山东省青岛西海岸实验初中度第一学期北师大九年级数学上册：第一章特殊平行四边形单元测试卷及答案

山东省青岛西海岸实验初中度第一学期北师大九年级数学上册：第一章特殊平行四边形单元测试卷及答案
一、选择题〔共 10 小题，每题 3 分，共 30 分〕
1.正方形具有而菱形不具有的性质是〔〕
A.对角线相互平分
B.对角线相互垂直
C.对角线平分一组对角
D.对角线相等
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质是〔〕
A.对角线相等
B.对角线相互垂直平分
C.对角线平分一组对角
D.四条边相等
3.矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60∘，AB=6cm，那么BD的长〔〕
A.6cm
B.8cm
C.10cm
D.12cm
4.在四边形ABCD中，对角线AC，BD相互平分，假定添加一个条件使得四边形ABCD是矩形，那么这个条件
可以是〔〕
A.∠ABC=90∘
B.AC⊥BD
C.AB=CD
D.AB // CD
5.如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：
甲：衔接AC，作AC的垂直平分线MN区分交AD，AC，BC于M，O，N，衔接AN，CM，那么四边形ANCM是
菱形．
乙：区分作∠A，∠B的平分线AE，BF，区分交BC，AD于E，F，衔接EF，那么四边形ABEF是菱形．
依据两人的作法可判别〔〕
A.甲正确，乙错误
B.乙正确，甲错误
C.甲、乙均正确
D.甲、乙均错误
6.以下条件：
①四边相等的四边形，②对角线相互垂直且平分的四边形，
③一组邻边相等的四边形，④一条对角线平分一组对角的平行四边形，
其中能判别四边形是菱形的有〔〕
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
7.以下各条件不能判别四边形ABCD是矩形的是〔〕
A.∠A=∠B=∠C=90∘
B.AC=BD且AC与BD相互平分
C.AB // CD，AC=BD
D.AB // CD，AB=CD，AB⊥BC
8.如图，由两个长为9，宽为3的全等矩形叠合而失掉四边形ABCD，那么四边形ABCD面积的最大值是〔〕
A.15
B.16
C.19
D.20
9.如图，边长为2的正方形ABCD的对角线交于点O，把边BA、CD区分绕点B、C同时逆时针旋
转60∘得四边形A′BCD′，其对角线交点为O′，衔接OD′．以下结论：
①四边形A′BCD′为菱形；
②S
四边形A′BCD′=1
2
S
正方形ABCD
；
③线段OD′的长为√3−1；
④点O运动到点O′的途径是线段OO′．其中正确的结论共有〔〕
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
10.以下说法错误的选项是〔〕A.依次衔接矩形各边的中点所成的四边形是菱形
B.四个角都相等的四边形是矩形
C.对角线相互垂直且相等的四边形是正方形
D.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
二、填空题〔共 10 小题，每题 3 分，共 30 分〕
11.如图，矩形的两条对角线所成的钝角为120∘，假定一条对角线的长是2，那么它的面积是________．
12.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOB=60∘，AB=1，那么AD的长为________．
13.如图，延伸正方形ABCD边AB到点E，使AE=AC，那么∠BCE的度数是________．
14.用一刻度尺检验一个四边形能否为矩形，以下方法可行的有________．〔只需填序号即可〕
①量出四边及两条对角线，比拟对边能否相等，对角线能否相等．
②量出对角线的交点到四个顶点的距离，看能否相等．
③量出一组邻边的长a、b以及和这两边组成三角形的那条对角线的长c，计算能否有a2+b2=c2．
④量出两条对角线长，看能否相等．
15.如图，在△ABC中，点D在BC上过点D区分作AB、AC的平行线，区分交AC、AB于点E、F
①假设要失掉矩形AEDF，那么△ABC应具有条件：________；
②假设要失掉菱形AEDF，那么△ABC应具有条件：________．
16.如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60∘，那么菱形的面积为________．
17.如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，点P和点Q区分从点B和点D动身，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度区分为3cm/s和2cm/s，那么最快________s后，四边构成ABPQ为矩形．
18.如下图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，衔接EF，给出以下四个结论：
①AP=EF；②△APD一定是等腰三角形；③∠PFE=∠BAP；④PD=√2EC，
其中正确结论的序号是________．
