3.整式、分式及函数
高一数学知识点全解及答案
高一数学知识点全解及答案一、代数与函数1. 整式与分式的概念- 整式：只含有有限项的代数式，其中每一项都是常数或常数与一个或多个变量的积。
- 分式：形如"a/b"的表达式，其中a和b都是整式，b不等于0。
2. 二次根式- 定义：形如"√a"的表达式，其中a为一个非负实数。
- 二次根式的性质：乘法法则、化简法则等。
3. 多项式- 定义：只有加减运算，没有乘除运算的代数式。
- 多项式的分类：单项式、二项式、三项式等。
4. 一元一次方程与一元一次不等式- 一元一次方程：形如"ax + b = 0"的方程，其中a和b为已知实数，a ≠ 0.- 一元一次不等式：形如"ax + b > 0"的不等式，其中a和b为已知实数，a ≠ 0.5. 幂指数运算- 幂运算：a^n表示将a连乘n次，其中a为底数，n为指数。
- 指数运算：指数运算是幂运算的逆运算。
二、平面几何1. 平面几何基本概念- 直线、线段、射线的定义与区别。
- 角的概念：锐角、直角、钝角等。
2. 各类三角形的性质- 等边三角形、等腰三角形、直角三角形等的定义与性质。
- 三角形内角和定理：三角形内角和等于180度。
3. 圆的性质- 圆的基本要素：圆心、半径、圆上的点等。
- 圆的性质与定理：切线定理、弦切角定理等。
4. 相似三角形与勾股定理- 相似三角形的定义与判定条件。
- 勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
5. 平行线与比例理论- 平行线的性质：平行线与转角定理、平行线与等角定理等。
- 比例理论：比例的定义与运算。
三、概率论与统计1. 随机事件与概率的计算- 随机事件：概念与性质。
- 概率的计算：频率方法、几何概型、古典概型等。
2. 统计图和统计量- 统计图：直方图、折线图、饼图等的绘制与分析。
- 统计量：众数、中位数、平均数等的计算与应用。
3. 排列与组合- 排列：从n个不同元素中取出m个元素按照一定的顺序排列。
专升本数学知识点梳理总结
专升本数学知识点梳理总结一、基本概念与基本运算1.数的概念与数的分类2.数的四则运算3.整式与分式的基本运算4.方程与不等式5.函数与方程在这一部分，考生要掌握数的基本概念、四则运算及整式、分式的基本运算，能够灵活运用方程与不等式的解法，理解函数与方程的关系。
二、数列与数学归纳法1.等差数列与等比数列2.数列的通项公式与求和公式3.数学归纳法的基本原理与应用这一部分是考生需要深入掌握的知识点，数列作为数学的基本概念，对于理解数学归纳法起到了至关重要的作用。
三、排列组合与概率1.排列与组合的基本概念2.排列组合的性质与应用3.概率的基本概念与性质4.概率的计算与应用这一部分的知识点需要考生掌握排列组合的基本概念、概率的计算方法，能够应用于实际问题的解决。
同时，考生还需要了解概率的性质和概率事件的独立性等相关知识。
四、函数与图像1.函数与映射的概念2.初等函数的性质及图像3.函数的运算与解析式4.函数的极值与单调性5.函数的应用这一部分考生需要深入掌握函数的概念与性质，能够绘制初等函数的图像，掌握函数的运算及解析式的求解，熟练掌握函数的极值与单调性的性质，并能够应用函数解决实际问题。
五、导数与微分1.导数的定义与性质2.函数的导数与微分3.导数的应用这一部分是数学中的难点知识，考生需要深入掌握导数的定义及性质，了解函数的导数与微分的概念，掌握导数的应用，例如曲线的切线与极值问题。
六、积分与定积分1.不定积分的概念与性质2.定积分的概念与性质3.积分的计算与应用这一部分是数学中的另一难点知识，考生需要深入掌握不定积分及定积分的概念，了解积分的性质，熟练掌握积分的计算方法，能够应用积分解决实际问题，例如曲线的面积与体积问题。
七、三角函数与解三角形1.三角函数的概念与性质2.三角函数的图像与性质3.三角函数的运算与简单方程4.解三角形的基本公式这一部分是考生需要深入掌握的知识点，三角函数作为高中数学的重要内容，对于理解解三角形的基本公式有至关重要的作用。
3.整式、分式及函数
( 14 3)2 ( 14 3)2 14 29 (14 9)2 15 10
例7 a1 a2 a3 a15 1
(1) ( x 1)7 ( x 1)8 a0 a1x a2 x2 a3 x3 a15 x15 (2) ( x 1)7 (2x 1)8 a0 a1x a2 x2 a3 x3 a15 x15
【考点的典型例题】
[题型1] 乘法公式的恒等变形 例1. 设 a , b , c 是互不相等的实数，且 x a 2 bc，y b2 ac，z c 2 ab ，则 x , y , z 满足（ ） A. 都大于 0 B. 至少有一个大于 0 C. 都不小于 0 D. 至少有一个小于 0 E. 都小于 0
[题型2] 考查待定系数法 例3 如果多项式 f ( x) x px qx 6 含有一次因式 x +1 和 3 x ，则多项式另外一个一次因式是（ ） 2 A. x – 2 B. x + 2 C. x – 4 D. x + 4 E. x + 5
3 2
3 f ( x) x px qx 6 ( x 1)( x )( x m) 2 3m f ( 0) 6 m4 2
系统班数学第二部：代数
第一章 整式、分式和函数 第二章 方程和不等式 第三章 数列
第一章 整式、分式和函数
第一节 整 式
一、代数式及其分类
单项式：仅是数与字母非负整数幂的乘积
1 2 xy 2
整式
代数式 分式
1 2 xy 3xz 多项式：有限个单项式的代数和 2
二. 整式的运算 1. 整式的加减运算: 去括号、合并同类项 . 2. 整式的乘法运算: 分配率、合并同类项
中考数学考点分值,中考数学重点考点分值一览,高分必备攻略
中考数学考点分值，中考数学重点考点分值一览，高分必备攻略1、中考数学重点考点及分值中考数学题目一般分为基础知识和应用题。
基础知识一般包括整式与分式、方程与不等式、函数、数列等，应用题则涉及到几何、三角函数、统计、概率等多个知识点。
根据往年的考试经验，数学试卷总分为150分，在基础知识和应用题两个部分分别占50%。
其中，基础知识通常占60%~70%，应用题占30%~40%。
下面是近几年中考数学中较为重要的知识点和分值:（1）整式与分式 20~25分（2）方程与不等式 16~20分（3）函数 14~18分（4）几何（平面图形）14~18分（5）数列 8~10分（6）统计与概率 8~10分（7）几何（空间图形）6~8分2、基础知识高分必备攻略（1）整式与分式：整式与分式中最重要的就是多项式的基本操作，因此平时需要注意多项式的练习和应用，尤其是一元一次方程的应用题。
