江西省南昌二中、临川一中高三下册第二学期期中联考数学(理)试卷及答案【精编】.doc

南昌二中、临川一中2017届高三联考
数学（理科）试题
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{
}
2
340M x x x =--≤，集合{}
ln 0N x x =≥，则M N ⋂=（ ） A. {}
14x x ≤≤ B. {}1x x ≥ C. {}14x x -≤≤ D. {}
1x x ≥- 2. 若复数z 满足2015z z i ⋅=-，则z 为（ ） A.43i + B.43i - C.34i + D. 34i -
3. 在某次测量中得到的A 样本数据如下：42,43,46,52,42,50,若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都减5后所得数据，则A 、B 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ） A ．平均数B ．标准差 C ．众数D ．中位数
4.在ABC ∆中，11
tan ,tan 23
A B =
=，则tan C =（） A.1- B. 1 C.3D.2-
5. 如图，格纸上每个小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的顶点都在球o 的球面上，则球o 的表面积为（ ）
A.50π
B.25π
C. 75π
D.100π
6.262cos 60444x x x m --≥对于,33ππ⎡⎤
∀∈-⎢⎥⎣⎦
x 恒成立，则实数m 的取值范
围是（ ）
A ．(,2⎤-∞⎦
B ．2⎛-∞ ⎝⎦
C ．22⎣
D ．)
2,⎡+∞⎣
7. 设,m n R ∈，若直线2mx ny +=与圆22
1x y +=相切，则m n +的取值范围是（ ） A.[]2,2- B. (][
),22,-∞-⋃+∞ C.22,22⎡⎤-⎣⎦
D.(
)
,2222,⎤⎡-∞-⋃+∞⎦⎣
8.我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举.这个伟大创举与我国古老的算法—“辗转相除法”实质一样.如下图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入6102,2016a b ==时，输出的a =（ ） A. 6 B. 9 C. 18 D. 54
9. 已知函数1
()3sin(),(0,),(,0)23
f x x A π
ωϕωϕ=+><
为()f x 图像的对称中心，若该图像上相邻两条对称轴间的距离为2，则()f x 的单调递增区间是( ) A.24(2,2),33k k k Z -
+∈ B.24(2,2),33k k k Z ππ
ππ-+∈ C. 24(4,4),33
k k k Z -
+∈ D.24(4,4),33k k k Z ππ
ππ-+∈ 10. 如图，点E 为正方形ABCD 边CD 上异于点,C D 的动点，将ADE ∆沿AE 翻折成
SAE ∆ ，使得平面SAE ⊥平面ABCE ，则下列说法中正确的有( )
①存在点E 使得直线SA ⊥平面SBC ； ②平面SBC 内存在直线与SA 平行 ③平面ABCE 内存在直线与平面SAE 平行； ④存在点E 使得SE BA ⊥．
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
11. 等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式2120dx a x +≥的解集为[]
0,9，则使数列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数n 的值是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
12. 已知函数2
()ln f x a x bx =-，,a b R ∈.若不等式()f x x ≥对所有的(,0]b ∈-∞，2
(,]x e e ∈都成立，则a 的取值范围是（ ）
A ．[,)e +∞
B ．2[,)2e +∞ C. 22[,)2
e e D ．2
[,)e +∞
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
13. 若向量,a b r r
满足2,a b ==r r 且(+b a b ⊥r r r
）则a r 与b r 的夹角为
14.6
()(2)x y x y z -++的展开式中，2
23x
y z 项前的系数为
15. 已知数列{}n a 的通项公式5n a n =-，其前n 项和为n S ，将数列{}n a 的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{}n b 的前3项，记{}n b 前n 项和为n T ，若存在*∈m N ，使对任意*∈n N ，总有n m S T λ<+恒成立，则实数λ的取值范围是 16. 下列命题正确的是
①若函数()y f x =满足(1)(1)f x f x -=+，则函数()f x 的图像关于直线1x =对称；
②在线性回归分析中，相关系数()()
n
i
i
x x y
y
r --=
∑r 越接近于1，该组数据的线
性相关程度越大；
③在△ABC 中，AB u u u r BC uuu
r ＞0是△ABC 为钝角三角形的充要条件；
④命题“x R ∀∈，ln 0x x ->”的否定是“0x R ∃∈，00ln 0x x -<”；
⑤由样本数据得到的回归方程$$y bx
a =+$必过样本点的中心()
y x ,.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. (本题满分12分)如图，在ABC ∆中，2AB =，
1
cos 3
B =
，点D 在线段BC 上．
（1）若2BD DC =，ACD ∆的面积为4
23
，求边AC 的长； （2）若23
ADC π
∠=，求三角形ABD 的面积ABD S ∆.
