乐山市第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

乐山市第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________ 一、选择题
1．已知直线y=ax+1经过抛物线y2=4x的焦点，则该直线的倾斜角为（）
A．0 B．C．D．
2．记,那么
A
B
C
D
3．若,m n是两条不同的直线，,,
αβγ是三个不同的平面，则下列为真命题的是（）
A．若,
mβαβ
⊂⊥，则mα
⊥
B．若,//
m m n
αγ=，则//
αβ
C．若,//
m m
βα
⊥，则αβ
⊥
D．若,
αγαβ
⊥⊥，则βγ
⊥
4．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为（）
A．akm B．akm C．2akm D．akm
5．sin3sin1.5cos8.5
，，的大小关系为（）
A．sin1.5sin3cos8.5
<<B．cos8.5sin3sin1.5
<<
C.sin1.5cos8.5sin3
<<D．cos8.5sin1.5sin3
<<
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．
16
16
3
π-B．
32
16
3
π-C．
16
8
3
π-D．
32
8
3
π-
【命题意图】本题考查三视图、圆柱与棱锥的体积计算，意在考查识图能力、转化能力、空间想象能力．7．已知a∈R，复数z=（a﹣2i）（1+i）（i为虚数单位）在复平面内对应的点为M，则“a=0”是“点M在第四象限”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．若函数y=x2+bx+3在[0，+∞）上是单调函数，则有（）
A．b≥0 B．b≤0 C．b＞0 D．b＜0
9．记集合T={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，M=，将M中的元素按从大到小排列，则第2013个数是（）
A．B．
C．D．
10．已知命题p：“∀x∈R，e x＞0”，命题q：“∃x0∈R，x0﹣2＞x02”，则（）
A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题
C．命题p∧（￢q）是真命题D．命题p∨（￢q）是假命题
11．已知双曲线kx2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线与直线2x+y﹣3=0垂直，则双曲线的离心率是（）
A．B．C．4D．
12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=（）A．30°B．60°C．120°D．150°
二、填空题
13．已知球与棱长均为3的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为 ．
14．如图，一船以每小时20km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°方向，行驶4小时后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔间的距离为 km ．
15()23k x =-+有两个不等实根，则的取值范围是 ．
16．下列四个命题申是真命题的是 （填所有真命题的序号） ①“p ∧q 为真”是“p ∨q 为真”的充分不必要条件；
②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等； ③在侧棱长为2，底面边长为3的正三棱锥中，侧棱与底面成30°的角；
④动圆P 过定点A （﹣2，0），且在定圆B ：（x ﹣2）2+y 2=36的内部与其相内切，则动圆圆心P 的轨迹为一个椭圆．
17．在△ABC 中，已知=2，b=2a ，那么cosB 的值是 ．
18．已知点M （x ，y ）满足，当a ＞0，b ＞0时，若ax+by 的最大值为12，则+的最小值
是 ．
三、解答题
19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，111,A A AB CB A ABB =⊥． （1）求证：1AB ⊥平面1A BC ；
（2）若15,3,60AC BC A AB ==∠=，求三棱锥1C AA B -的体积．
20．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜）图象如图，P是图象的最高点，Q为
图象与x轴的交点，O为原点．且|OQ|=2，|OP|=，|PQ|=．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）将函数y=f（x）图象向右平移1个单位后得到函数y=g（x）的图象，当x∈[0，2]时，求函数h（x）=f （x）•g（x）的最大值．
21．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲．
已知函数f（x）＝|x＋1|＋2|x－a2|（a∈R）．