（2）方程与不等式：针对方程与不等式的高分技巧，我们需要掌握解方程和不等式的基本方法，除此之外，我们还需要重视应用题的解题技巧和方法。
特别是绝对值、分数、变量代换、二次函数、等比数列等问题的应用题。
（3）函数：函数中基本的图像、性质和应用是非常重要的知识点，同时还要注意函数运算与复合函数的应用题。
需要认真掌握函数的性质与图像，灵活应用解决应用题。
3、避免数学常见错误与备考攻略（1）数值计算错误：容易出现失误的运算符号主要有：加减乘除符号之间的区别、变号符号、分数符号以及小数点等。
防止这种常见错误的方法是检查计算过程，养成仔细思考的习惯。
（2）表达式推导错误：表达式推导错误通常是由运算符顺序不当或常识性的错误导致，例如分子分母未化简、规定变量范围时出现错误等，可以通过多做练习来避免。
（3）几何图形绘制错误：几何图形的绘制常常会出现尺寸不准、角度不直等问题。
检查绘制的图形是否符合要求，可以防止这种错误的出现。
备考攻略就是多做题，强化巩固数学基础知识，同时做一些难度较高的题目，培养数学思维和解决问题的能力。
数学代数的基础知识
数学代数的基础知识数学代数是数学的一个重要分支，它涉及到数与符号关系的研究。
数学代数的基础知识是我们在学习和应用数学的过程中必须掌握和理解的内容。
本文将介绍数学代数的一些基础概念和技巧，帮助读者建立对代数学的基本理解。
一、数的类型和运算在数学中，我们常常使用整数、有理数和实数等数的类型进行运算。
整数是由正整数、负整数和零组成，可以进行加、减、乘、除等基本运算。
有理数包括整数和分数，同样可以进行基本的四则运算。
实数包括有理数和无理数，它们可以表示在数轴上的任意一个点。
二、代数式和方程式代数式由数、符号和运算符号组成，它们可以用来表示数与数之间的关系。
例如，代数式2x+3y表示了x和y之间的线性关系。
方程式是等号连接的代数式，我们常常需要通过求解方程式来确定未知数的值。
例如，方程式2x+3y=10可以求解出x和y的值。
三、整式和分式整式是由常数、未知数和它们的乘积以及和减组成的代数式。
例如，3x^2+2xy-5y^2就是一个整式。
分式是由代数式的比例形式表示的，它包括分子和分母，其中分母不能为零。
分式可以是真分数、假分数或整数，我们可以进行加、减、乘、除等运算。
四、多项式多项式是由系数与未知数的各次幂的乘积以及它们的和减组成的代数式。
多项式可以表示为P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_2x^2 + a_1x + a_0，其中a_n是多项式的首项系数，n是多项式的次数。
例如，3x^2+2xy-5y^2就是一个三元多项式。
五、方程组方程组是由多个方程式组成的集合。
例如，线性方程组⎧⎪2x + 3y = 10⎪⎨4x - 2y = 8⎪⎩表示了x和y的线性关系。
我们可以通过求解方程组来确定未知数的值，从而得到方程组的解。
六、函数函数是一种特殊的代数式关系，它将自变量映射到因变量上。
函数通常表示为y = f(x)，其中x是自变量，y是因变量，f表示函数关系。
函数关系可以通过函数图像、函数表达式或者函数关系式的形式进行表示。
江苏高三数学知识点总结大全
江苏高三数学知识点总结大全一、代数与函数1. 整式与分式整式的定义与运算规则分式的定义与运算规则分式方程的解法2. 幂与指数函数幂函数的定义与性质指数函数的定义与性质对数函数与指数函数互逆性质3. 二次函数与一次函数二次函数的定义与性质一次函数的定义与性质二次函数与一次函数的图像特征4. 不等式与不等式组不等式的性质与解法不等式组的性质与解法不等式与绝对值的关系5. 多项式函数与有理函数多项式函数的定义与性质有理函数的定义与性质分式函数的图像特征6. 等差数列与等比数列等差数列的定义与性质等比数列的定义与性质等差数列与等比数列的应用二、解析几何1. 直线与圆直线的性质与方程圆的性质与方程直线与圆的位置关系2. 几何向量与坐标表示向量的定义与性质向量的坐标表示与运算向量与直线的关系3. 平面与空间几何体平面的性质与方程空间几何体的性质与方程平面与空间几何体的位置关系4. 曲线与曲面函数图像与方程曲面的方程与性质曲线与曲面的位置关系三、概率与统计1. 随机事件与概率随机事件的定义与性质概率的定义与运算概率在生活中的应用2. 排列与组合排列的定义与计算公式组合的定义与计算公式排列组合在实际问题中的应用3. 概率分布与统计分析离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度函数统计分析常用方法与应用四、数学思维与方法1. 数学证明与推理数学证明的基本要素数学推理的常用方法数学证明与推理的应用2. 数学建模与问题解决数学建模的基本步骤问题解决中的数学思维方法数学建模与问题解决的实例3. 数学思维培养与拓展发散性思维与创新能力培养归纳与演绎思维的培养数学思维在实际问题中的应用以上是江苏高三数学知识点的大全总结，希望对你的学习有所帮助。
通过系统全面的掌握这些知识点，相信你在数学考试中会取得优异的成绩。
加油！。
整式与分式的基本概念
整式与分式的基本概念整式与分式是数学中常见的两种表达式形式，它们在代数运算、方程求解、函数定义等方面都有着广泛的应用。
本文将对整式和分式的基本概念进行介绍和比较，以帮助读者更好地理解和运用这两种表达式。
一、整式的基本概念整式，顾名思义，就是由整数和字母的乘积相加（减）而成的代数式。
它可以包括常数项、一次项、二次项、三次项等，但不包含任何分数。
一般形式如下：$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0$其中，$a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0$为整数系数，$x$为未知数，$n$为非负整数，$n$次方为整数。
整式的例子可以是：$3x^2 - 5xy + 7$，$4x^3 - 2x^2 + 5x - 1$等。
整式的运算主要包括加法、减法和乘法。
加法和减法的运算法则与常规代数运算一致，将同类项合并。
乘法运算需应用分配律，将每一项分别相乘后再合并同类项。
二、分式的基本概念分式是由两个整式用除法连接而成的表达式，分子为一个整式，分母为一个非零整式。
分式的一般形式如下：$\frac{P(x)}{Q(x)}$其中，$P(x)$和$Q(x)$都是整式，$Q(x)$不等于零。
分式的例子可以是：$\frac{3x^2 - 2x + 1}{2x + 3}$，$\frac{x^3 -1}{x - 1}$等。
