2018广东一模理科数学

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全国省级联考广东省2018届高三第一次模拟考试数学（理）试题及答案解析

全国省级联考⼴东省2018届⾼三第⼀次模拟考试数学（理）试题及答案解析2018年普通⾼等学校招⽣试卷全国统⼀考试⼴东省理科数学模拟考试（⼆）第Ⅰ卷（共60分）⼀、选择题：本⼤题共12个⼩题,每⼩题5分,共60分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．1.已知,x y R ∈，集合{}32,log A x =，集合{},B x y =，若{}0A B ?=，则x y +=（） A.13B. 0C. 1D. 3【答案】C 【解析】分析：⾸先应⽤{0}A B =I 确定出3log 0x =，从⽽求出x 的值，再进⼀步确定出y 的值，最后求得结果即可.详解：因为{0}A B =I ，所以3log 0x =，解得1x =，所以0y =，所以101x y +=+=，故选C.点睛：该题考查的是有关集合的知识点，涉及到集合的交集中元素的特征，从⽽找到等量关系式，最后求得结果.2.若复数11z i =+，21z i =-，则下列结论错误的是（） A. 12z z ?是实数 B.12z z 是纯虚数 C. 24122z z =D. 22124z z i +=【答案】D 【解析】分析：根据题中所给的条件，将两个复数进⾏相应的运算，对选项中的结果⼀⼀对照，从⽽选出满⾜条件的项.详解：212(1)(1)12z z i i i ?=+-=-=，是实数，故A 正确，21211212z i i i i z i +++===-，是纯虚数，故B 正确， 442221(1)[(1)](2)4z i i i =+=+==，22222(1)224z i i =-=-=，故C 正确，222212(1)(1)220z z i i i i +=++-=-=，所以D 项不正确，故选D.点睛：该题考查的是复数的有关概念和运算，在做题的时候，需要对选项中的问题⼀⼀检验，从⽽找到正确的结果.3.已知()1,3a =-v ，(),4b m m =-v ，()2,3c m =v ，若a b v P v，则b c ?=v v （）A. -7B. -2C. 5D. 8【答案】A 【解析】分析：利⽤向量平⾏列⽅程求出m 的值,然后直接利⽤向量数量积的坐标表⽰求解即可. 详解：因()1,3a v =-，(),4b m m =-v ，()2,3c m =v，所以由//a b r r，可得()340m m +-=，则1,m =()()1,3,2,3b c ∴=-=v ，12337b c ?=?-?=-v v，故选A.点睛：利⽤向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题⽅式有两个：（1）两向量平⾏，利⽤12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利⽤12120x x y y +=解答.4.如图，?AD 是以正⽅形的边AD 为直径的半圆，向正⽅形内随机投⼊⼀点，则该点落在阴影区域内的概率为（）A.16πB.316C.4π D.14【答案】D 【解析】分析：先由圆的对称性得到图中阴影部分的⾯积，再⽤⼏何概型的概率公式进⾏求解. 详解：连接AE ，由圆的对称性得阴影部分的⾯积等于ABE ?的⾯积，易知1=4ABE ABCDS S ?正⽅形，由⼏何概型的概率公式，得该点落在阴影区域内的概率为14P =.故选D. .点睛：本题的难点是求阴影部分的⾯积，本解法利⽤了圆和正⽅形的对称性，将阴影部分的⾯积转化为求三⾓形的⾯积.5.已知等⽐数列{}n a 的⾸项为1，公⽐1q ≠-，且()54323a a a a +=+91239a a a a =L （） A. 9- B. 9C. 81-D. 81【答案】B 【解析】分析：⾸先利⽤等⽐数列的项之间的关系，求得公⽐q 的值，之后判断根式的特征，化简求得是有关数列的第⼏项，再结合题中所给的数列的⾸项得出结果.详解：根据题意可知254323a a q a a +==+，942991239551139a a a a a a a q ?===?=?=，故选B.点睛：该题考查的是等⽐数列的有关问题，涉及到项与项之间的关系，还有就是数列的性质，两项的脚码和相等，则数列的两项的积相等，将式⼦化简，利⽤⾸项和公⽐求出结果.6.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的⼀个焦点坐标为(4,0)，且双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的⽅程为( )A. 22188x y -=B. 2211616x y -=C. 22188y x -=D. 22188x y -=或22188y x -= 【答案】A 【解析】分析：先利⽤双曲线的渐近线相互垂直得出该双曲线为等轴双曲线，再利⽤焦点位置确定双曲线的类型，最后利⽤⼏何元素间的等量关系进⾏求解. 详解：因为该双曲线的两条渐近线互相垂直，所以该双曲线为等轴双曲线，即a b =，⼜双曲线2222:x y C a b-=的⼀个焦点坐标为()4,0，所以2216a =，即228a b ==，即该双曲线的⽅程为22188x y -=.故选D.点睛：本题考查了双曲线的⼏何性质，要注意以下等价关系的应⽤：等轴双曲线的离⼼率为2，其两条渐近线相互垂直. 7.已知某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的表⾯积为( )A. 86π+B. 66π+C. 812π+D. 612π+【答案】B 【解析】由三视图可得该⼏何体是由圆柱的⼀半（沿轴截⾯截得，底⾯半径为1，母线长为3）和⼀个半径为1的半球组合⽽成（部分底⾯重合），则该⼏何体的表⾯积为12π+π2π3236π62S =+??+?=+. 【名师点睛】先利⽤三视图得到该组合体的结构特征，再分别利⽤球的表⾯积公式、圆柱的侧⾯积公式求出各部分⾯积，最后求和即可.处理⼏何体的三视图和表⾯积、体积问题时，往往先由三视图判定⼏何体的结构特征，再利⽤相关公式进⾏求解. 8.设x ，y 满⾜约束条件0,2,xy x y ≥??+≤?则2z x y =+的取值范围是（）A. []22-,B. []4,4-C. []0,4D. []0,2【答案】B 【解析】分析：⾸先根据题中所给的约束条件画出相应的可⾏域，是两个三⾓形区域，结合⽬标函数的属性，可知其为截距型的，从⽽确定出在哪个点处取得最⼩值，哪个点处取得最⼤值，从⽽确定出⽬标函数的范围. 详解：直线2x y +=-与x 轴交于(2,0)A -点，与y 轴交于(0,2)B -点，直线2x y +=与x 轴交于(2,0)C 点，与y 交于(0,2)D 点，题中约束条件对应的可⾏域为,AOB COD ??两个三⾓形区域，移动直线2y x z =-+，可知直线过点A 时截距取得最⼩值，过点C 时截距取得最⼤值，从⽽得到min max 2(2)04,2204z z =?-+=-=?+=，从⽽确定出⽬标函数的取值范围是[4,4]-，故选B.点睛：该题属于线性规划的问题，需要⾸先根据题中所给的约束条件画出相应的可⾏域，判断⽬标函数的类型，属于截距型的，从⽽判断出动直线过哪个点时取得最⼩值，过哪个点时取得最⼤值，最后求得对应的范围，在求解的时候，判断最优解最关键.9.在印度有⼀个古⽼的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明⼈——宰相宰相西萨?班?达依尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个⼩格⾥，赏给我1粒麦⼦，在第2个⼩格⾥给2粒，第3⼩格给4粒，以后每⼀⼩格都⽐前⼀⼩格加⼀倍．请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆⼈吧！”国王觉得这要求太容易满⾜了，就命令给他这些麦粒．当⼈们把⼀袋⼀袋的麦⼦搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚⾄全世界的麦粒全拿来，也满⾜不了那位宰相的要求．那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？下⾯是四位同学为了计算上⾯这个问题⽽设计的程序框图，其中正确的是（）A. B. C. D.【答案】C 【解析】分析：先分析这个传说中涉及的等⽐数列的前64项的和，再对照每个选项对应的程序框图进⾏验证. 详解：由题意，得每个格⼦所放麦粒数⽬形成等⽐数列{}n a ，且⾸项11a =，公⽐2q =，所设计程序框图的功能应是计算2641222S =++++，经验证，得选项B 符合要求.故选B . 点睛：本题以数学⽂化为载体考查程序框图的功能，属于基础题.10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，115a =，且满⾜()()21252341615n n n a n a n n +-=-+-+，已知*,n m N ∈，n m >，则n m S S -的最⼩值为（）A. 494-B. 498-C. 14-D. 28-【答案】C 【解析】分析：⾸先对题中所给的数列的递推公式进⾏变形，整理得出数列25n a n ??-为等差数列，确定⾸项和公差，从⽽得到新数列的通项公式，接着得到{}n a 的通项公式，利⽤其通项公式，可以得出哪些项是正的，哪些项是负的，哪些项等于零，从⽽能够判断出n m S S -在什么情况下取得最⼩值，并求出最⼩值的结果. 详解：根据题意可知1(25)(23)(25)(23)n n n a n a n n +-=-+--，式⼦的每⼀项都除以(25)(23)n n --，可得112325n na a n n +=+--，即112(1)525n na a n n +-=+--，所以数列25n a n ??-??是以15525=--为⾸项，以1为公差的等差数列，所以5(1)1625na n n n =-+-?=--，即(6)(25)n a n n =--，由此可以判断出345,,a a a 这三项是负数，从⽽得到当5,2n m ==时，n m S S -取得最⼩值，且5234536514n m S S S a a S a -=-=++=---=-，故选C.点睛：该题考查的是数列的有关问题，需要对题中所给的递推公式变形，构造出新的等差数列，从⽽借助于等差数列求出{}n a 的通项公式，⽽题中要求的n m S S -的值表⽰的是连续若⼲项的和，根据通项公式判断出项的符号，从⽽确定出哪些项，最后求得结果.11.已知菱形ABCD 的边长为060BAD ∠=，沿对⾓线BD 将菱形ABCD 折起，使得⼆⾯⾓A BD C --的余弦值为13-，则该四⾯体ABCD 外接球的体积为( )A.B.C.D. 36π【答案】B 【解析】【分析】⾸先根据题中所给的菱形的特征，结合⼆⾯⾓的平⾯⾓的定义，先找出⼆⾯⾓的平⾯⾓，之后结合⼆⾯⾓的余弦值，利⽤余弦定理求出翻折后AC 的长，借助勾股定理，得到该⼏何体的两个侧⾯是共⽤斜边的两个直⾓三⾓形，从⽽得到该四⾯体的外接球的球⼼的位置，从⽽求得结果. 【详解】取BD 中点M ,连结,AM CM ，根据⼆⾯⾓平⾯⾓的概念，可知AMC ∠是⼆⾯⾓A BD C --的平⾯⾓，根据图形的特征，结合余弦定理，可以求得32AM CM ===，此时满⾜ 2199233()243AC =+--=，从⽽求得AC =，22222AB BC AD CD AC +=+=，所以,ABC ADC ??是共斜边的两个直⾓三⾓形，所以该四⾯体的外接球的球⼼落在AC 中点，半径2ACR ==所以其体积为34433V R ππ==?=，故选B. 【点睛】该题所考查的是有关⼏何体的外接球的问题，解决该题的关键是弄明⽩外接球的球⼼的位置，这就要求对特殊⼏何体的外接球的球⼼的位置以及对应的半径的⼤⼩都有所认识，并且归类记忆即可. 12.已知函数()()ln 3xf x e x =-+，则下⾯对函数()f x 的描述正确的是（）A. ()3,x ?∈-+∞，()13f x ≥B. ()3,x ?∈-+∞，()12f x >- C. ()03,x ?∈-+∞，()01f x =- D. ()()min 0,1f x ∈【答案】B 【解析】分析：⾸先应⽤导数研究函数的单调性，借助于⼆阶导来完成，在求函数的极值点的时候，发现对应的⽅程，在中学阶段是解不出来的，所以⽤估算的办法求出来，之后进⾏⽐较，对题中各项的结果进⾏对⽐，排除不正确的，最后得到正确答案.详解：根据题意，可以求得函数的定义域为(3,)-+∞，1'()3x f x e x =-+，21''()(3)xf x e x =++，可以确定''()0f x >恒成⽴，所以'()f x 在(3,)-+∞上是增函数，⼜11'(1)02f e -=-<，11'()0522f -=->，所以01(1,)2x ?∈--，满⾜0'()0f x =，所以函数()f x 在0(3,)x -上是减函数，在0(+)x ∞，上是增函数，0()f x 是最⼩值，满⾜00103xe x -=+，000()ln(3)x f x e x =-+00x e x =+在1(1,)2--上是增函数，从⽽有01()()(1)1f x f x f e ≥>-=-，结合该值的⼤⼩，可知最⼩值是负数，可排除A,D ，且111e->-，从⽽排除C 项，从⽽求得结果，故选B.点睛：该题考查的是利⽤导数研究函数的性质，本题借着⼆阶导来得到⼀阶导函数是增函数，从⽽利⽤零点存在性定理对极值点进⾏估算，最后不是求出的确切值，⽽是利⽤估算值对选项进⾏排除，从⽽求得最后的结果.第Ⅱ卷（共90分）⼆、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.将函数()()()2sin 20f x x ??=+<的图象向左平移π3个单位长度，得到偶函数()g x 的图象，则?的最⼤值是________________．【答案】6π- 【解析】分析：先利⽤三⾓函数的变换得到()g x 的解析式，再利⽤诱导公式和余弦函数为偶函数进⾏求解. 详解：函数()()()2sin 20f x x =+<的图象向左平移3π个单位长度，得到π2π2sin[2()]2sin(2)33y x x ??=++=++，即2π()2sin(2)3g x x ?=++，⼜()g x 为偶函数，所以2πππ,32k k Z ?+=+∈，即ππ,6k k Z ?=-+∈，⼜因为0?<，所以的最⼤值为π6-. 点睛：本题的易错点是：函数()()()2sin 20f x x ??=+<的图象向左平移3π个单位长度得到 ()g x 的解析式时出现错误，要注意平移的单位仅对于⾃变量""x ⽽⾔，不要得到错误答案“π()2sin(2)3g x x ?=++”. 14.已知0a >，0b >，6b ax x ??+ ??展开式的常数项为52，则2+a b 的最⼩值为__________．【答案】2 【解析】分析：由题意在⼆项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于零，求得r 的值，可得展开式的常数项，再根据展开式的常数项为52，确定出12ab =，再利⽤基本不等式求得2+a b 的最⼩值.详解：6()bax x+展开式的通项公式为666166()()rrr r r r r r r b T C ax a b C x x----+==，令620r -=，得3r =，从⽽求的333652C a b =，整理得12ab =，⽽22a b +≥==，故答案是2. 点睛：该题考查的是有关⼆项式定理以及基本不等式的问题，解题的关键是要清楚⼆项展开式的通项公式以及确定项的求法，之后是有关利⽤基本不等式求最值的问题，注意其条件是⼀正⼆定三相等.15.已知函数()()2log 41xf x mx =++，当0m =时，关于x 的不等式()3log 1f x <的解集为__________．【答案】()0,1 【解析】分析：⾸先应⽤条件将函数解析式化简，通过解析式形式确定函数的单调性，解出函数值1所对应的⾃变量，从⽽将不等式转化为3(log )(0)f x f <，进⼀步转化为3log 0x <，求解即可，要注意对数式中真数的条件即可得结果.详解：当0m =时，2()log (41)xf x =+是R 上的增函数，且2(0)log (11)1f =+=，所以()3log 1f x <可以转化为3(log )(0)f x f <，结合函数的单调性，可以将不等式转化为3log 0x <，解得01x <<，从⽽得答案为(0,1).点睛：解决该题的关键是将不等式转化，得到x 所满⾜的不等式，从⽽求得结果，挖掘题中的条件就显得尤为重要.16.设过抛物线()220y px p =>上任意⼀点P （异于原点O ）的直线与抛物线()280y px p =>交于A ，B两点，直线OP 与抛物线()280y px p =>的另⼀个交点为Q ，则ABQ ABOS S ??=__________．【答案】3 【解析】分析：画出图形，将三⾓形的⾯积⽐转化为线段的长度⽐，之后转化为坐标⽐，设出点的坐标，写出直线的⽅程，联⽴⽅程组，求得交点的坐标，最后将坐标代⼊，求得⽐值,详解：画出对应的图就可以发现，1ABQ Q P Q ABOP PS x x y PQ S OP x y ??-===-设211(,)2y P y p ，则直线121:2y OP y x y p=，即12p y x y =，与28y px =联⽴，可求得14Q y y =，从⽽得到⾯积⽐为11413y y -=，故答案是3. 点睛：解决该题的关键不是求三⾓形的⾯积，⽽是应⽤⾯积公式将⾯积⽐转化为线段的长度⽐，之后将长度⽐转化为坐标⽐，从⽽将问题简化，求得结果.三、解答题（本⼤题共6⼩题，共70分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．）17.在ABC ?中，内⾓A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知60B =o ，8c =. （1）若点M ，N 是线段BC 的两个三等分点，13BM BC =，ANBM =，求AM 的值；（2）若12b =，求ABC ?的⾯积.【答案】（1）213（2）24283+. 【解析】分析：第⼀问根据题意得出两个点的位置，从⽽设出对应的边长，在三⾓形中，应⽤余弦定理求得x所满⾜的等量关系式，求得对应的值，再放在三⾓形中应⽤余弦定理求得对应的边长，第⼆问根据正弦定理找出⾓所满⾜的条件，最后利⽤⾯积公式求得三⾓形的⾯积.详解：（1）由题意得M，N是线段BC的两个三等分点，设BM x=，则2BN x=，23AN x=，⼜60B=o，8AB=，在ABN中，由余弦定理得22 12644282cos60x x x=+-??o，解得2x=（负值舍去），则2 BM=.在ABN中，22182282522132AM=+-==.(2）在ABC中，由正弦定理sin sinb cB C=，得38sin32sin12c BCb===.⼜b c>，所以B C>，则C为锐⾓，所以6cos C=.则()3613323sin sin sin cos cos sin2A B C B C B C+=+=+=?+?=，所以ABC的⾯积1323sin48242832S bc A+==?=+.点睛：该题所考查的是有关利⽤正余弦定理解三⾓形的问题，在解题的过程中，需要时刻关注正余弦定理的内容，在求解的过程中，注意边长所满⾜的条件，对解出的结果进⾏相应的取舍，将⾯积公式要⽤活.18.如图，在五⾯体ABCDEF中，四边形EDCF是正⽅形，AD DE=，090ADE∠=，120ADC DCB∠=∠=.(1)证明：平⾯ABCD ⊥平⾯EDCF ； (2)求直线AF 与平⾯BDF 所成⾓的正弦值．【答案】（1）见解析（2【解析】分析：第⼀问证明⾯⾯垂直，在证明的过程中，利⽤常规⽅法，抓住⾯⾯垂直的判定定理，找出相应的垂直关系证得结果，第⼆问求的是线⾯⾓的正弦值，利⽤空间向量，将其转化为直线的⽅向向量与平⾯的法向量所成⾓的余弦值的绝对值，从⽽求得结果.详解：（1）证明：因为AD DE ⊥，DC DE ⊥，AD ，CD ?平⾯ABCD ，且AD CD D =I ，所以DE ⊥平⾯ABCD .⼜DE ?平⾯EDCF ，故平⾯ABCD ⊥平⾯EDCF . （2）解：由已知//DC EF ，所以//DC 平⾯ABFE . ⼜平⾯ABCD ?平⾯ABFE AB =，故//AB CD . 所以四边形ABCD 为等腰梯形.⼜AD DE =，所以AD CD =，易得AD BD ⊥，令1AD =，如图，以D 为原点，以DA u u u v的⽅向为x 轴正⽅向，建⽴空间直⾓坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()1,0,0A，12F ??- ? ???，()B ，所以3,12FA ??=- ? ???u u u v，()DB =u u u v，12DF ??=- ? ???u u u v . 设平⾯BDF的法向量为(),,n x y z =，由0,0,n DB n DF ??=??=?u u u v u u u v 所以0,10,22x y z ?=??-++=??取2x =，则0y =，1z =，得()2,0,1n =， cos ,FA n FA n FA n ?===u u u vu u u v u u u v .设直线与平⾯BDF 所成的⾓为θ，则sin θ=. 所以直线AF 与平⾯BDF点睛：该题在解题的过程中，第⼀问⽤的是常规法，第⼆问⽤的是空间向量法，既然第⼆问要⽤空间向量，则第⼀问也可以⽤空间向量的数量积等于零来达到证明垂直的条件，所以解题⽅法是不唯⼀的.19.经销商第⼀年购买某⼯⼚商品的单价为a （单位：元），在下⼀年购买时，购买单价与其上年度销售额（单位：万元）相联系，销售额越多，得到的优惠⼒度越⼤，具体情况如下表：上⼀年度销售额/万元[)0,100[)100,200[)200,300[)300,400[)400,500[)500,+∞商品单价/元 a0.9a 0.85a 0.8a 0.75a 0.7a为了研究该商品购买单价的情况，为此调查并整理了50个经销商⼀年的销售额，得到下⾯的柱状图.已知某经销商下⼀年购买该商品的单价为X （单位：元），且以经销商在各段销售额的频率作为概率. （1）求X 的平均估计值.（2）该⼯⼚针对此次的调查制定了如下奖励⽅案：经销商购买单价不⾼于平均估计单价的获得两次抽奖活动，⾼于平均估计单价的获得⼀次抽奖活动.每次获奖的⾦额和对应的概率为记Y （单位：元）表⽰某经销商参加这次活动获得的资⾦，求Y 的分布及数学期望. 【答案】（1）0.873a （2）见解析【解析】分析：第⼀问根据题意，列出对应的变量的分布列，利⽤离散型随机变量的期望公式求得对应的平均值；第⼆问也是分析题的条件，将事件对应的情况找全，对应的概率值算对，最后列出分布列，利⽤公式求得其数学期望.详解：（1）由题可知：X 的平均估计值为：0.20.90.30.850.240.80.120.750.10.70.040.873a a a a a a a ?+?+?+?+?+?=.（2）购买单价不⾼于平均估计单价的概率为10.240.120.10.040.52+++==. Y 的取值为5000，10000，15000，20000. ()1335000248P Y ==?=，()1113313100002424432P Y ==?+??=，()2111331500024416P Y C ===，()11112000024432P Y ==??=.所以Y 的分布列为()31331500010000150002000093758321632E Y =?+?+?+?=（元）.点睛：该题属于离散型随机变量的分布列及其期望值的运算，在解题的过程中，⼀定要对题的条件加以分析，正确理解，那些量有⽤，会提⽰我们得到什么样的结果，还有就是关于离散型随机变量的期望公式⼀定要熟记并能灵活应⽤.20.已知椭圆1C ：2221(0)8x y b b+=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点2F 也为抛物线2C ：28y x =的焦点．（1）若M ，N 为椭圆1C 上两点，且线段MN 的中点为(1,1)，求直线MN 的斜率；（2）若过椭圆1C 的右焦点2F 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A ，B 和C ，D ，设线段AB ，CD 的长分别为m ，n ，证明11m n+是定值．【答案】（1）1 2-（2解:因为抛物线22:8C y x =的焦点为(2,0),所以284b -=,故2b =.所以椭圆222:184x y C +=.(1)设1122(,),(,)M x y N x y ,则221122221,84{1,84x y x y +=+= 两式相减得1212()()8x x x x +-+1212()()04y y y y +-=，⼜MN 的中点为(1,1),所以12122,2x x y y +=+=.所以21211 2y y x x -=--. 显然,点(1,1)在椭圆内部,所以直线MN 的斜率为12-. (2)椭圆右焦点2(2,0)?F .当直线AB 的斜率不存在或者为0时,11 m n +=+8=. 当直线AB 的斜率存在且不为0时,设直线AB 的⽅程为(2)y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ,联⽴⽅程得22(2),{28,y k x x y =-+=消去y 并化简得222(12)8k x k x +-2880k +-=，因为222(8)4(12)k k ?=--+22(88)32(1)0k k -=+>，所以2122812k x x k +=+，21228(1)12k x x k -=+.所以m =22)12k k+=+同理可得22)2k n k +=+.所以11 m n +=2222122()118k k k k +++=++为定值. 【解析】分析：（1）先利⽤抛物线的焦点是椭圆的焦点求出284b -=，进⽽确定椭圆的标准⽅程，再利⽤点差法求直线的斜率；（2）设出直线的⽅程，联⽴直线和椭圆的⽅程，得到关于x 的⼀元⼆次⽅程，利⽤根与系数的关系进⾏求解.详解：因为抛物线22:8C y x =的焦点为()2,0，所以284b -=，故2b =.所以椭圆221:184x y C +=.（1）设()11,M x y ，()22,N x y ，则221122221,841,84x y x y ?+=+=?? 两式相减得()()()()12121212084x x x x y y y y +-+-+=，⼜MN 的中点为()1,1，所以122x x +=，122y y +=.所以212112y y x x -=--.显然，点()1,1在椭圆内部，所以直线MN 的斜率为12-.（2）椭圆右焦点()22,0F .当直线AB 的斜率不存在或者为0时，11m n +==当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB 的⽅程为()2y k x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，联⽴⽅程得()222,28,y k x x y ?=-?+=?消去y 并化简得()2222128880k xk x k +-+-=，因为()()()()222228412883210k k k k ?=--+-=+>，所以2122812k x x k +=+，()21228112k x x k-=+.所以)22112k m k +==+，同理可得)2212k n k +=+.所以222211122118k k m n k k ??+++=+=?++?为定值. 点睛：在处理直线与椭圆相交的中点弦问题，往往利⽤点差法进⾏求解，⽐联⽴⽅程的运算量⼩，另设直线⽅程时，要注意该直线的斜率不存在的特殊情况，以免漏解. 21.已知()'fx 为函数()f x 的导函数，()()()2'200x x f x e f e f x =+-.（1）求()f x 的单调区间；（2）当0x >时，()xaf x e x <-恒成⽴，求a 的取值范围.【答案】（1）见解析（2）[]1,0- 【解析】分析：第⼀问给⾃变量赋值求得解析式，利⽤导数研究函数的单调性即可，第⼆问关于恒成⽴问题可以转化为求函数最值问题来解决，最值也离不开函数图像的⾛向，所以离不开求导确定函数的单调区间. 详解：（1）由()()0120f f =+，得()01f =-. 因为() ()2220xx f x ee f =-'-'，所以()()0220f f =-'-'，解得()00f '=.所以()22xx f x ee =-，()()22221x x x xf x e e e e ='=--，当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，则函数()f x 在(),0-∞上单调递减；当()0,x ∈+∞时，()0f x '>，则函数()f x 在()0,+∞上单调递增. （2）令()()()221xxx g x af x e x aea e x =-+=-++，根据题意，当()0,x ∈+∞时，()0g x <恒成⽴.()()()()222211211x x x x g x ae a e ae e '=-++=--.①当102a <<，()ln2,x a ∈-+∞时，()0g x '>恒成⽴，所以()g x 在()ln2,a -+∞上是增函数，且()()()ln2,g x g a ∈-+∞，所以不符合题意；②当12a ≥，()0,x ∈+∞时，()0g x '>恒成⽴，所以()g x 在()0,+∞上是增函数，且()()()0,g x g ∈+∞，所以不符合题意；③当0a ≤时，因为()0,x ∈+∞，所有恒有()0g x '<，故()g x 在()0,+∞上是减函数，于是“()0g x <对任意()0,x ∈+∞都成⽴”的充要条件是()00g ≤，即()210a a -+≤，解得1a ≥-，故10a -≤≤. 综上，a 的取值范围是[]1,0-.点睛：该题属于导数的综合应⽤问题，在解题的过程中，确定函数解析式就显得尤为重要，在这⼀步必须保持头脑清醒，第⼆问在证明不等式恒成⽴的时候，可以构造新函数，恒成⽴问题转化为最值来处理即可，需要注意对参数进⾏讨论.请考⽣在22、23两题中任选⼀题作答，如果多做，则按所做的第⼀题记分．22.选修4-4：坐标系与参数⽅程在直⾓坐标系xOy 中,直线l的参数⽅程为34x y a ?=?=?,（t 为参数），圆C 的标准⽅程为22(3)(3)4x y -+-=.以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建⽴极坐标系.(1)求直线l 和圆C 的极坐标⽅程； (2)若射线(0)3πθρ=>与直线l 的交点为M ,与圆C 的交点为,A B ,且点M 恰好为线段AB 的中点,求a 的值.【答案】（1）cos sin ρθρθ-304a -+=.26cos 6sin 140ρρθρθ--+=（2）94a = 【解析】分析：（1）将直线l 的参数⽅程利⽤代⼊法消去参数，可得直线l 的直⾓坐标⽅程，利⽤cos x ρθ=，sin y ρθ=可得直线l 的极坐标⽅程，圆的标准⽅程转化为⼀般⽅程，两边同乘以ρ利⽤利⽤互化公式可得圆C 的极坐标⽅程；（2）联⽴2,366140,cos sin πθρρρθ?=-∞-+=?可得(23140ρρ-++=，根据韦达定理，结合中点坐标公式可得3,23M π??+ ? ???，将323M π??+ ? ???代⼊3cos sin 04a ρθρθ--+=，解⽅程即可得结果.详解：（1）在直线l 的参数⽅程中消去t 可得，304x y a --+=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代⼊以上⽅程中，所以，直线l 的极坐标⽅程为3cos sin 04a ρθρθ--+=. 同理，圆C 的极坐标⽅程为26cos 6sin 140ρρθρθ--+=. （2）在极坐标系中，由已知可设1,3M πρ??，2,3A πρ??，3,3B πρ??. 联⽴2,366140,cos sin πθρρρθ?=-∞-+=?可得(23140ρρ-++=，所以233ρρ+=+因为点M 恰好为AB 的中点，所以1ρ=，即3M π.把3M π代⼊3cos sin 04a ρθρθ--+=，得(313024a ++=，所以94 a =.。

