高中物理竞赛量子物理基础课件

(0) (a) 0
由（0） 0 得 B = 0
U(x) U→∞
U→∞
(x) Asin kx
由 (a) 0 得 Asinka 0
k n (n 1,2,3)
a
(x) Asin n x (n 1,2,3,...)
a
U=0
0 ax
无限深方势阱
15
15
由于波函数与n有关，通常记为：
k2
• t 时刻，粒子在空间的概率密度分布
3
注意：
1） 物质波的波函数不表示任何实在物理量的波动，不描 述介质中运动状态（相位）传播的过程。
u
h mv
mc 2
h
c2 v
c
波的相速度（对物质波而言没有物理意义）
2） 有物理意义的不是 Ψ本身，而是 |Ψ |2
|Ψ |2: 概率密度，描述粒子在空间的统计分布
En
k2 2 2m
n2 2 2
2ma2
n2 E1
(n 1,2,3,...)
E只能取一系列得分立值 n2E1
E
式中
E1
22
2ma 2
最
小
能
量E
即
1
零
点
能,
粒子不可能静止不动，
满足不确定关系
Ψ : 概率幅
3) 重要的不是 | Ψ |2 的绝对大小，而是| Ψ |2 在 空 间 各 点 的 相 对 大 小 （比 值 ） ，
cΨ 和 Ψ 描述同一概率波.
4
4) Ψ 遵从叠加原理
Ψ Ψ1 Ψ2
|Ψ |2 |Ψ1 Ψ2 |2
Ψ1
Ψ1*
Ψ
2
Ψ
* 2
Ψ1
Ψ2*
Ψ1*
Ψ2
干涉项
波函数的归一化条件和标准条件
1） 归一化条件 粒子在整个空间出现的概率为1
|Ψ
V
2
| dV
V
dN NdV
dV
dN
N
N N
1
2）标准条件 Ψ 是单值、有限、连续的.
对微观客体的量子力学描述：脱离日常生活经验，避免借 用经典语言引起的表观矛盾，将波粒二象性统一到一起。
5
薛定谔方程
是 波函 数Ψ 所 遵从 的 方程—量 子力 学 的基 本方 程, 是量子力学的基本假设之一，其正确性由实验检验。 一、 建立 （简单→复杂，特殊→一般）
则有 i (r ,t) i T (t) (r ) Hˆ (r) T (t)
t
t
等式两边同除以 (r ) T (t) i dT (t) 1 1 Hˆ (r ) E dt T (t) (r )
E 是与 t和 r无关的常数。这样可得两个方程
i dT (t) ET (t) dt
Hˆ (r ) E (r )
1、一维自由粒子的薛定谔方程
(
x,
t
)
0e
i
(E
t
px
x)
i E t
2
p2
x2 2
6
非相对论情况下
自由粒子：
E
Ek
1 2
mv
2 x
p
2 x
2m
p
2 x
2mE
代入*得
d2( x) 2mE ( x) 0
dx2
2
即 一维自由粒子的薛定谔方程
推广到三维情况
i
t
2
2m
2 x2
2 y2
2 z 2
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薛定谔方程应用举例(一维问题)
U(x) U→∞
U→∞
U=0
0 ax
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由题意可知， 势函数
U(x) =
0 (0 < x < a)
x 0, x a
U(x) U→∞
U→∞
代入一维定态薛定谔方程的一般形式
U=0
d2
d x2
2m 2
(E
U
)
0
0
ax
无限深方势阱
x 0, x a
d2
d x2
2m 2
dN N |Ψ |2 dV
|Ψ (x, y, z,t) |2 Ψ Ψ * dN N dV
|Ψ ( x, y, z, t) |2 的物理意义：
• t 时刻，出现在空间（x,y,z）点附近单位体积内的粒子 数与总粒子数之比
• t 时刻，粒子出现在空间（x,y,z）点附近单位体积内的 概率－概率密度。
16
16
处于一维无限深势阱中的粒子
k2
2mE
2
k n
a
n(x)
2 sin n x
aa
(n 1,2,3,...)
2 n x i Et
Ψn(x,t)
sin a
a
e
(n 1,2,3)
En
k2 2 2m
n2 2 2
2ma2
n2 E1
(n 1,2,3,...)
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17
讨论解的物理意义： 1) 无限深势阱中粒子的能量量子化
E
Ek
Ep
p2 2m
U (r ,t)
i
t
2
2m
2
U
(r
,
t)
哈密顿算符 Hˆ
i Hˆ t
3、定态薛定谔方程
如果势能函数不显含时间 U (r )
i
t
2
2m
2
U
(r
)
9
i
t
2
2m
2
U
(r
)
其波函数可以用分离变量法求解薛定谔方程而得：
设波函数(斯算符 2
7
i
t
2
2m
2 x2
2 y2
2 z 2
上式简化为：
拉普拉斯算符 2
i
2
2
t 2m
自由粒子的薛定谔方程
Ei t
p i
将上面的运算符号作用到波函数上，即可得到自由粒子
的薛定谔方程。
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2、处在势场中的粒子的薛定谔方程
粒子在力场中运动，且势能函数为U (r , t)
2mE
2
n(x)
n
A sin a
x
(n 1,2,3,...)
由归一化条件 | n |2dx 1
n
n
d
x
a 0
A2
sin2
n x
a
d
x
1
A
k n
a
2 a
于是： n (x)
2 sin n x
aa
(n 1,2,3,...)
2 n x i Et
Ψn(x,t)
sin a
a
e
(n 1,2,3)
量子物理基础
1
一、自由粒子状态描写—简谐平面波
1、经典简谐波的波函数
沿 x 正方向传播的一维简谐波的波函数，速率为 。u
以坐标原点为参考点，
A cos
(t
x u
)
0
Acos 2 (
t
x
)
0
欧拉公式：e i cos isin e i cos isin
2
一般情况：
t 时刻,到达空间 r（x,y,z）处某体积dV内的粒子数
（1） （2）
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i dT (t) ET (t) dt
Hˆ (r ) E (r )
（1） （2）
解方程（1）得
i Et
T (t) A0e
式中 E 具有能量的量纲
方程（2）
Hˆ
(r
)
2
2m
2
U
(r
)
(r
)
E
(r
)
称为定态薛定谔方程
它的解依赖于势函数 U (r ) 的具体形式。
本课程只研究定态薛定谔方程问题。
E
0
0 （粒子不能逸出势阱）
13
13
0<x<a
d2
d x2
2m 2
E
0
令
k2
2mE 2
得
d2
dx2
k 2
0
U(x) U→∞
U→∞
U=0
0
ax
无限深方势阱
通解: ( x) Asin kx B coskx
积分常数
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通解: (x) Asin kx B coskx
k2
2mE
2
由波函数标准条件（单值、有限、连续）得边界条件：