双曲线的简单几何性质 随堂练习-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

双曲线的简单几何性质 随堂练习
选择题
一、单选题（共8题）
1．设22440x ky k +-=表示双曲线，则该双曲线的虚轴长为（ ）. A ．2k B ．2k
C ．2k -
D ．k -2．若双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的两条渐近线与直线y ＝2围成了一个等边三角
形，则C 的离心率为（ ） A ．32
B 31
C 3
D ．2
3．双曲线2
2
14y x -=的渐近线方程为（ ）
A ．1
2
y x =± B ．2y x =± C ．2y x =±
D ．2y x = 4．若直线31y x =-与双曲线22:1C x my -=的一条渐近线平行，则实数m 的值为（ ） A ．19
B ．9
C ．13
D ．3
5．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的两个顶点分别为A ，B ，点P 为双曲线上除A ，
B 外任意一点，且点P 与点A ，B 连线的斜率为1k ，2k ，若128k k ⋅=，则双曲线的离心
率为（ ） A 2B 3C ．2 D ．3
6．双曲线2
2
13y x -=的顶点到渐近线的距离为（ ）
A 3
B ．1
2
C 3
D 23
7．若双曲线()22
10mx y m -=>的离心率为2，则m =（ ）
A ．13
B 3
C ．1
3
或3
D ．3
8．点F 是双曲线C ：2
2x a ﹣22y b ＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点，A 、B 分别为C 的右顶点、
虚轴的上端点，O 为坐标原点，若∠OBA ＝∠BF A ，则双曲线的离心率是（ ） A 31
+ B 31 C 51 D 51
+ 非选择题（4题）
二、填空题（共2题）
9．已知双曲线渐近线方程为y =，且经过点()1,2，则双曲线标准方程为______． 10．已知0a >，若圆()
2
2
4x y a +-=经过双曲线2
221x y a
-=的焦点，则=a ______．
三、解答题（共2题）
11．求双曲线22494x y -=-的顶点坐标､焦点坐标､实轴长､虚轴长､离心率和渐近线方程.
12．（1）求与双曲线22
1164
x y -=有相同焦点，且经过点()
2的双曲线的标准方程；
（2）已知椭圆()()22
30x m y m m ++=>的离心率e =m 的值．
参考答案：
1．C
【分析】先整理双曲线方程，得到0k <，2b k =-，从而求出双曲线的虚轴长. 【详解】2
2
440x
ky
k +-=整理为：22
14
x y k +=，
由题意得：0k <，故焦点在y 轴上，2b k =-， 所以b k =-2k -故选：C 2．D
【分析】根据题意得到渐近线方程的斜率，从而得到3b
a
=. 【详解】由题意得：渐近线方程的斜率为3± 又渐近线方程为b
y x a
=±， 所以
3b
a
= 所以C 的离心率为2
212b e a
=+=
故选：D 3．B
【分析】由双曲线方程可判断双曲线的焦点位置并同时求出a ，b ，由此可求其渐近线方程.
【详解】由双曲线2
2
14
y x -=得1
2a b ==，，所以渐近线方程为2y x =±， 故选：B 4．A
【分析】根据双曲线渐近线的求法，利用直线平行斜率相等即可求解.
【详解】22:1C x my -=的渐近线方程满足=x m ±，所以渐进线与31y x =-平行，所以渐近线方程为3y x =±，故1
9
m =
故选：A 5．D
【分析】设00(,)P x y ，(,0)A a -，(,0)B a ，根据直线的斜率，以及128k k ⋅=，可得
22
8b a =，
再根据2
21c b e a a
==+
【详解】解：设00(,)P x y ，()0x a ≠±，(,0)A a -，(,0)B a ，
∴2200
221x y a b
-=， 222
2
02a x a y b
∴-=，
22
000122220008y y y b k k x a x a x a a
∴⋅=
⋅===+--，
3c e a ∴==．
故选：D ． 6．A
【分析】由题知顶点坐标为()1,0±,渐近线方程为
:y =,进而利用点到直线的距离公式求解即可.
【详解】解:由题知双曲线中,221,3a b ==,焦点在x 轴上, 所以顶点坐标为()1,0±,渐近线方程为
:y =,
由双曲线的对称性,不妨求顶点()1,0
0y +=的距离
d =
所以双曲线22
13y x -
=故选：A 7．D
【分析】首先将双曲线化为标准式，即可表示出2a ，2b ，再根据222c a b =+及离心率为2得到方程，解得即可；
【详解】解：因为()2210mx y m -=>，所以()2
2101x y m m
-=>，即2
1a m
=，21b =，所以
22211c a b m
=+=+，因为离心率为2，即2
2211
41c m e a m
+==
=，解得3m = 故选：D 8．D
【分析】里双曲线定义及其性质，分别在△AOB 和△OBF 中，表示出∠OBA 和∠BF A ，的正切即可解出.
【详解】
由题意可知OB ＝b ，OA ＝a ，OF ＝c ， 在△AOB 中，tan a OBA b ∠=
， 在△OBF 中， tan b c
BFO ∠=， ∠∠OBA ＝∠BF A ，∠
a b
b c
=且c 2＝a 2+b 2， ∠ac ＝c 2﹣a 2，即e 2﹣e ﹣1＝0且e ＞1， ∠51
e +=
故选：D ．
9．2
212
y x -=
【分析】由双曲线的渐近线方程2y x =±设双曲线的方程为2220y x t t （
）,再代入点()1,2,
求得双曲线方程
【详解】解：双曲线的渐近线方程为2y x =,
可设双曲线的方程为2220y x t t （
）,
代入()1,2,可得422t ,
则双曲线的方程为2
212y x -=.
故答案为：2
212y x -=
106【分析】求双曲线的焦点，代入圆的方程，即可求得a 的值.
【详解】双曲线的焦点坐标是()
2
1,0a ±+，代入圆的方程，
得(()2
2
2
14a a ±++-=，2214a +=，0a >，
解得：a =.
11．答案见解析
【分析】将双曲线方程化为标准方程，由此求得,,a b c ，根据,,a b c 可求得所求内容. 【详解】双曲线方程可化为：2
21
49
y x -=，
则双曲线焦点在y 轴上，2
49
a =
，21b =，2
413199c ∴=+=；
23a ∴=
，1b =
，c = ∴顶点坐标为20,3⎛
⎫± ⎪⎝⎭
；焦点坐标为0,⎛ ⎝⎭；实轴长为423a =；虚轴长为22b =
；离心率c e a =
=
23y x a b x =±=±. 12．（1）22
1128
x y -=；
（2）1. 【分析】（1）设所求双曲线方程为：22
1164x y λλ
-=-+，根据题意得到
1841164λλ-=-+，求得λ的值，代入即可求解.
（2）化简椭圆的方程为22
1
3x y m
m m +=+，求得,,a b c ，结合离心率列出方程，即可求解. 【详解】（1）因为双曲线与双曲线22
164x y -=1有相同焦点，
可设所求双曲线方程为：
()22
1416164x y λλλ
-=-<<-+，
因为双曲线过点()
2，所以
184
1164λλ
-=-+，解得4λ=或14λ=-（舍）， 所以所求双曲线方程为22
1128
x y -
=. （2）椭圆方程可化为:22
1
3x y m
m m +=+， 因为()2033
m m m m m m +-
=>++，即3m m m >+，所以2a m =，23m b m =+，
所以
() 22
2
33
m m
m
c a b m
m m
+ =-=-
++
所以
23
3
c m
e
a m
+
===
+
1
m=.。