广州一模理科数学试题与答案全word版

A数试卷类型：年广州市普通高中毕业班综合测试（一）2018学（理科）2018.3分钟150分．考试用时120本试卷共4页，21小题，满分注意事项：铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在2B1．答卷前，考生务必用铅笔将试2B/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用的市、县）填涂在答题卡相应位置上。

卷类型（A铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，2B2．选择题每小题选出答案后，用用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位3置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，2B4．作答选做题时，请先用答案无效。

．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

51ShV?hS是锥体的底面积，，其中参考公式：锥体的体积公式是锥体的高．3????1??12nnn??2222*???n?2?13N?n．6一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．2??m4ii??3m?i的值为是虚数单位，若1．已知，则实数2?2?2?2B．．A．C．D cca CbB2ABCC?BA为2．在△，若中，角，，，所对的边分别为，则，b C2cosC2cosB2sinB2sin B．．A．DC．22????1x?12??y?xy?对称的圆的方程为．圆3关于直线2222????????1?y?12?12x?1??y??x．A．B2222????????1?y?2x?2?y?1?1x?1? D．C．??2?faxx??x1a R的取值范围为4的定义域为实数集，则实数．若函数????????????2,2?2,?????2,2?,22,?????2,．AB．C．．D1 / 16．某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数，并绘制5组距频率/0.030 ??50,60，成如图1的频率分布直方图．样本数据分组为0.0250.020 ????????90,10080,9060,7070,80，，，．若用分层抽0.0150.010??80,100范围内的数据16样的方法从样本中抽取分数在个，0100 90 60 70 80 50 分数??90,100则其中分数在范围内的样本数据有1图个个D．10A．5个B．6个C．8?3?AZA?xx?Z?且6．已知集合，则集合中的元素个数为??x?2??5．．4DA．2B．3C b=aab a b．设成立的一个必要非充分条件是，是两个非零向量，则使7????0?ba b?ab?baa?B．D．A．C．mmaama bbb0m?同余，记为8．设和，和，），若为整数（被对模除得的余数相同，则称????20012220m?abmodmod10ba?2C2?C??C?2????aC b，则．若的值可以是，202020202018 ．．2018 DA．2018 B．2018 C分．分，满分30小题，考生作答6小题，每小题5二、填空题：本大题共7 13题）～（一）必做题（9??1x?a?a3x?1x?的解集为，则实数．若不等式的值为．9??*kS?7N k?的值为．，则输入．执行如图2的程序框图，若输出10 11．一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图3所示，则这个四棱锥的体积是．开始k输入50?0,S?n11 22lo正（主）视侧（左）视图输出结束 4图31n?2SS??俯视图2图2 / 16?3????????????cossin．，则12．设为锐角，若????5126????1????a???SS1a?aa n，为数列中，已知．的前13项和，则，记．在数列2014n11?nnn1a?n（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）????????asin??cos?42cossin?BA与曲线中，直线，相交于两点，若在极坐标系C23?AB a的值为．，则实数PD E15．（几何证明选讲选做题）O BOCOPCPA交于是圆的切线，切点为与圆如图4，，直线CACBAPC?DABE的平分线分别交弦，，两点，，于APE PC?3PB?24图，则，两点，已知的值为．PD三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）π??，0?xsinx?cosa(fx)?的图象经过点．已知函数??3??a的值；1（）求实数2??2?xf()?g(x))(xg（2）设的最小正周期与单调递增区间．，求函数．（本小题满分12分）172，甲，丙两人同时不能被聘用的概率甲，乙，丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是563，乙，丙两人同时能被聘用的概率是是，且三人各自能否被聘用相互独立．1025（1）求乙，丙两人各自能被聘用的概率；??的分布列）设表示甲，乙，丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求2（与均值（数学期望）．3 / 16．（本小题满分14分）18D C11DDDCABCD?ABa E的正方体中，点5，在棱长为的是棱如图11111A1B E1BBFBBF?2F．中点，点上，且满足在棱11D C C?AEF）求证：；（111FCC GGEAF，，）在棱（2，使，上确定一点四点共面，并求1A GC B此时的长；1ABCDAEF5 图与平面3）求平面所成二面角的余弦值．（1419．（本小题满分分）????*ba N?n，．的首项为2，等比数列1已知等差数列，公比为2的首项为10，公差为nn????ba与）求数列的通项公式；（1nn??b,ac?min Snn．（2）设第个正方形的面积之和个正方形的边长为，求前nnnn??b,amin a b与表示的最小值．）（注：．（本小题满分14分）2022yx?????10aFF OE：，，离心率为，左，右焦点分别为已知双曲线的中心为原点2124a2a53?x0QF?PF Q EP 上，且满足上任意一点，点．，点在双曲线是直线2253a（1）求实数的值；PQOQ与直线2）证明：直线的斜率之积是定值；（M lMNN1P P上，过点，作动直线的纵坐标为与双曲线右支交于不同两点，在线段）若点（3MHPM?M NHH，，满足取异于点的点，????x2e e1??2fxx?x已知函数为证明点恒在一条定直线上．HNPN14分）21．（本小题满分????????????xtsthx,s,tts?hs,的自然对数的底数）．（其中)xf(的单调区间；（1）求函数上的取值范围为在区间，则称区间）定义：若函数（2为函数????1,)(xf上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条“域同区间”．试问函数在．理说，存若”区域的件“同间；不在请明由4 / 162018年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试卷参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试卷主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题，满分40分．1 2 3 4 5 6 7 8 题号A B A D B C D A 答案二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9 10 11 12 13 14 15 题号201122?5?1? 342答案或3210三、解答题：本大题共6小题，满分80分．16．（本小题满分1）（本小题主要考查三角函数图象的周期性、单调性、同角三角函数的基本关系和三角函数倍角公式等等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）π???????0f，0?x?sinxacosf(x)?．的图象经过点，所以）因为函数解：（1????33????ππ????sin?cos?a??0即．????33????3a??0?．即223a?解得．f(x)?sinx?3cosx．2（）方法1 由（1）得：??22?cos?sin?x3x22(f?)xg([?x)]所以1 / 16 22x?2x?3cos?23sinx?sincosx?3sin2x?cos2x??13?2sin2x?cos2x????22???????2sin2xcos?cos2xsin??66??π???2sin2x?．??6??2???)g(x．的最小正周期为所以2??????2k?k???,2xy?sin Z?k的单调递增区间为，因为函数??22??πππ???π?π??2k?2x2kg(x)Zk?单调递增，时，函数所以当262ππ??ππ?x?kk??g(x)Z?k单调递增．时，函数即36ππ????ππ,??kk)(xg Z?k．所以函数的单调递增区间为??36??x3(fx)?sinx?cos）得方法2：由（1?????2sinxcos?cosxsin??33??π???2sinx?．??3??2π????22?2sinx??2x)]?[g(x)?f(所以????3????π??22???4sinx??3??π2???x2cos??2?????k??,2k2?x?ycos Z?k，因为函分??3??2???)xg(分所以函数的最小正周期为2数的单调递减区间为2 / 162???2k??2k???x??2)(xg Z k?所以当单调递增．时，函数3ππππ?kk??x?)(xg Z?k单调递增．（即）时，函数63ππ????ππ,?kk?)(xg Z k?．所以函数的单调递增区间为??63??）17．（本小题满分1（本小题主要考查相互独立事件、解方程、随机变量的分布列与均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）AAA 1）记甲，乙，丙各自能被聘用的事件分别为，，，解：（312AAA由已知，，相互独立，且满足3122???,?PA?15?6?????,?PA1?PA1??????????3125?3?????.A?PAP??????PA?PA，解得．322531所以乙，丙各自能被聘用的概率分别为．，3210?3152?，3（2）．的可能取值为1???????AAAPAA?3??PPA因为332211????????????A1P?A1??PPAPPAAPA??1????????????3232112132136???????．25552552196??????3?P?P?11???1?所以．2525?所以的分布列为19252537196???3??1E?所以．2525253 / 1618．（本小题满分1）（本小题主要考查空间线面关系、四点共面、二面角的平面角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）推理论证法：DB BD（1）证明：连结，，11D C11DAC?BDBCA是正方形，所以．因为四边形11111111A E B11DC?ABCDABABCD?DD平面，在正方体中，111111111DC FDDAC??ACDCAB平面，所以．111111111A BDBBDDD?DBDDD?DB，，因为平面，111111111?ACDBBD．平面所以1111C?BBDDEFA?EF，所以平面．因为1111CCAEBH BHH的中点，连结．2（）解：取，则1D C11G CCBBAEBHFGFG F在平面，则．中，过点作A11H E B11GEGEAF，，连结，则四点共面．，D1111C aCH?CC?aHG?BFCC??，，因为F 112233A1B GCaHG???CCCH?．所以1161GCa?GEAF时，，四点共面．，故当，16 MEFDB?AMDBEF，，连结）延长，，设（3ABCDAEFAM是平面与平面的交线．则D NFN?BNAMB过点作，，垂足为，连结C11BFB?BNAMFB?，因为，A BNF?AM所以．平面1B E1FNBNFFN??AM因为平面．，所以ABCD?FNBAEF与平面所成所以为平C二面角的平面角．1Aa B2MBBF3???因为，N13MDDEa 2M4 / 16MB2?，即3aMB?2a2MB?2所以．135??ABM aAB?ABM中，，，在△222cos135?MB?2?AB?MBAM?AB?所以??2??222a?13AMa?13?a?a?22a?2?a?22?．即．????2??11sin135?MB?AM?BN?AB因为，222?2aa?2132AB?MB?sin1352??aBN?所以．13AMa1322??1327131??22a??a?aFN?BF?BN所以．??????39133????6BN?cos?FNB?所以．7FN6ABCDAEF所成二面角的余弦值为与平面故平面．7空间向量法：zDD DCDDA，为坐标原点，所在的直线，（1）证明：以点D1C11x y z轴，分别为轴，建立??????1B aC,,0,aA,0,0a0,AaaE，，，则11111D????如图的空间直角坐标系，轴，Ay a,a,aE0,0,Fa，，C????F32????A B1????x a?a,a,?EF,0,aa?AC?，所以．??116??220??aa?0?EFAC?因为，11CAEF?EFAC?．所以所以．1111??h,Ga0,BBCCAADD，因为平面设解：平面，）（21111BAADDBCC AEAEGFAEGF?FG?，平面，平面平面平面1111AEFG．所以5 / 16??AEFG?，使得所以存在实数．11????a?a,0,?a,0,h?FGa??AE因为，，????32????11?????a,0,?a,0,h?a??a所以．????23????5?ah?1?，所以．615GC?aa?aCG??CC?所以．11661GCa?GEAF，四点共面．故当时，，，1611????,0,aAE?0,a,a??aAF）知1解：由（（．，3）????32??????zx,?y,n AEF设是平面的法向量，?0,nAE??则?0.nAF???1?0,?ax?az???2即?1?0.??azay?3?2?y?3?6xz?，则．取，??2,6n??3,AEF的一个法向量．所以是平面??aDD?0,0,ABCD 是平面的一个法向量，而1?ABCDAEF所成的二面角为设平面与平面，nDD1??cos (1)则DDn1?06??．72??22a6?2?3??6ABCDAEF所成二面角的余弦值为故平面与平面．7第（1）、（2）问用推理论证法，第（3）问用空间向量法：（1）、（2）给分同推理论证法．DD DCDDA所在的直线解：3（）以点为坐标原点，，，16 / 16x y z轴，轴，轴，建立如图的空间直角坐标系，分别为11??????aFa,aE0,0,,a,0,0Aa，，则，????32????zD C111????1a,AF,0,a?0,aAE??a则，．????32????A1B E1??zx,y,n?AEF设是平面的法向量，D y C F1?0,az??ax???0,?nAE??2AB则即??10.AF?n???x 0.??ayaz?3?2??y3?xz?6．，取，则??2,6??3,n AEF是平面的一个法向量．所以??a?0,0,DDABCD是平面的一个法向量，而1?ABCDAEF设平面与平面所成的二面角为，DDn1??cos1…则DDn1??6a?2?0?3?0??6??．72??22a2?3??6?6ABCDAEF所成二面角的余弦值为故平面与平面．7）19．（本小题满分1（本小题主要考查等差数列、等比数列、分组求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识）??a 2，10的首项为（解：1）因为等差数列，公差为n??2?n??a10?1所以，n8??2na即．n??b 2，的首项为1因为等比数列，公比为n1?n21??b所以，n1?n2b?．即n7 / 16a?10a?12a?14a?16a?18a?20，，，）因为，，，（2531246b?1b?16b?328??b?2b4b．，，，，，615423a?b5n?．时，易知当nn b?a6n?成立．时，不等式下面证明当nn6?1?20?2?6?8?a32b?2?6n?，不等式显然成立．时，当方法1：①66??k?16k??2k?28kn?．时，不等式成立，即②假设当 ????????1?kk?8k?k2?2?2?6?2?k?12?8?1?222k?8．则有n?k?1时，不等式也成立．这说明当n?6的所有整数都成立．综合①②可知，不等式对b?a6n?．时，所以当nn n?6时因为当方法2：n?1??????1?n8?22n?8???ba?21?1?nnn????n021?18??C??CC?2?n?C1?n?1n?1nn?1????02n?112n?3n?8n??2?C?C?C??CC?C1n?n?1?11n?1nn?1?n????0128??C2?C?C?2n1nn?1?n?1????2?0n?4???nn?3n?6?6n，b?a6?n．所以当时，nnn?1?,n2?5,???b,ac?min所以?nnn n?8,5.2n??22n??n2,?5,?2?c则?n2??5.?n?4,n4??5n?当时，2222c??c??S?cc nn3122222b???b?b?bn2130242n?22???2?22???n?1??4．n4?111?438 / 16n?5时，当????222222aba???ab??b???2222c??cS?c??c n3n21??222????????5?n?4?4?7?4?46?14??n761251??3????????2225n???n?n???8166?7?341?4?67????????????2222225?2???n5n?341?4?1?2??641?326?7?n?? ??????????5?n6?n?1n2n?1n??????32?4?55?64n?5?341??62??424223?n???18n679n．331???n n??15,,4??3S?综上可知，?n2424?23nn??5.n?n679,?18?33?20．（本小题满分1）（本小题主要考查直线的斜率、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）c E，设双曲线的半焦距为（1）解：?c35,??由题意可得5a??22?4.?ca?a?5．解????x??tP,y3,0xQF,）可知，直线1），点证明：由（2．设点，,（??002得25a5??333??5????0x,?yt3?,??3?0QF?PF，所以因为．??00223??4??3?tyx?．所以????22001??yxQ,5?y?xE上，所以在双曲线，即．因为点00005459 00322yx4/ 162ty?yy?ty0000???k?k所以OQPQ55x2xx?x?0????23??x?x540053??．552xx?0034OQPQ 0003344????,1P yMy,Hxx,lE，的右支交于不同两点（3）所以直线的斜率之积是定值与直线．55??证法1：设点的直线，且过点与双曲线????????2222222220y??54x yN,x5x?xy?y??520y??54x，即，，，则．113??44222112221155??,PNPM?MHPM????，则设．?HNPN?.MH?HN??55??????,1y??,y?1??x,x??????????.yx?x,yyx?x,y????22115?????,1??x?x①?123????,1??y?y②221133????即????2222??,x?xx?1?⑤?213由①×③，整理，得?21?????,x?1x?x?③21?????.1?y?y?y④??215?②×④得????2222??.y1y?y??⑥?2144????22225?x?yxy??5代入⑥，将，212155222?x?x421???4y得⑦．2??1544?y?x．将⑤代入⑦，得30?3y?12?4x H所以点恒在定直线上．lk依题意，直线证法2：存在．的斜率5???k1y??x l，的方程为设直线??3??10 / 16?5??,?x?1?ky???3???由?22yx?1.???54???????2222y0?5k??3kx?255k9?k94?56xk?30消去．得????yN,x,yMxlE与双曲??????22220,?6?900k4?5k?95k5??900k?3k??线，的右支交于不同两点因为直线，2112????2k?30k53?,?x?x②则有???2124?95k????29k?525k?6??x.x ①???21245k?9?5?xMHPMx?x131??，得由．③?5HNPNx?x?x1223????0??103x?5xx?x6xx?1 ．整理得???? 2211??????22kx?5?15035k5?6k?930k3010x???将②③代入上式得．??015?5?k?4x3x?224?599kk5?4整理得④．5???x1??ky lH⑤因为点．在直线上，所以??3??0?4x3y?12?k 得联立④⑤消去．04x?3??12y H恒在定直线所以点上．y x0y3?12?4x?H恒在定直线上，无需求出的范围．）3（本题（）只要求证明点或）21．（本小题满分1（本小题主要考查函数的单调性、函数的导数、函数的零点等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识）????x2e1??2fxx?x，（解：1）因为??x2e??x1xx2x?1)e??x(?2x?x2)e?(?x1)ex?1)((2)f(x?．所以?????????,???1fx?01,)x(f1x1?x??和或当时，，即函数的单调递增区间为．11 / 16 ?????,1?f?0x1)xf(11?x??．时，当，即函数的单调递减区间为??????,1??,?1?11,??)f(x．和所以函数，单调递减区间为的单调递增区间为????1,)x(f[s,t](1?s?t)，上存在“域同区间”2）假设函数在（????1,)xf(上是增函数，）知函数在由（12s f(s)?s,?,?(s?1)s?e?所以即??2t f(t)?t.(t?1)?e?t.??2x xe?(x?1)也就是方程1的相异实根．有两个大于x22x?11)e?(x)?(x?g(gx)?(x?1)e?x(x?1)．，则设??????x2x2??1(x)?(x?g1)e??xhe1xx?x?h?2，则．设???????xh???0xh1,)??(1,上单调递增．在因为在，所以上有??2??0?3eh?21?0??11h?因为，，????,21x??0xh．即存在唯一的，使得00????????x?x,1?xxh1,x??g0)xg(上是减函数；当时，，即函数在00??????????xx?,???g?0,xhxx?)g(x上是增函数．时，在当，即函数????1,)(gx上只有一个零点．在区间所以函00??2??1g?10g(x)?g(1)?0g(2)?e?2?0，因为，，0????1,)x(f在上不数2x x??1)ex(有两个大于这与方程1的相异实根相矛盾，所以假设不成立．存在“域同区间”．所以函数12 / 16。

