《离散数学》刘任任版第十八章

习题十八（环与域）
1、设实数集R 中的加法是普通的加法，乘法定义如下：
R ∈=⨯b a b a b a ,,||
试问R 是否构成环？
解：不构成环。

因这里乘法对加法不满足分配律。

例如
()()-+⨯=-⨯=-⋅=21212122
而 ()-⨯+⨯=-⋅+⋅=221222126
2. 设整数集Z 中的加法是普通数的加法，乘法定义为Z ∈=b a ab ,,0，试问Z 是环吗? 解：Z 是环。

因对于加法Z 构成一个交换群，对于乘法Z 满足结合律，且乘法对加法可分配：
(),,()a b c ac bc
a b c Z c a b ca cb
+==+=+∀∈+==+=+000000 3. 已知实数集R 对于普通加法和乘法是一个含幺环，对任意R b a ∈,，定义
1a b a b ⊕=+-
a b a b ab ⊗=+-
试证：R 对运算⊕和⊗也形成一个含幺环. 证明。

因为
()()()()a b c a b c a b c a b c a b c a b c ⊕⊕=⊕+-=+-+-⊕⊕=+⊕-=++--111
111
所以，⊕满足结合律。

又因为
a b a b b a b a a a a a a a a a ⊕=+-=+-=⊕⊕=⊕=+-=⊕-=-⊕=111111221
()() 所以， ⊕满足交换律，零元是1， a 的负元为2-a
以上说明<R ，⊕>是一个交换群。

再因为 ()()a b c a b c a b c ⊗⊗=⊗+-⊗
=+-+-+-()()a b ab c a b ab c =++---+a b c ab ac bc abc a b c a b c a b c ⊗⊗=+⊗-⊗()()()
=++--+-a b c bc a b c bc () =++---+a b c bc ab ac abc
a a a a
a a a a
⊗=+-=⊗=+-=000000
所以，⊗是可结合的，且有幺元0。

最后，
a b c a b c a b c ⊗⊕=+⊕-⊕()()() =++--+-a b c a b c 11() =++---21a b c ab ac
()()a b a c a b a c a b ab a c ac a b c ab ac ⊗⊕⊗=⊗+⊗-=+-++--=++---1121
即 ⊗对⊕是可分配的。

故结论成立。

4、一个环R ，如果对乘法来说，每个元素R a ∈均满足a aa =，则称R 为布尔环，试证：
（1）集合S 的子集环是布尔环.
（2）布尔环的每个元素是都以自己为负元. （3）布尔环必为交换环.
（4）2||>R 的布尔不可能是整环.
证明。

(1) 集合S 的幂集ρ()S 对于集合的对称差运算⊕和交运算 作成一个环，即子集环。

且
A A A A S =∀∈,()ρ
故子集环是布尔环。

(2) 由布尔环之定义，对任意a R ∈,有
a a a a a a aa aa aa aa a a a a
+=++=+++=+++()() 因此，a a +=0.
(3) 由布尔环之定义，有
a b a b a b aa ab ba bb a ab ba b
+=++=+++=+++()()
因此，ab ba +=0, 即 ab ba ba =-=.故布尔环是交换环。

(4) 如果R 不含幺元，则R 不是整环；如果R 含幺元 1，则因R >2, 故R 中存在元素a ，a a ≠≠01,,于是
()a a aa a a a -=-=-=10
故 a 和a -1 都是零因子，从而R 不是整环。

5. 试证：若R 是环，且对加法而言，R 是循环群，则R 是交换环.
证明：设<R , +> 的生成元为 a , 则对R 中任意的 r r 12,，存在整数n n 12,, 使得
r n a r n a 1122==,
于是
r r n a n a n n aa
r r n a n a n n aa
121212212112====()()()()
从而，r r r r 1221=, 故R 是交换环。

6. 设R 和R '是两个环，定义R 到R '的映射σ如下：
0)('=a σ R a ∈
其中0'是R '的零元，试证明σ是R 到R '的同态映射（称为零同态）.
分析：利用环中零元的性质，证明σ满足同态的定义17.5.1。

证明： 在R 中任取a b ,则有
σσσσσσ()',()()'''
()',
()()'''
a b a b ab a b +=+=+====00000000
从而
σσσσσσ()()()()()()a b a b ab a b +=+=σσσσσσ()()()
()()()
a b a b ab a b +=+=
故 该映射是R 到'R 的同态映射。

