广东省汕头市2016届高三数学(理)上学期期末教学质量监测试题(有答案)AwAUwn

汕头市2015-2016学年度（上）高三期末监测试题
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．
第Ⅰ卷
一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。

） 1. 已知集合，，则=Q P I ( ) A ．
B ．
C ．
D ．(0,1)
2. i 是虚数单位,复数的虚部为( ) A ．2i
B ．-2i
C ．2
D ．-2
3.将函数sin()()6
y x x R π
=+∈的图象上所有点的纵坐标不变横坐标缩小到原来的倍，再把图象上各点向
左平移
4
π
个单位长度，则所得的图象的解析式为( ) A ．)652sin(π+=x y B ． )621sin(π
+=x y
C ．)322sin(π+=x y
D ．)12
521sin(π
+=x y
4. 已知βα,是两个不同的平面，n m ,是两条不同的直线，给出下列命题： ①若βα⊂⊥m m ,，则βα⊥； ②若α⊥⊥m n m ,，则α//n ；
③若βαα⊥,//m ，则β⊥m ； ④若m n m //,=βαI ，且βα⊄⊄n n ,， 则βα//,//n n ，其中真命题的个数是 （ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
5．设a ，b 是两个非零向量．下列命题正确的是（ ）
A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b
B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |
C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ使得a ＝λb
D ．若存在实数λ，使得a ＝λb ，则|a ＋b |＝|a |－|b |
（第7题图）
A
B
C
D 6. 用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）·…·（n+n ）=2n
·1·3·…·（2n －1）”，从“n=k 到n=k +1”左端需增乘的代数式为( )
A ．2(2k+1)
B ．
7. ( )
A ．240
B ．120
C ．720
D ．
360
8.
） A 9.个边远地区支教 (每地至少1人)，其中甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，则不同 的选派方案共有( )种.
A.27
B.30
C.33
D.36
10. 当实数,x y 满足240
101x y x y x +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围（ ）
A ．]2
3
,1[ B ．]2,1[- C ．)2,1[- D ．)23,1[
11．已知函数2
2)1lg()(221---=x x x f ；()111)(2-+⋅-=x x x x f ；)1(log )(2
3++=x x x f a ，)1,0(≠>a a ；
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-⋅=21121
)(4x x x f ，()0≠x ，下面关于这四个函数奇偶性的判断正确的是（ ）
A ．都是偶函数
B ．一个奇函数，一个偶函数，两个非奇非偶函数
C ．一个奇函数，两个偶函数，一个非奇非偶函数
D ． 一个奇函数，三个偶函数
12.若过点A (2，m )可作函数x x x f 3)(3
-=对应曲线的三条切线，则实数m 的取值范围（ ） A ．]6,2[- B ．)1,6(- C ．)2,6(- D ．)2,4(-
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题～第21题为必考题，每个考生都必须做答。

第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

）
13. 在某项测量中，测量结果ξ～()
2,1σN ,若ξ在()2,0内取值的概率为,8.0则ξ在(]2,∞-内取值的概率为___________.
14．在5
)1)(1(x x -+的展开式中4
x 的系数是 （用数字作答）.
15.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且.sin )2(sin )2(sin 2C b c B c b A a +++=则A 的大小是 ．
16. 如图，已知点A 、B 、C 、D 是球O 的球面上四点，DA ⊥平面ABC ，
AB ⊥BC ，
O 的体积等于___________.
三．解答题：（ 本大题8个小题 ，共70分,解答须写出文字说明、证明过程、演算步骤。

） 17. （本小题满分12分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项a a =1（0>a ）,该数
列的前n 项和为n S ，且
11a ，21a ，4
1a 成等比数列, （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及n S ；
（Ⅱ）设n
n S b 1
=，121-=n a c n ，且n B 、n C 分别为数列{}n b ，{}n c 的前n 项和，当2n ≥时，试比较n B 与
n C 的大小。

