2020年整理函数与极限练习题.doc

2020年整理函数与极限练习题.doc 题型
⼀．求下列函数的极限
⼆．求下列函数的定义域、值域
三．判断函数的连续性，以及求它的间断点的类型
内容
⼀．函数
1.函数的概念
2.函数的性质——有界性、单调性、周期性、奇偶性
3.复合函数
4.基本初等函数与初等函数
5.分段函数
⼆．极限
（⼀）数列的极限
1.数列极限的定义
2.收敛数列的基本性质
3.数列收敛的准则
（⼆）函数的极限
1.函数在⽆穷⼤处的极限
2.函数在有限点处的极限
3.函数极限的性质
4.极限的运算法则
（三）⽆穷⼩量与⽆穷⼤量
1.⽆穷⼩量
2.⽆穷⼤量
3.⽆穷⼩量的性质
4.⽆穷⼩量的⽐较
5.等价⽆穷⼩的替换原理
三．函数的连续性
x处连续的定义
1.函数在点0
2.函数的间断点
3.间断点的分类
4.连续函数的运算
5.闭区间上连续函数的性质
例题详解题型I函数的概念与性质
题型II求函数的极限（重点讨论未定式的极限）题型III求数列的极限题型IV已知极限，求待定参数、函数、函数值题型V⽆穷⼩的⽐较题型VI判断函数的连续性与间断点类型
题型VII与闭区间上连续函数有关的命题证明
⾃测题⼀⼀．填空题
⼆．选择题
三．解答题
3⽉18⽇函数与极限练习题
⼀．填空题
1.若函数121)x (f x
-??
=，则______)x (f lim x =+∞
→
2.若函数1
x 1
x )x (f 2--=，则______)x (f lim _
1x =→
3. 设23,,tan ,u y u v v x === 则复合函数为 ()y f x = = _________
4. 设
cos 0()0
x
x f x x ≤??=?
>?? ，则 (0)f = __________
5.已知函数 2
0()1
ax b
x f x x x +
(A) a b + (B) b a - (C) 1 (D) 2 6. 函数 3
x 2
x y --=
的定义域是 ( ) (A) (2,)+∞ (B) [2,]+∞ (C) (,3)(3,)-∞+∞ (D) [2,3)(3,)+∞7. 已知 11
()1f x x
=- ，则 (2)f = __________
8.
y =
+，其定义域为 __________ 9. 2
2x
11x 1arcsin y -+
-= 的定义域是 ______
10. 考虑奇偶性，函数
ln(y x = 为 ___________ 函数
11.计算极限：（1） sin lim x x
x →∞= _______；（2）711lim
1x x x →-=- ______ （3）x
x x
x sin lim +∞→ = _______；（4）1253lim 22-+∞→n n n n = _______ 12.计算：（1）当 0x →时，1cos x - 是⽐ x ______ 阶的⽆穷⼩量；（2）当 0x →时，若 sin 2x 与 ax 是等价⽆穷⼩量，则 a = ______；
13.
已知函数2,()1,f x x ?-?
=-?11001x x x ≤--<<≤<，则1
lim ()x f x →- 和 0lim ()x f x →( )
(A) 都存在 (B) 都不存在
(C) 第⼀个存在，第⼆个不存在 (D) 第⼀个不存在，第⼆个存在
14. 设 232,0
()2,0
x x f x x x +≤?=?->? ，则 0
lim ()x f x +
→= ( ) (A) 2 (B) 0 (C) 1- (D) 2-
15. 当 n →∞ 时，1
sin n n
是 ( )
（A)⽆穷⼩量 (B) ⽆穷⼤量 (C) ⽆界变量 (D) 有界变量
计算与应⽤题
设 )(x f 在点 2x =处连续，且232
,2(),x x x f x a ?-+?-??
=22=≠x x ，求 a
求极限：2
0cos 1lim 2x x x →- 求极限： 1
21lim()21x x x x +→∞+- 求极限： 512lim
43-+-∞→x x x x
求极限：x x x 1
0)41(lim -→求极限：2x x )x 211(lim -∞→- 求极限：20cos 1lim x
x
x -→
求极限： 2111lim()22
2n n →∞++
+
求极限：22lim(1)n n n →∞- 求极限：lim()1
x
x x x →∞+
求极限 211
lim ln x x x →- 求极限：201lim x x e x x →-- 求极限：2100
2lim(1)x x
x +→∞+
求极限： lim x →- 求极限：21lim()1x x x x →∞-+ 求极限： 3131
lim()11x x x →---
4⽉28⽇函数与极限练习题
⼀．基础题 1.设函数,1
1)(1
-=
-x x e
x f 则（A ） x=0,x=1都是f(x)的第⼀类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第⼆类间断点
（C ） x=0是f(x)的第⼀类间断点，x=1是f(x)的第⼆类间断点. （D ） x=0是f(x)的第⼆类间断点，x=1是f(x)的第⼀类间断点. 2．下列极限正确的（）
A ． sin lim
1x x x →∞= B ． sin lim
sin x x x
x x
→∞-+不存在 C ． 1lim sin 1x x x →∞= D ． limarctan 2
x x π
→∞=
3. 设()1
sin (0)0(0)
1sin (0)
x x x x f x x a x x ?
=?=??+>
且()0lim x f x →存在，则a = （）
A ．-1
B ．0
C ．1
D ．2 4. 已知9)a
x a x (
lim x
x =-+∞
→，则=a ( )。