7. 设},,|0{Z ∈⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=c b a c b a A ，已知A 关于矩阵加法和乘法构成环，令 }|000{Z ∈⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=d d S
（1）试证：S 是A 的子环.
（2）给出A 到S 的一个同态映射σ.
（3）求同态核Ker （σ）. 证明：(1) 在Z 中任取x y , 有
0000000
00000000000x y x y S x y xy S ⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-⎛⎝ ⎫⎭⎪∈⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪=⎛⎝ ⎫⎭
⎪∈
故S 是A 的子环.
(2) 令
f a b c c a b c A 00000⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪=⎛⎝ ⎫⎭
⎪∀⎛⎝ ⎫⎭
⎪∈, 易知，f 是A 到S 的满射，且
f a b c a b c f a a b b c c c c c c f a b c f a b c f a b c 11122212
121212121112221110000
00000000000⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪=+++⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫
⎭
⎪=+⎛⎝ ⎫⎭⎪=⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪
+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭
⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪=+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫
⎭
⎪
=⎛⎝ ⎫⎭⎪=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝
⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭
⎪a b c f a a a b b c c c c c c c f a b c f a b c 22212
12121212121112220
00
0000000000
故f 是A 到S 的同态映射。

(3) 同态核为
⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛Z b a b a f , 00=)ker(
8. 找出Z 到Z 的一切环同态映射，并给出每一个同态的核.
分析：根据定义18.2.3，同态映射f 必须满足：(11)(1)(1)f f f ⋅=⋅，因此(1)0f =或者
(1)1f =。

(1)当(1)0f =，,()(1)(1)()0n Z f n f n f f n ∀∈=⋅=⋅=有，ker()f Z =；
(2)当(1)1f =，,(1)(1)()1(),()n Z f n f f n f n f n n ∀∈+=+=+=有,ker(){0}f =。

解。

设f 是Z 到Z 的同态映射。

记m f =()1, 则
m f f f f m m ==⋅==⋅()()()()11111
从而，m m ()-=10, 于是，m =0 或者 m =1.故只有两个满足要求的同态映射： (1) m =0, ()0,f n n Z =∀∈，Ker()f Z =；
(2) 1m =,(),f n n n Z =∀∈, Ker(){0}f =.
9. 设R 是一个体，且~R R σ
'. 求证：}0{'='R 或者R R σ
'≅.
分析：根据体的定义，R 含有么元，则对R 到R '的满同态f ，有Ker()f R =或Ker(){0}f =。

证明：设f 是R 到'R 的满同态。

由同态基本定理，
Ker()f 是体R 的理想，而体必为单纯环，故Ker()f R =或{0}。

当Ker()f R =时，
{0}R '=；当Ker(){0}f =时，R R '≅.
10. 设~R R σ
'.N '是R '的理想，求证：N '的像源
{}N a R a N '∈∈=)(|σ
是R 的理想，并且'
'≅N R N R .
分析：根据定理18.2.4，可以定义'R 到'R /'N 的同态g ，核为N '，于是定义R 到
'R /'N 的满同态 h g σ=，根据定义可证明ker ()h N =，由第三同态定理即证。

证明：设g 是'R 到'R /'N 的自然同态，g a a a R (')',''=∀∈
于是，h g σ= 是R 到 'R /'N 的满同态。

下证 ker ()h N =. 任取a R ∈,
ker()()0 (())0 () a h h a g a a N a N
σσ∈⇔='⇔='⇔∈⇔∈
故 ker ()h N =. 由定理18.2.3，N 是R 的理想。

再由同态基本定理，有
R N R N /'/'≅
11. 试证：定理18.2.9
分析：根据域F 的定义，只需证明F 是单纯环，对于F 的非零理想N ，容易证明么元1N ∈，根据理想性质有N F =。

证明：只需证域F 是单纯环。

任取域F 的一个理想N ≠(0), 存在a N a ∈≠,0, 于是a F -∈1
因为N 是F 的理想，所以
aa N N x x N x F F N
-∈⇒∈⇒=∈∀∈⇒⊆111 ,
但N 是F 的理想，于是， N F ⊆
故 N F =. 综上，域F 是含幺交换单纯环。

12. 求证：若m Z 是一个域，则m 必为质数.
证明：若m 不是质数，则存在正整数a b a b m ,,,1<<,使m ab =。

于是 a b m ⋅==0. 但 a b ≠≠00,, 这说明 a b , 是Z m 的零因子，此与Z m 是域矛盾。

故m 是质数。

13. 在7R 中，利用公式
a
ac
b b 242-±-
解二次方程052=+-x x .
分析：将方程系数代入，有24192b ac -=-=，22342==，124-=。

解。

b ac 22
41415192-=--⨯⨯=-=(), 23=或4
x x 1213
2
213
2
16=
+==
-=-=, 14. 在7R 中求下面矩阵之逆：⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛4132。

