江苏省无锡市江阴综合高级中学2022年高三数学理月考试卷含解析

江苏省无锡市江阴综合高级中学2022年高三数学理月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 二项式（x2﹣）11的展开式中，系数最大的项为（）
A．第五项B．第六项C．第七项D．第六和第七项
参考答案：
C
【考点】二项式系数的性质．
【专题】二项式定理．
【分析】在二项展开式的通项公式中，根据二项式的展式的通项公式为T r+1=?x22﹣3r，可得系数最大的项．
【解答】解：二项式（x2﹣）11的展式的通项公式为 T r+1=?x22﹣2r?（﹣1）r?x﹣r
=?x22﹣3r，
故当r=6时，展开式的系数=最大，
故选：C．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．
2.
参考答案：B
3. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为3的正方形，侧棱为矩形内部（含边界）一点，M为BC中点，为空间任一点，三棱锥的体积的最大值记为，则关于函数，下列结论确的是（）
A. 为奇函数
B. 在上单调递增；
C. D.
参考答案：
D
分析：先根据得P点轨迹为圆在矩形内部（含边界）的圆弧，可得P到CD 最大距离，再根据锥体体积公式可得，根据函数表达式可判断选择.
详解：因为，所以,即，当P在
CC1上时取最大值，因此，因此
，不为奇函数，在上单调递增，所以选D.
点睛：立体几何中体积最值问题，先根据几何体体积公式建立函数关系式，再根据条件将函数转化为一元函数问题，最后根据函数形式，根据基本不等式或利用导数求最值.
4. 在函数①y=x﹣1；②y=2x；③y=log2x；④y=tanx中，图象经过点（1，1）的函数的序号是（）A．①B．②C．③D．④
参考答案：
A
【考点】函数的图象．
【分析】把点（1，1）代入各个选项检验，可得结论．
【解答】解：把点（1，1）代入各个选项检验，可得只有y=x﹣1的图象经过点（1，1），
故选：A．
5. 用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，并且两个奇数数字之间恰有一个偶数数字，这样的五位数有( )
A.12个
B.28个
C.36
个 D.48个
参考答案：
B
略
6. 复数的模为（）
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
B
略
7. 若三角形ABC中，sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C，则此三角形的形状是
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
参考答案：
B
略
8. 一束光线从点出发，经轴反射到圆上的最短路程是
A. B.
C.4
D.5
参考答案：
【知识点】圆的方程和性质 H3
【答案解析】C 解析：作出如下示意图：
圆是圆关于轴对称的圆，
则圆的圆心为：，半径为1，
则最短的距离为
故选：C
【思路点拨】先作出圆C关于x轴的对称的圆C′，问题转化为求点A到圆C′上的点的最短路径，方法是连接AC′与圆交于B点，则AB为最短的路线，利用两点间的距离公式求出AC′，然后减去半径即可求出．
9. 由直线所围成的封闭图形的面积为( )
A． B．1 C． D．
参考答案：
C
略
10. 某几何体的三视图如右图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 杨辉三角形，又称贾宪三角形、帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三
角”，由杨辉三角可以得到展开式的二项式系数．根据相关知识可求得展开式中的的系数为
参考答案：
－80
【分析】
利用二项式定理展开式的通项公式求解.
【详解】的展开式的通项公式为，令，可得系数为
.
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，求解二项式展开式特定项时，一般是利用通项公式求解.
12. 若虛数、是实系数一元二次方程的两个根，且，则______.
参考答案：
1
【分析】
设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．【详解】由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R且），
又则a﹣bi，
∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，
∴．
∴z1＝+i，z2＝i，（或z2＝+i，z1＝i）由根与系数的关系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1?z2＝1，
∴pq＝1．
故答案为：1.
【点睛】本题考查实系数一元二次方程在复数集的根的问题，考查了两个复数相等的充要条件，属于基础题．
13. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则_______.
参考答案：
81
【分析】
由等差数列性质，成等差数列。

