2015年广西创新杯数学竞赛决赛高二培训试卷

2015年广西创新杯数学竞赛决赛高二培训试卷（一）年广西创新杯数学竞赛决赛高二培训试卷（一）
一、选择题（每小题6分，共36分）分）
1. 函数1
1
ln )(--=x x x f 的零点的个数是 ( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2.已知已知a>0，a 0，函数y=a x 与y=log a (—x)的图象只能是（的图象只能是（
）
3.已知 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（所示，则这个几何体的体积为（ ） A ．233
B ．163
C ．
433
D ．833
4. 已知a 为第二象限角为第二象限角,,3
sin cos 3a a +=,则cos 2a =（ ） A ．5
3- B ．5
9
- C ．59
D ．
53
5.若直线l ：2x my =+与圆M ：2
2
220x x y y +++=相切，则m 的值为
( )
A.1或－6
B.1或－7
C.－1或7
D.1或17
-
6. 若a ,b ,c 均为单位向量，a · b 2
1
-=，c=x a + y b ),(R y x Î，则y x +的最大值是的最大值是 (
)
二、填空题（每小题9分，共54分）分）
7. 已知关于x 的不等式1
1ax x -+＜0的解集是1(,1)(,)2
-¥--+¥.则a = . 8. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1
1a =，12(2)n n a S n -=³，,则n a = .
9. 设集合2
{|21},{|10}x
A x
B x x -=<=-³，则A B 等于等于
10.已知在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点，那么，的中点，那么，
直线AE 与直线D 1F 所成的角的大小为所成的角的大小为
11. 函数x x
e 1
e 1
y -=+的值域是__________
12. 已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，
且c ＝2a ，则sin B ＝____.
三、解答题（每小题20分，共60分）分）
13.（本小题满分20分）
已知向量)cos 3,cos (sin x x x m w w w +=，)sin 2,sin (cos x x x n w w w -=，（其中
0>w ）
，函数n m x f ×=)(，若)(x f 相邻两对称轴间的距离为2
p
. (I)(I)求求w 的值，并求)(x f 的最大值及相应x 的集合；的集合；
(Ⅱ)在ABC D 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 所对的边，ABC D 的面积35=S ，b =4，
1)(=A f ，求边a 的长.
14．(本题满分20分)
数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 和1的等差中项，等差数列{}n b 满足11
b a =，
43b S =.
(I)(I)求数列求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；的通项公式；
(Ⅱ)设1
1
n n n c b b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：1132n T £<
15.在锐角三角形△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
已知C b a a b cos 6=+ ,求B C A C tan tan tan tan +
的值。

的值。

2015年广西创新杯数学竞赛决赛高二培训试卷（一）年广西创新杯数学竞赛决赛高二培训试卷（一）
——参考答案——参考答案 1.C ;2.B;3.D;4.A;5.B;6.A
7. —2 8.îíì
´-1321
n
9. }
{
1£x x 10. °90 11. ()1,1- 12. 47
13.解：(I)x x x x x f w w w w cos sin 32sin cos
)(2
2
+-=
x x w w sin 32cos +=
)6
2sin(2p
w +=x
………………………5分 由题意可得p =T ，∴1=w ，∴)6
2sin(2)(p
+=x x f
当1)62sin(=+p
x 时，)(x f 的最大值为2，
此时x 的集合是þ
ýü
î
íì
Î+=
Z k k x x ,6
|p p
……………10分 （Ⅱ）2
1
)62sin(1
)62sin(2)(=
+\=+
=p
p
A A A f
p <<A 0
3,6562p
p p =\=+\A A
…………………15分 5353sin 21
===c bc S p
由余弦定理得：a 2=16+25－2×2×4×4×4×5cos 5cos 3
p =21 21=
\a
……………20分 14.解：解：
(I)∵n a 是n
S 和1的等差中项，∴21n n S a =-
当1n =时，11121a S a ==-，∴11a = 当2n ³时，111(21)(21)22n n n n n n n a a S S S S a a a a a a a a
---=-=---=-，
∴12n n a a -= ，即，即 12n
n a
a -=
∴数列{}n a 是以11a =为首项，2为公比的等比数列，………………… 5分
∴1
2
n n a -=，21n
n S =-
设{}n b 的公差为d ，111b a ==，4
137b d =+=，∴2d = ∴1(1)221n
b n n =+-´=- ………………… 10分 （Ⅱ）1
11
111()(21)(21)22121
n
n n c b b
n n n n +==
=--+-+
∴1
1
111111(1...)(1)2335212122121
n n
T n n n n =-+-++-=-=-+++ ……………15分 ∵*n N Î,∴11112212n T n æö=-<ç÷+èø
()()1
11021212121n n n n T T n n n n ---=
-=>+-+-
∴数列{}n T 是一个递增数列是一个递增数列 ∴113
n T T ³=. 综上所述，11
32n T £<
………………… 20分
15解：由已知及余弦定理得.
22
22
3c b a =+
所以，由正弦定理及内角和定理得所以，由正弦定理及内角和定理得
42sin sin sin cos 1sin sin )sin(.cos sin tan tan tan tan 22222=·
-+==+=+ab
c c b a ab B A C C B A B A C C B C A C。