分式的运算包括加法、减法、乘法和除法。
加法和减法的运算法则与整式类似，要先找到分母的公倍式，然后将分子按公倍式进行等比变换后再合并同类项。
乘法运算直接将分子相乘，分母相乘。
除法运算需要进行分式除法的行式计算，求出商式和余式。
三、整式与分式的比较整式和分式在形式上有一定的相似之处，都是由整数、字母及其乘积相加（减或乘）组成。
但在概念和应用上存在明显的差异。
首先，整式不包含分数，而分式则是由分子和分母组成的，分子和分母都可以是整式。
分式可以表示真分数、假分数以及带分数，而整式只能表示整数或常数。
整式,分式及其运算
整式的概念及运算一．知识概念1．单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。
或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式.2．单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数.3．多项式：几个单项式的和叫多项式.4．多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数。
二． 整式的乘除与分解因式1.同底数幂的乘法法则: n m n m a a a +=⋅(m,n 都是正数)2.. 幂的乘方法则：mn n m a a =)((m,n 都是正数)⎩⎨⎧-=-).(),()(,为奇数时当为偶数时当一般地n a n a a n n n3. 整式的乘法（1） 单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。
（2）单项式与多项式相乘:单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
（3）．多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
4．平方差公式: 22))((b a b a b a -=-+ 立方差公式：a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)5．完全平方公式: 2222)(b ab a b a +±=±(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³6. 同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即n m n m a a a -=÷ (a ≠0,m 、n都是正数,且m>n).在应用时需要注意以下几点:①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a ≠0.②任何不等于0的数的0次幂等于1,即)0(10≠=a a ,如1100=,(-2.50=1),则00无意义. ③任何不等于0的数的-p 次幂(p 是正整数),等于这个数的p 的次幂的倒数,即p p a a 1=-( a≠0,p 是正整数), 而0-1,0-3都是无意义的;当a>0时,a -p 的值一定是正的; 当a<0时,a -p 的值可能是正也可能是负的,如41(-2)2-=,81)2(3-=-- ④运算要注意运算顺序.7．整式的除法单项式除法单项式:单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；多项式除以单项式: 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加.8.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式. 分解因式的一般方法：1. 提公共因式法2. 运用公式法3.十字相乘法，4.用分组分解法5.拆项，添项法，6.换元法，7.待定系数法分解因式的步骤：(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.分式的概念及其运算1．知识概念1.分式：形如A/B ，A 、B 是整式，B 中含有未知数且B 不等于0的整式叫做分式(fraction)。
分式方程与整式方程
分式方程与整式方程1. 引言在数学中，方程是一种用于描述等式关系的数学语句。
它是由未知量、已知量和运算符组成的代数表达式。
分式方程和整式方程是常见的两种方程类型。
分式方程是包含有一个或多个分式的等式，其中分子和分母都可以是整式（多项式）。
而整式方程则包含有一个或多个整式的等式，其中所有的项都是整数次幂的多项式。
本文将详细介绍分式方程与整式方程，包括其定义、性质、解法以及实际应用。
2. 分式方程2.1 定义分式方程是指包含有一个或多个分式的等式。
在分数中，我们将分子和分母都看作是整体，并且可以对它们进行各种运算。
例如，下面是一个简单的分式方程：2 x +3y=5z其中x、y和z都是未知量。
2.2 性质•分母不能为0：在求解分式方程时，我们需要注意避免让任何一个出现在分母中的变量取值为0。
因为除以0在数学中是没有定义的。
•分式方程可以化简：我们可以对分式方程进行合并同类项、约分等操作，使其更简洁明了。
2.3 解法要解决一个分式方程，我们需要将方程两边的分式化为相同的分母，然后根据等式性质进行运算。
下面是一般的解题步骤：1.将方程两边的分式化为相同的分母；2.合并同类项；3.在等号两边进行消元操作，将未知量移到一边，已知量移到另一边；4.求解得到未知量的值。
下面通过一个例子来说明解决分式方程的过程。
例题：解方程1x +2y=3。
解：首先，我们将方程两边的分式化为相同的分母。
由于x和y都是未知量，我们可以选择它们的最小公倍数作为通分的基数。
在本例中，最小公倍数是xy。
因此，我们需要将每个分数乘以适当的因子来得到通分后的形式：1 x ⋅y+2y⋅x=3接下来，合并同类项：y x +2xy=3然后，我们可以通过消元操作将未知量移到一边，已知量移到另一边。
在本例中，我们可以通过乘以xy来消去分母：y2+2x2=3xy最后，我们需要将方程化为标准形式，并求解得到未知量的值。
在本例中，我们可以将方程移项得到：y2−3xy+2x2=0这是一个二次方程，可以通过因式分解、配方法或求根公式等方法求解。
初中数学知识点总结归纳(6篇)
初中数学知识点总结归纳一、构建完整的知识框架2.正确理解和掌握数学的一些基本概念、法则、公式、定理，把握他们之间的内在联系。
