广东省汕头市潮阳金浦中学高二数学理上学期期末试卷含解析

广东省汕头市潮阳金浦中学高二数学理上学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数的图象上一点及邻近一点，则等于（）
A．4 B．C．D．
参考答案：
C
2. 若集合，全集U=R，则=（）
A． B．
C． D．
参考答案：
A
3. 如图，甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则乙楼的高
是（）
A． B． C．40 D．
参考答案：A
4. 在复平面上，复数对应的点在（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
参考答案：
D
【分析】
直接把给出的复数写出代数形式，得到对应的点的坐标，则答案可求。

【详解】由题意，复数，
所以复数对应的点的坐标为位于第一象限，故选A。

【点睛】本题主要考查了复数的代数表示，以及复数的几何意义的应用，其中解答中熟记复数的代数形式和复数的表示是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

5. 直线经过一定点，则该点的坐标是
A． B． C． D．
参考答案：
C
略
6. 已知的顶点、分别为双曲线的左右焦点，顶点在双曲线上，则的值等于
A. B. C. D.
参考答案：
A
略
7. 已知数列{a n}的通项为a n=log（a+1）（n+2）（n∈N*），我们把使乘积a1?a2?a3?…?a n为整数的n叫做“优数”，则在（0，2015]内的所有“优数”的和为（）
A．1024 B．2012 C．2026 D．2036
参考答案：
C
【考点】数列递推式．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】由题意可得，a1?a2…a n=log23?log34…log n+1（n+2）=××…×=log2
（n+2），若使log2（n+2）为整数，则n+2=2k，在（1，2010]内的所有整数可求，进而利用分组求和及等比数列的求和公式可求．
【解答】解：∵a n=log n+1（n+2）
∴a1?a2…a n=log23?log34…log n+1（n+2）
=××…×
==log2（n+2），
若使log2（n+2）为整数，则n+2=2k
在（1，2015]内的所有整数分别为：22﹣2，23﹣2，…，210﹣2
∴所求的数的和为22﹣2+23﹣2+…+210﹣2=﹣2×9=2026
故选：C．
【点评】本题以新定义“优数”为切入点，主要考查了对数的换底公式及对数的运算性质的应用，属于中档试题．
8. 已知、是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若是正三角形，则这个椭圆的离心率是（）
A．B．C．
D．
参考答案：A
略
9. 设复数，若，则的概率为（）
A．B．C．
D．
参考答案：
D
若则，则的概率为：作出如图，
则概率为直线上方与圆的公共部分的面积除以整个圆的面积，即：
10. 如果，那么的最小值是（）
A．4 B． C．9 D．18
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的，则乘客候车不超过3分钟的概率是___________________。

参考答案：
0．6
12. 正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与AC成异面直线且夹角为45°棱的条数为．
参考答案：
4
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】如图所示，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，与AC 成异面直线且夹角为45°棱为A 1B 1，B 1C 1，C 1D 1，D 1A 1，即可得出结论．
【解答】解：如图所示，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，与AC 成异面直线且夹角为45°棱为A 1B 1，B 1C 1，C 1D 1，D 1A 1， 故答案为4．
13. 在中，若，则
▲
．
参考答案：
14. （文）过点
的圆的切线方程为
.
参考答案：
或
略 15. 若，则
▲ 。

参考答案：
16. 已知函数y=x 3﹣3x+c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c= ．
参考答案：
±2
【考点】3O ：函数的图象；52：函数零点的判定定理．
【分析】求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数y=x 3﹣3x+c 的图象与x 轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求c 的值． 【解答】解：求导函数可得y′=3（x+1）（x ﹣1），
令y′＞0，可得x ＞1或x ＜﹣1；令y′＜0，可得﹣1＜x ＜1； ∴函数在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调增，（﹣1，1）上单调减， ∴函数在x=﹣1处取得极大值，在x=1处取得极小值， ∵函数y=x 3﹣3x+c 的图象与x 轴恰有两个公共点， ∴极大值等于0或极小值等于0， ∴1﹣3+c=0或﹣1+3+c=0， ∴c=﹣2或2． 故答案为：±2．
17. 若直线
与曲线
相切,则= ．
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18.
参考答案：
略
19. 已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点P（﹣1，﹣1），c为椭圆的半焦距，且c=b，过点P 作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l1的斜率为﹣1，求△PMN的面积．
参考答案：
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由题意推导出=1，且c2=2b2，再由a，b，c之间的关系，能求出椭圆C的方程．
（2）由于直线l1的斜率已确定，则可由其与椭圆联立方程组，求出点M的坐标，因两直线垂直，当
k≠0时，用代替k，进而求出点N的坐标，得M（﹣2，0），N（1，1），再由两点意距离公式能求出△PMN的面积．
【解答】解：（1）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点P（﹣1，﹣1），c为椭圆的半焦距，且c=b，
过点P作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N，∴，解得b2=，a2=4．
∴椭圆方程为： =1．
（2）设l1方程为y+1=k（x+1），
联立，
消去y得（1+3k2）x2+6k（k﹣1）x+3（k﹣1）2﹣4=0．
∵P（﹣1，1），解得M（，）．
当k≠0时，用﹣代替k，得N（，），
将k=1代入，得M（﹣2，0），N（1，1），
∵P（﹣1，﹣1），∴PM=，PN=2，
∴△PMN的面积为=2．
20. 从中任选三个不同元素作为二次函数的系数,问能组成多少条图像为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线?
参考答案：
解析：抛物线经过原点，得，
当顶点在第一象限时，，则有种；
当顶点在第三象限时，，则有种；
共计有种。

21. (1) 已知:都是正实数,且求证:.
(2)若下列三个方程：中至少有一个方程有实根，试求的取值范围.
参考答案：
略
22. （本题15分）如图，在四棱锥
中，
，底面是直角梯形，
，且
，
，
为
的中点.
(1) 求证：；
(2) 求二面角
的余弦值；
(3) 在线段AB 上是否存在一点F （不与A,B 重合），使得，若存在求出AF
的长，若不存在，请说明理由
参考答案：。