18. （本小题满分12分）如图，在Rt△ACD 中,CD=4，AD=32，
︒=∠90CAD ，以CD 为轴，将△ACD 按逆时针方向旋转90°到 △BCD 位置，E 为AD 的中点： （Ⅰ）证明：AB⊥CD
（Ⅱ）求二面角B-CE-D 的平面角的余弦值。

19. （本小题满分12分）一个袋中有若干个大小相同的黑球、
白球和红球.已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是
25
；从
袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是7
9
.（Ⅰ）若袋中共有10个球，（i ）求白球的个数；（ii ）
从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为ξ,求随机变量ξ的数学期望E ξ. （Ⅱ）求证：从袋中任意摸
出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于7
10
.并指出袋中哪种颜色的球个数最少.
20．（本小题满分12分）如图在平面直角坐标系xOy 中，
已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2
＝4.
（Ⅰ）若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程；
（Ⅱ）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和C 2相
A
交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被C 2截得的弦长相等．试求所有满足条件的点P 的坐标．
21. （本小题满分12分）已知函数x a x a ax x
f ln )1(2
1)(22
++-=
． （Ⅰ）若函数)(x f 在[
1
e
，e]上单调递减，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）当⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈53,0a 时，求)(x f 在[1，2]上的最大值和最小值．(注意:7.02ln <)
请考生在第22、23、24题中任选一题做答。

如果多做，则按所做的第一题计分，答题时请写清题号。

22．（本小题满分10分）选修4-1(几何证明选讲)
已知AD 为圆O 的直径，直线ＢＡ与圆Ｏ相切与点A ，直线OB 与弦AC 垂直并相交于点G ，与弧AC 相交于M ，连接DC ，AB=10，AC=12。

（Ⅰ）求证：BA·DC=GC·A D ； （Ⅱ）求BM 。

23．（本小题满分10分）选修4－4（坐标系与参数方程） 已知曲线C 的极坐标方程是1=ρ，以极点为
原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=+=t y t x 23221（t 为参数）.（Ⅰ）写出直线l 与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C 经过伸缩变换⎪⎩⎪
⎨⎧==y
y x x //2得到曲线C '，设曲线C '上任
一点为),(y x M ，求y x 32+的最小值.
24．（本小题满分10分）选修4－5（不等式选讲）
已知a ＋b ＝1，对a ∀，b∈（0
2x －1｜－｜x ＋1｜恒成立，
（Ⅱ）求x 的取值范围。

参考答案
一、选择题：ABCCC ADDBA CC 6当k n =时，原式是当1+=k n 时，变为
二、填空题：13、 0.9 14、 -5 15、
,3
2π
或ο120 16、29π 三、解答题：
17.本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识，同时考查分类讨论思想。