19.矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置〔如下图(1)〕时，易证得结论：PA2+PC2=PB2+PD2，请你探求：当点P区分在图(2)、图(3)中的位置时，PA2、PB2、PC2和PD2又有怎样的数量关系请你写出对上述两种状况的探求结论，并应用图(2)证明你的结论．
答：对图(2)的探求结论为________；
对图(3)的探求结论为________；
证明：如图(2)
20.长方形的对角线长12，长宽之比为4:3，那么长方形的长是________．
三、解答题〔共 6 小题，每题 10 分，共 60 分〕
21.如图，正方形ABCD中，E、F区分是AD、BC上的一点，∠1=∠2，请探求BE与DF有何数量关系和位置关系？写出你所失掉的结论并给予证明．
22.一个正方形的面积为48cm2，另一个正方形的面积为3cm2，问第一个正方形的边长是第二个正方形边长的几倍？
23.如图，P是矩形ABCD内一点，AP⊥BP于点E，CE⊥BP于点E，BP=EC．
(1)请判别四边形ABCD能否是正方形？假定是，写出证明进程：假定不是，说明理由；
(2)延伸EC到点F，使CF=BE，衔接PF交BC的延伸线于点G，求∠BGP的度数．
24.如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，区分过点C、D作CE // BD，DE // AC，CE和DE交于点E．
(1)求证：四边形ODEC是矩形；
(2)当∠ADB=60∘，AD=2√3时，求sin∠AED的值．
25.请阅读以下资料：
效果：如图，在正方形ABCD战争行四边形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，衔接PG，PC．
探求：当PG与PC的夹角为多少度时，平行四边形BEFG是正方形？
小聪同窗的思绪是：首先可以说明四边形BEFG是矩形；然后延伸GP交DC于点H，结构全等三角形，经过推理可以探求出效果的答案．
请你参考小聪同窗的思绪，探求并处置这个效果．
〔1〕求证：四边形BEFG是矩形；
〔2〕PG与PC的夹角为________度时，四边形BEFG是正方形．
理由：
26.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60∘，∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA．
求证：四边形ABCD是菱形．
答案
1.D
2.A
3.D
4.A
5.C
6.C
7.C
8.A
9.C
10.C
11.√3
12.√3
13.22.5∘
14.①②
15.∠BAC=90∘AD平分∠BAC
16.8√3
17.4
18.①③④
19.PA2+PC2=PB2+PD2PA2+PC2=PB2+PD2
20.48
5
21.解：BE=DF；
证明：在正方形ABCD中，∠1=∠EBC，∵∠1=∠2，
∴∠2=∠EBC，∴BE // DF，
又AD // BC，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∴BE=DF．
22.第一个正方形的边长是第二个正方形的边长的4倍．
23.解：(1)四边形ABCD为正方形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90∘，即∠ABP+∠PBC=90∘，
∵AP⊥BP，
∴∠ABP+∠PAB=90∘，
∴∠PBC=∠PAB，
∵CE⊥BP，
∴∠APB=∠BEC=90∘，
在△ABP与△BCE中，
{
∠BAP=∠CBE
∠APB=∠BEC
PB=EC
，
∴△ABP≅△BCE，
∴AB=BC，
∴矩形ABCD为正方形；(2)衔接AC，
∵△ABP≅△BCE，
∴AP=BE，
∵BE=CF，
∴AP=CF，
∵AP⊥BP，CE⊥BP，
∴AP // CF，
∴四边形ACGP是平行四边形，
∴AC // PF，
∴∠ACB=∠BGC，
∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠ACB=45∘，
∴∠BGP=45∘．
24.(1)证明：∵DE // AC，CE // BD，
∴DE // OC，CE // OD，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD=90∘，
∴四边形OCED是矩形；
(2)解：∵∠ADB=60∘，AD=2√3，
∴OD=√3，AO=3，
∴CE=√3，AC=6，
由勾股定理得：AE=√AC2+CE2=√62+(√3)2=√39，
∴sin∠AED=sin∠CAE=
AE
√3
√39
=√13
13
．
25.解：〔1〕∵正方形ABCD中，∠ABC=90∘，
∴∠EBG=90∘，
∴BEFG是矩形
90
26.证明：∵∠B=60∘，AB=AC，∴△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，
∴∠ACB=60∘，
∠FAC=∠ACE=120∘，
∴∠BAD=∠BCD=120∘，
∴∠B=∠D=60∘，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形．。