广东省2018届高三第一次模拟考试数学(理)试题 Word版含解析

2018年普通高等学校招生全国统一考试广东省理科数学模拟试卷（一）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合）B. C.【答案】BB.2. （）A. -1B. 1C. 2D. -2【答案】D【解析】为纯虚数，，解得，故选D.3. 下图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（）【答案】A【解析】根据圆的面积公式以及几何概型概率公式可得，此点取自黑色部分的概率是A.4. 已知函数，则函数的图象在）A. 0B. 9C. 18D. 27【答案】C数的几何意义可得函数的图象在 C.5. 的一个焦点，则双的离心率为（）【答案】C，C.6. 的展开式中，的系数为（）A. 120B. 160C. 100D. 80【答案】A的展开式中含的项为的系数为故选A.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.7. 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体为一个长方体截去了两个半圆柱而形成的，则该几何体的B.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.8. 已知曲线（）A. 向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称B. 个单位长度，得到的曲线关于C.D.【答案】D【解析】对于选项轴对称，故选D.9. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，中，可以先后填入（）是偶数，是偶数，【答案】DD.10.的面积的最大值为（）D.【答案】C，由余弦定理可得，解得，所以11. 轴负半轴上的动点，（）【答案】A，根据导数的几何意义可得，故的最小值为 A.12. 设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（）B. C.【答案】B【解析】，则，故选B.【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质、指数与对数的运算以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. ．【答案】114. __________．【答案】2【解析】过点取得最大值，此时【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. ．可得，案为.16..沿虚线剪为折痕折起个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为__________．【解析】如图，交，重合于点倍，设该四棱锥的外接球的球心，三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. .（1）求数列（2【答案】【解析】试题分析：（1；（2）结合（1.试题解析：（1（2.【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项、等比数列的求和公式以及错位相减法求数列的项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，求数列作差求解,”的表达式.18. “微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号.用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现.现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”.（1）以这50人这一天行走的步数的频率代替1人一天行走的步数发生的概率，抽取3.（2）为调查评定系统的合理性，拟从这50人中先抽取10人（男性6人，女性4人）.其中男性中被系统评定为“积极性”的有4人，“懈怠性”的有2人，从中任意选取3人，记选其中女性中被系统评定为“积极性”和“懈怠性”的各有2人，从中任意选取2人，记选到.【答案】【解析】试题分析：（1）根据古典概型概率公式可得被系统评为“积极性”的概率为（2“”，“ ”，“ ”，“ ”，“分别根据独立事件的概率公式求出六个互斥事件的概率，然后求和即可得到.试题解析：（1.的数学期望（2”包含“，，所以.19. 如图，在直角梯形中，折起，使.（1（2.【答案】(1)见解析【解析】试题分析：（1）由因（2）为坐标原点，.试题解析：（1，所以，所以平面（2）解：的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求二面角，以及面面垂直的证明，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20. 已知椭圆（1）求椭圆的方程；（2）若直线均在第一象限）（其中.. 【答案】(1) ;(2)见解析.【解析】试题分析：（1、的方程组，求出、，即可得椭圆的方程；（2）达定理可得，进而可得结果.试题解析：（1，故椭圆（2）由题意可知直线的斜率存在且不为0，的方程为化简得，，即，消去，，所以，又结合图象可知，，所以直线.21. 已知函数.（1（2）若函数的最小值为.【答案】(1)见解析【解析】试题分析：（1）先求出，则至少存在一个零点，讨论的范围，利用导数研究函数的单调性，结合单调性与函数图象可得结果；（2）求出，分五种情况讨论的范围，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，利用函数的单调性，结合函数图象可排除不合题意的的范围，筛选出符合题意的的范围.试题解析：（1，故在上单调递增，，（2，则函数，则.，故不符合题意.与函数的最小值为矛盾，（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 【选修4-4：坐标系与参数方程】（1的极坐标方程和（2.【答案】(1)见解析【解析】试题分析：（1程；（2的几何意义，利用三角形面积公式可得结果.试题解析：（1（2）分别将的面积为23. 【选修4-5：不等式选讲】（1（2）若存在.【答案】【解析】试题分析：（1）对分三种情况讨论，取掉绝对值符号，分别求解不等式组，然后求（2集的定义列不等式求解即可.试题解析：（1，得，无解；，得，即时，，综上，（2，使得）可知，解得. 的取值范围为.。

2018年广州市普通高中毕业班综合测试一(一模)理科数学答案及评分细则

4 m2 12 ． m2 4
所以 SABQ
解法 2：依题意直线 l 的斜率存在，设其方程为 y k x 4 ，
y k x 4 ， 2 2 2 由 x2 得 4k +1 y 8ky 12k 0 ． 2 y 1， 4
2 2

当 n 1 时， a1 1 也符合上式．所以数列 an 的通项公式 an 4n 3 n N

*
．
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数学（理科）答案 A
（2） n 1 时，
a1 1 ，所以 b1 2a1 2 ． b1 2
a1 a2 b1 b2 an 1 5 4n 5 ， bn 2
max
2
当且仅当 t 32 时，即 m 2 7 时， SABQ 所以 ABQ 面积的最大值为
3 = ． 4
3 ． 4
【求 ABQ 面积的另解：因为点 Q 1, 0 到直线 l 的距离为 d
3 1 m2
．
| AB | 1 m2 ( y1 y2 )2 4 y1 y2 1 m2 1 6 m2 12 ．】 d | AB | 2 m2 4

2
2
3 ，所以 b 2 a 2 c 2 1 ．
所以点 G 的轨迹 C 的方程为
x2 y2 1． 4
（2）解法 1：依题意可设直线 l : x my 4 ．
x my 4, 2 2 由 x2 ，得 (m 4) y 8my 12 0 ． 2 y 1, 4
3 ． 4

2018年普通高等学校招生全国统一考试-广东省理科数学模拟试卷(一)

2018年普通高等学校招生全国统一考试-广东省理科数学模拟试卷(一)2018年普通高等学校招生全国统一考试广东省理科数学模拟试卷（一）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2|111,|1A x x B x x =-<-<=<，则A B =（） A ．{}|1x 1x -<< B ．{}|01x x << C ．{}|1x x <D ．{}|02x x <<2.设复数()4z a i a R =+∈，且()2i z -为纯虚数，则a = （）A ．-1B ． 1C ． 2D ．-2 3. 下图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（）A ．320B ．325πC ．325D ．20π 4. 已知函数()f x 满足332x f xx⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象在1x =处的切线斜率为（）A ．0B ． 9 C. 18 D ．27y轴对称π个单位长度，得到的曲线关于C. 把C向左平移3原点对称π个单位长度，得到的曲线关于D．把C向右平移12y轴对称9. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（）A ．n 是偶数，100n ≥B ．n 是奇数，100n ≥ C. n 是偶数，100n > D ．n 是奇数，100n > 10.在ABC ∆中，角,,C A B 所对的边分别为,,a b c ，若3A π=，且2sin 2sin 3b B c C bc a+=+，则ABC ∆的面积的最大值为（）A ．33．333．3 11.已知抛物线2:,C yx M=为x 轴负半轴上的动点，,MA MB为抛物线的切线，,A B 分别为切点，则MA MB 的最小值为（）A ．116- B ．18- C. 14- D ．12- 12.设函数()1222,21130,2x x f x x x x +⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若互不相等的实数,,,a b c d满足()()()()f a f b f c f d ===，则2222ab c d+++的取值范围是（）A ．()6422,146B ．()98,146C.()6422,266D ．()98,266二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知单位向量12,e e 的夹角为30°，则123e e -= ．14.设,x y 满足约束条件6456543x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则z x y =+的最大值为． 15.已知000sin10cos102cos140m +=，则m = ．16.如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为,,,,O E F G H 为圆O 上的点，,,,ABE BCF CDG ADH ∆∆∆∆分别是以,,,AB BC CD DA 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以,,,AB BC CD DA 为折痕折起,,CDG,ADH ABE BCF ∆∆∆∆，使得,,,E F G H重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知公差不为零的等差数列{}na 满足15a=，且3611,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}na 的通项公式；（2）设13n nn ba -=，求数列{}nb 的前n 项和nS .18.“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号.用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现.现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：步数/步 03000 30016000 60018000 800110000 10000以上男生人数/人 127155女性人数/人3791规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”. （1）以这50人这一天行走的步数的频率代替1人一天行走的步数发生的概率，记X 表示随机抽取3人中被系统评为“积极性”的人数，求()2P X ≤和X 的数学期望.（2）为调查评定系统的合理性，拟从这50人中先抽取10人（男性6人，女性4人）.其中男性中被系统评定为“积极性”的有4人，“懈怠性”的有2人，从中任意选取3人，记选到“积极性”的人数为x ；其中女性中被系统评定为“积极性”和“懈怠性”的各有2人，从中任意选取2人，记选到“积极性”的人数为y ；求x y >的概率.19.如图，在直角梯形ABCD 中，//,AD BC AB BC ⊥，且24,,BC AD E F==分别为线段,AB DC 的中点，沿EF 把AEFD折起，使AE CF ⊥，得到如下的立体图形. （1）证明：平面AEFD ⊥平面EBCF ；（2）若BD EC ⊥，求二面角F BD C --的余弦值.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为32，且C过点31,2⎛ ⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点（点,P Q 均在第一象限），l 与x 轴，y 轴分别交于,M N 两点，且满足2222PMO QMOPNO QNOPMO QMOPNO QNOS S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆++=（其中O 为坐标原点）.证明：直线l 的斜率为定值. 21. 已知函数()()()2ln 1xf x x ea x x =-+-+.（1）讨论()f x 的导函数()f x '零点的个数；（2）若函数()f x 的最小值为e -，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，圆()()221:2420C x y -+-=，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，()2:3CR πθρ=∈.（1）求1C 的极坐标方程和2C 的平面直角坐标系方程；（2）若直线3C 的极坐标方程为()6R πθρ=∈，设2C 与1C 的交点为O M 、，3C 与1C 的交点为O N 、，求OMN ∆的面积.23.【选修4-5：不等式选讲】已知函数()()331,412f x x a x g x x x =-++=--+. （1）求不等式()6g x <的解集；（2）若存在13,x x R ∈，使得()1f x 和()2g x 互为相反数，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:BDACC 6-10: ABDDC 11、12：AB二、填空题13. 1 14. 2 15. 3-5003π 三、解答题17.解：（1）设等差数列{}na 的公差为d ，因为3611,,a a a成等比数列，所以26311aa a =，即()()()21115210a d a d a d +=++，化简得1520d a-=，又15a=，所以2d =，从而23nan =+.（2）因为()1233n nb n -=+，所以()0121537393233n nSn -=⨯+⨯+⨯+++，所以()1233537393233nnSn =⨯+⨯+⨯+++，以上两个等式相减得()()13312522332n nnS n ---=+⨯-+，化简得()131nnS n =+-.18.解：（1）被系统评为“积极性”的概率为3033,3,5055X B ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故()3398215125P X ⎛⎫≤=-=⎪⎝⎭，X的数学期望()39355E X =⨯=；（2）“x y >”包含“3,2x y ==”，“ 3,1x y ==”，“ 3,0x y ==”，“ 2,1x y ==”，“ 2,0x y ==”，“ 1,0x y ==”，()3242326413,y 230C C P x C C ===⨯=，()311422326423,115C C C P x y C C ===⨯=，()3042326413,130C C P x y C C ===⨯=， ()210422326412,110C C C P x y C C ===⨯=，()210422326412,010C C C P x y C C ===⨯=，()122422326411,030C C C P x y C C ===⨯=，所以()1212111130153********P x y >=+++++=.19.（1）证明：由题可得//EF AD ，则AE EF ⊥，又AE CF ⊥，且EF CF F=，所以AE ⊥平面EBCF .因为AE ⊂平面AEFD ，所以平面AEFD ⊥平面EBCF ；（2）解：过点D 作//DG AE 交EF 于点G ，连结BG ，则DG ⊥平面EBCF，DG EC ⊥，又,BD EC BD DG D⊥=，所以EC ⊥平面,BDG EC BG ⊥，易证EGBBEC∆∆，则EG EBEB BC=，得22EB = 以E 为坐标原点，EB 的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -，，则()(()(()0,3,0,0,2,22,22,4,0,A 2,22,0,0F D C B . 故()()()(22,2,22,0,1,22,0,4,0,22,2,22BD FD BC CD =-=-==--，设(),,n x y z =是平面FBD 的法向量，则22222020n BD x y z n FD y z ⎧=-++=⎪⎨=-+=⎪⎩，令1z =，得()3,22,1n =，设(),,m a b c =是平面BCD 的法向量，则40222220m BC b m CD a b c ⎧==⎪⎨=--+=⎪⎩，令1a =，则()1,0,1m =，因为2cos,3182n m n m n m===⨯，所以二面角F BD C --的余弦值为23. 20.解：（1）由题意可得2231314c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，故椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠，点,P Q 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，由12121111,,,2222PMOQMO PNO QNO SMO y S MO y S NO x S NO x ∆∆∆∆====，化简得222212121212y y x x y y x x ++=，()()222222121212121212121222,y y x x y y x x y y x x y y x x --++-=-=，即21212yyk x x=，由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()()222148410k xkmx m +++-=，则()()()222222641614116410k mk m k m ∆=-+-=-+>，且()2121222418,1414m kmx x x x k k --+==++，故()()()2212121212y y kx m kxm k x x km x x m =++=+++，因此()2212122121212k x x km x x my y k x x x x +++==，即22228014k m m k-+=+，又0m ≠，所以214k=，又结合图象可知，12k =-，所以直线l 的斜率为定值. 21.解：（1）()()()()()11110xxx xe a f x x e a x x x --⎛⎫'=-+-=> ⎪⎝⎭，令()()()()0,10xx g x xea x g x x e '=->=+>，故()g x 在()0,+∞上单调递增，则()()0g x g a >=-，因此，当0a ≤或a e =时，()f x '只有一个零点；当0a e <<或a e >时，()f x '有两个零点；（2）当0a ≤时，0xxe a ->，则函数()f x 在1x =处取得最小值()1f e =-，当0a >时，则函数xy xe a=-在()0,+∞上单调递增，则必存在正数0x ，使得0x x ea -=，若a e >，则01x>，函数()f x 在()0,1与()0,x +∞上单调递增，在()01,x 上单调递减，又()1f e =-，故不符合题意. 若a e =，则()01,0xf x '=≥，函数()f x 在()0,+∞上单调递增，又()1f e =-，故不符合题意. 若0a e <<，则001x <<，设正数()10,1eab e--=∈，则()()()12ln 1ln 1e ba e fb b e a b b a e b a b e ab ea --⎛⎫⎛⎫=-+-+<-+=--=--<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与函数()f x 的最小值为e -矛盾，综上所述，0a ≤，即(],0a ∈-∞. 22.解：（1）因为圆1C 的普通方程为22480xy x y +--=，把cos ,sin x y ρθρθ==代入方程得24cos 8sin 0ρρθρθ--=，所以1C 的极坐标方程为4cos 8sin ρθθ=+，2C 的平面直角坐标系方程为3y x=；（2）分别将,36ππθθ==代入4cos 8sin ρθθ=+，得12243,423ρρ=+=+，则OMN ∆的面积为((1243423sin 853236ππ⎛⎫⨯+⨯+⨯-=+ ⎪⎝⎭23.解：（1）由题意可得()33,2151,24133,4x x g x x x x x ⎧⎪-+≤-⎪⎪=---<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，当2x ≤-时，336x -+<，得1x >-，无解；当124x -<<时，516x --<，得75x >-，即7154x -<<；当14x ≥时，336x -<，得134x ≤<，综上，()6g x <的解集为7|35x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. （2）因为存在12,x xR∈，使得()()12f xg x =-成立，所以(){}(){}|,|y g ,y y f x x R y x x R =∈=-∈≠∅，又()()()331333131f x x a x x a x a =-++≥--+=+，由（1）可知()9,4g x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，则()9,4g x ⎛⎤-∈-∞ ⎥⎝⎦，所以9314a +≤，解得1351212a -≤≤. 故a 的取值范围为135,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。

