴CE ＝CF ＝AB ＝10，
在 中，
Rt △BCE ∴ ，
BE =CE 2−BC 2=102−82=6∴AE ＝4，
设FD ＝ED ＝FG ＝EG ＝x ，则AD ＝8﹣x ，
在Rt △ADE 中，42+（8﹣x ）2＝x 2，
∴x ＝5．
∴S ＝5×4＝20．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定与性质；轴对称的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
15．（1）交点为（1，），（2，）；（2） 763213<b <
113
【分析】
（1）当x ＝2、x ＝1时求出对应的y 的值就可以求出直线与正方形的交点坐标而得出结论；
（2）分别求出直线经过A 、B 、C 、D 时b 的值即可求得．
【详解】
解：（1）∵A （2，1）、B （2，2）、C （1，2）．D （1，1）．
把x ＝2代入得，y ＝+＝，
y =13x +5613×25632把x ＝1代入得，y ＝+＝，
y =13x +5613×15676∴直线与正方形OABC 相交，交点为（1，），（2，）；
y =13x +567632（2）直线经过A （2，1）时，b ＝，
y =13x +b 13直线经过B （2，2）时，b ＝，
y =13x +b 43直线经过C （1，4）时，b ＝，
y =13x +b 113直线经过D （1，1）时，b ＝
y =13x +b 23∵直线与正方形OABC 相交，
y =13x +b ∴b 的取值范围为． 13<b <
113【点睛】
本题考查了一次函数的图像上的点的特征，一次函数图象与系数的关系，正方形的性质，求得一次函数的解析式是解题的关键．
16．（1）见详解；（2）①图见详解；②见详解
【分析】
（1）由题意易得AD =BC =2BE ，然后由＝2可求证；
AE BE （2）①根据题意画出图形即可；②在线段DF 上截取DH =EF ，连接AH ，由题意易得
，，则有，进而可证，然后根∠AEP =∠EAD =∠EFP =90°∠EPF =∠ADH ∠EPF =∠AEF =∠ADH △AEF≌△ADH 据三角形全等的性质可得△FAH 是等腰直角三角形，最后问题可求证．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴，
AD =BC ∵点E 恰为BC 的中点，
∴AD =BC =2BE ，
∵＝2，
AE BE ∴AD ＝AE ；
（2）①由题意可得如图所示：
②证明：在线段DF上截取DH=EF，连接AH，如图所示：
AD//BC
∵EF⊥DP，AE⊥BC，，
∠AEP=∠EAD=∠EFP=90°∠EPF=∠ADH
∴，，
∠PEF+∠EPF=∠PEF+∠AEF=∠EAH+∠DAH=90°
∴，
∠EPF=∠AEF=∠ADH
∴，
∵AD＝AE，
△AEF≌△ADH(SAS)
∴，
∠DAH=∠EAF,AF=AH
∴，
∠EAF+∠EAH=∠FAH=90°
∴，
∴△FAH是等腰直角三角形，
FH=2AF
∴，
∵FH=DF-DH=DF-EF，
DF−EF=2AF
∴．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键．
17．见解析
【分析】
要证DE=BF，只需证四边形DEBF是平行四边形，证得BE=DF，BE∥DF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证．
【详解】
在平行四边形ABCD中，
AB∥CD，AB=CD，
∵AE=CF，
∴BE=DF，BE∥DF．
∴四边形DEBF是平行四边形．
∴DE=BF．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定和性质．利用平行四边形的性质证明线段相等是解题的关键．
18．（1）、；（2）图见解析，．
(2,0)(3,2)13
【分析】
（1）根据“单位高点”的定义结合P、Q两点坐标，可求得M的纵坐标，由矩形性质结合M点的位置可求得M点的坐标；
P x P′P′Q x M(t,0)
（2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为“单位高点”，
P′Q
此时的长是“单位高距离”的最小值，根据勾股定理即可求解．
【详解】
（1）∵P(1，1)，Q(4，1)，如图
∴点P，Q在直线y=1上
∵M到PQ的距离为1时，M是PQ的“单位高点”
∴M在直线y=2或y=0上
∴M点纵坐标为2或0
∵四边形PQRS是矩形，M在RS上
∴PS=QR=1，SR=PQ=3
S′R′
∴S(1，2)，R(4，2)或(1，0)，(4，0)
∵M在SR上，令M(a，b)
∴1<a<4，b=2或0
∴表示PQ的“最高单位点”的坐标是(2，0)，(3，2)
(2,0)(3,2)
故答案为：、
P x P′P′Q x M(t,0)P′Q
（2）如图，作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为“单位高点”，此时的长是“单位高距离”的最小值