A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。

5. 极限：x
11x lim 0x -+→=（）
A.0；
B.∞； C 2
1； D.2．
6.极限：=+-∞
→x
x )1
x 1x (
lim ( ) A.1； B.∞； C.2
-e ； D.2
e 7. 函数 2
2)1x (x y -=在区间 (0,1) 内 ( )
(A) 单调增加 (B) 单调减少 (C) 不增不减 (D)有增有减 8. 4．若()0 2lim
2x f x x
→=，则()0lim
3x x
f x →= （） A ．3 B ．
13 C ．2 D ．1
2
9.计算：lim 1x
x x x →∞??
= ?+??
2112lim 11x x x →??-= ?--?? ()()()
3
100213297lim 31x x x x →∞-+=
+
n = 1201arcsin lim sin x
x x e x x -→??+=
0lim x +→= __________ ；
10.若函数2x 3x 1
x y 22+--=，则它的间断点是___________________
11.设 21,
0()0,
x e x f x x -??
≠=??=? 在 0x =
处________（是、否）连续
⼆．综合题
12.计算：
求sin 32lim sin 23x x x x x →∞+-
求()0lim 1cos x x x →- 求21lim sin cos x
x x x →∞?
+
求0ln cos 2lim ln cos3x x x →求02lim sin x x x e e x x x -→--- 求21lim ln 1x x x x →∞-+ ??
求(lim 3x x →∞
求()11
1lim x
x
x x e
→??+
13. 设()f
x 1
,0
0x e a x x x -?+>?=
且()0
lim x f x →存在，求a 的值。

14. 已知()22281
lim 225x x mx x n x n →-+=-++，求常数,m n 的值。

15. 求11
1()111x x f x x x
-
+=--的间断点，并判别间断点的类型。

16.设()11
,0()ln 1,10
x e x f x x x -??>=??+-<≤?指出()f x 的间断点，并判断间断点的类型。

4⽉29⽇函数与极限练习题
⼀．填空题
1.极限：)(lim 2x x x x -+∞
+
→=（） A.0； B.∞； C.2； D. 2
1．
2.极限: x x x x 2sin sin tan lim
30
-→=（） A.0； B.∞； C. 16
1； D.16．
3.若()22
0l n1l i m 0s i n n x x x x →+=，
且0sin lim 01cos n x x
x →=-,则正整数n = 4.计算：极限1
2sin
lim 2+∞
→x x
x x = lim
→x x
arctanx =___________
=-∞
→n
n n
)2
1(lim _________________
5.若函数2
31
22+--=x x x y ，则它的间断点是___________________
6.已知极限22l i m ()0x x a x x
→∞++=，则常数a 等于（）。