2018年广州一模理科数学(含选填答案)

秘密 ★ 启用前试卷类型： A2018年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学2018．3本试卷共5页，23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数z 满足()21i 4i z -=，则复数z 的共轭复数z =AA ．2-B ．2C ．2i -D ．2i2．设集合301x A xx ⎧+⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{}3B x x =-≤，则集合{}1x x =≥ DA ．B AB ．A B UC ．）（）（B C A C R RD ．）（）（B C A C R R 3．若A ，B ，C ，D ，E 五位同学站成一排照相，则A ，B 两位同学不相邻的概率为BA ．45B ．35C ．25D ．154．执行如图所示的程序框图，则输出的S =DA ．920B ．49C ．29D ．9405．已知3sin 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 4x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ DA ．45B ．35C ．45-D ．35- 6．已知二项式212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含1x 项的系数是AA ．84-B ．14-C ．14D ．847．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为CA．4+B．14+C．10+D ．48．若x ，y 满足约束条件20,210,10,x y y x -+⎧⎪-⎨⎪-⎩≥≥≤ 则222z x x y =++的最小值为DA ．12B ．14C ．12-D ．34-9．已知函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>在区间43π2π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则ω的取值范围为BA ．80,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．18,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处的极值为10，则数对(),a b 为CA ．()3,3-B ．()11,4-C ．()4,11-D ．()3,3-或()4,11-11．如图，在梯形ABCD 中，已知2AB CD =，25AE AC =uu u r uuu r，双曲线过C ，D ，E 三点，且以A ，B 为焦点，则双曲线的离心率为AAB ．C ．3D12．设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对于任意的实数x ，都有()()22f x f x x +-=，当0x <时，()12f x x '+<，若()()121f a f a a +-++≤，则实数a 的最小值为A A ．12- B ．1-C ．32-D ．2-DC ABE二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量(),2m =a ，()1,1=b ，若+=+a b a b ，则实数m = 2 ．14．已知三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰三角形，AB AC ⊥，PA ⊥底面ABC ，1==AB PA ，则这个三棱锥内切球的半径为． 15．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()()2cos 2cos 0a B b A c θθ-+++=，则cos θ的值为 12-． 16．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，用图①的三角形形象地表示了二项式系数规律，俗称“杨辉三角形”．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n 行各数字的和为n S ，如11S =，三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足()121215452nn n a a a n b bb ⎛⎫+++=-+ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T ．图②图①某地1~10岁男童年龄i x （岁）与身高的中位数i y ()cm ()1,2,,10i =L 如下表：对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（1）求y 关于x 的线性回归方程（回归方程系数精确到0.01）；（2）某同学认为，2y px qx r =++更适宜作为y 关于x 的回归方程类型，他求得的回归方程是20.3010.1768.07y x x =-++．经调查，该地11岁男童身高的中位数为145.3cm ．与（1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？附：回归方程y a bx =+$$$中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，a y bx =-$$．19．（本小题满分12分）如图，四棱锥S ABCD -中，△ABD 为正三角形，︒=∠120BCD ，2CB CD CS ===，︒=∠90BSD ．（1）求证：AC ⊥平面SBD ；（2）若BD SC ⊥，求二面角C SB A --的余弦值．()()()121nx x y yi i i b n x x i i =--∑=-∑=$DCBS已知圆(2216x y +=的圆心为M ，点P 是圆M上的动点，点)N，点G 在线段MP 上，且满足()()GN GP GN GP +⊥-uuu r uu u r uuu r uu u r．（1）求点G 的轨迹C 的方程；（2）过点()4,0T 作斜率不为0的直线l 与（1）中的轨迹C 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ，连接BD 交x 轴于点Q ，求△ABQ 面积的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数()ln 1f x ax x =++．（1）讨论函数()x f 零点的个数；（2）对任意的0>x ，()2e xf x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知过点(),0P m 的直线l的参数方程是,1,2x m y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，且2PA PB ⋅=，求实数m 的值．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()f x =23x a x b ++-．（1）当1a =，0b =时，求不等式()31f x x +≥的解集；（2）若0a >，0b >，且函数()f x 的最小值为2，求3a b +的值．。

2018年广东广州理科高三一模数学试卷(答案)

三角函数与解三角形三角函数三角函数图象与性质
平面向量平面向量的数量积用数量积判断两个平面向量的垂直关系
解析几何直线与方程直线的方程直线的位置关系
椭圆椭圆的定义、图形及标准方程
直线与圆锥曲线弦长或面积问题
21 2018年广东广州高三下学期高三一模理科第21题12分
已知函数
．
，．
∴
，
．
考点
数列数列的概念数列的定义及表示方法
数列的递推公式
数列的前n项和
等差数列等差数列的概念和通项
等比数列等比数列的概念和通项
等比数列的前n项和
18 2018年广东广州高三下学期高三一模文科第18题12分共3个
某地岁男童年龄（岁）与身高的中位数
如下表：
（岁）
对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及些统计量的值．
直线与圆锥曲线向量点乘问题
坐标系与参数方程极坐标系参数方程
23 2018年广东广州高三下学期高三一模文科选做题第23题10分共2个
已知函数
．
（1）当，时，求不等式
的解集．
（2）若，，且函数的最小值为，求
的值．
答案（1）
或
．
（2）．
解析（1）
，，
，
∴
即
或
，
∴
，解集：
，
，
∴点的轨迹为以
，
为焦点的椭圆，
∴
．
（2）：设斜率为，设
，
，则
，
则
，
，
∴
，
，
，
∴
，
，
，

2018年广东省高考数学一模试卷(理科)