（1）若函数f（x）的最小值为3，求a的值；
（2）在（1）的条件下，若直线y＝m与函数y＝f（x）的图象围成一个三角形，求m的范围，并求围成的三角形面积的最大值．
22．设M是焦距为2的椭圆E：+=1（a＞b＞0）上一点，A、B是椭圆E的左、右顶点，直线
MA与MB的斜率分别为k1，k2，且k1k2=﹣．
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）上点N（x0，y0）处切线方程为+=1，若P
是直线x=2上任意一点，从P向椭圆E作切线，切点分别为C、D，求证直线CD恒过定点，并求出该定点坐标．
23．为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查，测得身高情况的统计图如下：
（Ⅰ）估计该校男生的人数；
（Ⅱ）估计该校学生身高在170～185cm之间的概率；
（Ⅲ）从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190cm之间的概率．
24．已知数列{a n}的首项为1，前n项和S n满足=+1（n≥2）．
（Ⅰ）求S n与数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=（n∈N*），求使不等式b1+b2+…+b n＞成立的最小正整数n．
乐山市第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：抛物线y2=4x的焦点（1，0），直线y=ax+1经过抛物线y2=4x的焦点，可得0=a+1，解得a=﹣1，直线的斜率为﹣1，
该直线的倾斜角为：．
故选：D．
【点评】本题考查直线的倾斜角以及直线的斜率的关系，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．2．【答案】B
【解析】【解析1】,
所以
【解析2】，
3．【答案】C
【解析】
试题分析：两个平面垂直，一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面，所以A不正确；两个平面平行，两个平面内的直线不一定平行，所以B不正确；垂直于同一平面的两个平面不一定垂直，可能相交，也可能平行，所以D不正确；根据面面垂直的判定定理知C正确．故选C．
考点：空间直线、平面间的位置关系．
4．【答案】D
【解析】解：根据题意，
△ABC中，∠ACB=180°﹣20°﹣40°=120°，
∵AC=BC=akm，
∴由余弦定理，得cos120°=，
解之得AB=akm，
即灯塔A与灯塔B的距离为akm，
故选：D．
【点评】本题给出实际应用问题，求海洋上灯塔A 与灯塔B 的距离．着重考查了三角形内角和定理和运用余弦定理解三角形等知识，属于基础题．
5． 【答案】B 【解析】
试题分析：由于()cos8.5cos 8.52π=-，因为8.522
π
ππ<-<，所以cos8.50<，又()sin3sin 3sin1.5π=-<，
∴cos8.5sin 3sin1.5<<． 考点：实数的大小比较. 6． 【答案】D
【解析】由三视图知几何体为一个底面半径为2高为4的半圆柱中挖去一个以轴截面为底面高为2的四棱锥，因此该几何体的体积为21132
244428233
V =
π⨯⨯-⨯⨯⨯=π-，故选D ． 7． 【答案】A
【解析】解：若a=0，则z=﹣2i （1+i ）=2﹣2i ，点M 在第四象限，是充分条件，
若点M 在第四象限，则z=（a+2）+（a ﹣2）i ，推出﹣2＜a ＜2，推不出a=0，不是必要条件； 故选：A ．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查了复数问题，是一道基础题．
8． 【答案】A
【解析】解：抛物线f （x ）=x 2
+bx+3开口向上，
以直线x=﹣为对称轴，
若函数y=x 2
+bx+3在[0，+∞）上单调递增函数，
则﹣≤0，解得：b ≥0，
故选：A ．
【点评】本题考查二次函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
9．【答案】
A
【解析】
进行简单的合情推理．
【专题】规律型；探究型．
【分析】将M中的元素按从大到小排列，求第2013个数所对应的a i，首先要搞清楚，M集合中元素的特征，同样要分析求第2011个数所对应的十进制数，并根据十进制转换为八进行的方法，将它转换为八进制数，即得答案．
【解答】因为=（a1×103+a2×102+a3×10+a4），
括号内表示的10进制数，其最大值为9999；
从大到小排列，第2013个数为
9999﹣2013+1=7987
所以a1=7，a2=9，a3=8，a4=7
则第2013个数是
故选A．
【点评】对十进制的排序，关键是要找到对应的数是几，如果从大到小排序，要找到最大数（即第一个数），再找出第n个数对应的十进制的数即可．
10．【答案】C
【解析】解：命题p：“∀x∈R，e x＞0”，是真命题，
命题q：“∃x0∈R，x0﹣2＞x02”，即﹣x0+2＜0，
即：+＜0，显然是假命题，
∴p∨q真，p∧q假，p∧（￢q）真，p∨（￢q）假，
故选：C．
【点评】本题考查了指数函数的性质，解不等式问题，考查复合命题的判断，是一道基础题．