由于数学是一门知识的连贯性和逻辑性都很强的学科，正确掌握学过的每一个概念、法则、公式、定理可以为以后的学习打下良好的基础，如果在学习某一内容或解某一题时碰到了困难，那么很有可能就是因为与其有关的、以前的一些基本知识没有掌握好所造成的，因此要经常查缺补漏，找到问题并及时解决之，努力做到发现一个问题及时解决一个问题。
只有基础扎实，解决问题才能得心应手，成绩才会提高。
二、初中数学知识重难点分析1.函数（一次函数、反比例函数、二次函数）特别是二次函数经常出现在各阶段的考试中，也是考试中的难点，在填空、选择、解答题中均会出现，且知识点多，题型多变。
而且一道解答题一般会在试卷最后两题出现，二次函数的应用和二次函数的图像、性质及三角形、四边形综合题难度较大。
如果在这一环节掌握不好，将会直接影响代数的基础，会对考试的分数会造成很大的影响。
2.应用题，在各阶段考试中占有较大的比重，包括方程（组）应用、一元一次不等式（组）应用、函数应用、解三角形应用、概率与统计应用几种题型。
一般会出现2~3道解答题（30分左右）及2~3道选择、填空题（10分~15分），占考试总分的30%左右。
现在数学考试对数学实际应用的考查会越来越多，数学与生活联系越来越紧密，应用题要求学生的理解辨别能力很强，能从问题中读出必要的数学信息，并从数学的角度寻求解决问题的策略和方法。
方程思想、函数思想、数形结合思想也是中学阶段一种很重要的数学思想、是解决很多问题的工具。
3.整式、分式、二次根式的化简运算。
整式的运算、因式分解、二次根式、科学记数法及分式化简等都是初中学习的重点，它贯穿于整个初中数学的知识，是我们进行数学运算的基础，其中因式分解及理解、因式分解和整式乘法运算的关系、分式的运算是难点。
在考试中一般以选择、填空形式出现，但却是解答题完整解答的基础。
函数自变量的取值范围六种类型
函数自变量的取值范围六种类型吉林松花江中学奥培中心 王永会（132013）函数解析式中，自变量的取值范围（即自变量取何值时，函数有意义）是函数的重要组成部分，在解函数的有关问题时，都不能忽视自变量的取值范围。
现总结初中函数自变量取值范围类型供读者参考。
一、 整式型：函数的解析式是整式，自变量的取值范围是全体实数。
例1：求函数y=16-2x 中x 是取值范围。
解： x 取值范围是全体实数。
二、分式型：函数的解析式是分式，由分式的分母不为零确定自变量的取值范围例2：求3212--+=x x x y 中x 取值范围。
解：x 2-2x-3≠0即（x+1）(x-3)310≠-≠∴≠x x 且注意本题不能约去x+1三、二次根式型：函数解析式是二次根式，由每个二次根式子的根被开方数为非负数而确定自变量的取值范围。
例3：求y=x 43-的取值范围。
解：由3-4x 0≥得x 43≤. 四、零指数式型：函数解析式是零指数式，由底不为零确定自变量的取值范围。
例4：求y=(x-2)0中的x 取值范围。
解：由x-20≠得x 2≠的全体实数。
五、复合型：函数解析式是由上述四种类型的复合。
求自变量取值范围时要思考全面。
不要“顾此失彼”。
例5：求函数自变量的取值范围。
21)2(0----=x x x y 解：由题意知⎪⎩⎪⎨⎧≠--≥-≠-0210102x x x 即 x ≥1且 x ≠2和x ≠5.六、实际意义型：函数解析式是表示实际意义的量，因此，它不仅要求解析式有意义，还要符合实际意义。
例6：从含盐的20%的100千克的盐水中，把水蒸发掉x 千克后盐水是浓度为y ，试写出y 与x 的函数关系式及自变量x 取值范围。
解：依题意，得y(100-x)=100⨯20%,即y=x-10020 由水最多有80千克 所以800≤≤x 。
代数式、有理式、整式、分式、单项式、多项式
代数式、有理式、整式、分式、单项式、多项式代数式是由数字或字母及它们的乘积或一些简单运算符号如加减乘除等组成的式子。
它是用来表示数学关系的表达式，可以包含常数、变量和运算符。
有理式是由整式的分子和分母组成的，其中分子和分母都是整式。
有理式可以用来描述分数关系，其中分子和分母都可以是多项式。
整式是由常数项和多项式组成的，其中多项式又是由单项式相加或相减得到的。
整式是数学中常见的表达式形式，可以用来表示方程、函数等。
分式是由分子和分母组成的，其中分子和分母都可以是整式。
分式可以表示两个整式的除法关系，其中分子表示被除数，分母表示除数。
单项式是只包含一个项的代数表达式，它由常数与变量的乘积组成。
单项式可以表示数学中的某个量，例如表示长度、面积、体积等。
多项式是由多个单项式相加或相减得到的代数表达式。
多项式可以有多项，并且每一项都可以有不同的次数。
多项式在代数中经常出现，用来表示各种数学关系。
代数式、有理式、整式、分式、单项式、多项式在数学中起到了重要的作用。
它们是研究代数和数学关系的基本工具，被广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、经济学等。
通过这些数学表达式，我们可以描述和解决许多实际问题，并进一步发展数学理论。
代数式和有理式特别适用于解决分数关系和比例关系的问题，而整式和多项式则广泛应用于方程、多项式函数等领域。
总的来说，代数式、有理式、整式、分式、单项式、多项式是数学中常见的基本概念和表达形式。
它们是描述数学关系、解决实际问题的重要工具，也是数学理论发展的基石。
掌握这些概念和表达形式，有助于我们更好地理解和应用代数和数学的知识。
初中数学中的整式与分式
初中数学中的整式与分式整式和分式是初中数学中的两个重要概念，它们在代数运算、方程和不等式的解法中起着重要的作用。
本文将详细介绍整式和分式的定义、性质和应用。
一、整式的概念及性质整式是由常数与各种代数式通过有限次的加、减、乘运算得到的代数式。
一般形式为：\[ f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0 \]其中，$a_n, a_{n-1}, \ldots, a_1, a_0$ 是常数，$x$ 是变量，$n$ 是非负整数，称为整式的次数。
整式有以下性质：1. 整式的次数等于各项次数的最大值。
2. 整式的同类项可以合并，即同一次幂的项可以相加或相减。
3. 整式可以进行加、减、乘运算，运算结果仍然是整式。
整式在多项式方程的解法和多项式函数的性质研究中起着重要作用。
例如，在解一元二次方程时，我们将其化为标准形式后，可通过比较系数得到关于未知数的一元二次整式方程。
二、分式的概念及性质分式是由两个整式相除并在分子和分母中间用横线分隔的代数式。
一般形式为：\[ f(x) = \frac {p(x)}{q(x)} \]其中，$p(x)$ 和 $q(x)$ 是整式，且 $q(x)$ 不为零。
分式有以下性质：1. 分式的定义域是使分母不等于零的数。