2018年广东省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A={x|−1<1−x<1}，B={x|x2<1}，则A∩B=()A.{x|−1<x<1}B.{x|0<x<1}C.{x|x<1}D.{x|0<x<2}2. 设复数z=a+4i(a∈R)，且(2−i)z为纯虚数，则a= ( )A.−1B.1C.2D.−23. 如图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（）A.3 20B.3π25C.325D.π204. 已知函数f(x)满足f(x2)=x3−3x，则函数f(x)的图象在x=1处的切线斜率为（）A.0 B.9 C.18 D.275. 已知F是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一个焦点，点F到C的一条渐近线的距离为2a，则双曲线C的离心率为( )A.2√2B.√3C.√5D.26. (x+1x)(1+2x)5的展开式中，x3的系数为（）A.120B.160C.100D.807. 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A.48+8πB.96+8πC.96+16πD.48+16π8. 已知曲线C:y=sin(2x−π3)，则下列结论正确的是（）A.把C向左平移5π12个单位长度，得到的曲线关于原点对称B.把C向右平移π12个单位长度，得到的曲线关于y轴对称C.把C向左平移π3个单位长度，得到的曲线关于原点对称D.把C向右平移π6个单位长度，得到的曲线关于y轴对称9. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（）A.n是偶数，n≥100B.n是奇数，n≥100C.n是偶数，n>100D.n是奇数，n>10010. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=π3，且2bsinB+2csinC=bc+√3a．则△ABC的面积的最大值为（）A.3√32B.√32C.3√34D.√3411. 已知抛物线C:y2＝x，M为x轴负半轴上的动点，MA，MB为抛物线的切线，A，B 分别为切点，则MA→⋅MB→的最小值为（）A.−14B.−18C.−116D.−1212. 设函数f(x)={|2x+1−2|,x ≤2x 2−11x +30,x >2，若互不相等的实数a ，b ，c ，d 满足f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，则2a +2b +2c +2d 的取值范围是（）A.(64√2+2,146)B.(98, 146)C.(64√2+2,266)D.(98, 266) 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）已知单位向量e 1→，e 2→的夹角为30∘，则|e 1→−√3e 2→|=________．设x ，y 满足约束条件{x −y ≤64x +5y ≤65x +4y ≥3，则z =x +y 的最大值为________．已知sin10∘+mcos10∘＝2cos140∘，则m ＝________．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O ，E ，F ，G ，H 为圆O 上的点，△ABE ，△BCF ，△CDG ，△ADH 分别是以AB ，BC ，CD ，DA 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为折痕折起△ABE ，△BCF ，△CDG ，△ADH ，使得E ，F ，G ，H 重合，得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.已知公差不为零的等差数列{a n }满足a 1=5，且a 3，a 6，a 11成等比数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =a n ∗3n−1，求数列{b n }的前n 项和S n ．“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号．用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现．现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”．（1）以这50人这一天行走的步数的频率代替1人一天行走的步数发生的概率，记X 表示随机抽取3人中被系统评为“积极性”的人数，求P(X ≤2)和X 的数学期望．（2）为调查评定系统的合理性，拟从这50人中先抽取10人（男性6人，女性4人）．其中男性中被系统评定为“积极性”的有4人，“懈怠性”的有2人，从中任意选取3人，记选到“积极性”的人数为x ；其中女性中被系统评定为“积极性”和“懈怠性”的各有2人，从中任意选取2人，记选到“积极性”的人数为y ；求x >y 的概率．如图，在直角梯形ABCD 中，AD // BC ，AB ⊥BC ，且BC =2AD =4，E ，F 分别为线段AB ，DC 的中点，沿EF 把AEFD 折起，使AE ⊥CF ，得到如下的立体图形．（1）证明：平面AEFD ⊥平面EBCF ；（2）若BD ⊥EC ，求二面角F −BD −C 的余弦值．已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，且C 过点(1,√32)．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（点P ，Q 均在第一象限），l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且满足S △PMO 2+S △QMO 2S△PMO ⋅S △QMO=S △PNO 2+S △QNO2S △PNO ⋅S △QNO（其中O 为坐标原点）．证明：直线l 的斜率为定值．已知函数f(x)=(x −2)e x +a(ln x −x +1)． (1)讨论f(x)的导函数f ′(x)零点的个数；(2)若函数f(x)的最小值为−e ，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，圆C 1：(x −2)2+(y −4)2=20，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C 2:θ=π3(ρ∈R)． (1)求C 1的极坐标方程和C 2的平面直角坐标系方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ=π6(ρ∈R)，设C 2与C 1的交点为O ，M ，C 3与C 1的交点为O ，N ，求△OMN 的面积． [选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=3|x −a|+|3x +1|，g(x)=|4x −1|−|x +2|．（1）求不等式g(x)<6的解集；（2）若存在x1，x2∈R，使得f(x1)和g(x2)互为相反数，求a的取值范围．参考答案与试题解析2018年广东省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】解不等式得出集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】集合A={x|−1<1−x<1}={x|0<x<2}，B={x|x2<1}={x|−1<x<1}，则A∩B={x|0<x<1}．2.【答案】D【考点】复数的基本概念【解析】把z=a+4i(a∈R)代入(2−i)z，利用复数代数形式的乘法运算化简，由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】解：∵z=a+4i(a∈R)，且(2−i)z=(2−i)(a+4i)=(2a+4)+(8−a)i为纯虚数，∴{2a+4=0,8−a≠0,解得a=−2．故选D.3.【答案】A【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】根据几何概型的定义分别求出满足条件的面积，作商即可．【解答】解：根据题意可得，黑色部分的面积为S1=π(42−1)=15π，圆靶的面积为S=102π=100π，由题意此点取自黑色部分的概率是：P=15π100π=320.故选A.4.【答案】C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】根据题意，分析可得函数的解析式，求出其导数f′(x)=24x2−6，计算可得f′(1)的值，结合导数的几何意义分析可得答案．【解答】根据题意，函数f(x)满足f(x2)=x3−3x，则f(x)=8x3−6x，其导数f′(x)=24x2−6，则有f′(1)=24−6=18，即函数f(x)的图象在x=1处的切线斜率为18；故选：C．5.【答案】C【考点】双曲线的离心率双曲线的特性【解析】根据题意，由双曲线的几何性质，分析可得b=2a，进而可得c=√a2+b2=√5a，由双曲线的离心率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，F是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一个焦点，若点F到C的一条渐近线的距离为2a，则b=2a，则c=√a2+b2=√5a，则双曲线C的离心率e=ca=√5.故选C.6.【答案】A【考点】二项式定理的应用【解析】利用多项式乘以多项式展开，然后分别求出两项中含有x3的项得答案．【解答】(x+1x )(1+2x)5=x(1+2x)5+1x(1+2x)5，∵x(1+2x)5的展开式中含x3的项为x∗C52∗(2x)2=40x3，1 x (1+2x)5的展开式中含x3的项为1x∗C54∗(2x)4=80x3．∴(x+1x)(1+2x)5的展开式中，x3的系数为40+80=120．7.【答案】 B【考点】由三视图求体积【解析】由三视图可得，该几何体是长方体截去两个半圆柱，即可求解表面积．【解答】由题意，该几何体是长方体截去两个半圆柱，∴ 表面积为：4×6×2+2(4×6−4π)+2×2π×4=96+8π， 8.【答案】 B【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】直接利用三角函数的图象平移逐一核对四个选项得答案．【解答】把C 向左平移5π12个单位长度，可得函数解析式为y =sin[2(x +5π12)−π3]=sin(2x +π2)=cos2x ，得到的曲线关于y 轴对称，故A 错误；把C 向右平移π12个单位长度，可得函数解析式为y =sin[2(x −π12)−π3]=sin(2x −π2)=−cos2x ，得到的曲线关于y 轴对称，故B 正确；把C 向左平移π3个单位长度，可得函数解析式为y =sin[2(x +π3)−π3]=sin(2x +π3)，取x =0，得y =√32，得到的曲线既不关于原点对称也不关于y 轴对称，故C 错误；把C 向右平移π6个单位长度，可得函数解析式为y =sin[2(x −π6)−π3]=sin(2x −23π)，取x =0，得y =−√32，得到的曲线既不关于原点对称也不关于y 轴对称，故D 错误．∴ 正确的结论是B ． 9.【答案】 D【考点】程序框图【解析】模拟程序的运行过程，结合退出循环的条件，判断即可．【解答】n=1，s=0，n=2，s=2，n=3，s=4，…，n=99，s=992−12，n=100，s=10022，n=101>100，结束循环，10.【答案】C【考点】三角形求面积【解析】由正弦定理和余弦定理即可求出a=√3，再由余弦定理可得：b2+c2=3+bc，利用基本不等式可求bc≤3，根据三角形面积公式即可得解．【解答】根据正弦定理可得bsinB =csinC=asinA=√32，∴sinB=√3b2a ，sinC=√3c2a，∵2bsinB+2csinC=bc+√3a，∴√3b2a +√3c2a=bc+√3a，∴b2+c2=√33abc+a2，∴b2+c2−a2=√33abc，∴b2+c2−a22bc =√3a6=cosA=12∴a=√3，∴3=b2+c2−bc，可得：b2+c2=3+bc，∵b2+c2≥2bc（当且仅当b=c时，等号成立），∴2bc≤3+bc，解得bc≤3，∴S△ABC =12bcsinA=√34bc≤3√3411.【答案】C【考点】抛物线的性质【解析】设切线MA的方程为x＝ty+m，代入抛物线方程得y2−ty−m＝0，由直线与抛物线相切可得△＝t2+4m＝0，分别求出A，B，M的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出【解答】设切线MA 的方程为x ＝ty +m ，代入抛物线方程得y 2−ty −m ＝0，由直线与抛物线相切可得△＝t 2+4m ＝0，则A(t 24, t2)，B(t 24, −t2)，将点A 的坐标代入x ＝ty +m ，得m =−t 24，∴ M(−t 24, 0)，∴ MA →⋅MB →=(t 22, t 2)⋅(t 22, −t 2)=t 44−t 24=14(t 2−12)2−116，则当t 2=12，即t ＝±√22时，MA →⋅MB →的最小值为−11612.【答案】 B【考点】分段函数的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：作出函数f(x)的图象，由图象可得存在互不相等的实数a ，b ，c ，d 使得f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，且可设a <b <2<c <d ．当x ≤2时，f(x)=|2x+1−2|，可得2−2a+1=2b+1−2，即2a +2b =2．当x >2时，f(x)=x 2−11x +30，可得c +d =11，令x 2−11x +30=2，解得x =4或7，可得4<c <5，即有16<2c <32，则2a +2b +2c +2d =2+2c +2d =2+2c +2112c，设m =2c ，则y =m +211m在(16, 32)递减，则y =m +211m∈(96, 144)，所以2+2c +2112c的范围是(98, 146)，即2a +2b +2c +2d 的取值范围是(98, 146)．故选B ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）【答案】 1【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】根据单位向量e 1→,e 2→的夹角为30∘即可求出e 1→∗e 2→的值，从而可求出(e 1→−√3e 2→)2的值，进而得出|e 1→−√3e 2→|的值．【解答】单位向量e 1→,e 2→的夹角为30∘；∴ e 1→∗e 2→=cos30∘=√32，e 1→2=e 2→2=1； ∴ (e 1→−√3e 2→)2=e 1→2−2√3e 1→∗e 2→+3e 2→2=1−2√3×√32+3=1；∴ |e 1→−√3e 2→|=1．【答案】 2【考点】简单线性规划【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最大值即可．【解答】x ，y 满足约束条件{x −y ≤64x +5y ≤65x +4y ≥3 的可行域如图，则z =x +y 经过可行域的A 时，目标函数取得最大值，由{x −y =64x +5y =6 解得A(4, −2)，所以z =x +y 的最大值为：2．【答案】 −√3【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】由题意可得m =2cos140−sin10cos10，再利用三角恒等变换求得它的值．【解答】由题意可得m =2cos140−sin10cos10=−2cos40−sin10cos10=−2cos(30+10)−sin10cos10=−2⋅√32⋅cos10+sin10−sin10cos10=−√3，【答案】 500√3π27 【考点】球的体积和表面积【解析】根据题意，设正方形ABCD 的边长为x ，E ，F ，G ，H 重合，得到一个正四棱锥，四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，即可求解x ，从而求解四棱锥的外接球的体积．【解答】连接OE 交AB 与I ，E ，F ，G ，H 重合为P ，得到一个正四棱锥，设正方形ABCD 的边长为x ．则OI =x2，IE =6−x2．由四棱锥的侧面积是底面积的2倍，可得4∗x2(6−x2)=2x2，解得：x=4．设外接球的球心为Q，半径为R，可得OC=2√2，OP=√42−22=2√3，R2= (2√3−R)2+(2√2)2．∴R=√3该四棱锥的外接球的体积V=43πR3=500√3π27．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.【答案】公差d不为零的等差数列{a n}满足a1=5，且a3，a6，a11成等比数列．∴a62=a3⋅a11，即(5+5d)2=(5+2d)(5+10d)，化为：d2−2d=0，解得：d= 2．∴a n=5+2(n−1)=2n+3．b n=a n∗3n−1=(2n+3)⋅3n−1．∴数列{b n}的前n项和S n=5+7×3+9×32+……+(2n+3)⋅3n−1．∴3S n=5×3+7×32+……+(2n+1)×3n−1+(2n+3)×3n，∴−2S n=5+2(3+32+……+3n−1)−(2n+3)×3n=5+2×3(3n−1−1)3−1−(2n+3)×3n，解得S n=(n+1)3n−1．【考点】数列的求和数列递推式【解析】（1）公差d不为零的等差数列{a n}满足a1=5，且a3，a6，a11成等比数列．可得a62= a3⋅a11，即(5+5d)2=(5+2d)(5+10d)，解得：d．（2）b n=a n∗3n−1=(2n+3)⋅3n−1．利用错位相减法即可得出．【解答】公差d不为零的等差数列{a n}满足a1=5，且a3，a6，a11成等比数列．∴a62=a3⋅a11，即(5+5d)2=(5+2d)(5+10d)，化为：d2−2d=0，解得：d= 2．∴a n=5+2(n−1)=2n+3．b n=a n∗3n−1=(2n+3)⋅3n−1．∴数列{b n}的前n项和S n=5+7×3+9×32+……+(2n+3)⋅3n−1．∴3S n=5×3+7×32+……+(2n+1)×3n−1+(2n+3)×3n，∴−2S n=5+2(3+32+……+3n−1)−(2n+3)×3n=5+2×3(3n−1−1)3−1−(2n+3)×3n，解得S n=(n+1)3n−1．【答案】由题意得被系统评为“积极性”的概率为3050=35，X∼B(3, 35)，∴ P(X ≤2)＝1−(35)3=98125， X 的数学期望E(X)＝3×35=95．“x >y “包含“x ＝3，y ＝2“，“x ＝3，y ＝1“，“x ＝3，y ＝0“，“x ＝2，y ＝1“，“x ＝2，y ＝0“，“x ＝1，y ＝0“， P(x ＝3, y ＝2)=C 43C 63×C 22C 42=130，P(x ＝3, y ＝1)=C 43C 63×C 21C21C 42=215，P(x ＝3, y ＝0)=C 42C 63×C 2C 42=130，P(x ＝2, y ＝1)=C 42C21C 63×C 21C21C 42=25，P(x ＝2, y ＝0)=C 42C21C 63×C 2C 42=110，P(x ＝1, y ＝0)=C 41C22C 63×C 20C 42=130，∴ P(x >y)=130+215+130+25+110+130=1115．【考点】离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】（1）由题意得被系统评为“积极性”的概率为3050=35，X ∼B(3, 35)，由此能求出P(X ≤2)和X 的数学期望．（2）“x >y “包含“x ＝3，y ＝2“，“x ＝3，y ＝1“，“x ＝3，y ＝0“，“x ＝2，y ＝1“，“x ＝2，y ＝0“，“x ＝1，y ＝0“，分别求出相应的概率，由此能求出P(x >y)．【解答】由题意得被系统评为“积极性”的概率为3050=35，X ∼B(3, 35)， ∴ P(X ≤2)＝1−(35)3=98125， X 的数学期望E(X)＝3×35=95．“x >y “包含“x ＝3，y ＝2“，“x ＝3，y ＝1“，“x ＝3，y ＝0“，“x ＝2，y ＝1“，“x ＝2，y ＝0“，“x ＝1，y ＝0“， P(x ＝3, y ＝2)=C 43C 63×C 22C 42=130，P(x ＝3, y ＝1)=C 43C 63×C 21C21C 42=215，P(x ＝3, y ＝0)=C 42C 63×C 2C 42=130，P(x ＝2, y ＝1)=C 42C21C 63×C 21C21C 42=25，P(x ＝2, y ＝0)=C 42C21C 63×C 2C 42=110，P(x ＝1, y ＝0)=C 41C22C 63×C 2C 42=130，∴ P(x >y)=130+215+130+25+110+130=1115．【答案】证明：∵ 在直角梯形ABCD 中，AD // BC ，AB ⊥BC ， E ，F 分别为线段AB ，DC 的中点， ∴ EF // AD ，∴ AE ⊥EF ，又AE ⊥CF ，且EF ∩CF =F ， ∴ AE ⊥平面EBCF ， ∵ AE ⊂平面AEFD ，∴ 平面AEFD ⊥平面EBCF ．由（1）可得EA ，EB ，EF 两两垂直，故以E 为原点建立空间直角坐标系，（如图）设AE =m ，则E(0, 0, 0)，A(0, 0, m)，B(m, 0, 0)， F(0, 3, 0)，C(m, 4, 0)，D(0, 2, m)， ∴ BD →=(−m, 2, m)，EC →=(m,4,0)，∵ DB ⊥EC ，∴ −m 2+8=0，∴ m =2√2．∴ BD →=(−2√2, 2, 2√2)，FB →=(2√2,−3,0)，CB →=(0,−4,0)，设面DBF 的法向量为m →=(x,y,z)，则{m →∗BD →=0m →∗FB →=0，即{−2√2x +2y +2√2z =02√2x −3y =0 ，令y =4可得：m →=(3√2, 4, √2)，同理可得平面CDB 的法向量为n →=(1,0,1)， ∴ cos <m →,n →>=m →∗n→|m →||n →|=√26×√2=23．由图形可知二面角F −BD −C 为锐角， ∴ 二面角F −BD −C 的余弦值为23．【考点】平面与平面垂直二面角的平面角及求法【解析】（1）根据AE ⊥EF ，AE ⊥CF 可得AE ⊥平面BCFE ，故而平面AEFD ⊥平面EBCF ；（2）建立空间坐标系，根据BD ⊥EC 求出AE ，求出平面BDF 和平面BCD 的法向量即可得出二面角的余弦值．【解答】证明：∵ 在直角梯形ABCD 中，AD // BC ，AB ⊥BC ， E ，F 分别为线段AB ，DC 的中点， ∴ EF // AD ，∴ AE ⊥EF ，又AE ⊥CF ，且EF ∩CF =F ， ∴ AE ⊥平面EBCF ， ∵ AE ⊂平面AEFD ，∴ 平面AEFD ⊥平面EBCF ．由（1）可得EA ，EB ，EF 两两垂直，故以E 为原点建立空间直角坐标系，（如图）设AE =m ，则E(0, 0, 0)，A(0, 0, m)，B(m, 0, 0)， F(0, 3, 0)，C(m, 4, 0)，D(0, 2, m)， ∴ BD →=(−m, 2, m)，EC →=(m,4,0)，∵ DB ⊥EC ，∴ −m 2+8=0，∴ m =2√2．∴ BD →=(−2√2, 2, 2√2)，FB →=(2√2,−3,0)，CB →=(0,−4,0)，设面DBF 的法向量为m →=(x,y,z)，则{m →∗BD →=0m →∗FB →=0，即{−2√2x +2y +2√2z =02√2x −3y =0 ，令y =4可得：m →=(3√2, 4, √2)，同理可得平面CDB 的法向量为n →=(1,0,1)， ∴ cos <m →,n →>=m →∗n→|m →||n →|=√26×2=23．由图形可知二面角F −BD −C 为锐角， ∴ 二面角F −BD −C 的余弦值为23．【答案】由题意可得ca =√32，1a 2+34b 2=1，a 2−b 2=c 2，解得a =2，b =1，c =√3，故椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；证明：由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y =kx +m ，(m ≠0)， P ，Q 的坐标为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，令x =0，可得y =m ，即|MO|=|m|，令y =0，可得x =−mk ，即|NO|=|mk |，则S △PMO =12|MO|⋅|y 1|，S △QMO =12|MO|⋅|y 2|， S △PNO =12|MO|⋅|x 1|，S △QNO =12|NO|⋅|x 2|，由S △PMO 2+S △QMO 2S△PMO ⋅S △QMO=S △PNO 2+S △QNO2S △PNO ⋅S △QNO，可得y 12+y 22y 1y 2=x 12+x 22x 1x 2，即有y 12+y 22y 1y 2−2=x 12+x 22x 1x 2−2，可得(y 1−y 2)2y 1y 2=(x 1−x 2)2x 1x 2，即y 1y 2x1x 2=(y 1−y 2x 1−x 2)2=k 2，由y =kx +m 代入椭圆x 24+y 2=1，可得(1+4k 2)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0，则△=64k 2m 2−16(1+4k 2)(m 2−1)>0，即为1+4k 2−m 2>0， x 1+x 2=−8km1+4k 2，x 1x 2=4(m 2−1)1+4k ，y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2 =k 2⋅4(m 2−1)1+4k 2+km(−8km 1+4k2)+m 2 =m 2−4k 21+4k ，可得m 2−4k 21+4k 2=k 2⋅4(m 2−1)1+4k 2，即有4k 2=1(m ≠0)，可得k =−12（12舍去），则直线l 的斜率为定值．【考点】椭圆的离心率【解析】（1）由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程、a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，即可得到所求椭圆方程；（2）由题意可设直线l 的方程为y =kx +m ，(m ≠0)，P ，Q 的坐标为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，联立椭圆方程，消去y ，可得x 的方程，运用判别式大于0和韦达定理，以及三角形的面积公式，化简整理，解方程可得直线的斜率，即可得证．【解答】由题意可得ca =√32，1a 2+34b 2=1，a 2−b 2=c 2，解得a =2，b =1，c =√3，故椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；证明：由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y =kx +m ，(m ≠0)， P ，Q 的坐标为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，令x =0，可得y =m ，即|MO|=|m|，令y =0，可得x =−m k ，即|NO|=|mk |，则S △PMO =12|MO|⋅|y 1|，S △QMO =12|MO|⋅|y 2|， S △PNO =12|MO|⋅|x 1|，S △QNO =12|NO|⋅|x 2|，由S △PMO 2+S △QMO 2S△PMO ⋅S △QMO=S △PNO 2+S △QNO2S △PNO ⋅S △QNO，可得y 12+y 22y 1y 2=x 12+x 22x 1x 2，即有y 12+y 22y 1y 2−2=x 12+x 22x 1x 2−2，可得(y 1−y 2)2y 1y 2=(x 1−x 2)2x 1x 2，即y 1y 2x 1x 2=(y 1−y2x 1−x 2)2=k 2，由y =kx +m 代入椭圆x 24+y 2=1，可得(1+4k 2)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0，则△=64k 2m 2−16(1+4k 2)(m 2−1)>0，即为1+4k 2−m 2>0， x 1+x 2=−8km1+4k 2，x 1x 2=4(m 2−1)1+4k ，y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2 =k 2⋅4(m 2−1)1+4k 2+km(−8km1+4k2)+m 2 =m 2−4k 21+4k 2，可得m 2−4k 21+4k 2=k 2⋅4(m 2−1)1+4k 2，即有4k 2=1(m ≠0)，可得k =−12（12舍去），则直线l 的斜率为定值．【答案】解：(1)f ′(x)=(x −1)e x +a (1x −1)=(x−1)(xe x −a)x(x >0)，令g(x)=xe x −a(x >0)，g ′(x)=(x +1)e x >0，故g(x)在(0, +∞)上单调递增，则g(x)>−a,因此当a ≤0或a =e 时，f ′(x)=0只有一个零点；当0<a <e 或a >e 时，f ′(x)有两个零点． (2)①当a ≤0时，xe x −a >0，则函数f(x)在x =1处取得最小值f(1)=−e ，符合题意．②当a>0时，易知函数y=xe x−a在(0,+∞)上单调递增，所以必存在正数x0，使得x0e x e−a=0．（ⅰ）若a>e，则x0>1，函数f(x)在(0,1)与(x0,+∞)上单调递增，在(1,x0)上单调递减，又f(1)=−e，故不符合题意．（ⅱ）若a=e，则x0=1，f′(x)≥0，函数在(0,+∞)上单调递增，又f(1)=−e，故不符合题意．（ⅲ）若0<a<e，则0<x0<1，设正数b=e−e a−1∈(0,1)，则f(b)=(b−2)e b+a(ln b−b+1)<a(ln e−e a−1−b+1)=a(−ea−b)=−e−ab<−e，与函数f(x)的最小值为−e矛盾．综上所述，a≤0，即a∈(−∞,0]．【考点】导数求函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)f′(x)=(x−1)e x+a(1x −1)=(x−1)(xe x−a)x(x>0)，令g(x)=xe x−a(x>0)，g′(x)=(x+1)e x>0，故g(x)在(0, +∞)上单调递增，则g(x)>−a,因此当a≤0或a=e时，f′(x)=0只有一个零点；当0<a<e或a>e时，f′(x)有两个零点．(2)①当a≤0时，xe x−a>0，则函数f(x)在x=1处取得最小值f(1)=−e，符合题意．②当a>0时，易知函数y=xe x−a在(0,+∞)上单调递增，所以必存在正数x0，使得x0e x e−a=0．（ⅰ）若a>e，则x0>1，函数f(x)在(0,1)与(x0,+∞)上单调递增，在(1,x0)上单调递减，又f(1)=−e，故不符合题意．（ⅱ）若a=e，则x0=1，f′(x)≥0，函数在(0,+∞)上单调递增，又f(1)=−e，故不符合题意．（ⅲ）若0<a<e，则0<x0<1，设正数b=e−e a−1∈(0,1)，则f(b)=(b−2)e b+a(ln b−b+1)<a(ln e−e a−1−b+1)=a(−ea−b)=−e−ab<−e，与函数f(x)的最小值为−e矛盾．综上所述，a≤0，即a∈(−∞,0]．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】解：(1)∵ 圆C 1的普通方程为x 2+y 2−4x −8y =0，把x =ρcosθ，y =ρsinθ代入方程得ρ2−4ρcosθ−8ρsinθ=0，故C 1的极坐标方程是ρ=4cosθ+8sinθ， C 2的平面直角坐标系方程是y =√3x ；(2)分别将θ=π3，θ=π6代入ρ=4cosθ+8sinθ，得ρ1=2+4√3，ρ2=4+2√3，S △OMN =12×(2+4√3)×(4+2√3)×sin(π3−π6)=8+5√3．【考点】直线的极坐标方程圆的极坐标方程极坐标刻画点的位置【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)∵ 圆C 1的普通方程为x 2+y 2−4x −8y =0，把x =ρcosθ，y =ρsinθ代入方程得ρ2−4ρcosθ−8ρsinθ=0，故C 1的极坐标方程是ρ=4cosθ+8sinθ， C 2的平面直角坐标系方程是y =√3x ；(2)分别将θ=π3，θ=π6代入ρ=4cosθ+8sinθ，得ρ1=2+4√3，ρ2=4+2√3，S △OMN =12×(2+4√3)×(4+2√3)×sin(π3−π6)=8+5√3．[选修4-5：不等式选讲] 【答案】g(x)=|4x −1|−|x +2|．g(x)={−3x +3,x ≤2−5x −1,2<x <14−3x −3,x ≥14，不等式g(x)<6，x ≤−2时，4x −1−x −2<6，解得：x >−1，不等式无解； −2<x <14时，1−4x −x −2<6，解得：−75<x <14， x ≥14时，4x −1−x −2<6，解得：3>x ≥14，综上，不等式的解集是(−75, 3)；因为存在x 1∈R ，存在x 2∈R ，使得f(x 1)=−g(x 2)成立，所以{y|y =f(x), x ∈R}∩{y|y =−g(x), x ∈R}≠⌀，又f(x)=3|x −a|+|3x +1|≥|(3x −3a)−(3x +1)|=|3a +1|，故g(x)的最小值是−94，可知−g(x)max =94，所以|3a +1|≤94，解得−1312≤a ≤512，所以实数a 的取值范围为[−1312, 512]．【考点】函数与方程的综合运用绝对值不等式的解法与证明绝对值三角不等式【解析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）问题转化为{y|y =f(x), x ∈R}∩{y|y =−g(x), x ∈R}≠⌀，求出f(x)的最小值和g(x)的最小值，得到关于a 的不等式，解出即可．【解答】g(x)=|4x −1|−|x +2|．g(x)={−3x +3,x ≤2−5x −1,2<x <14−3x −3,x ≥14 ，不等式g(x)<6，x ≤−2时，4x −1−x −2<6，解得：x >−1，不等式无解； −2<x <14时，1−4x −x −2<6，解得：−75<x <14，x ≥14时，4x −1−x −2<6，解得：3>x ≥14，综上，不等式的解集是(−75, 3)；因为存在x 1∈R ，存在x 2∈R ，使得f(x 1)=−g(x 2)成立，所以{y|y =f(x), x ∈R}∩{y|y =−g(x), x ∈R}≠⌀，又f(x)=3|x −a|+|3x +1|≥|(3x −3a)−(3x +1)|=|3a +1|，故g(x)的最小值是−94，可知−g(x)max =94，所以|3a +1|≤94，解得−1312≤a ≤512，所以实数a 的取值范围为[−1312, 512]．。

2018年广州市一模理科数学答案解析(可编辑修改word版)

