2019-2020学年湖北省实验中学高一下学期期末数学试卷

2019-2020学年湖北省实验中学高一下学期期末数学试卷
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题：
(1)α//β⇒l ⊥m ，(2)α⊥β⇒l//m ，
(3)l//m ⇒α⊥β，(4)l ⊥m ⇒α//β，
其中正确命题是( )
A. (1)与(2)
B. (1)与(3)
C. (2)与(4)
D. (3)与(4) 2. 在数列{a n }中，若a 1=2，a n+1=a n +ln(1+1n )，则a n 等于( )
A. 2+lnn
B. 2+(n −1)lnn
C. 2+nlnn
D. 1+n 3. 若数列{a n }的前n 项的和S n =3n −2，那么这个数列的通项公式为( )
A. a n =(32)n−1
B. a n =3×(12)n−1
C. a n =3n −2
D. a n ={1,n =12⋅3n−1,n ⩾2 4. 如图所示，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AC ，PC 的中
点，PA =6，AB =2，求三棱锥C −PED 的体积为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5. 在等比数列{a n }中，a 1=2，前n 项和为S n ，若数列{a n +1}也是等比数列，则S n 等于( )．
A. 2n+1−2
B. 3n
C. 2n
D. 3n −1 6. 设数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，已知a 4和a 5是方程x 2−20x +99=0的两个根，若对任意n ∈N ∗都有S n ≤S k 成立，则k 的值为( )
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
7. ( ) A. 平面
内有无穷多条直线与平行
B. 直线//，且//
C. 直线，，且，
D. 平面内的任何直线都平行于
8.数列的前n项和为，则的前50项的和为()
A. 49
B. 50
C. 99
D. 100
9.下列图形中不一定是平面图形的是()
A. 三角形
B. 四边相等的四边形
C. 梯形
D. 平行四边形
10.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4≤4，S5=15，则a2的最大值是()
A. 2
B. 1
C. 0
D. −1
11.定义在R上的偶函数f(x)，满足f(x)=f(4−x)，当x∈[0,2]时，f(x)=x2+x，则不等式f(x)>
2的解集为()
A. (2k+1,2k+3)，k∈Z
B. (2k−1,2k+1)，k∈R
C. (4k+1,4k+3)，k∈Z
D. (4k−1,4k+1)，k∈Z
12.设B、C是定点，且均不在平面α上，动点A在平面α上，且sin∠ABC=1
，则点A的轨迹为()
2
A. 圆或椭圆
B. 抛物线或双曲线
C. 椭圆或双曲线
D. 以上均有可能
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.11.对某项活动中名青年志愿者的年龄抽样调查后，得到如下图所标的频率分布直方图，但
年龄在的数据不慎丢失，依据此图，估计该项活动中年龄在的志愿者人数为_____．
12．最小项是第______项．
13.如图所示，在一个边长为1 的正方形AOBC内，曲线和曲线围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是______．
14.设函数，若函数存在两个零点，则实数k的取值范围是_____．
15.点P在正方体的面对角线上运动，则下列四个命题：
①三棱锥的体积不变；
②；
③；
④．
其中正确的命题序号是________
14.如图，把一个边长为2cm的正六边形沿对角线折起，使cm，则五面体
的体积为cm．
15.如图所示，过正方体ABCD−A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，
AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作______条．
16.13.已知数列{a n}满足a1=3，且a n+1=a n+3，则a2015=．
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
17.如图，在水平放置的直径与高相等的圆柱内，放入两个半径相等的小球(球A和球B)，圆柱的底
面直径为2+√2，向圆柱内注满水，水面刚好淹没小球B．
(1)求球A的体积；
(2)求圆柱的侧面积与球B的表面积之比．
18. 已知数列的项a1，a2，…，a6n的项a i∈{1,2}，其中i=1，2，3，…，6n，n∈N∗，求前6n项
和为S6n，记S6n除以3余数为1的数列a1，a2，…，a6n的个数构成的数列为{b n}，n∈N∗．
(1)求b1的值；
(2)求数列{b n}的通项公式，并化简．
已知四棱锥P−ABCD的底面为直角梯形，AB//DC，∠DAB=90∘,PA⊥底面ABCD，且PA= AD=DC=1,AB=2，M是PB的中点。

证明：CM//面PAD．
19. 已知数列{a n}是等差数列，a1=2，a3=6．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)设b n=2
，求数列{b n}的前n项和S n．
n(a n+2)
20. 如图所示，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB=
1，BC=√2，AA1=2，E是侧棱BB1的中点．
(1)求四面体A−A1ED的体积；
(2)求异面直线AE与B1D所成角的大小．(结果用反三角函数表示)
21. 已知递增的等比数列{a n}前三项之积为8，且这三项分别加上1、2、2后又成等差数列．
(1)求等比数列{a n}的通项公式；
(2)若不等式a n2+2n a n−k≥0对一切n∈N∗恒成立，求实数k的取值范围．
【答案与解析】
1.答案：B
解析：解：∵直线l⊥平面α，α//β，∴l⊥平面β，又∵直线m⊂平面β，∴l⊥m，故(1)正确；
∵直线l⊥平面α，α⊥β，∴l//平面β，或l⊂平面β，又∵直线m⊂平面β，∴l与m可能平行也可能相交，还可以异面，故(2)错误；
∵直线l⊥平面α，l//m，∴m⊥α，∵直线m⊂平面β，∴α⊥β，故(3)正确；
∵直线l⊥平面α，l⊥m，∴m//α或m⊂α，又∵直线m⊂平面β，则α与β可能平行也可能相交，故(4)错误；
故选B．
2.答案：A
解析：解：∵a n+1=a n+ln(1+1
n
)，
∴a n+1−a n=ln(1+1
n )=ln n+1
n
，
a n−a n−1=ln n
n−1
=lnn−ln(n−1)，
a n−1−a n−2=ln n−1
n−2
=ln(n−1)−ln(n−2)，
…
a3−a2=ln 3
2
=ln3−ln2
a2−a1=ln2，
累加得：a n−a1=lnn−ln(n−1+ln(n−1)−ln(n−2)+⋯+ln3−ln2+ln2=lnn,又∵a1=2，
∴a n=2+lnn，
故选：A．
由已知中a n+1=a n+ln(1+1
n )，结合对数的运算性质，可得a n−a n−1=ln n
n−1
=lnn−ln(n−1)，
累加可得答案．
本题考查的知识点是数列的递推公式，对数的运算性质，难度中档．
3.答案：D
解析：
本题主要考查数列的递推公式，解题时要根据实际情况注意公式的灵活运用，属于基础题．。