A -1 B 0 C 1 D 2 7.111
l i m [
]
1223(1)
n n n →∞+++??+=_____ 21lim(1)x x x →∞-=______ 8.极限2
01
lim cos 1
x x e x →--等于（）。

A ∞
B 2
C 0
D -2
9.当0x →+时，⽆穷⼩l n (1)A x α=+与⽆穷⼩s i n3x β=等价，则常数A=______
10.若105l im 1,k n
n e n --→∞
+= ?
则k = 11.1201a r c s i n l i m s i n x x x e x x -→??+=
12.当0→x 时，为⽆穷⼩量的是（）．
（A ）x 1sin
（B ）x x 1sin （C ）x
x sin （D ）x
2 13.设函数??
=≠-+=）（）（002
4)(x k x x
x x f 在0=x 处连续，则k 等于（）．
（A ）4 （B ）
41 （C ）2 （D ）2
1 14.设1
1
)(--=
x x x f ，则1=x 是函数的（）．（A ）连续点（B ）可去间断点（C ）跳跃间断点（D ）⽆穷间断点．15.设函数21c o s 0,(),0.x
x x f x k e x +≥?
=?
, 在1=x 处连续，则常数=a 16.l i m A x B x C x 13x C
1x 32
→∞++++=，则A =___，B =___，C =___． 17.=-+---→231lim
22
x x x x =+→
x
x x sec 22
)cos 1(lim π． =+-∞→x
x x
x )1(lim ．．
⼆．综合题
18.
计算极限：)323(lim 2
2-+→x x x x x
x 3sin lim 0→ x x x x x -+-→22112lim x x x 2)
41(lim -∞→ )11(lim 22--+∞→x x x
x x x ）（31ln lim 0+→ a x →lim a x e e a x -- 30ta n s in l im x x x
x →-
222111l i m (1)(1)(1)23n n →∞---
123lim ()21x x x x +→∞++ x → 19.设3
214
l i m 1
x x a x x x →---++ 具有极限，求,a l 的值
20.试确定常数a ，使得函数21sin
0()0
x x f x x
a x
x ?
>?=??+≤? ，在(,)-∞+∞内连续
4⽉30⽇函数与极限练习题
⼀．选择题
1.设函数2)(2
+=x x f ，则)]([x f f 为（）（A ）4244x x ++ （B ）4246x x ++ （C ）4264x x ++ （D ）4 226x x ++
2.函数
>
≤+=2,sin 2,)1ln()(ππx x x x x f 则
)
4(π
f 等于（）
（A ）
)
41ln(π
+
（B ）22
（C ）2π（D ）4π
3.下列函数中是有界函数的是（）
()x y x y C x x y x x y A arcsin D) ( 1log )( (B) 13)(222=+=+=++=
4.当的是时 sin tan , 0x x x →（）等价⽆穷⼩同阶⾮等价⽆穷⼩低阶⽆穷⼩⾼阶⽆穷⼩ (D) )( (B) )(C A
5.函数()间断是因为
点在点 0 0 x ,1x 10 x ,1
12=≤++=x x
x f （）
)
0()( )( )(lin (C) (B) 0 x f(x) )( 0
x f x f lin D x f A x ≠=→→不存在左极限不等于右极限
⽆意义在点
6.=
=≠-=→)(lim , 0 x 0,0 x ,1
e (x)0
x
x f x f x 则设（）
2 (D) 1- )( 0 (B) 1 ) (C A
7.当下列函数为⽆穷⼩的是时, 0→x （）
1
2 (D) x)sin(11 )( sin (B) x sinx )(2-++x x C x x A
8.极限=--→9)3sin(lim 23x x x （）
(A) 0 (B) 6
1
(C) 1 (D) 31
9.=
++∞→d bx n x a
)1(lim （）
(A) b e (B) e (C) ab
e (D) d ab e +
10.=+-∞→n
n n )111(lim （）
(A) 1-e (B) e (C) 2-e (D) 2
e
11.极限=
=++-→a ,21
2)2(sin lim
2则x x a x （）
不存在
(D) 0 )( 21
(B) 2 ) (C A
⼆．填空题
1.
()_________
)2(_________,)4(,1 ,01 ,sin =-=≥=ππf f x x x x f 。