绝密★启用前2018年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学试题答案及评分参考评分说明：1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数.选择题不给中间分.选择题二.填空题13. 2 14. -―—15.——16. 646 2三.解答题17.解：（1）因为数列是首项为1，公差为2的等差数列，所以i = i + 2（7?-l） = 2z?-l.所以S n=2n2-jj.当H = 1 时，a l=S l=l.当2时，a n=S n-S nA=（2H2-77）-[2（« -1）2-（FZ-1）] = 3，当77 = 1时，％=1也符合上式.所以数列的通项公式=477-3（7?G N*）.(2) n = l 时，> =丄，所以A =2^ =2.2两式相减，得^ = (4z7-3)f|]) ?n+12,则数列& ｝是首项为2公比为2的等比数列.又-^ = — =£(h£)=2-_21-2 -a = = 112.45-6.87x5.5 = 74.67 ,所以y 关于x 的线性回归方程为y = 6.87x + 74.67 .(2)若回归方程为y = 6.87x + 74.67，当 x=ll 时，y=150. 24.若回归方程为y = -0.30.x 2 +10.17.x + 68.07 ,当 x=ll 时，尸143. 64.|143.64-145.3| = 1.66 < |150.24-145.3| = 4.94，所以回归方程JF = -0.30X 2+10.17.Y + 68.07对该地11岁男童身髙中位数的拟合效果更好.当a>2时，由&+& + ... + \ b 2 所以 t+t“+&=5-(4”+1)⑸n —1因为=4/7-3,所以h =(4"-3)⑷G 77_3> - = 2n (77 = 1时也符合公式). 2n18.解:(1)nf=ii ('-寸 i=i566.8582.5= 6.874 = 5-(4n + 5)19. (1)证明：设ACC\BD = O f连sa,因为AB = AD t CB = CD，所以wc是的垂直平分线，即a为中点，且we丄so.在ASCD中，因为CB = CD = 2, ZBCD = 120°, 所以BD = 2礼CO = 1.在RtASBO中，因为ZBSD = 9Q°，O为BD中点，所以SO = ^BD = y/3.在△ sac 中，因为CO = l，SO = y/3, CS = 2f所以SO1 +CO1 =cs2.所以SO丄AC.因为BDC]SO = O,所以3C丄平面S3Z).(2)解法1:过点a作(2尺丄S3于点尤，连I, CK，由(1)知丄平面SSO.所以da丄5B.因为OKC\AO = O,所以SS丄平面AOK.因为AK c平面AOK，所以丄S3.同理可证CX丄5B.所以Z^：C是二面角A-SB-C的平面角.因为SC丄50，由(1)知/C丄SD,且ACHSC = C f 所以SD丄平面SAC.而SOc平面SAC，所以SO丄50.在RtASOS 中，OK=SOOB=1. SB 2同理可求CK =35 解法2:勸SC1BD ，由（1）知WC 丄SO, 且 ACHSC = C f所以SD 丄平面&4C.而SOc 平面SAC ，所以SO 丄SO.由（1）知，WC 丄平面SSO, SOc 平面SSO,所以SO 丄/C. 因为ACC\BD = O,所以SO 丄平面/SCO.以a 为原点，OA ，OB ，as 为x 轴，y 轴，z 轴正向建立空间直角坐标系，则^（3,0,0）, B （0,73,0）, C （—1，0,0），S （0,0,73）设平面的法向量为n = ^y^f由？"H =o ’令乃=万， SBn = V3>1-^z 1=0,所以平面&43的一个法向量为n =（1,>/3.73）. 同理可得平面SCS 的一个法向量为///=（-73,1,1）.所以COS <….，〃>=G -似4\n m因为二面角A-SB-C 是钝角，所以二面角A-SB-C 的余弦值为-gp.所以二面角A-SB-C 的余弦值为-. 在A 麟得COS 厦戶2+CA ：2-d 2AK-CK35所以3 =（,CB20.解：(1)因为(GN + GP )丄(GN-GPy所以(GN+GPy{GN-GP)= 0,即GN 2-GP 2=0. 所以 |GP|=|G^|.所 \ik\GM\ + \GN\=\GM\ + \GP\^MP\=4>2y/3^MN\.所以点G 在以M ，#为焦点，长轴长为4的椭圆上，2a = 4,2c = 2^. 即a = 2,c= y/3f 所以b 2 =a 2-c 2 =1.所以点G的轨迹⑽方程为f + "2=1.（2〉解法1:依题意可设直线I \x = my + A.x = my + 4,由■ x 2 7，得(，"2+4)v 2+8”(y + 12 = 0.7” =1，设直线/与椭圆C 的两交点为5（x 2，y 2）,由 A = 64w 2 -4x 12x(w 2 + 4) = 16(w 2 -12)>0,得m 2>12.①因为点d 关于A •轴的对称点为Z ）,则D^-y.）,可设2（x o ,O ）,所以所在直线方程为y-y 2=、（x - my 2- 4）.州（y 2-yi ）_代入③，即X 0 =2-A +4(W 、) yi +y 2所以点0的坐标为（1,0）.数学（理科）答案A 第5页共16页且 y ，y 28m 7772 + 4yiy 2 = 12m 2+4所以k B D =火2+火1州(y 2-yJ令产0，得x 0 =^1+^224JH - 32m-8/".V2+.h因为s灣=|s聊-S聊| = ^\QT\\y2-乃| =^(y l^y2)2-4y l y2 = 6::2令/= W2+4,结合①得/>16.所以•^=+<卜士) +去.当且仅当t = 32时，即 ///= ±2^7 时，[5^]^=|.所以ZUS0面积的最大值为.4【求\ABQ面积的另解：因为点Q(1.0)到直线I的距离为d = Vl + Z//2I 1= 7l + 7"2 .永h + h)2 -切2 = yjl + nr4 7/f~12 . ¥nr + 4所以S AABO=^d-\AB\=6^~^ .】' 2 nr+4解法2:依题意直线/的斜率存在，设其方程为y = k(x-4),得(4^2+l) y2 + 8X>. +12々2 = 0 .设直线/与椭圆C的两交点为A(x^yi y S(x2,^2),由A=(8々)2—4X(4^2+1)X12々2〉0,①因为点j关于：r轴的对称点为D，则D^-y.),可设^(.r o.O), 所以‘= 所以直线方程为y-y2=k^^-(x-x.)..V2-.V1令产0,得x0 = 2V1V2+4K I1+v2)^2+^1)数学(理科)答案A ③第6页共16页y = A-(x-4), 令+/=1’且w-Sk4P+1 ，則2 =12k24A-2+l将②代入③，得Xo=^^)=1.所以点⑽坐标为(1專因为 s-0 = |s 琴-=蚤加+於如2 =6弋:「了令/ = 4々2+1，则k 2=—,结合①得1 <r<i. 43H .16当且仅当卜吾时，_ = ±吞时，［S 辦V 曇.所以琴积的最大值为I【求ZU50面积的另解：因为点Q (1.0)到直线/的距离为d = yjl + k 2所以衅】解法3:依题意直线/的斜率存在，设其方程为y = k(x-4),y = A-(x-4),Y2得(4^2+l)x 2 -32々2X + 64々2-4 = 0 .—+ /=1, V ’ 14 .设直线/与椭圆C 的两交点为5(x 2，;y 2)，由 A=(-32A-2)--4X (4^2+1)X (64^2 -4)> 0,得k 2<$ .① 且 W 笔，1 24/C 2 + 11 24F+1因为点/关于：r 轴的对称点为D ，则D^-y.),可设0(%.0)，则V-即‘☆念4F+1所以5^=3 -4\AB\=即电_m 整理得铲③ x 2-x 0Xj-Xo X!+X 2-8将①代入②，得X o =l.所以点0的坐标为(1.0).3|介|因为点P(LO )到直线I 的距离为d = -=JJ= yjk~+1叫研 7(.Y I+X 2)L4.V2 =432^E4介2 + 1令/ = 4々2+1，MF=—,结合①得43^7 H . 16当且仅当卜蚤，即A- = ±吞时，［S 考;|皿=|. 所以A4S0面积的最大值为1.4解法4:设直线/与椭圆C 的两交点为^(2cossin, 5(2cossin^>) 则直线 AB 的方程为y-sin 6 =S111^-S111^ (x .2cos 0).2cosp-2cos 沒2cos^sin^-2siii^cos^sin sin 沒因为点2关于x 轴的对称点为D ,则Z)(2cos^.-sin0)，同理可得=2 cos 0 sin (p+2 sin 0 cos cpsin ^? +sin 4 cos 2 沒 sin 2 9?-4siii 2 沒 cos 2cp sin 2 p-sin 2 0=4 因为x r =4,所以x 0=l ，即点0的坐标为(1.0). 因为=|S A7B ^-S A ^| = || QT\\sm(p-sm0\ =||siii^-sm^|数学(理科)答案A 第8页共16页所以“ =| AB \= 6"F -12介4所以^=3 -4由丄B，7三点共线，可得Sm^-= Sm^ ,即sm^-sin^ = -sin(^-^) 2cos^-4 2 cos 6^-4 2 v所以S_=i|sin(炉一沒)|.当且仅当sin(炉-0) = ±1 时，所以A4S0面积的最大值为j .21.解：(1)解法1:函数/(x)的定义域为(0，+如)，由/(x) = ax + lii.x + l =0 , 得a =-比.' +1 ./ x lllx + l z …“、lllxA令g(x) =——(x〉0),则g (x) = —因为当0<x<l, g'(x)<0,当x〉l时,g'(.Y)〉0,所以函数在(0.1)上单调递减，在(1.榔)上单调递增.所以［^WL=^(1)=-i-(]\ 1 1因为g - =0,当0<x< —时，g(x)>0；当x>-时，g(x)<0 . le J e e所以当a<-l时，函数/GO没有零点；当a = -l或a>0时，函数有1个零点；当-l<a< 0时，函数有2个零点.解法2:函数/(.Y)的定义域为(0,+<»)，因为/(.Y)=OT +1II.X +1,所以/(x) = a + ^.①当a>0时，/'(.Y>0，函数/(x)在(0,+ OD)内单调递增.因为/(I) = a + l〉0，f^-a~x) = -^-a所以/ 在(e-^a)上有1个零点.所以当67>0时，函数有1个零点.1 a②当a<0时，/f (x) = n + - = -当X 〉一丄时，/'（x ）<0;当0<x<—丄时，/'（x ）〉0, aa令t =-去，即证明当/〉1时/（〆）=-&丁 _,<0,再令p(t)=e -r 2-/,则有//(/) = e f -2/-1，设q(t) = e-2t-\,则f(/) = e'-2〉0,所以<7(/) = e r —2/-1 单调递増，因为<?(1)<0, <吾)〉0,所以q(t) = e-2t-1 有零点 1 <，0<|,即#-2/0-1 = 0. 即当0</</0时，/(/)<0,当t>t Q 时，y(/)>o.所以当0</</0时，单调递减，当t>t Q 时，单调递増，数学（理科）答案A 第10页共16页所以当a<0时，函数/⑺在（0,一去内单调递增，在+ 内单调递减.l) 2) 3) 当a<-l 时，［/（x ）］皿 <0,所以函数没有零点.当一l<a< 0 时， >0,因（念:=三<0,e且-丄〉1〉！a e，所以函数在（0.--1上有i 个零点. \ a 可以证明f ea=ae」+1<0,且」<e —; a a ，所以函数/Xr ）在（—^, + oo j 上有1个零点.以下证明f e =ae-丄+ 1<0:所以［，（礼=/=ln0,所以函数/卜）有1个零点.当a = -l 时，［/(x)］皿=ln所以 p(t)>p{t^ -z 02-t Q =-t} +/0 +1,当 l <r 0<| 时，有-<+，o+i 〉o,即 X/)〉o,即制=-中<0. 所以当一\<a<0时，所以函数有2个零点.综上可知，当a<_l 时，函数/(A J 没有零点；当a = -1或a>0时，函数有1个零点；当 _l<a<0时，函数/C0有2个零点.(2)解法1:因为f(x) = ax + ]nx + l,所以对任意的x 〉0，f(x) < xe 2x 恒成立，等价于a <e 2x -乜1.' +1在(0, + OD)上恒成立.令n/(x) = e 2x-^^ (x>0)，则"/，(x)= 2<e-Y :ln.YXX再令"(x)=2x 2e 2x + ln.Y,则w /(x) = 4(x 2+x) e 2x +->0. 所以"(x) = 2x 2e2x+ In .Y 在(0,+oo)上单调递增."⑴〉0,所以 7?(x)=2.x 2e 2x + hi.Y 有唯一零点％，且-<x 0 <1. 所以当0<x<:r 0时，7"'(X)<0，当x>x Q 时，7"'(.Y)〉0. 所以函数川在(0, .xj 上单调递减，在(x 0, + o ))上单调递增. 因为2.xV r °+liix o =O,即e 2x ° =-^,则0<%<1.o所以 2x 0 = hi(-hi x 0)-hi (2x 0)-hix 0，即 lii (2x 0)+ 2x 0 = lii(-hix 0)+ (_Inx 0). 设s(x) = hix + x f 则5z (x) = i + l>0,X所以函数s(x) = hix + x 在(0，+oo)上单调递增，所以s(2x 0) = s(-hix 0).所以2x 0=-lii.x 0.于是有e 2^=—.=—-21ii2<08g所以7/7(.Y)>7/?(.Y0)= e2x° -^lA°+1 = 2 .则有a<2. x0造函数^(x) = xe x (x>0),则p'(x) = (x + l)e x >0 ,所以炉(x)在(O.+oo)上单调递增.因为解法2:设g(.x) = xe2x-ax-liix-l (x>0),对任意的x〉0, /(x)<.xe2x恒成立，等价于^(^)]^>0在(0,+①)上恒成立.因为当X—>0+时，g'(.Y)^-CO ,当X—>4-00 时，g'(.Y)^4-00 ,2X0—丄一a = 0,即a = (2.Y0+l)e2x°—因为当0<x<x。

2018年广州一模理科数学试题与答案(全word版)

试卷类型：A 2018年广州市普通高中毕业班综合测试<一）数学<理科）2018.3本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型<A）填涂在答题卡相应位置上。