11．【答案】A
【解析】解：由题意双曲线kx2﹣y2=1的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，可得渐近线的斜率为，
又由于双曲线的渐近线方程为y=±x
故=，∴k=，
∴可得a=2，b=1，c=，由此得双曲线的离心率为，
故选：A．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，解题的关键是理解一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，由此关系求k，熟练掌握双曲线的性质是求解本题的知识保证．
12．【答案】A
【解析】解：∵sinC=2sinB，∴c=2b，
∵a2﹣b2
=bc，∴cosA===
∵A是三角形的内角
∴A=30°
故选A．
【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，解题的关键是边角互化，属于中档题．
二、填空题
13．【答案】3π．
【解析】解：将棱长均为3的三棱锥放入棱长为的正方体，如图
∵球与三棱锥各条棱都相切，
∴该球是正方体的内切球，切正方体的各个面切于中心，
而这个切点恰好是三棱锥各条棱与球的切点
由此可得该球的直径为，半径r=
∴该球的表面积为S=4πr2=3π
故答案为：3π
【点评】本题给出棱长为3的正四面体，求它的棱切球的表面积，着重考查了正多面体的性质、多面体内切球和球的表面积公式等知识，属于基础题．
【解析】解：根据题意，可得出∠B=75°﹣30°=45°， 在△ABC 中，根据正弦定理得：
BC=
=
海里，
则这时船与灯塔的距离为海里．
故答案为
．
15．【答案】53,124⎛⎤
⎥⎝⎦
【解析】
试题分析：
作出函数y =
()23y k x =-+的图象，
如图所示，
函数y =的图象是一个半圆，直线()23y k x =-+的图象恒过定点()2,3，结合图象，可知，当过点()2,0-时，303
224
k -=
=+，当直线()23y k x =-+
2=，解得512k =，所以实数的取值范围是53,124⎛⎤
⎥⎝⎦
.111]
考点：直线与圆的位置关系的应用．
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、两点间的斜率公式，以及函数的图像的应用等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想和学生的分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中把方程的根转化为直线与半圆的交点是解答的关键.
【解析】解：①“p∧q为真”，则p，q同时为真命题，则“p∨q为真”，
当p真q假时，满足p∨q为真，但p∧q为假，则“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件正确，故①正确；
②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补；故②错误，
③设正三棱锥为P﹣ABC，顶点P在底面的射影为O，则O为△ABC的中心，∠PCO为侧棱与底面所成角
∵正三棱锥的底面边长为3，∴CO=
∵侧棱长为2，∴
在直角△POC中，tan∠PCO=
∴侧棱与底面所成角的正切值为，即侧棱与底面所成角为30°，故③正确，
④如图，设动圆P和定圆B内切于M，则动圆的圆心P到两点，即定点A（﹣2，0）和定圆的圆心B（2，0）的距离之和恰好等于定圆半径，
即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=6＞4=|AB|．
∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，
故动圆圆心P的轨迹为一个椭圆，故④正确，
故答案为：①③④
17．【答案】．
【解析】解：∵=2，由正弦定理可得：，即c=2a．
b=2a，
∴==．
∴cosB=．
故答案为：．
【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．【答案】4．
【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：
，
由，解得：A（3，4），
显然直线z=ax+by过A（3，4）时z取到最大值12，
此时：3a+4b=12，即+=1，
∴+=（+）（+）=2++≥2+2=4，
当且仅当3a=4b时“=”成立，
故答案为：4．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了利用基本不等式求最值，解答此题的关键是对“1”的灵活运用，是基础题．
三、解答题
19．【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
试题分析：（1）有线面垂直的性质可得1BC AB ⊥，再由菱形的性质可得11AB A B ⊥，进而有线面垂直的判定定理可得结论；（2）先证三角形1A AB 为正三角形，再由于勾股定理求得AB 的值，进而的三角形1A AB 的面积，又知三棱锥的高为3BC =，利用棱锥的体积公式可得结果.