2. 分式可以合并同分母的项，即分子相加或相减，分母保持不变。
3. 分式可以进行加、减、乘、除运算，运算结果仍然是分式。
分式常用于解有理方程和实际问题的建模。
例如，在解线性方程组时，我们常常将问题中的未知数用分式表示，通过消元或代入的方法求解。
三、整式和分式的应用1. 代数运算：通过整式的加、减、乘运算，可以简化表达式、化简多项式和求解方程等。
而分式的加、减、乘、除运算则在解有理方程和进行实际问题建模时起到关键作用。
2. 多项式函数：多项式函数是指以整式为函数取值的函数。
多项式函数有重要的性质，如连续性、奇偶性和单调性等。
浙教版数学知识点总结
浙教版数学知识点总结浙教版数学是中国浙江省教育厅制定的一套数学教材体系，有着严谨的内容和清晰的结构。
以下是对浙教版数学的知识点的总结。
一、集合与函数1. 集合的概念与表示方法：空集、全集、子集、真子集、交集、并集、补集等。
2. 集合的运算规律：交换律、结合律、分配律等。
3. 函数的概念与表示方法：自变量、因变量、定义域、值域等。
4. 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等。
5. 函数的图像与方程：点、线、抛物线、指数函数、对数函数等。
二、数与式1. 纯小数与有限小数、循环小数的相互转换。
2. 分数与运算：分数的四则运算、分数的化简与比较大小。
3. 整式与分式：整式的加减乘除、分式的加减乘除与化简。
4. 整式与方程：方程的解、方程的应用等。
三、一元一次方程与一元一次不等式1. 方程的解与解集：解的存在性与唯一性、解集的表示等。
2. 方程的整数解与正整数解。
3. 不等式的解与解集表示：解集的表示方法、解集的图像等。
4. 不等式的性质：加法性、乘法性等。
四、二元一次方程组与二元一次不等式组1. 方程组的概念与解的个数：解的存在性及具体解法等。
2. 方程组的解集的表示方法：解集的表示与求解等。
3. 不等式组的概念与解的个数：解的存在性及具体解法等。
4. 不等式组的解集的表示方法：解集的表示与求解等。
五、图形的认识与运动1. 点、线、面的概念和性质：点线面的表示、点线面的特性等。
2. 平行线与垂直线的判定：平行线的判定方法、垂直线的判定方法等。
3. 图形的平移、旋转、翻折4. 形状的相似判定与性质：形状相似的判断条件、相似图形的相应性质等。
六、平面图形的计算1. 三角形的性质：角的性质、边的关系等。
2. 三角形的构造：已知三边求三角形、已知两边和一角求三角形等。
3. 三角形的面积与周长：三角形的面积公式、周长的计算等。
4. 四边形的性质与面积计算：平行四边形、矩形、正方形等的性质与面积计算方法。
七、数据的收集与处理1. 调查数据的处理：数据的收集、整理、统计与展示等。
整式与分式的概念
整式与分式的概念整式与分式是数学中常见的两种表达方式。
首先，整式是由字母、数字、常数及加减乘除符号组成的式子，其特点是不含有除法运算。
例如，3x^2-5xy+2y^3是一个整式。
整式可以是一元的，也可以是多元的。
一元整式指只含有一个变量的整式，如2x^2+4x-1；多元整式指含有多个变量的整式，如3x^2y+5xy^2-6xyz。
整式可以进行加法、减法及乘法运算，运算结果仍然是一个整式。
接下来，分式是由分子和分母组成的表达式，其中分子和分母都可以是整式。
分式的特点是含有除法运算。
分式的一般形式为a/b，其中a为分子，b为分母，a和b都可以是整式。
例如，(3x^2+2y)/(5xy-7)就是一个分式。
分式可以进行除法运算，运算结果仍然是一个分式，例如(3x^2+2y)/(5xy-7)÷(x+y)。
整式和分式在数学中有着广泛的应用。
首先，整式可以用来表示多项式函数。
多项式函数是指由整式构成的函数，其中变量的指数为非负整数。
多项式函数的图像通常是曲线或折线，可以用来描述各种现象和模型。
例如，抛物线函数f(x) = 2x^2-5x+3是一个二次多项式函数，它的图像是一个开口向上的抛物线。
其次，分式可以用来表示有理函数。
有理函数是指由分式构成的函数，其中变量的指数可以是整数。
有理函数的图像通常是曲线或多条曲线，可以用来描述各种现象和模型。
有理函数的定义域是除去使分母为0的实数，例如，有理函数f(x) = (2x^2+3x-5)/(x-1)的定义域是除去x=1的所有实数。
此外，整式和分式在方程、不等式及解析几何等数学领域中也有广泛的应用。
方程和不等式的解可以是数值，也可以是整式或分式。
解析几何中对象的坐标通常可以用整式或分式表示。
总结起来，整式和分式都是数学中常见的表达方式，分别通过整数和分数的形式来描述数学问题和现象。
他们在数学和其他学科的研究中起到了重要的作用。
第三讲整式、分式、函数,方程和不等式讲义
第二部分 初等代数第三讲 整式、分式和函数一、整式与分式1、⎧⎨⎩单项式：若干字母与数字之积整式多项式：若干单项式之和2、乘法运算（1）单项式×单项式 2x ·32x =63x （2）单项式×多项式 x （2x-3）=22x -3x （3）多项式×多项式（2x+3）（3x-4）=62x +x-12 3、乘法公式（重点） （1）222()2a b a ab b ±=±+（2）2222()222a b c a b c ab bc ac ++=+++++ 2222()222a b c a b c ab bc ac --=++-+-（3）33322()33a b a b a b ab +=+++33322()33a b a b a b ab -=--+（4）22()()ab a b a b -=+-（5）3322()()a b a b a ab b +=+-+ 3322()()a b a b a ab b -=-++（6）2222221()()()2ab c ab bc ac a b b c a c ⎡⎤++±±±=±+±+±⎣⎦ 4、分式：用A,B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成A B 的形式，如果B 中还有字母，式子AB就叫分式，其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。