RUW9RT2d7t2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

RUW9RT2d7t3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

RUW9RT2d7t4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

1 / 202 / 20参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． ()()22221211236n n n n ++++++=()*n ∈N ．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．RUW9RT2d7t 1．已知i 是虚数单位，若()2i 34i m +=-，则实数m 的值为A ．2- B ．2± C ． D ．2 2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2C B =，则cb为 A ．2sin C B ．2cos B C ．2sin B D ．2cos C3．圆()()22121x y -+-=关于直线y x =对称的圆的方程为A ．()()22211x y -+-= B ．()()22121x y ++-= C ．()()22211x y ++-= D ．()()22121x y -++= 4．若函数()f x =R ，则实数a 的取值范围为 A ．()2,2- B ．()(),22,-∞-+∞ C ．(][),22,-∞-+∞D ．[]2,2-5成如图1的频率分布直方图．样本数据分组为[[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100．若用分层抽样的方法从样本中抽取分数在[]80,100则其中分数在[]90,100范围内的样本数据有图1分数3 / 20A ．5个B ．6个C ．8个D ．10个RUW9RT2d7t 6．已知集合32A x x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭Z Z 且，则集合A 中的元素个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5RUW9RT2d7t 7．设a ，b 是两个非零向量，则使a b =a b 成立的一个必要非充分条件是 A ．=a b B ．⊥a b C ．λ=a b ()0λ> D ．a b8．设a ，b ，m 为整数<0m >），若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m ≡．若0122202020202020C C 2C 2C 2a =+⋅+⋅++⋅，()mod10a b ≡，则b 的值可以是A ．2018B ．2018C ．2018D ．2018RUW9RT2d7t 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． <一）必做题<9～13题）9．若不等式1x a -<的解集为{}13x x <<，则实数a 的值为． 10．执行如图2的程序框图，若输出7S =，则输入k ()*k ∈N 的值为． 113所示，则这个四棱锥的体积是12．设αsin α⎛ ⎝侧<左）视图4 / 2013．在数列{}n a 中，已知11a =，111n n a a +=-+，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2014S = ．<二）选做题<14～15题，考生只能从中选做一题） 14．<坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线()sin cos a ρθθ-=与曲线2cos 4sin ρθθ=-相交于A ，B 两点，若AB=a 的值为． 15．<几何证明选讲选做题）如图4，PC 是圆O 的切线，切点为C ，直线PA 与圆A ，B 两点，APC ∠的平分线分别交弦CA ，CB 于D ，E两点，已知3PC =，2PB =，则PEPD的值为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．<本小题满分12分）已知函数()sin cos f x x a x =+的图象经过点π03⎛⎫- ⎪⎝⎭，．<1）求实数a 的值；<2）设[]2()()2g x f x =-，求函数()g x 的最小正周期与单调递增区间． 17．<本小题满分12分）甲，乙，丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是25，甲，丙两人同时不能被聘用的概率是625，乙，丙两人同时能被聘用的概率是310，且三人各自能否被聘用相互独立．RUW9RT2d7t <1）求乙，丙两人各自能被聘用的概率；P图45 / 20<2）设ξ表示甲，乙，丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求ξ的分布列与均值<数学期望）．RUW9RT2d7t 18．<本小题满分14分）如图5，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点E是棱1D D 的中点，点F 在棱1B B 上，且满足12B F FB =．<1）求证：11EF A C ⊥；<2）在棱1C C 上确定一点G ，使A ，E ，G ，F 四点共面，并求此时1C G 的长；<3）求平面AEF 与平面ABCD 所成二面角的余弦值． 19．<本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，等比数列{}n b 的首项为1，公比为2，*n ∈N ．<1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；<2）设第n 个正方形的边长为{}min ,n n n c a b =，求前n 个正方形的面积之和n S ．<注：{}min ,a b 表示a 与b 的最小值．） 20．<本小题满分14分）已知双曲线E ：()222104x y a a -=>的中心为原点O ，左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 是直线23a x =上任意一点，点Q 在双曲线E 上，且满足220PF QF =． <1）求实数a 的值；<2）证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值；C1C1DA B DEF1A 1B图56 / 20<3）若点P 的纵坐标为1，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同两点M ，N ，在线段MN 上取异于点M ，N 的点H ，满足PM MHPN HN=，证明点H 恒在一条定直线上．RUW9RT2d7t 21．<本小题满分14分）已知函数()()221e x f x x x =-+<其中e 为自然对数的底数）． <1）求函数()f x 的单调区间；<2）定义：若函数()h x 在区间[],s t ()s t <上的取值范围为[],s t ，则称区间[],s t 为函数()h x 的“域同区间”．试问函数()f x 在()1,+∞上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由．RUW9RT2d7t2018年广州市普通高中毕业班综合测试<一）数学<理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．RUW9RT2d7t2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．RUW9RT2d7t3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题，满分40分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．RUW9RT2d7t三、解答题：本大题共6小题，满分80分．16．<本小题满分1）<本小题主要考查三角函数图象的周期性、单调性、同角三角函数的基本关系和三角函数倍角公式等等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）RUW9RT2d7t 解：<1）因为函数()sin cos f x x a x =+的图象经过点π03⎛⎫- ⎪⎝⎭，，所以03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．即ππsin cos 033a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．即02a+=．解得a =<2）方法1：由<1）得()sin f x x x =+．所以2()[()]2g x f x =-()2sin 2x x =+-22sin cos 3cos 2x x x x =++-2cos 2x x =+122cos 22x x ⎫=+⎪⎪⎝⎭ 2sin 2cos cos 2sin 66x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2sin 26x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．所以()g x 的最小正周期为22π=π．因为函数sin y x =的单调递增区间为2,222k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ，所以当πππ2π22π262k x k -≤+≤+()k ∈Z 时，函数()g x 单调递增，即ππππ36k x k -≤≤+()k ∈Z 时，函数()g x 单调递增．所以函数()g x 的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ．方法2：由<1）得()sin f x x x =+2sin cos cos sin 33x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2sin 3x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．所以2()[()]2g x f x =-2π2sin 23x ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 2π4sin 23x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭2π2cos 23x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭分所以函数()g x 的最小正周期为22π=π分因为函数cos y x =的单调递减区间为[]2,2k k ππ+π()k ∈Z ，所以当22223k x k ππ≤+≤π+π()k ∈Z 时，函数()g x 单调递增．即ππππ36k x k -≤≤+<k ∈Z ）时，函数()g x 单调递增．所以函数()g x 的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ．17．<本小题满分1）<本小题主要考查相互独立事件、解方程、随机变量的分布列与均值<数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）RUW9RT2d7t 解：<1）记甲，乙，丙各自能被聘用的事件分别为1A ，2A ，3A ，由已知1A ，2A ，3A 相互独立，且满足()()()()()113232,5611,253.10P A P A P A P A P A ⎧=⎪⎪⎪--=⎡⎤⎡⎤⎨⎣⎦⎣⎦⎪⎪=⎪⎩解得()212P A =，()335P A =．所以乙，丙各自能被聘用的概率分别为12，35． <2）ξ的可能取值为1，3．因为()()()1231233P P A A A P A A A ξ==+()()()()()()123123111P A P A P A P A P A P A =+---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦213312525525=⨯⨯+⨯⨯625=．所以()()113P P ξξ==-=61912525=-=．所以ξ的分布列为所以1963713252525E ξ=⨯+⨯=． 18．<本小题满分1）<本小题主要考查空间线面关系、四点共面、二面角的平面角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）RUW9RT2d7t 推理论证法：<1）证明：连结11B D ，BD ，因为四边形1111A B C D 是正方形，所以1111A C B D ⊥．在正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面1111A B C D ，11A C ⊂平面1111A B C D ，所以111A C DD ⊥．因为1111B D DD D =，11B D ，1DD ⊂平面11BB D D ，所以11A C ⊥平面11BB D D ．因为EF ⊂平面11BB D D ，所以11EF A C ⊥． <2）解：取1C C 的中点H ，连结BH ，则BHAE ．在平面11BB C C 中，过点F 作FG BH ，则FGAE ．1DABCD EF 1A1B1C1DE1A1B 1CGH连结EG ，则A ，E ，G ，F 四点共面．因为11122CH C C a ==，11133HG BF C C a ===，所以1C G 116C C CH HG a =--=．故当1C G 16a =时，A ，E ，G ，F 四点共面． <3）延长EF ，DB ，设EF DB M =，连结AM ，则AM 是平面AEF 与平面ABCD 的交线．过点B 作BN AM ⊥，垂足为N ，连结FN ，因为FB AM ⊥，FB BN B =，所以AM ⊥平面BNF ．因为FN ⊂平面BNF ，所以AM ⊥FN ．所以FNB ∠为平面AEF 与平面ABCD 所成二面角的平面角．因为123132aMB BF MD DE a ===，即23=，所以MB =．在△ABM 中，AB a =，135ABM ∠=，所以2222cos135AM AB MB AB MB =+-⨯⨯⨯()222a a ⎛=+-⨯⨯⨯ ⎝⎭213a =．即AM =．因为11sin13522AM BN AB MB ⨯=⨯⨯，所以sin135a AB MB BN AM⨯⨯⨯⨯===．1DAB CDE F 1A1B1CMN所以39FN a===．所以6cos7BNFNBFN∠==．故平面AEF与平面ABCD所成二面角的余弦值为67．空间向量法：<1）证明：以点D为坐标原点，DA，DC，1DD所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图的空间直角坐标系，则(),0,0A a，()1,0,A a a，()10,,C a a，10,0,2E a⎛⎫⎪⎝⎭，1,,3F a a a⎛⎫⎪⎝⎭，所以()11,,0AC a a=-，1,,6EF a a a⎛⎫=-⎪⎝⎭．因为221100AC EF a a=-++=，所以11AC EF⊥．所以11EF A C⊥．<2）解：设()0,,G a h，因为平面11ADD A平面11BCC B，平面11ADD A平面AEGF AE=，平面11BCC B平面AEGF FG=，所以FG AE．<苏元高考吧：广东省数学教师QQ群：179818939）所以存在实数λ，使得FG AEλ=．因为1,0,2AE a a⎛⎫=-⎪⎝⎭，1,0,3FG a h a⎛⎫=--⎪⎝⎭，所以11,0,,0,32a h a a aλ⎛⎫⎛⎫--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以1λ=，56h a =．所以1C G 15166CC CG a a a =-=-=．故当1C G 16a =时，A ，E ，G ，F 四点共面．<3）解：由<1）知1,0,2AE a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，10,,3AF a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭．设(),,x y z =n 是平面AEF 的法向量，则0,0.AE AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即10,210.3ax az ay az ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩取6z =，则3x =，2y =-．所以()3,2,6=-n 是平面AEF 的一个法向量．而()10,0,DD a =是平面ABCD 的一个法向量，设平面AEF 与平面ABCD 所成的二面角为θ，则11cos DD DD θ=n n (1)67==．故平面AEF 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为67．第<1）、<2）问用推理论证法，第<3）问用空间向量法： <1）、<2）给分同推理论证法．<3）解：以点D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系，则(),0,0A a ，10,0,2E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,,3F a a a ⎛⎫⎪⎝⎭，则1,0,2AE a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，10,,3AF a a ⎛⎫=⎪⎝⎭．设(),,x y z =n 是平面AEF 的法向量，则0,0.AE AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩nn即10,210.3ax az ay az ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩取6z =，则3x =，2y =-．所以()3,2,6=-n 是平面AEF 的一个法向量．而()10,0,DD a =是平面ABCD 的一个法向量，设平面AEF 与平面ABCD 所成的二面角为θ，则11cos DD DD θ=n n (1)67==．故平面AEF 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为67． 19．<本小题满分1）<本小题主要考查等差数列、等比数列、分组求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识）RUW9RT2d7t 解：<1）因为等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，所以()1012n a n =+-⨯，即28n a n =+．因为等比数列{}n b 的首项为1，公比为2，所以112n n b -=⨯，即12n n b -=．<2）因为110a =，212a =，314a =，416a =，518a =，620a =，11b =，22b =，34b =，48b =，516b =，632b =．易知当5n ≤时，n n a b >．下面证明当6n ≥时，不等式n n b a >成立．方法1：①当6n =时，616232b -==620268a >=⨯+=，不等式显然成立． ②假设当n k =()6k ≥时，不等式成立，即1228k k ->+．则有()()()()122222821826218k k k k k k -=⨯>+=++++>++．这说明当1n k =+时，不等式也成立．综合①②可知，不等式对6n ≥的所有整数都成立．所以当6n ≥时，n n b a >．方法2：因为当6n ≥时()()()112281128n n n n b a n n ---=-+=+-+()()01211111C C C C 28n n n n n n -----=++++-+()()012321111111C C C C C C 28n n n n n n n n n n ---------≥+++++-+ ()()0121112C C C 28n n n n ---=++-+()()236460n n n n n =--=-+->，所以当6n ≥时，n n b a >．所以{}min ,n n n c a b =12,5,28,5.n n n n -⎧≤=⎨+>⎩ 则()22222,5,44, 5.n n n c n n -⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩当5n ≤时，2222123n n S c c c c =++++ 2222123n b b b b =++++024222222n -=++++1414n -=-()1413n=-．当5n >时，2222123n n S c c c c =++++()()22222212567n b b b a a a =+++++++()51413=-()()()222464744n ⎡⎤+++++++⎣⎦()()()222341467867165n n n ⎡⎤=+++++++++-⎣⎦()()()()2222223414121253267645n n n ⎡⎤=++++-++++++++-⎣⎦()()()()()121653414553264562n n n n n n +++-⎡⎤=+-+⨯+-⎢⎥⎣⎦3242421867933n n n =++-．综上可知，n S ()32141,5,3424218679, 5.33nn n n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪++->⎪⎩20．<本小题满分1）<本小题主要考查直线的斜率、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）RUW9RT2d7t <1）解：设双曲线E 的半焦距为c ，由题意可得2254.c a c a ⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得a =．<2）证明：由<1）可知，直线2533a x ==，点()23,0F ．设点5,3P t ⎛⎫⎪⎝⎭,()00,Q x y ，因为220PF QF =，所以()0053,3,03t x y ⎛⎫----= ⎪⎝⎭．所以()00433ty x =-．因为点()00,Q x y 在双曲线E 上，所以2200154x y -=，即()2200455y x =-．所以20000200005533PQ OQy t y y ty k k x x x x --⋅=⋅=--()()2002004453453553x x x x ---==-．所以直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值45．<3）证法1：设点(),H x y ，且过点5,13P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线l 与双曲线E 的右支交于不同两点()11,M x y ，()22,N x y ，则22114520x y -=，22224520x y -=，即()2211455y x =-，()2222455y x =-．设PM MH PN HN λ==，则,.PM PN MH HN λλ⎧=⎪⎨=⎪⎩．即()()1122112255,1,1,33,,.x y x y x x y y x x y y λλ⎧⎛⎫⎛⎫--=--⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪--=--⎩整理，得()()()1212121251,31,1,1.x x y y x x x y y y λλλλλλλλ⎧-=-⎪⎪⎪-=-⎨⎪+=+⎪+=+⎪⎩①②③④由①×③，②×④得()()22221222221251,31.x x x y y y λλλλ⎧-=-⎪⎨⎪-=-⎩⑤⑥将()2211455y x =-，()2222455y x =-代入⑥，得2221224451x x y λλ-=⨯--． ⑦将⑤代入⑦，得443y x =-．所以点H 恒在定直线43120x y --=上．证法2：依题意，直线l 的斜率k 存在．设直线l 的方程为513y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，由2251,31.54y k x x y ⎧⎛⎫-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪-=⎪⎩ 消去y 得()()()22229453053255690k x k k x k k -+---+=．因为直线l 与双曲线E 的右支交于不同两点()11,M x y ，()22,N x y ，则有()()()()()()()22222122212290053900455690,3053,95425569.954k k k k k k k x x k k k x x k ⎧⎪∆=-+--+>⎪⎪-⎪+=⎨-⎪⎪-+⎪=⎪-⎩由PM MH PN HN =，得112125353x x x x x x --=--．整理得()()1212635100x x x x x x -+++=．1 将②③代入上式得()()()()()2222150569303553100954954k k x k k x k k -++--+=--．整理得()354150x k x --+=． ④因为点H 在直线l 上，所以513y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． ⑤联立④⑤消去k 得43120x y --=．所以点H 恒在定直线43120x y --=上．①②③<本题<3）只要求证明点H 恒在定直线43120x y --=上，无需求出x 或y 的范围．）21．<本小题满分1）<本小题主要考查函数的单调性、函数的导数、函数的零点等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识）RUW9RT2d7t 解：<1）因为()()221e x f x x x =-+，<苏元高考吧：）所以2()(22)e (21)e x x f x x x x '=-+-+()21e xx =-(1)(1)e x x x =+-．当1x <-或1x >时，()0f x '>，即函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞．当11x -<<时，()0f x '<，即函数()f x 的单调递减区间为()1,1-．所以函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞，单调递减区间为()1,1-． <2）假设函数()f x 在()1,+∞上存在“域同区间”[,](1)s t s t <<，由<1）知函数()f x 在()1,+∞上是增函数，所以(),().f s s f t t =⎧⎨=⎩ 即22(1)e ,(1)e .s ts s t t ⎧-⋅=⎨-⋅=⎩ 也就是方程2(1)e x x x -=有两个大于1的相异实根．设2()(1)e (1)x g x x x x =-->，则2()(1)e 1x g x x '=--．设()h x =2()(1)e 1x g x x '=--，则()()221e x h x x x '=+-．因为在(1,)+∞上有()0h x '>，所以()h x 在()1,+∞上单调递增．因为()110h =-<，()223e 10h =->，即存在唯一的()01,2x ∈，使得()00h x =．当()01,x x ∈时，()()0h x g x '=<，即函数()g x 在()01,x 上是减函数；当()0,x x ∈+∞时，()()0h x g x '=>，即函数()g x 在()0,x +∞上是增函数．因为()110g =-<，0()(1)0g x g <<，2(2)e 20g =->，所以函数()g x 在区间()1,+∞上只有一个零点．这与方程2(1)e x x x -=有两个大于1的相异实根相矛盾，所以假设不成立．所以函数()f x 在()1,+∞上不存在“域同区间”．申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。

2018广州一模理科数学

2 当x ，时, x , , 所以 6 4 6 3 6 4 3 2 4 6 , 3 6 2k 2 , 2k 2 , k Z
3 不相邻问题用插空法 , 先安排C , D, E 三位同学, 共有A3 种 2 排列方法 , 产生4个空隙, 再安排A, B两位同学, 有A4 种排 3 2 列方法 , 所以共有A3 A4 72种不同的排列方法 .
72 3 事件总数为A 120, 所以所求事件的概率为 = 120 5
5 5
n 2 1 1 1 5 2 中含的项为C 7 2 x 84 x x x 5
7
7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ C ）
A. 4 4 2 2 3 C . 10 4 2 2 3
B. 14 4 2 D. 4
2 2
z x 2x y
2 2 2 2
3 D. 4
y
C
x y20
( x 2 x 1) y 1 ( x 1) y 1
2 2
A P
B
2 y 1 0
( x 1) y 表示动点( x , y ) 与P (0,1)之间的距离
O
x
x 1 0
x y 2 ≥ 0, 8. 若x , y满足约束条件 2 y 1 ≥ 0, 则z x 2 2 x y 2 x 1 ≤ 0, 的最小值为( D ) 1 A. 2 1 B. 4 1 C. 2 3 D. 4
y
C
x, 所以z x 2 x y 2 3 1 的最小值为 1 4 2

2018广州一模理科数学试题及答案 (1)