考
点：1、线面垂直的判定定理；2、勾股定理及棱锥的体积公式. 20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由余弦定理得cos ∠POQ==
，…
∴sin ∠POQ=，得P 点坐标为（，1），∴A=1， =4（2﹣），∴ω=
． …
由f （）=sin （
+φ）=1 可得 φ=
，∴y=f （x ） 的解析式为 f （x ）=sin （
x+
）．…
（Ⅱ）根据函数y=Asin （ωx+∅）的图象变换规律求得 g （x ）=sin x ，…
h （x ）=f （x ）g （x ）=sin （x+
） sin
x=
+
sin
xcos
x
=
+
sin
=sin （﹣）+．…
当x ∈[0，2]时，∈[﹣，
]，
∴当
，
即 x=1时，h max （x ）=．…
【点评】本题主要考查由函数y=Asin （ωx+∅）的部分图象求函数的解析式，函数y=Asin （ωx+∅）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
21．【答案】
【解析】解：（1）f （x ）＝|x ＋1|＋2|x －a 2|
＝⎩⎪⎨⎪
⎧－3x ＋2a 2－1，x ≤－1，
－x ＋2a 2
＋1，－1＜x ＜a 2
，3x －2a 2
＋1，x ≥a 2
，
当x ≤－1时，f （x ）≥f （－1）＝2a 2＋2， －1＜x ＜a 2，f （a 2）＜f （x ）＜f （－1）， 即a 2＋1＜f （x ）＜2a 2＋2， 当x ≥a 2，f （x ）≥f （a 2）＝a 2＋1，
所以当x ＝a 2时，f （x ）min ＝a 2＋1，由题意得a 2＋1＝3，∴a ＝±2. （2）当a ＝±2时，由（1）知f （x ）＝ ⎩⎪⎨⎪
⎧－3x ＋3，x ≤－1，－x ＋5，－1＜x ＜2，3x －3，x ≥2，
由y ＝f （x ）与y ＝m 的图象知，当它们围成三角形时，m 的范围为（3，6]，当m ＝6时，围成的三角形面积
最大，此时面积为1
2
×|3－（－1）|×|6－3|＝
6.
22．【答案】
【解析】（1）解：设A （﹣a ，0），B （a ，0），M （m ，n
），则
+=1，
即n 2=b 2
•
，
由k 1k 2=
﹣
，即
•=
﹣
，
即有
=
﹣
，
即为a2=2b2，又c2=a2﹣b2=1，
解得a2=2，b2=1．
即有椭圆E的方程为+y2=1；
（2）证明：设点P（2，t），切点C（x1，y1），D（x2，y2），
则两切线方程PC，PD分别为：+y1y=1，+y2y=1，
由于P点在切线PC，PD上，故P（2，t）满足+y1y=1，+y2y=1，
得：x1+y1t=1，x2+y2t=1，
故C（x1，y1），D（x2，y2）均满足方程x+ty=1，
即x+ty=1为CD的直线方程．
令y=0，则x=1，
故CD过定点（1，0）．
【点评】本题主要考查椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系，导数的几何意义等基本知识，考查运算能力和综合解题能力．解题时要注意运算能力的培养．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）样本中男生人数为2+5+13+14+2+4=40，
由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为=400；
（Ⅱ）∵样本中身高在170～185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，
样本容量为70，
∴样本中学生身高在170～185cm之间的频率，
故可估计该校学生身高在170～180cm之间的概率p=0.5；
（Ⅲ）样本中身高在180～185cm之间的男生有4人，设其编号为①，②，③，④，
样本中身高在185～190cm之间的男生有2人，设其编号为⑤，⑥，
从上述6人中任取2人的树状图为：
∴从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人得所有可能结果数为15，
求至少有1人身高在185～190cm之间的可能结果数为9，
∴所求概率p2=．
【点评】抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，这是解决一部分抽样问题的依据，样本容量、总体个数、每个个体被抽到的概率，这三者可以知二求一．这是一个统计综合题，可以作为一个解答题出在文科的试卷中．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）因为=+1（n≥2），
所以是首项为1，公差为1的等差数列，…
则=1+（n﹣1）1=n，…
从而S n=n2．…
当n=1时，a1=S1=1，
当n＞1时，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1．
因为a1=1也符合上式，
所以a n=2n﹣1．…
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n===，…
所以b1+b2+…+b n=
==，…
由，解得n＞12．…
所以使不等式成立的最小正整数为13．…
【点评】本小题主要考查数列、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想。