∵P(1,1)
∴P′(1,−1)
PP′=2PQ=3PQ⊥PP′
根据题意，可知，，
∴由勾股定理得：P′Q=PP′2+PQ2=13
13
∴“单位高距离”的最小值是．
【点睛】
本题主要考查矩形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，确定点M的位置是关键．
19．（1）点A，B的“相关矩形”的面积为2；（2）直线AC的表达式为或；（3）或
y=−x+3y=x−1k<3
4
k>2P(1,0)(−1,4)
；（4）或．
【分析】
（1）根据“相关矩形”画出图象，求出矩形长、宽即可得面积；
C′
（2）根据已知画出图象，分别求出C、坐标，即可求出直线解析式；
y=kx−2（3）求出点A、D的“相关矩形”的另外两个顶点，M坐标为（4，1），N坐标为（2，2），再计算直线恰好经过M、N时的k值，数形结合即可得出k的范围；
P(m,−2m+2)
（4）设，根据点A、P的“相关矩形”为正方形列方程，求出m即可得出点P的坐标．
【详解】
解：（1）点A、B的“相关矩形”如图：
∵点A的坐标为（2，1），点B的坐标为（4，0），
∴，
AM =1,BM =4−2=2∴点A ，B 的“相关矩形”的面积为；
AM ⋅BM =2（2）由题意可得如图所示：
∵点A 的坐标为（2，1），
∴，
AN =2若A 、C 的“相关矩形”为正方形，
①当C 在A 上方时，NC =AN =2，
∴C （0，3），
设直线AC 的解析式为，则有：
y =kx +b ，解得：，
{2k +b =1b =3 {k =−1b =3 ∴直线AC 的解析式为，
y =−x +3②当C 在A 下方，即位置时，，
C ′NC ′=AN =2∴，
C ′(0,−1)同理可得此时解析式为，
AC ′y =x−1综上所述：直线AC 的表达式为或；
y =−x +3y =x−1（3）如图：
∵点A 的坐标为（2，1），D 的坐标为（4，2），
∴点A 、D 的“相关矩形”的顶点M 坐标为（4，1），N 坐标为（2，2），
①若直线恰好经过M ，此时，
y =kx−21=4k−2解得：，
k =34而直线与点A 、D 的“相关矩形”没有公共点，则，
y =kx−2k <34②若直线恰好经过N ，此时，
y =kx−22=2k−2解得：，
k =2而直线与点A 、D 的“相关矩形”没有公共点，则，
y =kx−2k >2综上所述：直线与点A 、D 的“相关矩形”没有公共点，则或；
y =kx−2k <34k >2（4）点P 在直线上，设，如图： y =−2x +2P (m,−2m +2)
∵点A 、P 的“相关矩形”为正方形，
∴，
|m−2|=|−2m +2−1|即或，
m−2=−2m +1m−2=2m−1解得：或，
m =1m =−1∴或．
P (1,0)(−1,4)
【点睛】
本题主要考查一次函数与几何的综合、矩形和正方形的性质，解题的关键是读懂“相关矩形”的概念，根据题意画出图形．
20．（1）BE ＝FG ；（2）DF +CG ＝CE ，理由见解析；（3）
23【分析】
（1）作FH ∥DC ，根据正方形的性质得到∠BCD ＝90°，BC ＝CD ，AD ∥BC ，得到∠G ＝∠BEC ，利用AAS 定理证明△BEC ≌△FGH ，根据全等三角形的性质得到BE ＝FG ；
（2）根据全等三角形的性质得到HG ＝CE ，根据矩形的性质得到DF ＝HC ，等量代换得到答案；
（3）作AP ⊥BE ，根据全等三角形的性质得到BE ＝FG ＝1.5，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】
解：（1）如图，过点F 作FH ∥DC 交BC 于H ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠BCD ＝90°，BC ＝CD ，AD ∥BC ，
∵FH ∥DC ，
∴∠FHG ＝90°，FH ＝CD ，
∵∠BCD ＝90°，FG ⊥BE ，
∴∠EBC +∠BEC ＝90°，∠EBC +∠G ＝90°，
∴∠G ＝∠BEC ，
在△BEC 和△FGH 中，
， {∠BEC =∠FGH ∠BCE =∠FHG BC =FH
∴△BEC ≌△FGH （AAS ），
∴BE ＝FG ，
故答案为：BE ＝FG ；
（2）DF +CG ＝CE ，
理由如下：∵FH ∥DC ，AD ∥BC ，∠BCD ＝90°，
∴四边形FHCD 为矩形，
∴DF ＝HC ，
由（1）得，△BEC ≌△FGH ，
∴HG ＝CE ，
∵HG ＝HC +CG ＝DF +CG ，
∴DF +CG ＝CE ；
（3）如图，连接AE ，过点A 作AP ⊥BE 于P ，
∵△BEC ≌△FGH ，
∴BE ＝FG ＝1.5，
∵正方形的边长为1，
∴△ABE 的面积＝×1×1＝，
1212则×BE ×AP ＝，即××AP ＝，
1212123212解得，AP ＝，即点A 到直线BE 的距离为．
2323【点睛】 本题考查矩形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是综合运用相关知识解题．。