解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由2214
111
(
),a a a =⋅………………………1分 得2
111()(3)a d a a d +=+，因为0d ≠，所以d a =………………………2分
所以na a n =………………………3分
1(1)
,.2
n n an n a na S +==
………………………4分 （II ）解：因为
1211()1
n S a n n =-+，所以 n B 123111121(1)1
n A S S S S a n =++++=-+L ………………………6分
因为11
22
n n a a --=，所以
n C 2112221
1()11111212(1).1212
n n
n
n
B a a a a a a --=++++=⋅=--L ………………………9分 当0122,21n n
n n n n n C C C C n ≥=++++>+L 时，………………………11分
即1111,12
n n -<-+
所以，当0,n n
a A B ><时n B <n C ………………………12分 18、证明：（Ⅰ）BH DC AH DC ⊥⊥,Θ,H BH AH =I …………1分 ⊥DC 平面ABH ,又因为⊂AB 平面ABH ………………………3分 所以CD AB ⊥………………………4分
(Ⅱ)分别以HD HB HA ,,为z y x ,,轴，建立如图所示的直角坐标系 由已知条件不难求得：1,3,3===
=HC HD HB AH ………………………5分
所以)0,0,3(A ,)0,3,0(B ,)1,0,0(-C ,)3,0,0(D ………………………6分
又因为点E 为中点，所以点)23,0,23(
E 所以)2
5
,0,23(
=,)23,3,23(-=，)0,3,0(=…………7分 设平面BCE 的一个法向量为),,(z y x n =
所以⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+-=⋅=+=⋅02
3
3230
25
23z y x z x 令3=x 解得：53=y ，53-=z 所以平面BCE 的一个法向量为)5
3
,53,3(-=…………9分 又⊥HB 平面DEC ,所以向量)0,3,0(=HB 为平面DEC 的一个法向量……10分
设所求二面角是θ
，所以29
29
325
9253353
cos =
⨯++
=
=
θ……12分 19．本题主要考查排列组合、对立事件、相互独立事件的概率和随机变量分布列和数学期望 等概念，同时考查学生的逻辑思维能力和分析问题以及解决问题的能力． 解：（Ⅰ）（i ）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A ，
设袋中白球的个数为x ，则2102107
()19x C P A C -=-=，………………………2分
得到5x =．故白球有5个．………………………3分
（ii ）随机变量ξ的取值为0，1，2，3，分布列是………………………4分
………………………6分
注解：（每算对2各给1分） ξ的数学期望
15513
0123121212122
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．………………………8分
（Ⅱ）证明：设袋中有n 个球，其中y 个黑球，由题意得2
5
y n =，
所以2y n <，21≤y n -，故1
12
≤y n -．………9分
记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B ，则
23()551y P B n =+⨯-2317
55210
≤+⨯=．………11分
所以白球的个数比黑球多，白球个数多于25
n ，红球的个数少于5n
．
故袋中红球个数最少．………12分
20. 解：(Ⅰ)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在．………1分
设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，………2分
圆C 1
的圆心到直线l 的距离为d ，因为圆C 1被直线l 截得的弦长为23， 所以d ＝22
－
3
2
＝1. ………3分
由点到直线的距离公式得d ＝|1－k －3－4|
1＋k 2
，………4分 从而k (24k ＋7)＝0，即k ＝0或k ＝－7
24，………5分
所以直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0. ………6分
(Ⅱ)设点P (a ，b )满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，k ≠0，
则直线l 2的方程为y －b ＝－1
k
(x －a )．………7分
因为圆C 1和C 2的半径相等，且圆C 1被直线l 1截得的弦长与圆C 2被直线l 2截得的弦长相等，所以圆
C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即
|1－k －3－a －b |1＋k
2
＝|5＋1
k 4－a －b |
1＋1k
2
，………9分 整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |，………10分
从而1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk 或1＋3k ＋ak －b ＝－5k －4＋a ＋bk ， 即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5， 因为k 的取值有无穷多个，所以
⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋
b －2＝0，b －a ＋3＝0，
或⎩⎪⎨
⎪
⎧
a －
b ＋8＝0，a ＋b －5＝0，
………11分
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝5
2，b ＝－1
2，
或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－3
2，b ＝13
2.
这样点P 只可能是点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－12或点P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，132.
经检验点P 1和分21.解（Ⅰ）)(x f Θ在[
1
e
，e]上单调递减， 0)1()(2,≤+-+
=∴a x a ax x f 在[1
e
，e]上恒成立………………………1分 方法一：)1(2+≤+
∴a x a ax x
x a a 111
2+
≤+∴在[1
e ，e]上恒成立………2分
令),1(1
)(⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈+=e e x x
x x g ),1(11)(2
,⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈-=e e x x x g 令0)
(,=x g 则1=x
0)(11
,<<≤x g x e
时当; 0)(1,><≤x g e x 时当
1
1
)(2+≥
+∴
+≤+
=∴e x
x e
e x x x g ………4分 0))(1()1(1
12222≥--=++-∴+≤
+∴
e a ea e a e ea e e
a a
e a e
a ≥≤∴或1
……………6分
方法二：)1(2+≤+
∴a x
a
ax （可做如下分类讨论） （1）当0≤a 时，结论显然成立………………………2分
（2）当0>a 时，可化为：a a x x 11+≤+对任意∈x e]上恒成立………3分 显然，当∈x ),0(+∞时， 对钩函数x
x x h 1
)(+
=在[]1,0上是减函数，在[]+∞,1上是增函数。