在解分式方程的时候要注意检验是否有増根.5、有理式：整式和分式统称有理式.6、分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变.7、分式的约分：其目的是化简，前提是分解因式.8、分式通分：目的是化零为整，前提是找到公分母，也就是最小公倍式.9、分式的运算：加减法：a c a cb b b ±±= bdbc ad d c b a ±=±乘法：bdacd c b a =⋅除法：bcad c d b a d c b a =⋅=÷乘方：nnn ba b a =)(10、余式的定义（重点）：被除式=除式×商+余式F(x)=f （x ）g(x)+r(x)当r （x ）=0时，称为整除 11、()()()f x x a f x x a -⇔-含有（）因式能被整除. 12.因式定理（重点）：f(x)含有（ax-b ）因式⇔f(x)可以被（ax-b ）整除⇔f(ba)=0 f(x)含有（x-a ）因式⇔f(a)=0 13、余式定理（重点）： f(x ）除以ax-b 的余式为f(b a)二、因式分解常用的因式分解的方法 1、提公因式法 例 222224223)3(2)96(218122y x x y xy x x xy y x x -=+-=+-2、公式法))(()(33))(()(222333322322222b ab a b a b a b a b ab b a a b a b a b a b a b ab a +±=±±=±+±-+=-±=+±3、十字相乘因式分解，适用于2ax bx c ++.三、函数：指数和对数的性质（一）指数(,01)xa a a >≠指数函数且 1、n m n ma a a+=⋅ 2、n m n m a a a -=÷ 3、mn nm a a=)( 4、m m m b a ab =)(5、m m mb a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛ 6、）（0.......1≠=-a a a n n 7、100=≠a a时，当（二）对数(log ,01)a x a a >≠对数函数且 1、对数恒等式 N N e N a N a ln log ==，更常用 2、N M MN a a a log log )(log += 3、N M NMa a a log log )(log -= 4、M n M a na log )(log =5、M nM a na log 1log =6、换底公式aMM b b a log log log =7、1log 01log ==a a a ，四、经典例题： 例1322()11f x x a x ax x a =++-+=能被整除，则( ).（A ）2或-1 （B ）2 （C ）-1 （D ）2± （E ）1±例2()f x 除以213x x ++余，除以余-1，则()f x 除以()()23x x ++的余式为( ).（A ）25x - （B ）25x + （C ）1x - （D ）2x + （E ）21x -例3 22223(ac )(),,b a b c a b c ++=++则的关系为 ( ).（A ）a b b c +=+ （B ）1a b c ++= （C ）a b c ==（D ）1ab bc ac === （E ）1abc =例4 2222,22,,236A x yB y zC z x A B C πππ=-+=-+=-+,,则( ).（A ）至少有一个大于0 （B ）都大于0 （C ）至少有一个小于0 （D ）都小于0 （E ）至少有两个大于0例5 已知22(2000)(1998)1999(2000)(1998)a a a a --=-+-=,则( ).（A ）4002 （B ）4012 （C ）4020 （D ）4022 （E ）4000例6 2214,28x xy y y xy x x y ++=++=+=，则( ).（A ）6或-7 （B ）6或7 （C ）-6或-7 （D ）-6或7 （E ）6例7 22213102xx x x-+=+-=，则( ). （A ）2 （B ）3 （C ）1 （D ）2 （E ）5例8(252)(472)(692)(8112)(201420172)(142)(362)(582)(7102)(201320162)⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+（ ）.（A ）1002 （B ）1008 （C ）1028 （D ）988 （E ）968例9 3322015220152013201520152016-⨯-=+-（ ）.例10 已知11252000,802000x yx y==+=，则( ). （A ）12（B ）32（C ）1 （D ）2 （E ）3例11 已知0.30,log 33,,a b c a b c ππ===，,则关系为( ).（A ）a b c >> （B ）b c a >> （C ）b a c >> （D ）a c b >> （E ）c b a >>例12 已知log 2log 20,a b a b <<,则关系为( ).（A ）01a b <<< （B ）01b a <<< （C ）1a b >> （D ）1b a >> （E ）1b a >>例13 已知3342727xx x x --+=+=，则( ).（A ）64 （B ）60 （C ）52 （D ）48 （E ）36方程 不等式一、基本定义1、元：方程中未知数的个数； 次：方程中未知数的最高次方数.2、一元一次方程 ()0ax b a =≠ 得b x a=3、一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax⇔一元二次方程02=++c bx ax ，因为一元二次方程就意味着0≠a。
掌握数学中的整式与分式运算
掌握数学中的整式与分式运算数学是一门综合性强的学科，其中整式与分式运算是数学中重要的一部分。
掌握整式与分式运算对于正确解题以及日常生活中的数学应用至关重要。
本文将介绍整式与分式的基本概念、运算规则以及实际应用，旨在帮助读者更好地理解与掌握这一知识。
一、整式的定义与运算整式是由常数与变量按照加减乘的运算法则经过有限次运算所得到的代数式。
常见的整式有多项式、单项式以及常数项。
1. 多项式多项式是由若干个单项式按照加法或减法的运算法则组成的代数式。
例如，下面的代数式就是一个多项式：3x^2 + 2xy - 7其中，3x^2、2xy、-7分别为单项式，而+和-则是相邻单项式之间的加法或减法运算符。
2. 单项式单项式是指只有一个项的代数式，它可以是常数、变量、或者带有指数的变量乘积。
例如，下面的代数式就是一个单项式：-5xy^2其中，-5是一个常数项，xy^2是带有指数的变量乘积。
常数项是指只包含常数的代数式。
例如，下面的代数式就是一个常数项：-7整式的运算遵循相同项合并、合并同类项、使用分配律等基本运算法则。
