第二章 数列(人教A版必修5 ).doc

第二章 数列 （人教A 版必修5 ）
2.3 等差数列的前n 项和 （第一课时）
教材分析
本节课教学内容是人教A 版必修五第二章的第三节“等差数列的前n 项和”（第一课时）.本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n 项和以及该求和公式的应用.等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题.同时，求数列前n 项和也是数列研究的基本问题，通过对公式的推导，可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题方法. 学情分析
在本节课之前学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质，也对高斯算法有所了解，这都为倒序相加法的教学提供了基础.高斯的算法与一般的等差数列求和还有一定的距离，如何从首尾配对法引出倒序相加法，这是学生学习的障碍.因此，在本节教学中，让学生融入问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、活动、探究、交流、反思，来认识和理解等差数列的求和内容；在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆猜想；在教法上，充分调动学生的积极性，发挥学生的主体地位. 教学目标 【知识与技能】
1.理解等差数列前n 项和公式的推导过程，并掌握其公式；
2.掌握等差数列的五个量n n S a n d a ,,,,1的关系，能由其中的三个求另两个；
3.了解倒序相加法的原理. 【过程与方法】
1. 通过公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法；
2. 培养学生观察、归纳、反思的能力. 【情感、态度与价值观】
通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学来源于生活，又服务于生活的实际性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并用数学知识解决问题.
重点：探索并掌握等差数列的前n 项和公式；会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的问题.
难点：等差数列前n 项求和公式推导思路的获得. 教学过程：
课前准备工作：在上课之前的三分钟，让学生观看《泰姬陵》视频.(让数学课
堂赋予人文历史的气息，缩短数学与现实的距离.)
一、 创设情景，引入课题
师：刚才大家观看了《泰姬陵》的介绍，传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，你知道这个图案一
共花了多少颗宝石吗？（教师用投影仪展示三角形图案）
生：通过观察发现实质是求和：1+2+3+…+100=?
师：该问题事实上是求一个等差数列的前n 项和的问题.(由此展开新课)
二、 新知探究
【知识链接1】数列的前n 项和的定义：
一般地，称n a a a a ++++...321为数列}{n a 的前n 项的和，用n S 表示，即
n
n a a a a S ++++=...321.
练一练：对任意数列{}n a ，________________________1=S ，
________________________6=S .
问题1： 传说泰姬陵陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见前面的示意图），奢靡之程度可见一斑.你知道这个图案一共花了多少颗圆宝石吗？
【知识链接2】德国数学家高斯在10岁时就给出的解法：（1+100）+（2+99）+……+（50+51）=101×50=5050.高斯的算法实际上解决了求等差数列1，2，3，…,n ，…前100项的和的问题.思考：高斯的思路有什么特点？（首尾配对
求和）
问题2: 等差数列1,2,3,…,n , …的前n 项和怎么求？ 由 1 + 2 + … + n -1 + n n + n-1 + … + 2 + 1 （n+1）+（n+1）+ … +（n+1）+（n+1） 可知2
)1(...321n
n n ⨯+=
++++ 上面这种加法叫“倒序相加法”.
问题3: 对于一般等差数列{}n a ，首项为1a ,公差为d ,如何推导它的前n 项和公式n S 呢？
n n n a a a a a S +++++=-1321 1221a a a a a S n n n n +++++=--
(两式相加)()()()()1231212a a a a a a a a S n n n n n ++++++++=∴--
1121a a a a a a n n n +==+=+- 又
所以2
)
(1n n a a n S +=
.（公式一） 思考：n S 有其他表示形式吗？
把1(1)n a a n d =+-代入1()
2
n n n a a S +=中， 就可以得到1(1)
2n n n S na d -=+
（公式二）
练一练：
1. 已知,18,481-=-=a a 求8S .
2. 已知6,51==d a ，求10S .
三、 新知应用
例题
已知一个等差数列{}n a 的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件可以确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？
解：方法一：由题意可知12003102010==S S ，
代入公式2，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.
120019020,
310451011d a d a
解方程组，得.6,41==d a 所以，.32
n n S n +=
方法二：由(),3102
1010110=+=
a a S 得,62101=+a a ①
(),12202
1020120=+=
a a S 所以.122201=+a a ②
②-①，得,6010=d 所以.6=d
代入①，得,41=a 所以，.32
n n S n +=
（说明：方法二教师可以点拨一下）
【高考链接】：（2016全国卷1理）已知等差数列{}n a 的前9项的和为27，且810=a ,则()C a =100
A.100
B.99
C.98
D.97 四、 课堂练习
1. 在等差数列{}n a 中, 999,54201===n n S a a ，,求n .
2.(2017兰州市第一次诊断)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若
24753=++a a a ，则()=9S
A. 36
B. 72
C. 144
D. 288 五、 课堂小结
师
同学们，本节课我们学习了哪些数学内容
生 ①等差数列的前n 项和公式1：2
)
(1n n a a n S +
=
②等差数列的前n 项和公式2：2
)1(1d
n n na S n -+
=
师
通过等差数列的前n 项和公式内容的学习，我们从中体会到哪些数学的思想方法
生
①通过等差数列的前n 项和公式的推导我们了解了数学中一种求和的重要方法——“
倒序相加法
②“知三求二”的方程思想，即已知其中的三个变量，可利用构造方程或
方程组求另外两个变量
六、 作业
（一） 课后练习：（见导学案） （二） 课后习题：习题2.3A 组2、4、5. 七、 板书设计
§2.3等差数列的前n 项和
1、等差数列的前n 项和公式
2、例题 公式一：
公式二： 3、学生板演
八、教后反思。