2.设()2212
++=+x x x f ，则()=x f _____________。

3.设x v v u u y arccos , 1 ,3
=+==，则复合函数()_____________==x f y 。

4.设
()??
<=>+=0 x 0,0
x ,0 x ,1πx x f ，则()[]{}______,1=-f f f 值域为_________。

5. 6)(31
)(-=+=
qx x g p x x f 与函数的图象关于直线
x y =对称，则
________________,==q p 。

6.[]_______________________ )(sin 1,0 )( 的定义域为则的定义域为设x f ，x f 。

7.设
______________)( ,52 ),(212
1
=+-=-==x f t t y
x t f x y x 则且。

8.设函数
≤=1
,
01,1)( x x x f ，则函数[]____________
)(=x f f 。

9.______
__________)2(cos ,cos 1)2(sin =+=x
f x x f 则设。

10.是⽆穷⼩
时当是⽆穷⼤时当)(,____;)(,____,1)-(x 1)(2
x f x x f x x f →→=。

11.
________,53
9
5103lim
3==
+-+∞
→k n n n n k n 则若
12.函数()=-≠-=1 ,31
1
,2x x x x f 的间断点为_________，是第_____类间断点。

13.函数__ __________22
)(2的可去间断点是---=x x x x f 。

14.设当_________
a ,4tan , 02
2
=→则为等价⽆穷⼩与时x ax x 。

15.______
sin lim 2=→x x
x π，______12lim 0=-→x x x 。

16.==-+-→a x a x x x ,32lim 22则若_________。

17.当∞→x 时，函数)(x f 与x 1
是等价⽆穷⼩，则________)(2lim =∞→x xf x 。

18.函数
()
1 ,cos 1
,2<≥+=x x x k x x f π处处处连续，则_________=k 。

19.函数_________________sin 的间断点是x x
y =
20=--→πππx x x 1
cos )(lim 2_________。

21.==-→a e ax x
x ,)1(lim 22
则若_________。

22.设当_________a ,1- 1, 02
2=+→则为等价⽆穷⼩
与时x ax x 。

三．综合题 1、求下列极限
x x
x x cos sin lim )1(-∞→ 3423lim )2(221+-+-→x x x x x x x x x x 2sin 2sin lim )3(0-+→ x e e x x x 32lim )4(0-+-→x x x x sin 2cos 1lim )5(0-→
)21812(lim )6(32x x x ---→ n n n n 321lim )7(2++++∞→ x
x x x ??? ??-+∞→1212lim )5( n
x n
-+∞→11lim )3( 11sin 1lim )5(2
--+→x x e x x
2.设e
x k
x x =++∞→)1(lim ，求k 。

2. 求?
?
∞→n n x x x x 2cos 2cos 2cos cos lim 2
3.的值
试求若极限b a b ax x x x ,, 0)11
(lim 2=++++∞→。

4.设
0 ,0 ,2
cos )(--≥+= x x x a a x x x
x f ，0 a ，
（1）当a 取何值时，0=x 是)(x f 的连续点，（2）当a 取何值时，0=x 是)(x f 的是间断点，
（3）当2=a 时，求函数)(x f 的连续区间。

5.)(的取值范围求内⾄少有⼀个实根在已知a ,11,- 01 x 2
5=+++x ax 。

6.设)(x f 在2=x 处连续，且
,3)2(=f 求---→4421
)(lim 22x x x f x 。

7.设,
1x ,11,1)(22??
<+>-+-=x x x b
ax x x f 若)
(lim 1
x f x →存在，求b a ,的值。

8.试判定⽅程0)1)(3()3)(2()2)(1(=--+--+--x x x x x x 有⼏个实根，分别在什么范围内？。