2020届高考数学一轮第八篇平面解析几何第节圆锥曲线的综合问题理新人教A版

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解析：①设点 M(x，y)，依题意得|MF|＝|x|＋1， 即 x－12＋y2＝|x|＋1， 化简整理得 y2＝2(|x|＋x)， 故点 M 的轨迹 C 的方程为 y2＝04，x，x＜x≥00， ②在点 M 的轨迹 C 中，记 C1：y2＝4x(x≥0)，C2：y＝0(x＜0)． 依题意，可设直线 l 的方程为 y－1＝k(x＋2)．
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【反思归纳】 判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有 两种常用方法
(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于 x，y 的方 程组，消去 y(或 x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组 的解即为交点坐标；
(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个 数．
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3．直线与双曲线位置关系的有关结论 (1)过双曲线外不在渐近线上一点总有四条直线与双曲线有且只有一 个交点，两条切线和两条与渐近线平行的直线； (2)过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点，一条切 线和两条与渐近线平行的直线； (3)过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点，两条与 渐近线平行的直线．
F 的直线与抛物线 C 交于 A，B 两点，如果O→A·O→B＝－12，那么抛物线 C
的方程为( )
(A)x2＝8y
(B)x2＝4y
(C)y2＝8x
(D)y2＝4x
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C 解析：由题意，设抛物线方程为 y2＝2px(p＞0)， 直线方程为 x＝my＋p2， 联立方程组，消去 x，得 y2－2pmy－p2＝0， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2， 故O→A·O→B＝x1x2＋y1y2＝my1＋p2my2＋p2＋y1y2＝m2y1y2＋p2m(y1＋y2)＋ p42＋y1y2＝－34p2＝－12⇒p＝4， 即抛物线 C 的方程为 y2＝8x.
∴|AB|＝
1＋k2
x1＋x22－4x1x2＝
1＋k2 1＋2k2
82k2＋1－m2
∵原点到直线 l 的距离 d＝
|m| 1＋k2
∴S△AOB＝12|AB|·d＝1＋2|2mk|2 2k2＋1－m2＝1＋22k2 m22k2＋1－m2
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由 Δ＞0 得 2k2＋1－m2＞0 又 m≠0 由基本不等式
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故当 k∈－12，0∪－1，12时，直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点． (ⅲ)若xΔ0＞＜00，， 由②③解得－1＜k＜－12，或 0＜k＜12. 即当 k∈－1，－12∪0，12时，直线 l 与 C1 有两个公共点，与 C2 有一个公共点， 故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点．
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由方程组yy2－＝14＝x，kx＋2， 可得 ky2－4y＋4(2k＋1)＝0. ① 当 k＝0 时，此时 y＝1. 把 y＝1 代入轨迹 C 的方程，得 x＝14. 故此时直线 l：y＝1 与轨迹 C 恰好有一个公共点(14，1)． 当 k≠0 时，方程①的判别式为 Δ＝－16(2k2＋k－1)． ②
2．直线被圆锥曲线截得的弦长公式 设直线与圆锥曲线的交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|＝ x1－x22＋y1－y22 ＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1x2] ＝ 1＋k12[y1＋y22－4y1y2](k 为直线斜率)
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3．直线与圆锥曲线相交时的常见问题的处理方法 (1)涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”，采用设而不求，利用弦 长公式计算弦长． (2)涉及弦中点的问题，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标，弦 中点坐标和弦所在直线的斜率联系起来，相互转化． (3)特别注意利用公式求弦长时，是在方程有解的情况下进行的，不要
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【即时训练】 若直线 y＝kx＋2 与双曲线 x2－y2＝6 的右支交于不
同的两点，则 k 的取值范围是( )
(A)－
315，
15 3
(B)0，
15 3
(C)－ 315，0
(D)－ 315，－1
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D 解析：由yx＝2－kyx2＋＝26， 得(1－k2)x2－4kx－10＝0，
S△AOB≤1＋22k2·m2＋2k22＋1－m2＝
2 2
当且仅当 m2＝2k22＋1时，不等式取“＝”号．
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【反思归纳】 求弦长的方法 (1)定义法：过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可 优化解题过程． (2)点距法：将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐 标，再运用两点间距离公式求弦长． (3)弦长公式法：根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一 元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和，两根之积的代数式， 然后进行整体代入弦长公式求解．
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1．直线 y＝kx－k＋1 与椭圆x92＋y42＝1 的位置关系是(
)
(A)相交
(B)相切
(C)相离
(D)不确定
A 解析：y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1，
显然直线恒过点 A(1,1)，而点 A 在椭圆内，
故直线和椭圆总相交．
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2．已知抛物线 C 的顶点是原点 O，焦点 F 在 x 轴的正半轴上，经过
第八篇 平面解析几何 (必修2、选修2-1)
1
第 7 节 圆锥曲线的综合问题
最新考纲 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法. 2.了解圆锥曲线的简单应用． 3.理解数形结若直线和圆锥曲线只有一个公共点，则直线和圆锥曲线相切吗？
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提示：不一定相切，如图(1)、(2)所示．
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解析：由已知 F(－c,0)，B(0， 3c)，
∵kBF＝ 3，kBC＝－ 33，C(3c,0) 且圆 M 方程为(x－c)2＋y2＝4c2. 圆 M 与直线 l1：x＋ 3y＋3＝0 相切 |1×c＋1＋3×3 0＋3|＝2c，解得 c＝1. ∴所求椭圆方程为x42＋y32＝1. 答案：x42＋y32＝1
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(ⅱ)若xΔ0＝＜00，， 或若xΔ0＞≥00，， 由②③解得 k∈－1，12，或－12≤k＜0. 即当 k∈－1，12时，直线 l 与 C1 只有一个公共点，与 C2 有一个公 共点． 当 k∈－12，0时，直线 l 与 C1 有两个公共点，与 C2 没有公共点．
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设直线 l 与 x 轴的交点为(x0,0)， 则由 y－1＝k(x＋2)，令 y＝0，得 x0＝－2k＋k 1.③ (ⅰ)若xΔ0＜＜00，， ，由②③解得 k＜－1，或 k＞12. 即当 k∈(－∞，－1)∪12，＋∞时， 直线 l 与 C1 没有公共点，与 C2 有一个公共点，故此时直线 l 与轨 迹 C 恰好有一个公共点．