18(本题满分12分)如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11A ADD ⊥底面ABCD ，112D A D D ==，底面
ABCD 为直角梯形，其中//BC AD ，AB AD ⊥，222AD AB BC ===，O 为AD 中点．
（1）求证：1
//AO 平面1AB C ； （2）求直线1B C 与平面11C CDD 所成角的正弦值.
19. (本题满分12分)甲、乙两学校各派出3名队员，按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员进行第一局比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员进行第二局比赛，……,直到一方队员全被淘汰为止，已知甲队的1号与乙队的1、2、3号队员比赛获胜的概率分别为43、3
2
、21，甲队的2号与乙队的1、2、3号队员比赛获胜的概率分别为32、21、3
1
.
（1）在所有的比赛过程中，甲队的1号、2号队员都只参加一局比赛的概率； （2）在所有的比赛过程中，将甲队1号、2号队员一共参加了的
比赛的局数作为随机变量ξ，求ξ的分布列与期望 20. (本题满分12分) 过原点O 作斜率为11(0)k k ≠的直线l 交
抛物线2
1:14
y x Γ=
-于,A B 两点， D
C
y
（1）当11k =时，求
11OA OB
+的值； (2)已知(0,3)M ，延长AM 交抛物线Γ于C 点，延长BM 交抛物线Γ于D 点。

记直线CD 的斜率为2k ，问是否存在实数λ，都有21k k λ=成立，如果存在，请求出λ的值；如果不存在，请说明理由.
21. (本题满分12分)已知函数1
()(1)ln x f x a e x a a
=-+-(0a >且1)a ≠，e 为自然对数的底数。

(1)当a e =时，求函数()y f x =在区间[]
0,2x ∈上的最大值； (2) 若函数()f x 只有一个零点，求a 的值。

请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
22. (本题满分10分)已知直线l
的参数方程为12t x y ⎧=+⎪
⎨⎪=⎩
（t 为参数）．在以坐标原点为极点,x
轴非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 的方程为
:2
sin cos 0θθ-=．
（1）求曲线C 的直角坐标方程；
（2）写出直线l 与曲线C 交点的一个极坐标(0,02)ρθπ>≤<．
23．(本题满分10分)设函数()2,0f x x a x a a =-++>. （1）当1,a =时，求()f x 的最小值； （2）（2）若关于x 的不等式5
()f x a x
<
+在[]1,2x ∈上有解，求实数a 的取值范围.
13.【答案】
6
14.【答案】120 15.【答案】2λ> 16.【答案】⑤
17.解：（1）∵2BD DC =，∴2ABD ADC S S ∆∆=，3ABC ADC S S ∆∆=，
又ADC S ∆=
，∴ABC S ∆=，………………3分
∵1
sin 2
ABC S AB BC ABC ∆=
∠g ，∴6BC =， 在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-∠g ． ∴42AC =.………………5分 （2）在三角形中，∵1
cos 3
B =，∴22sin 3B =．………………6分
在ABD ∆中，由正弦定理得
sin sin AB AD ADB B
=
∠， 又2AB =，3
ADB π
∠=
，22sin 3B =
．∴．86
AD =………………9分 22322
sin sin()33BAD B BAD B ππ+∠=-∴∠=-= 1163122sin .227
∆+∴=
⋅⋅⋅∠=ABD S AB AD BAD …………12分 18.解析：（1）如图，连接CO 、1A O 、AC 、1AB ， 则四边形ABCO 为正方形，所以11OC AB A B ==， 所以四边形11A B CO 为平行四边形，所以11//A O B C ，
又1AO ⊄平面1AB C ，1B C ⊆平面1AB C ， 所以1
//AO 平面1AB C ．…………6分 （2）因为11D A D D =，O 为AD 中点，所以1D O AD ⊥， 又侧面11A ADD ⊥底面ABCD ， 所以1D O ⊥底面ABCD ，
以O 为原点，OC 、OD 、1OD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的坐标系，则
(1,0,0)C ，(0,1,0)D ，1(0,0,1)D ，(0,1,0)A -，1(0,2,1)A -
所以(1,1,0)DC =-u u u r
，1(0,1,1)DD =-u u u u r ，1(0,1,1)D A =--u u u u r ，11(1,1,0)DC =-u u u u r ， 设m u r
(,,)x y z =为平面11C CDD 的一个法向量，
由m DC ⊥u r u u u r ，1m DD ⊥u r u u u u r ，得0,0,
x y y z -=⎧⎨-+=⎩
令1z =，则1y =，1x =，∴(1,1,1)m =u r
，
由(1)知11//B C A O ,所以直线1A O 与平面11C CDD 所成的角和直线1B C 与平面11C CDD 所成的角相等.记直线1B C 与平面11C CDD 所成的角为θ,
且1(0,2,1)OA =-u u u r
,
11sin OA m OA m
θ⋅∴==
=⋅u u u r u r