…………4分
所以要使得)()(a h x h ≤在∈x e]上恒成立，只需e x 10≤<或e x ≥.………5分
综上：e a e
a ≥≤
∴或1
（Ⅱ） x
a x ax x a x a ax a x a ax x f ))(1()1()1()(222
,
--=++-=+-+=Θ
令0)(,
=x f 则a x a
x ==
或1
.
①0)(2
1
0,≤≤
<x f a 时当.)(x f ∴在[1，2]上单调递减. )1(2
1
)1(2
ln )1(22)2(2max 2min +-=
=++-==∴a a f y a a a f y ………………8分 ②时当
5
321≤<a 0)(1
1,<<
≤x f a
x 时当
0)(21
,>≤<x f x a
时当
a a a a a f y ln 21
)1(min ---==∴………………9分
2ln )1(2
3
)1()2(2a a a f f ++-=
- )5
321(2ln )1(2
3
)(2≤<++-=
x x x x x h 令 0)(5
3212ln 22
3
)(,,>∴≤<+-=
∴x h x x x h Θ
0251
-2ln 532534109)53()(5321)(max <<+-==∴≤<=∴h x h x x h y 上单调递增在
)1(2
1
)1()
2()1(2max +-=
=∴>∴a a f f f f ………………11分 综上所述: （1） 时当2
1
0≤
<a )1(2
1
)1(2
ln )1(22)2(2max 2min +-=
=++-==a a f y a a a f y （2） 时当
5
321≤<a a a a a a f y ln 21)1(min ---== )1(2
1
)1(2ln )1(22)2(2max 2min +-==++-==a a f y a a a f y ……12分
选做题
22．（本小题满分10分）选修4-1(几何证明选讲)
（Ⅰ）证明：因为AC OB ⊥，所以090AGB ∠=
又AD 是圆O 的直径，所以090DCA ∠=………………………1分
又因为BAG ADC ∠=∠（弦切角等于同弧所对圆周角）………………………2分
所以Rt AGB ∆∽Rt DCA ∆，所以
BA AG
AD DC
=
………………………3分 又因为OG AC ⊥，所以GC AG =………………………4分
所以BA GC
AD DC
=
，即BA DC GC AD ⋅=⋅………………………5分 （Ⅱ）解：因为12AC =，所以6AG =，
因为10AB =
，所以8BG =
=………………………6分
由（1）知：Rt AGB ∆∽Rt DCA ∆，所以AB BG
AD AC
=
所以15AD =，即圆的直径215r =………………………8分
又因为()2
2AB BM BM r =⋅+，即2151000BM BM +-=………………9分
解得5BM =．………………………10分
23．（本小题满分10分）选修4－4（坐标系与参数方程）
解 ：（I ）直线l 的方程为：0323=-+-y x .……………………………2分
曲线C 的方程为：122=+y x ………………………………………4分
（II ）∵⎩⎨⎧='='y y x x ,
2
∴将⎪⎩⎪⎨⎧'
='=y y x x ,2代入C ，得C '：1)(4)(22='+'y x ，
即椭圆C '的方程为14
22=+y x . ………………………………6分 设椭圆的C '参数方程为⎩⎨⎧==ϕ
ϕsin ,
cos 2y x （ϕ为参数），……………………………8分
)6
sin(4sin 32cos 232π
ϕϕϕ+=+=+y x ………………………………9分
∴y x 32+的最小值为
. ……………………………………10分 分
9．……………4分
分
分 分
分。