分析：利用线性代数中矩阵R 求逆方法，将1001R
⎛
⎫
⎪⎝
⎭
通过初等行变换化为如下形
式，11001R -⎛⎫
⎪⎝⎭
，1R -即为所求。

解。

23101401154014011540063115400146105501466⎛⎝ ⎫⎭⎪−→−−−⎛⎝ ⎫⎭⎪−→−−−−−⎛⎝ ⎫
⎭
⎪
−→−−−⎛⎝ ⎫⎭⎪−→−−−−−−⎛⎝ ⎫⎭
⎪
÷-÷-⨯row (1)2row (2)row(1)row (2)row (1)row(2)5
故 2314⎛⎝ ⎫⎭⎪在R 7上之逆为5546⎛⎝ ⎫
⎭⎪.
15. 试证：2R 上的四个矩阵：
,1110,0111,1001,0000⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 在矩阵的加法和乘法下作成一个域.
证明： 令以上四个矩阵组成的集合为A 。

对于加法，A 的零元为零矩阵0000⎛⎝
⎫
⎭
⎪，A 中的每个元素均以自身为其负元，因此，A 是一个加法交换群。

对乘法而言，幺元是
1001⎛⎝ ⎫⎭
⎪
, 且1110⎛⎝ ⎫⎭⎪与0111⎛⎝ ⎫
⎭⎪互为逆元，自乘则等于另一元素，从而运算又是封闭和可交换的，故A 在R 2 上对于矩阵的加法和乘法作成一个域。

16. 29R 中有无1-？
解。

在R 29中，设a b ⎛⎝ ⎫⎭⎪=-2
1, 于是a b a b 2222
029=-+==,, 于是，a 和b 应分别取
±2和±5, 而256051225121752342175
2
1712==-=-===-=-=,,,,
故R 29中有-1为 12或17.
17. 设域F 的特征为0>p ，求证：
n
n
n
P P P b a b a ±=±)(
F b a ∈, p n p p p n a a a a a a ++=++2121)(
F a i ∈. 证明。

由定理18.3.4, (),,,a b a b a b F p p p
±=±∈ 由数学归纳法，有
()()()()(())()a b a b a b a b a b a a a a a a a a a a a a a F p p p p p p p p p p p p
n p n n p n p n p p p n p i n n n n n n n n
±=±=±=±=±+++=+++=+++=+++∈-----⋅⋅⋅--1111112111112
18. 求证：若n p 阶域有m p 阶子域，则n m |.
分析：利用定理18.5.2的证明，以及整数的性质证明（可参考定理18.5.10证明）。

证明。

设<+⋅>F ,, 是p n
阶域，<+⋅>S ,,是p m 阶域,因S 是F 的子域， 所以，
p p m n --11
令 n qm r r m =+≤<,0. 于是
p p p p p p p p p n qm r r r r
m
qm m
qm m
r
-=-+-=-++++-+--11
111
2 ()()
由p p m n --11 及0≤<r m 易知，p r
-=10, 从而，r =0. 故 m n .
19. 求证：12+x 是域{}2,1,0=F 上不可约多项式.
分析：由定理18.4.3知只需证明无零因子，将{}0,1,2代入即可。

证明。

设f x x ()=+2
1. 因为 f f f (),()()01122===, 故结论成立。

20. 域{}1,0=F 上多项式124++x x 是可约多项式吗？
分析：由例18.4.3知，只需判断次数不高于2的不可约多项式（2,1,1x x x x +++）是否为124++x x 的因式。

解。

因为x x x x x x 4222
111++=++++()(), 所以，x x 421++是可约多项式。

21. 试找出域{}2,1,0=F 上的所有不可约的二次多项式。

分析：定义在域{}2,1,0=F 的二次多项式具有如下形式：2210()p x a x a x a =++，其中2{1,2}a ∈10,a a F ∈，系数不同组合有2*3*3=18种，讨论18种组合种x 取不同值情形下
()p x 的值，如果,()0x F p x ∃∈=，则()p x 为可约多项式；如果,()0x F p x ∀∈≠，则()p x 为不可约多项式。

解。

共六个。

即 2222221,
2,22,22,21,221x x x x x x x x x x ++++++++++。

22. 设域{}1,0=F ，试构造[]123++x x x F 的运算表，求出它的一个本原元，并将每个非零元素表示成本原元的幂.
分析：321x x ++是3次不可约多项式，根据教材定义18.4.5得到F x
x x 321++的
8个元
素，定义二元运算⊕和⊗，本原元的定义及幂元表示见教材例18.5.1.
解。