u u u r u r , 所以,直线1B C 与平面11C CDD
所成角的正弦值是15
.…………12分 19．解：(1) 321
(1)(1),4312
p =--=
……………………（4分） (2) 设i A )3,2,1(=i 表示甲学校1号队员参赛了i 局，i B )3,2,1(=i 表示甲学校2号队员参赛了i 局，
ξ可能的取值为2,3,4;
12
1
3141)()2(11=⋅=
==B A P P ξ；……………………………………（6分） 30211232131112111
(3)()43243243224
P P A B A B A B ξ==++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=
；………（8分） 24
11213241213143213243)()4(312213=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=
++==B A B A B A P P ξ…（10分）
8
27
)(=
ξE …………………………（12分） 20.解： (1)2114
y x y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩消去y 得2
440x x
--=，设1122
(,),(,)A x y B x y ，
则12124,4x x x x +==-，12,x x 一正一负
11OA OB +=+=
1
====…………5分(2)
1
2
1
1
4
y k x
y x
=
⎧
⎪
⎨
=-
⎪⎩
消去y得2
1
440
x k x
--=，2
1
16160
k
∆=+>恒成立
设
1122
(,),(,)
A x y
B x y，则
12112
4,4
x x k x x
+==-，
设
3344
(,),(,)
C x y
D x y，
直线AM方程为1
1
3
3
y
y x
x
-
=+代入2
1
1
4
y x
=-得21
1
3
1
40
4
y
x x
x
-
--=，
由韦达定理知
13
16
x x=-，所以
3
1
16
x
x
-
=
同理，
4
2
16
x
x
-
=
所以34
234
34
1
()
4
CD
y y
k k x x
x x
-
===+
-
12
1
1212
4()
11616
()4
4
x x
k
x x x x
-+
--
=+==
即
21
4
k k
=,
4
λ
∴=…………12分
21.(1) 当a e
=时，
1
()(1)
x
f x e e x
e
=-+-，()x
f x e e
'=-令()01
f x x
'=⇒=，
(0,1)
x∈时，()0
f x
'<，(1,2)
x∈时，()0
f x
'>，
{}
max
()max(0),(2),
f x f f
∴=而2
11
(0)1,(2)3,
f e f e e
e e
=--=--
即2
max
1
()(2)3.
f x f e e
e
==--…………6分
(2)
1
()(1)ln
x
f x a e x a
a
=-+-，
()ln ln ln()
x x
f x a a e a a a e
'=-=-
令()0
f x
'=，得log
a
x e
=，则
（1）当1
a>时，ln0
a>
所以当log a x e =时，()f x 有最小值min ()(log )ln a f x f e e a a
==--
因为函数()f x 只有一个零点，且当x →-∞和x →+∞时，都有()f x →+∞ 所以min 1()ln 0f x e a a =--
=，即1
ln 0e a a
+= 因为当1a >时，ln 0a >，所以此方程无解 （2）当01a <<时，ln 0a
<
所以当log a x e =时，()f x 有最小值min ()(log )ln a f x f e e a a
==--
因为函数()f x 只有一个零点，且当x →-∞和x →+∞时，都有()f x →+∞ 所以min 1()ln 0f x e a a =--=，即1
ln 0e a a
+=(01)a <<()* 设1()ln g a e a a =+
(01)a <<，则2211()e ae g a a a a -'=-=，
令()0g a '=，得1
a e
=
当10a
e
<<
时，()0g a '<；当1
a e >时，()0g a '>；
所以当1a e =
时，min 11
()()ln 0g a g e e e e
==+= 所以方程()*有且只有一解1
a e
= 综上，1
a e
=
时函数()f x 只有一个零点…………12分 22.解:（1）∵222
sin cos 0sin cos 0θθρθθ=∴=，
11
即2y =.…………5分
（2
）将12t x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩
代入2y =
2(1)2t =+即0t =,
从而，交点坐标为. 所以，交点的一个极坐标为(2,
)3π.…………10分
23.解：（1）当1,a =时， 1113()21110()(1),2222f x x x x x x x x =-++=-
+-++≥+--+= 当且仅当12
x =时，取等号.…………5分 （2）[]
1,2x ∈时，5()f x a x <+, 5522x a x a a x a x a a x x -++<
+⇒-++<+, 55523x a x x a x x x x
⇒-<-⇒-<<+, 因为[]
1,2x ∈时53x x -的最小值为2-，5x x +的最大值为6，所以26a -<<，又因为0a >，所以06a <<.…………10分。