高中数学(人教B版)必修四导学案：2.3.1 向量数量积的物理背景与定义 Word版缺答案

向量数量积的物理背景与定义（自学自测）
【学习目标】1. 掌握向量的夹角，向量在轴上的正射影及向量的数量积定义；
2. 会求向量在轴l 上的正射影的数量。

3会利用定义求向量的数量积，两向量的夹角；会证明向量的数量积的性质。

【学习重点】 向量的数量积的定义与性质。

【学习难点】 对向量数量积的定义及性质的理解和应用。

1．力f 使物体位移所做的功可以用下式计算，W=|||f |cos θ,其中|f |cos θ就是 ，也就是
2．已知两个非零向量a ,作＝a ，＝，则 称为向量a 和的夹角，记作
，并规定它的范围是 ，当 时，我们说向量a 和向量互相垂直，记作 ，规定零向量与任一向量垂直。

3．向量在轴上的正射影：已知和轴l ，作=，过点O 、A 分别作轴l 的垂线，垂足分别为O 1,A 1,则11O A 叫做向量a 在轴l 上的正射影（简称射影），该射影在轴l 上的坐标，称为在轴l 上的数量或在轴l 的方向上的数量，即 ，其中a 1是在轴l 上正射影的数量。

4．向量的数量积（内积）定义
（1）||||cos ＜,＞叫做向量和的数量积（或内积），记作·，即 。

（2）两个向量与的内积是一个
，可以等于 。

【课前自测】
1． 在边长为1的正ABC ∆中，,AB AC 〈〉=___________，,AB BC 〈〉=__________.
向量AC 在向量AB 方向上正射影的数量为___; 向量AC 在向量AB 方向上正射影的数量为____
2. 教材109页练习B 2 AB 在x 轴上上正射影的数量为____，在x 轴上上正射影的数量为____
3教材109页练习A 1 （1）______(2)_________（3）____________(4)______________
4．已知∥，且|=1，||=2，则·为( )
A ．2
B ．-2
C ．±2
D ．±3
5 理解并记忆向量的数量积5条重要性质，思考如何证明这五条运算性质？ 向量数量积的物理背景与定义（自研自悟）
例1 证明向量的数量积5条重要性质
（1）如果e 是单位向量，则a ·e =e ·a = （2）a ⊥b ⇒ ,且a ·
b =0⇒ . 证明： 证明：
（3）·＝ 或||＝ 。

（4）cos ＜,＞= . 证明： 证明：
（5）|·|≤ . 证明：
例2 判断下列命题的真假，并说明理由。

（1）在△ABC 中，若AB BC ∙＜0，则△ABC 是锐角三角形；( )
（2）在△ABC 中，若AB BC ∙＞0，则△ABC 是钝角三角形；( )
（3）AB BC ∙＝0则△ABC 为直角三角形 ( )。

例3（1）若a ·b =5，|a ||b |=10; 求<a , b > （2）若a ·b = -8，|a ||b |=10; 求
<a , b >
【自练自提】
1 .若a ·b ≤0，则a 与b 的夹角θ的取值范围是______________
2．如果·＝·且≠0，则（
） A ．＝ B ．＝λ（λ∈R ） C ．⊥ D ．、在方向上的投影相等
3. 已知向量a 、b 满足|a |=|b |=1,a 与b 的夹角为 60，则a ·a +a ·b 等于
______________
＝。

4．在△ABC中，|AB|=3，|AC|=4，∠BAC＝60°，则BA AC
5 已知||=3，||=5，且·＝12，则向量在向量的方向上的投影为。