F x x x 321++共有8个元素，即011112222
,,,,,,, x x x x x x x x +++++.运算表如下：
⊕⊗
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++0
1
1
11
0112
22201111100111111101011111111011011122222222222222222
222222
22x
x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 112011110111121011111
01120111110111210
1
12222222222
22222222222
222222222211
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++1
11
11
022
22
x x x x x
x x x
令a x =, 则a x a x a x a x x ===+=++,,, 2
2
3
2
4
2
11, a x a x x a 562711=+=+=,, 因此，x 是F x x x 321++的本原元。

23. 求222(6),(7),(8),N N N 和)6(3N .
分析：注意到23(1)2,(1)3N N ==，利用定理18.5.12，以及例18.5.3的结果即可求解。

解。

利用公式 p m N
m n p
m n
=
⋅∑()及已有的结果（例18.5.3），有
N N N N 26222621223366422669()()()())/()/=---=---=( N N 27272171282718()(())/()/==-=-
N N N N 282228212244825622128240830()(()()())/()//=--=---==-
N N N N 3633363122336729361867026117()(()()())/()//=--=---==-
24. 设域
{}1,0=F ，试求出中每个元素的最小多项式。

24. 设域{}1,0=F ，试求出[]4
1
x x F x ++中每个元素的最小多项式。

分析：[]41
x x F x ++是一个16阶域，类似于例18.5.2可求每个元素的最小多项式。

解：[]{}3
222221
0,1,,1,,1,,1x x F x x x x x x x x x ++=+++++。

M x x M x x 011(),
()==+，2
2
3211()()()()1x x x x M x M x M x M x x x ++====++
M x M x x x x x x x 22121+++==++()()。

[]{
F x x x x x x x x x x x x x x x 412222333011111++=+++++++,,,,,,,,,,,}
x x x x x x x x x x x x 332323232111++++++++++,,,,
M x x M x x 011(),
()==+
M x M x M x M x x x x x x x ()()()()====++++114221
M x M x M x M x x x x x x x x x x x x x 33323214321()()()()====+++++++++
M x M x M x M x x x x x x x x x x x 333232111431+++++++====++()()()()
25.设域F 的特征为.0>p 定义F F →:σ为p a a =)(σ，证明σ是F 的自同态. 分析：根据定理18.5.2，利用σ定义，证明σ满足自同态定义（定义17.5.1）。

证明。

设F 为p n 阶域。

由σ的定义知 σσ(),
()0011==,又由定理18.5.2知，乘法群{}F -0中每个元素的周期均为1n p -，即对任意{}a F ∈-0，有a
p n -=1
1，也即，
a a p n
=。

于是，对任意{}a F ∈-0，有{}a F p
n -∈-1
0, 使得
σ()()a a a a p p p p n n --===11
,这说明σ是满射。

最后，对任意的a b F ,∈,有
σσσ()()()()a b a b a b a b p p p +=+=+=+ σσσ()()()()ab ab a b a b p p p ===
26. 设a 是16阶域的本原元，试将15个非零元素分为若干组，使每组中的元素有
相同的最小多项式.
分析：a 是16阶域的本原元，知2,4p n ==，根据定理18.5.9对非零元分组，设a 是
()f x 在域中的根，则{}
248,,,a a a a 均是根；同理设3a 是()f x 在域中的根，则
23
3326321232249{,(),(),()}a a a a a a a a ====均是根；设5a 是()f x 在域中的根，则55210{,()}a a a =均是根；设7a 是()f x 在域中的根，则
2
3
77214722813725611{,(),(),()}a a a a a a a a a =====均是根；根据定理18.5.6，同一组根
具有相同的最小多项式。

解。

由定理18.5.9, a a a a a a ,,,224282
3
==有相同的最小多项式；而
a a a a a a a a 33263212322492
3
,(),(),()====有相同的最小多项式；如此，可将该域的非零元素分为如下五组： {
}{}{}{}{}
a a a a a a
a a a a a a a a a ,,,,,,,,,,,,,,248
3
6
912711131451015
27. 写出23
()1p x x x =++生成的所有（6，3）—码.
分析：本题类似于例18.7.1求得。

解：因为生成多项式为：23
()1p x x x =++，所以当信息码分别为以下时：
信息码 信息码多项式 纠错码多项式
纠错码
000 0
0 000 000 001 x2 1+x +x5 110 001 010 x 1+x +x2+x4 111 010 011 x+ x2 x2+x4 +x5 001 011 100 1 1+x2+ x3 101 100 101 1+x2 x+x2 +x3+x4 011 101 110 1+x x +x3+x4 010 110 111 1+x+ x2
1+ x3 +x4+x5 100 111
28. 检验下列收到的信息是否有错，生成多项式为
234
()1.p x x x x =+++ （1）10011011
（2）01110010
（3）10110101
分析：本题类似于例18.7.2求得。

解：根据例【18.7.2】同样的做法可以知道（1）（3）的信息都有错，（2）信息无误。