P

22，
23，Q
36，
6
3
.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线 y＝kx＋m 与椭圆交于 A，B 两点，O 为坐标原点，求△
AOB 面积的最大值．
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解析：(1)设椭圆的方程为 mx2＋ny2＝1
将

P

22，
23，Q
36，
36带入方程，可得
m＝12，n＝1
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故双曲线的渐近线的倾斜角所在的区间为π3，π2. 故选 D.
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5.(2019 承德模拟)如图，F 是椭圆ax22＋by22 ＝1(a＞b＞0)的一个焦点，A，B 是椭圆的 两个顶点，椭圆的离心率为12.点 C 在 x 轴 上，BC⊥BF，B，C，F 三点确定的圆 M 恰好与直线 l1：x＋ 3y＋3＝0 相切．则椭圆的方程为________．
故椭圆的标准方程为x22＋y2＝1
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)
y＝kx＋m x22＋y2＝1
⇒(1＋2k2)y2＋4kmx＋2m2－2＝0
Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＞0
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⇒2k2＋1－m2＞0 x1＋x2＝1－＋42kmk2 x1x2＝21m＋2－2k22
双曲线经过一、三象限的渐近线的倾斜角所在的区间是( )
(A)0，π6
(B)π6，π4
(C)π4，π3
(D)π3，π2
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D 解析：两曲线有相同的焦点 F，则 c＝p2. 又 AF⊥x 轴．不妨设点 A 在第一象限．可得 A(c,2c)． 代入ax22－by22＝1 可得ac22－4bc22＝1， 整理化简可得：ba22－4ba22－4＝0， 双曲线经过一三象限的渐近线方程为 y＝bax， 令 k＝ba，则：k2－k42－4＝0， 解得：k2＝2＋2 2＞3，即 k＞ 3.
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综上可知，当 k∈(－∞，－1)∪12，＋∞∪{0}时，直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点；当 k∈－12，0∪－1，12时，直线 l 与轨迹 C 恰好 有两个公共点；当 k∈－1，－12∪0，12时，直线 l 与轨迹 C 恰好有三 个公共点．
忽略判别式，判别式__大__于__零____是检验所求参数的值是否有意义的依据．
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【重要结论】 1．直线与椭圆位置关系的有关结论 (1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切； (2)过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切； (3)过椭圆内一点的直线均与椭圆相交．
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2．直线与抛物线位置关系的有关结论 (1)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点，两条 切线和一条与对称轴平行或重合的直线； (2)过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条 切线和一条与对称轴平行或重合的直线； (3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条 与对称轴平行或重合的直线．
①当曲线为双曲线时，直线 l 与双曲线的__渐__近__线____平行； ②当曲线为抛物线时，直线 l 与抛物线的__对__称__轴____平行．
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(2)若 A≠0，则 Δ＝B2－4AC
①当 Δ>0 时，直线和圆锥曲线 M 有__两__个__不___同__的___公共点； ②当 Δ＝0 时，直线和圆锥曲线 M 相切，只有__一__个____公共点； ③当 Δ<0 时，直线和圆锥曲线 M__没__有____公共点．
即与双曲线渐近线平行的直线与双曲线只有一个公共点；与抛物线 对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点，但此时它们的位置关系是 相交而不是相切．
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1．直线和圆锥曲线的位置关系 已知直线 l：ax＋by＋c＝0，圆锥曲线 M：f(x，y)＝0. 联立方程组afxx＋，byy＝＋0c＝，0， 消去 y，整理得 Ax2＋Bx＋C＝0. (1)若 A＝0 且 B≠0，则直线 l 和圆锥曲线 M 只有一个公共点．
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第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系
考点一 直线与圆锥曲线的位置关系
在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 到点 F(1,0)的距离比它到 y 轴的距离多 1.记点 M 的轨迹为 C.
①求轨迹 C 的方程； ②设斜率为 k 的直线 l 过定点 P(－2,1)．求直线 l 与轨迹 C 恰好有 一个公共点、两个公共点、三个公共点时 k 的相应取值范围．
设直线与双曲线右支交于不同的两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
1－k2≠0， Δ＝16k2－41－k2×－10>0， 则x1＋x2＝1－4kk2>0， x1x2＝1－－1k02>0，
解得－ 315<k<－1.
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考点二 弦长问题
已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且过点
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3．过抛物线 y2＝8x 的焦点 F 作倾斜角为 135°的直线交抛物线于 A，
B 两点，则弦 AB 的长为( )
(A)4
(B)8
(C)12
(D)16
答案：D
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4．(2019 湛江二模)已知抛物线 y2＝2px(p＞0)与双曲线ax22－by22＝1(a＞0，
b＞0)有相同的焦点 F，点 A 是两条曲线的一个交点，且 AF⊥x 轴，则该