例如，对于下面的两个整式进行加法运算：3x^2 + 2xy - 7和2x^2 - 3xy + 5按照相同项合并的规则，合并同类项，我们可以得到结果：5x^2 - xy - 2二、分式的定义与运算分式是由两个整式构成的一个比值，其中分子为被除数，分母为除数。
分式在日常生活和数学应用中都具有重要意义。
1. 定义分式的一般形式可以表示为a/b，其中a为分子，b为分母，且b不能为0。
例如，下面的代数式就是一个分式：2x/(x+1)其中2x为分子，x+1为分母。
分式的运算包括加法、减法、乘法和除法等。
与整式运算类似，分式的运算也需要合并同类项、约分等操作。
- 加法和减法：分式的加法和减法运算需要找到公共分母，然后将分子进行相应的运算。
例如，对于分式2/3 + 1/2，我们需要先找到它们的公共分母为6，然后进行运算得到结果5/6。
小学数学重点认识整式和分式的概念
小学数学重点认识整式和分式的概念数学是我们日常生活中不可或缺的一部分，它帮助我们理解世界的规律并解决问题。
在小学数学中，认识整式和分式的概念是非常重要的。
在本文中，我们将介绍整式和分式的定义、性质以及它们在数学中的应用。
一、整式的概念整式是由常数和变量按照加、减、乘的运算规则组成的代数式。
简单来说，整式就是没有分数、开根号等运算符号的代数式。
例如，3x²+ 2xy - 5是一个整式，其中的3、2、-5分别是常数，x²和xy是变量的项。
整式有许多重要的性质。
首先，整式的加法和乘法满足交换律、结合律和分配律。
这意味着整式的加法和乘法可以随意改变顺序，进行合并和展开运算。
其次，整式有相反数和零元素。
对于任何整式a，都存在一个整式-b，使得a + b = 0。
同时，对于任何整式a，都存在一个整式0，使得a + 0 = a。
最后，整式的次数是指整式中所有单项式次数的最高值。
例如，对于整式2x⁴ + 3x² + 1，它的次数为4。
整式在数学中有广泛的应用。
它们可以用于解简单的方程和不等式，也可以用于建模和解决实际问题。
通过对整式的运算和化简，可以帮助我们更好地理解和分析数学中的各种问题。
二、分式的概念分式是由两个整式按照除法的运算规则组成的代数式。
通常，分式的形式为a/b，其中a和b是整式，且b不等于0。
在分式中，a称为分子，b称为分母。
例如，2/3是一个简单的分式，其中2为分子，3为分母。
分式也有一些重要的性质。
首先，分式可以进行加、减、乘、除的运算。
其中，加法和减法要求两个分式的分母相同，而乘法和除法则没有限制。
其次，分式可以进行约分和扩分。
约分是指将分式的分子和分母同时除以一个公因数，从而简化分式的形式。
扩分是指将分式的分子和分母都乘以同一个非零因式，从而得到等价的分式。
分式在数学中也有广泛的应用。
它们可以用于解复杂的方程和不等式，也可以用于计算比例、概率等问题。
分式的运算和化简可以帮助我们更好地处理数学中涉及到分数的各种情况。
代数式整式分式的区别
代数式整式分式的区别摘要：1.代数式、整式、分式的定义和关系2.代数式的特点和分类3.整式的特点和分类4.分式的特点和分类5.三者之间的区别和联系正文：代数式、整式、分式是数学中常见的三种表达方式，它们在数学问题中有着广泛的应用。
许多人对这三者之间的区别和联系存在困惑，下面我们将逐一解析它们的定义和特点。
首先，我们来了解一下代数式。
代数式是由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式。
例如：axb，2，b/26，a等。
代数式可以包含加、减、乘、除等运算，也可以包含乘方和开方等运算。
接下来，我们来看看整式。
整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加、减、乘、除四种运算，但在整式中除数不能含有字母。
整式分为单项式和多项式，单项式是只包含一个字母的整式，多项式则是包含多个字母的整式。
最后，我们来了解一下分式。
分式是指分母中含有字母的有理式，分式的除数可以含有字母。
例如：x-1/x。
分式和整式、代数式一样，都包含加、减、乘、除等运算。
总结一下，整式和分式统称为代数式。
代数式包含了整式和分式，它俩的区别在于整式的除数不能含有字母，而分式的除数可以含有字母。
同样，代数式也包含了单项式和多项式，它们之间的区别在于单项式只包含一个字母，而多项式包含多个字母。
了解这三者之间的区别和联系，有助于我们更好地理解和应用它们在数学问题中的关系。
例如，在解决一些代数问题时，我们可能需要将代数式化简为整式或分式，这就需要我们清楚地区分和掌握这三者的特点和运算规则。
整式分式根式总结归纳
整式分式根式总结归纳整式、分式和根式是数学中常见的代数表达形式。
在学习和应用这些表达式时，我们需要了解其定义、性质以及使用方法。
本文将对整式、分式和根式进行总结和归纳，以帮助读者更好地理解和运用这些数学概念。
1. 整式整式是指由常数、未知数及它们的乘积与积和经有限次加减运算得到的代数式。
在整式中，常数和未知数的指数可以是任意整数。
整式的一般形式可以表示为：$$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0$$其中，$n$为整数，$a_n$到$a_0$为常数，$x$为未知数。
整式的运算包括加法、减法、乘法和乘方。
在进行整式的运算时，需要遵循相应的运算法则，如同底数相乘保留底数、指数相加减等。
2. 分式分式是指由整式作为分子和分母，通过除法表示的代数式。
在分式中，分母不能为零。
分式的一般形式可以表示为：$$\frac{f(x)}{g(x)}$$其中，$f(x)$和$g(x)$是整式，$g(x)$不等于零。
分式的运算包括加法、减法、乘法和除法。
在进行分式的运算时，需要对分子和分母分别进行运算，再根据运算法则进行简化。
3. 根式根式是指形如$\sqrt[n]{x}$的代数表达式，其中$n$为根号的指数，$x$为被开方数。
在根式中，指数$n>1$且$x\geq0$。
根式的一般形式可以表示为：$$\sqrt[n]{x}$$根式的运算包括简化、相加减和乘方运算等。
简化根式时，需要将根号下的数化简为最简形式，即去除可开方数的因子。
相加减根式时，需要保持根号下的数相同，再进行求和或相减。
乘方运算可以将根式化简为指数式，从而方便计算。
通过对整式、分式和根式的总结和归纳，我们可以更好地理解和应用这些数学概念。
在实际问题中，我们可以利用整式、分式和根式的性质和运算法则进行求解，从而解决各类数学和实际应用中的问题。
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2 x( x 3 y)2