试卷类型:A2018年广州市普通高中毕业班综合测试<一）数学 <理科） 2018.3 本试卷共4页，21小题，满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的市、县/区、学校，以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型<A ）填涂在答题卡相应位置上.Qh8WZp2VLy 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.Qh8WZp2VLy 3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.Qh8WZp2VLy 4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：锥体的体积公式13V Sh =,其中S 为锥体的底面面积,h 为锥体的高.球的表面积公式24S R π=, 其中R 为球的半径．如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合}{220A x x x =-≤，}{11B x x =-<<, 则A B =A ．}{01x x ≤<B ．}{10x x -<≤C ．}{11x x -<<D ．}{12x x -<≤ 2. 若复数(1-i )(a +i )是实数(i 是虚数单位)，则实数a的值为 A ．2-B ．1-D ．2Qh8WZp2VLy 3. 已知向量p ()2,3=-,q (),6x =,且//p q ，则+p q A D ．134. 函数ln xy x=在区间()1,+∞上C 1A C A(度)图2A ．是减函数B ．是增函数C ．有极小值D ．有极大值 5. 阅读图1的程序框图. 若输入5n =, 则输出k 的值为. A ．2 B ．3 C ．4 D ．56. “a b >” 是“22a b ab +⎛⎫> ⎪⎝⎭”成立的 A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 7. 将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3 至少有一个名额且各校分配的名额互不相等, 为A ．96B ．C ．128D ．8. 如图2所示,已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2, 长为2的线段MN 的一个端点M 在棱1DD 上运动, 另一端点N 在正方形ABCD 内运动, 则MN 的中点的轨迹的面积为 A ．4π B ．2π C ．π D ．2π二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.<一）必做题<9～13题）9. 取出该地区若干户居民的用电数据, 率分布直方图如图3所示,D图4 区间[)110,120上共有150户, 则月均用电量在区间[)120,150上的居民共有户. 10. 以抛物线2:8C y x =上的一点A 为圆心作圆，若该圆经过抛物线C 的顶点和焦点，那么该圆的方程为 .11. 已知数列{}n a 是等差数列, 若468212a a a ++=, 则该数列前11项的和为 .12. △ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知3,,3c C π==2a b =,则b 的值为 .13. 某所学校计划招聘男教师x 名,女教师y 名, x 和y 条件25,2,6.x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩则该校招聘的教师最多是<二）选做题<14～15题，考生只能从中选做一题）14. (几何证明选讲选做题> 如图4, CD 是圆O 的切线, 切点为C ,点A 、B 在圆O 上，1,30BC BCD ︒=∠=，则圆O 的面积为 .15. (坐标系与参数方程选讲选做题> 在极坐标系中，若过点()1,0且与极轴垂直的直线交曲线4cos ρθ=于A 、B 两点，则AB = . Qh8WZp2VLy 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.<本小题满分12分）已知函数()2sin cos cos2f x x x x =+(x ∈R>.(1) 当x 取什么值时,函数()f x 取得最大值,并求其最大值;DA 1A(2) 若θ为锐角，且8f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求tan θ的值. 17.<本小题满分12分）某企业生产的一批产品中有一、二、三等品及次品共四个等级，1件不同等级产品的利润<单位：元）如表1，从这批产品中随机抽取出1件产品，该件产品为不同等级的概率如表2.若从这批产品中随机抽取出的1件产品的平均利润(即数学期望>为4.9元.,a b (2> 从这批产品中随机取出3件产品，求这3件产品的总利润不低于17元的概率.18.<本小题满分14分）如图5，在三棱柱111-ABC A B C 中，侧棱1AA ⊥底面ABC ,,⊥AB BC D 为AC 的中点,12A A AB ==.(1> 求证：1//AB 平面1BC D ；(2> 若四棱锥11-B AA C D 的体积为3, 求二面角1--C BC D 的正切值.图519.<本小题满分14分）已知直线2y =-上有一个动点Q ,过点Q 作直线1l 垂直于x 轴,动点P 在1l 上,且满足OP OQ ⊥(O 为坐标原点>,记点P 的轨迹为C . (1) 求曲线C 的方程；(2) 若直线2l 是曲线C 的一条切线, 当点()0,2到直线2l 的距离最短时,求直线2l 的方程. 20.<本小题满分14分）已知函数()2f x ax bx c =++()0a ≠满足()00f =,对于任意x ∈R 都有()f x x ≥,且1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,令()()()10g x f x x λλ=-->. (1) 求函数()f x 的表达式； (2) 求函数()g x 的单调区间；(3) 研究函数()g x 在区间()0,1上的零点个数. 21.<本小题满分14分）已知函数y =()f x 的定义域为R, 且对于任意12,x x ∈R,存在正实数L ,使得()()1212f x f x L x x -≤-都成立. (1) 若()f x =,求L 的取值范围；(2) 当01L <<时，数列{}n a 满足()1n n a f a +=，1,2,n =. ① 证明：112111nk k k a a a a L+=-≤--∑；② 令()121,2,3,kk a a a A k k++==，证明：112111nk k k A A a a L+=-≤--∑. 2018年广州市普通高中毕业班综合测试<一）数学<理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．Qh8WZp2VLy 2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．Qh8WZp2VLy 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分. 二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．说明：第10小题写对一个答案给3分.9. 325 10. ()(2219x y -+±=13. 1014. π 15. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．<本小题满分12分）(本小题主要考查三角函数性质, 同角三角函数的基本关系、两倍角公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力>Qh8WZp2VLy (1> 解: ()2sin cos cos2f x x x x =+sin 2cos2x x =+ …… 1分22x x ⎫=+⎪⎪⎭…… 2分24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. …… 3分∴当2242x k πππ+=+,即(8x k k ππ=+∈Z )时,函数()f x 取得最大值,其.…… 5分(2>解法1:∵8f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,223πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. …… 6分∴1cos 23θ=. …… 7分Qh8WZp2VLy ∵θ为锐角，即02πθ<<, ∴02θπ<<.∴sin 23θ==…… 8分 ∴sin 2tan 2cos 2θθθ==. …… 9分∴22tan 1tan θθ=-…… 10分Qh8WZp2VLy2tan 0θθ+-=. ∴)(1tan 0θθ-=.∴tan 2θ=或tan θ=不合题意,舍去> …… 11分∴tan 2θ=. …… 12分Qh8WZp2VLy解法2: ∵83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 223πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∴1cos 23θ=. …… 7分Qh8WZp2VLy∴212cos 13θ-=. …… 8分Qh8WZp2VLy ∵θ为锐角，即02πθ<<,∴cos 3θ=. …… 9分Qh8WZp2VLy∴sin θ==. …… 10分∴sin tan cos θθθ==…… 12分Qh8WZp2VLy解法3:∵8f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭22πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∴1cos 23θ=. …… 7分Qh8WZp2VLy ∵θ为锐角，即02πθ<<, ∴02θπ<<.∴sin 2θ==…… 8分 ∴sin tan cos θθθ=…… 9分Qh8WZp2VLy22sin cos 2cos θθθ=…… 10分sin 21cos 2θθ=+2=…… 12分Qh8WZp2VLy 17．<本小题满分12分）(本小题主要考查数学期望、概率等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识>Qh8WZp2VLy<1）解：设1件产品的利润为随机变量ξ，依题意得ξ的分布列为：…… 2分 ∴ 60.6540.1 4.9E a b ξ=⨯++⨯-=,即50.9a b -=. …… 3分∵ 0.60.20.11a b ++++=, 即0.3a b +=, …… 4分解得0.2,0.1a b ==.∴0.2,0.1a b == . …… 6分Qh8WZp2VLy (2>解：为了使所取出的3件产品的总利润不低于17元，则这3件产品可以有两种取法：3件都是一等品或2件一等品，1件二等品. …… 8分Qh8WZp2VLy 故所求的概率P =30.6+C 2230.60.2⨯⨯0.432=. …… 12分 18. <本小题满分14分）GFEODC 1A 1B 1CBA(本小题主要考查空间线面关系、二面角的平面角、锥体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力>Qh8WZp2VLy <1）证明: 连接1B C ,设1B C 与1BC 相交于点O ,连接OD , ∵ 四边形11BCC B 是平行四边形,∴点O 为1B C 的中点. ∵D 为AC 的中点， ∴OD 为△1AB C 的中位线,∴ 1//OD AB . …… 2分 ∵OD ⊂平面1BC D ,1⊄AB 平面1BC D ,∴1//AB 平面1BC D . …… 4分 (2>解: 依题意知，12AB BB ==，∵1⊥AA 平面ABC ,1AA ⊂平面11AA C C , ∴ 平面ABC ⊥平面11AA C C ，且平面ABC 平面11AA C C AC =.作BE AC ⊥，垂足为E ，则BE ⊥平面11AA C C ， ……6分设BC a =，在Rt △ABC 中，AC ==AB BCBE AC==∴四棱锥11-B AA C D 的体积()1111132V AC AD AA BE =⨯+ 126=a =. …… 8分依题意得，3a =，即3BC =. …… 9分(以下求二面角1--C BC D 的正切值提供两种解法>解法1:∵11,,AB BC AB BB BC BB B ⊥⊥=,BC ⊂平面11BB C C ，1BB ⊂平面11BB C C ，∴AB ⊥平面11BB C C .取BC 的中点F ，连接DF ，则DF //AB ,且112DF AB ==. ∴DF ⊥平面11BB C C .作1FG BC ⊥，垂足为G ，连接DG ，由于1DF BC ⊥，且DF FG F =， ∴1BC ⊥平面DFG . ∵DG ⊂平面DFG , ∴1BC ⊥DG .∴DGF ∠为二面角1--C BC D 的平面角. …… 12分由Rt △BGF ～Rt △1BCC ,得11GF BFCC BC =,得11322BF CC GF BC ⨯=== 在Rt△DFG 中, tan DFDGF GF∠== ∴二面角1--C BC D 的正切值为. …… 14分解法2: ∵11,,AB BC AB BB BC BB B ⊥⊥=,BC ⊂平面11BB C C ，1BB ⊂平面11BB C C ，∴AB ⊥平面11BB C C .以点1B 为坐标原点,分别以11B C ,1B B ,1B y 轴和z 轴,建立空间直角坐标系1B xyz - 则()0,2,0B ,()13,0,0C ,()0,2,2A ,3,2,12D ⎛⎫⎪⎝⎭∴()13,2,0BC =-,3,0,12BD ⎛⎫= ⎪⎝⎭设平面1BC D 的法向量为n (),,x y z =,由n 10BC =及n 0BD =,得320,30.2x y x z -=⎧⎪⎨+=⎪⎩令2x =,得3,3y z ==-. 故平面1BC D 的一个法向量为n ()2,3,3=-, …… 11分又平面1BC C 的一个法向量为()0,0,2AB =-, ∴cos 〈n ,AB 〉=⋅n AB n AB200323⨯+⨯+-⨯-== (12)分∴sin 〈n ,AB 〉==. …… 13分∴tan 〈n,AB 〉=.∴二面角1--C BC D 的正切值为. …… 14分 19．<本小题满分14分）(本小题主要考查求曲线的轨迹方程、点到直线的距离、曲线的切线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识>Qh8WZp2VLy (1) 解:设点P 的坐标为(),x y ,则点Q 的坐标为(),2x -. ∵OP OQ ⊥,∴1OP OQ k k =-. 当0x ≠时,得21y x x-=-,化简得22x y =. …… 2分当0x =时, P 、O 、Q 三点共线，不符合题意，故0x ≠. ∴曲线C 的方程为22x y =()0x ≠. …… 4分(2> 解法1:∵ 直线2l 与曲线C 相切,∴直线2l 的斜率存在. 设直线2l 的方程为y kx b =+, …… 5分由2,2,y kx b x y =+⎧⎨=⎩ 得2220x kx b --=. ∵ 直线2l 与曲线C 相切, ∴2480k b ∆=+=,即22k b =-. …… 6分点()0,2到直线2l的距离d =22121k =+ …… 7分12⎫=+ …… 8分213121k ≥⨯+ …… 9分= (10)分=k =.此时1b =-. ……12分∴直线2l10y --=或10y ++=. …… 14分解法2：由22x y =，得'y x =， …… 5分Qh8WZp2VLy ∵直线2l 与曲线C 相切, 设切点M 的坐标为()11,x y ，其中21112y x =，则直线2l 的方程为：()111y y x x x -=-，化简得211102x x y x --=. …… 6分点()0,2到直线2l 的距离d =212121x =+ …… 7分12⎫= …… 8分213121x ≥⨯+ …… 9分=……10分=1x =立. ……12分 ∴直线2l10y --=或10y ++=. …… 14分解法3：由22x y =，得'y x =， …… 5分Qh8WZp2VLy ∵直线2l 与曲线C 相切, 设切点M 的坐标为()11,x y ，其中211102y x =>，则直线2l 的方程为：()111y y x x x -=-，化简得110x x y y --=. …… 6分点()0,2到直线2l 的距离d ==…… 7分12⎫= …… 8分1131221y ≥⨯+ …… 9分= (10)分=，即11y =时，等号成立,此时1x =……12分∴直线2l10y --=或10y ++=. …… 14分20．<本小题满分14分）(本小题主要考查二次函数、函数的性质、函数的零点、分段函数等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识>Qh8WZp2VLy (1> 解：∵()00f =，∴0c =. …… 1分 Qh8WZp2VLy ∵对于任意x ∈R 都有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴函数()f x 的对称轴为12x =-，即122b a -=-，得a b =. …… 2分又()f x x ≥，即()210ax b x +-≥对于任意x ∈R 都成立，∴0a >,且∆()210b =-≤． ∵()210b -≥， ∴1,1b a ==．∴()2f x x x =+． …… 4分Qh8WZp2VLy (2> 解：()()1g x f x x λ=--()()22111,,111,.x x x x x x λλλλ⎧+-+≥⎪⎪=⎨⎪++-<⎪⎩……5分① 当1x λ≥时，函数()()211g x x x λ=+-+的对称轴为12x λ-=，若112λλ-≤，即02λ<≤，函数()g x 在1,λ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； …… 6分若112λλ->，即2λ>，函数()g x 在1,2λ-⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在11,2λλ-⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减．…… 7分 ② 当1x λ<时，函数()()211g x x x λ=++-的对称轴为112x λλ+=-<，则函数()g x 在11,2λλ+⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2λ+⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减． …… 8分综上所述，当02λ<≤时，函数()g x 单调递增区间为1,2λ+⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2λ+⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭； …… 9分Qh8WZp2VLy 当2λ>时，函数()g x 单调递增区间为11,2λλ+⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,2λ-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2λ+⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和11,2λλ-⎛⎫ ⎪⎝⎭． …… 10分 (3>解：① 当02λ<≤时，由(2>知函数()g x 在区间()0,1上单调递增，又()()010,1210g g λ=-<=-->，故函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点． …… 11分② 当2λ>时，则1112λ<<，而()010,g =-<21110g λλλ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，()121g λ=--，<ⅰ）若23λ<≤，由于1112λλ-<≤，且()211111222g λλλλ---⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()21104λ-=-+≥，此时，函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点； …… 12分 <ⅱ）若3λ>，由于112λ->且()121g λ=--0<，此时，函数()g x 在区间()0,1上有两个不同的零点． …… 13分Qh8WZp2VLy 综上所述，当03λ<≤时，函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点；当3λ>时，函数()g x 在区间()0,1上有两个不同的零点． …… 14分 21．<本小题满分14分）(本小题主要考查函数、数列求和、绝对值不等式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识>Qh8WZp2VLy (1) 证明：对任意12,x x ∈R ，有()()12f x f x -==12x x +=. …… 2分由()()1212f x f x L x x -≤-,12x x +12L x x ≤-.当12x x ≠时,得L≥.21121,x x x +>>且1212x x x x +≥+，12121x x x x +<≤+. ……4分∴要使()()1212f x f x L x x -≤-对任意12,x x ∈R 都成立,只要1L ≥. 当12x x =时, ()()1212f x f x L x x -≤-恒成立. ∴L 的取值范围是[)1,+∞. …… 5分Qh8WZp2VLy (2> 证明：①∵()1n n a f a +=，1,2,n =,故当2n ≥时，()()111n n n n n n a a f a f a L a a +---=-≤-()()21212112n n n n n L f a f a L a a L a a -----=-≤-≤≤-. …… 6分∴112233411nk k n n k a a a a a a a a a a ++=-=-+-+-++-∑()21121n L L L a a -≤++++- …… 7分1211n L a a L-=--. …… 8分 ∵01L <<, ∴112111nk k k a a a a L+=-≤--∑(当1n =时,不等式也成立). …… 9分②∵12kk a a a A k++=,∴1212111kk k k a a a a a a A A kk ++++++++-=-+()()12111k k a a a ka k k +=+++-+()()()()()12233411231k k a a a a a a k a a k k +=-+-+-++-+ ()()12233411231k k a a a a a a k a a k k +≤-+-+-++-+.…… 11分∴1122311nk k n n k A A A A A A A A ++=-=-+-++-∑()()122311111121223123341a a a a n n n n ⎛⎫⎛⎫≤-++++-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯+⨯⨯+⎝⎭⎝⎭()()34111113344511n n a a n a a n n n n +⎛⎫+-+++++-⨯⎪ ⎪⨯⨯++⎝⎭1223112111111n n n a a a a a a n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+--++-- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤12231n n a a a a a a +-+-++-1211a a L≤--. ……14分申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。

【省会检测】2018年广东省广州市高考数学一模试卷(理科)

2018年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z满足z(1﹣i）2=4i,则复数z的共扼复数=（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i2．设集合A=｛x|＜0}，B=｛x｜x≤﹣3},则集合{x/x≥1｝=（)A．A∩B B．A∪B C．（∁R A)∪（∁R B}D．（∁R A)∩（∁R B｝3．若A，B，C,D，E五位同学站成一排照相，则A，B两位同学不相邻的概率为(）A．B．C．D．4．执行如图所示的程序框图，则输出的S=（）A．B．C．D．5．已知，则=（)A．B．C．D．6．已知二项式(2x2﹣）n的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含项的系数是（）A．﹣84 B．﹣14 C．14 D．847．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．B． C． D．48．若x，y满足约束条件,则z=x2+2x+y2的最小值为（）A．B．C．﹣ D．﹣9．已知函数f（x）=sin（ωx+)（ω＞0)在区间[﹣，］上单调递增，则ω的取值范围为（）A．（0，]B．（0，]C．[，]D．[，2］10．已知函数f(x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处的极值为10,则数对（a,b）为（）A．（﹣3,3）B．（﹣11，4) C．（4，﹣11）D．（﹣3，3）或（4，﹣11) 11．如图，在梯形ABCD中已知|AB|=2｜CD|。

=，双曲线过C,D,E三点,且以A，B为焦点，则双曲线的离心率为(）A．B．2 C．3 D．12．设函数f（x)在R上存在导函数f'（x），对于任意的实数x，都有f（x）+f （﹣x)=2x2，当x＜0时，f'(x)+1＜2x，若f（a+1）≤f（﹣a)+2a+1，则实数a的最小值为（)A．B．﹣1 C．D．﹣2二、填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分．13．已知向量=（m，2），=（1，1），若｜|=｜｜+｜|，则实数m=．14．已知三棱锥P﹣ABC的底面ABC是等腰三角形，AB⊥AC，PA⊥底面ABC，PA=AB=1，则这个三棱锥内切球的半径为．15．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b，c，若2acos（θ﹣B）+2bcos（θ+A）+c=0，则cosθ的值为．16．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，用图①的三角形形象地表示了二项式系数规律，俗称“杨辉三角形”．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数,记第n行各数字的和为S n，如S1=1，S2=2，S3=2，S4=4，……，则S126=．三、解答题:共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12.00分）已知数列｛a n｝的前n项和为S n，数列｛}是首项为1，公差为2的等差数列．（1）求数列｛a n}的通项公式;（2）设数列{b n ｝满足++…+=5﹣（4n+5）（）n，求数列｛b n}的前n项和T n．18．（12。

2018年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）

2018年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数z】=即的实部为（）A.-OB.0C.lD.22,已知全集U=R,集合4={0,1,2,3,4},B={x\x2-2x>0）,则图1中阴影部分表示的集合为（）A.{0,1,2}B.{1,2}C.{3,4}D.{0,3,4}y<03.若变量x,y满足约束条件x-2y-1>0,贝ijz=3%-2y的最小值为（）—4y—3<0A.-l B.0 C.3 D.94,已知X e R,则=x+2”是“x=V7T2”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.把曲线Cj：y=2sin（x-三）上所有点向右平移三个单位长度，再把得到的曲线上所有O O点的横坐标缩短为原来的m得到曲线。

2,则。

2（）A.关于直线x=三对称B.关于直线x=芸对称C.关于点（三,0）对称D.关于点（食,0）对称6.已知tan。

+土=4,则cos2（0+7）=0tany4/7.当m=5,n=2时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A.20B.42C.60D.1808.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）D.189.已知f3)=2%+土为奇函数，g(x)=bx-log2^x+1)为偶函数，贝lj/(ab)=()A17 A—4B.-C-—D24210.^ABC内角4,B,C的对边分别为a,b,c,若a=5,B=?,cosA=另，则a ABC314的面积S=()A loV3.3B.10C.10V3D.20V311.已知三棱锥P-ABC中，侧面PAC_L底面刀BC,ABAC=90°,AB=AC=4,P4=VIU，PC=e则三棱锥P-ABC外接球的表面积为()A.24ttB.28ttC.32ttD.36tt12,设函数f(x)=%3-3x2+2%,若%i，x2(x i V*2)是函数g(X)=f(x)-叔的两个极值点，现给出如下结论：① 若一1＜人＜0,贝＜/(x 2)；② 若0 ＜人＜2,贝＜/(x 2)；③ 若(＞2,贝仁31)＜*).其中正确结论的个数为()A.O B.lC.2D.3二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)设a = (1, 2)＞ b = (-1, 1)＞ c = a + Ab'若a 1 c＞则实数人的值等于.已知a ＞ 0, (ax - l)4(x + 2)展开式中/的系数为1,贝l]a 的值为.设袋子中装有3个红球，2个黄球，1个篮球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个篮球得3分，现从该袋子中任取(有放回，且每球取得的机会均等)2个球，则取出此2球所得分数之和为3分的概率为.双曲线6弟—菱=l(a ＞ 0,b ＞ 0)的左右焦点分别为F 2,焦距2c ,以右顶点山为圆心，半径为学的圆过F 】的直线Z 相切与点N,设Z 与C 交点为P, Q,若pq = 2PN＞则双曲线C 的离心率为.三、解答题(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)已知各项均不为零的等差数列｛口赫的前n 项和且满足2S n =a^ + An,2.ER.(1) 求人的值；1(2) 求数列｛—-—｝的前n 项和7；.a 2n-l a 2n+l有甲乙两家公司都愿意聘用某求职者，这两家公式的具体聘用信息如下：甲公司乙公司职位A B C D 月薪/元6000700080009000获得相应职位概率0.40.30.20.1(1)根据以上信息，如果你是该求职者，你会选择哪一家公司？说明理由;职位A B C D月薪/元50007000900011000获得相应职位概率0.40.30.20.1(2)某课外实习作业小组调查了 1000名职场人士，就选择这两家公司的意愿作了统计，得到如下数据分布:人员结构选择意愿40岁以上（含40岁）男性40岁以上（含40岁）女性40岁以下男性40岁以下女性选择甲公司11012014080选择乙公司150********若分析选择意愿与年龄这两个分类变量，计算得到的"2的观测值为幻=5.5513,测得出"选择意愿与年龄有关系"的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析,选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大？附.Q="Eg'（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）P(K2>k)0.0500.0250.0100.005k 3.841 5.024 6.6357.879如图，已知四棱锥P-ABCD中，AB H CD,AB LAD,AB=3,CD=4,AD=4P=4,乙PAB=匕PAD=60°.（1）证明：顶点P在底面4BCD的射影在乙B4D的平分线上;（2）求二面角B-PD-C的余弦值.22已知椭圆G：m+m=l（a>b>0）的焦点与抛物线C2:y2=8^2x的焦点F重合，且椭圆％的右顶点P到F的距离为3-2V2;（1）求椭圆％的方程；（2）设直线1与椭圆％交于4,B两点，且满足PA1PB,求△PAB面积的最大值.-1*'已知函数/'（X）=（%— a）lnx+-%,（其中。

2018年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）

2018年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合4=(xlog2x<1},B={x\y[x>1},则4n B=()A.(0,3]B.[l,2)C.[-l,2)D.[-3,2)2.已知a G R,i为虚数单位，若复数z=者，\z\-1,则a=()A.+V2B.lC.2D.±l3.已知sin(：—x)=j,贝"sin(詈一x)+sin2(—争+%)=()A1c3〃1D'-lA.-B.-C,—4444.夏秋两季，生活在长江口外浅海域的中华舞回游到长江，历经三千多公里的溯流博击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海.一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15,雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05,若该批鱼苗中的一个诞性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为（）A.0.05 B.0.0075c-d-'3'65.若双曲线*—§=1（口>0,b>0）的一条渐近线与圆泌+⑶―口）2=§相切，则该双曲线的离心率为（）A.3B，V3cl归d.3归246.设有下面四个命题：Pi：Bn E N,n2>2n；p2-.x G R,"x>1”是“x>2”的充分不必要条件；P3：命题“若x=y,则sin x=siny w的逆否命题是“若s in%siny,贝!]x y"■,P4：若“p/q”是真命题，贝Up一定是真命题.其中为真命题的是（）A.Pi，P2B.p2，p3C.P2，p4D.pi，P37.中国古代数学著作《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺,松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.意思是现有松树高5尺，竹子高2尺，松树每天长自己高度的一半，竹子每天长自己高度的一倍，问在第几天会出现松树和竹子一般高？如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的x=5,y=2,输出的71为4,则程序框图中的O中应填（）A.y<xB.y<xC.x<yD.x=y8.如图，网格纸上小正方形的边长为1,某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为（）C.167TD.25tt9.在AABC中4B1AC,|4C|=很，BC=y[3BD>则AD*XC=()A距 B.2V2 C.2V3d.也3310.已知函数,3)是定义在R上的奇函数，且在区间(0,+8)上有3f(x)+打'(X)>0恒成立.若g(x)=x3/(x),令a=g(Jog2^),b=^(log52),c=g(eT),则()A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<b<a11.设等差数列｛知｝满足：3。