得，已知代入可得结果. 【详解】，，，在等差数列中，，，也构成等差数列，设，即，，成等差数列，所以，解得，即．
【点睛】本题考查等差数列的性质，等差数列前n项和满足成等差数列，考查运算能力，属于基本题.
14. 若f（n）=1+2+3+…+n（n∈N*），则
= ．参考答案：
2
【考点】数列的极限．
【专题】计算题．
【分析】先利用等差数列的求和公式求和得，再代入化简，利用，即可求解．
【解答】解：由题意，f（n）=1+2+3+…+n=
∴=
∴
故答案为2
【点评】本题的考点是数列的极限，主要考查等差数列的求和问题，考查数列极限的求法，利用
，是解题的关键．
15. 某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为
▲．
参考答案：
分析：先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求概率. 详解：从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求
概率为.
16. 若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是____________
参考答案：
略
17. 双曲线的虚轴长为____________．参考答案：
双曲线化为标准方程为，
∴，．
故虚轴长为．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设函数f（x）=xe x﹣ae2x（a∈R）
（I）当a≥时，求证：f（x）≤0．
（II）若函数f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（Ⅰ）利用分析法，构造函数g（x）=x﹣ae x，利用导数和函数的最值的关系即可求出，
（Ⅱ）函数f（x）有两个极值点，等价于y=f'（x）有两个变号零点，即方程有两个不相同
的根，构造函数，利用导数求出函数的最值，问题得以解决．
【解答】解：（ I）证明：f（x）=xe x﹣ae2x=e x（x﹣ae x）
∵e x＞0，只需证：当即可﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣，
g（x）=x﹣ae x，g'（x）=1﹣ae x=0
∴，
∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣，
﹣﹣﹣﹣﹣﹣，
∴当从而当时，f（x）≤0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ II）f'（x）=（x+1）e x﹣2ae2x=e x（x+1﹣2ae x）
函数f（x）有两个极值点，等价于y=f'（x）有两个变号零点
即方程有两个不相同的根﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
设，，x∈（﹣∞，0），h'（x）＞0，h（x）递增；x∈（0，+∞），h'（x）＜0，h（x）递减﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣，
h（x）max=h（0）=1，h（﹣1）=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣，
x＞﹣1，h（x）＞0，x→+∞，h（x）→0，x→﹣∞，h（x）→﹣∞
当有两个交点
方程有两个不相同的根，函数f（x）有两个极值点﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
19. 设，且满足
（1）求的值．（2）求的值．
参考答案：
（1）∵，∴ (3分)
∵，∴，∴． (4分)（2）又∵,∴， (6分)∵，∴，∴， (7分)
∴
∴．
(12分)
20. （本小题满分13分）
已知椭圆的离心率为e，半焦距为c，为其上顶点，且，依次成等差数列.
（I）求椭圆的标准方程和离心率e；
（II）P,Q为椭圆上的两个不同的动点，且.
（i）试证直线PQ过定点M，并求出M点坐标；
（ii）是否可以为直角三角形？若是，请求出直线PQ的斜率；否则请说明理由.
参考答案：
21. （本小题满分16分）设数列的各项均为正数，其前n项的和为S n,,对于任意正整数m,n,
恒成立
（1）若求及数列的通项公式
（2）若，求证：数列是等比数列
参考答案：
（1）由条件，得①
在①中，令，得②
令，得③ ③/②得，记，则数列是公比为的等比数列。

④
时，，⑤
④-⑤，得，当n≥3时，{}是等比数列.
在①中，令，得，从而，则，所以。

又因为，所以。

…………2分
在①中，令，得，则⑥
在①中，令，得，则⑦
由⑥⑦解得：。

………………………………………………………6分
则，由
得
又，也适应上式，所以.……………………8分
（2）在①中，令，得，则，所以；
在①中，令，得，则，所以
，则，；代入式，得………………………………………………………12分
由条件得
又因,所以
故，
因为，也适应上式，所以。

所以数列是等比数列．………………………………………………………………14分
22. （本小题满分10分）已知函数
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若不等式对任意实数恒成立，求的取值范围．
参考答案：
（Ⅰ）当时，即，
当时，得，即，所以；
当时，得成立，所以；当时，得，即，所以.故不等式的解集为.（Ⅱ）
，由题意得，则或，解得或,故的取值范。