3.十字相乘法：
3x 2 2 x 8 (3x 4)(x 2)
3
4
2 1 6 4 2
4.分组分解法：
a 2 2ab b 2 c 2
(a b)2 c2 (a b c)(a b c)
步骤：一提、二套、三分组
4 x 3 y 6 z 0 x 2 y 7 z 0
8x 6 y 12z 0 3x 6 y 21z 0
y 2z
2 x 2 3 y 2 6 z 2 18z 2 12z 2 6 z 2 36 1 2 2 2 2 2 2 36 9 z 20z 7 z x 5y 7z
2 2
1 2 (a 2) (b ) 0 4
2
1 a 2，b 4
a2 4 b 4 2 2
例6 已知数 14 的小数部分是 b , 求b 4 12b3 37b 2 6b 20 的值
14 3 b
b4 12b3 37b2 6b 20 (b4 12b3 36b2 ) (b2 6b) 20 b2 (b2 12b 36) (b2 6b 9) 29 b2 (b 6)2 (b 3)2 29
（4）竖式除法： (4x3 5x 2 3x 8) ( x 2 2x 1)
例： (4x3 5x2 3x 8) ( x2 2x 1)
4x 3 3 2 x 2 2 x 1 4 x 5 x 3x 8 4 x3 8x 2 4 x
【考点的典型例题】
[题型1] 乘法公式的恒等变形 例1. 设 a , b , c 是互不相等的实数，且 x a 2 bc，y b2 ac，z c 2 ab ，则 x , y , z 满足（ ） A. 都大于 0 B. 至少有一个大于 0 C. 都不小于 0 D. 至少有一个小于 0 E. 都小于 0
b c a 3 b c a
ab 1 bc 1 ca 1 abc ， , , 则 ( 例3 若 ab 3 bc 4 ca 5 ab bc ca 1 A. 2 1 B. 3 1 C. 4 1 D. 5 1 E. 6
)
ab bc ca 3， 4, 5 Байду номын сангаасb bc ca
F ( x) f ( x) h( x) r ( x)
（2）余数定理：
F ( x) f ( x) ( x a ) r F ( x) f ( x) (ax b) r
r F (a) b r F( ) a
（3）因式定理： 若 F (a) = 0 , 则 F (x) 含有因式 ( x – a )
1 1 1 1 1 1 3， 4, 5 a b b c c a
1 1 1 1 1 1 2( ) 12， 6 a b c a b c
abc 1 1 ab bc ca 1 1 1 6 a b c
则实数 a、b = （ A. 1, – 3
） C. – 2, 3 D. 1, 3 E. – 3, – 1
B. – 3, 1
x3 2x 2 ax b ( x2 x 2)h( x) (2x 1) x3 2x 2 ax b ( x 1)(x 2)h( x) (2x 1)
1 1 1 1 1 1 例2 设 a b c 0 ，则 a b c b c a c a b 的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. – 2 D. 2 E. – 3
1 1 1 1 1 1 ac ab bc a b c b c a b c a c a b
系统班数学第二部：代数
第一章 整式、分式和函数 第二章 方程和不等式 第三章 数列
第一章 整式、分式和函数
第一节 整 式
一、代数式及其分类
单项式：仅是数与字母非负整数幂的乘积
1 2 xy 2
整式
代数式 分式
1 2 xy 3xz 多项式：有限个单项式的代数和 2
二. 整式的运算 1. 整式的加减运算: 去括号、合并同类项 . 2. 整式的乘法运算: 分配率、合并同类项
x y z a 2 b2 c 2 ab ac bc 2( x y z) 2a 2 2b2 2c 2 2ab 2ac 2bc (a b)2 (a c)2 (b c)2 0
例2. 有 a = b = c = d 成立 （1）a2 + b2 + c2 + d2 – ab – bc – cd – da = 0
（1）令 x = 0 ：
a0 1
充分
再令 x = 1 ： a0 a1 a2 a3 a15 0
（2）令 x = 0 ：
a0 1
选A
7 再令 x = 1 ： a0 a1 a2 a3 a15 2
[题型4] 整式的除法、因式定理、余式定理 例8 如果 x 1 整除 x3 a 2 x 2 ax 1 ，则实数 a = （ A. 0 B. – 1 C. 2 D. – 1 或 2 ） E. 0 或 – 1
【考点的典型例题】
[题型1] 分式的恒定变形及运算
2x2 3 y 2 6z 2 例1 设 4 x 3 y 6 z 0, x 2 y 7 z 0 ，则 2 x 5y2 7z2 的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 1 / 2 D. 2 / 3
x 3z
E. 3
a b 9 2a b 16
a 7 b 2
第二节 分 式
一. 分式的基本性质 分子和分母同乘以 ( 或同除以 ) 同一个不为零的式子,
分式的值不变 .
用基本性质可将分式化为最简分式 ( 既约分式 ) 二. 分式的运算 (1). 分式的加减法运算: 通分母后 , 分母不变 , 分子相加减 . (2). 分式的乘除法运算: 乘法运算 : 分子乘分子 , 分母乘分母 . 除法运算 : 化为乘法运算 .
乘法公式 .
(a b) a 2 ab b
2 2
2
(a b)(a b) a 2 b2
(a b c)2 a 2 b2 c2 2 ab 2 ac 2 bc
(a b)3 a3 3 a 2b 3 ab2 b3
令 x = – 1 ： 1 2 a b (2 1) 令 x=2 ：
ab 2 2a b 5
8 8 2a b (4 1)
例10 设 f (x) 为多项式，除以 x – 1 余数为 9 ；除以 x – 2 余数为 16；则 f (x) 除以 ( x – 1 ) ( x – 2 ) 的余式为（ A. 7 x + 2 B. 7 x + 3 C. 7 x + 4 ） E. 2 x + 7
等式变形： a 4 2a 2b 2 b 4 c 4 2c 2 d 2 d 4 2(a 2b 2 2abcd c 2 d 2 ) 0
(a 2 b2 )2 (c2 d 2 )2 2(ab cd )2 0
只要取 a = b = – c = – d 等式都成立
5.双十字相乘法：针对二元二次六项式
ax2 bxy cy2 dx ey f 例：2x2 7 xy 22y 2 5x 35y 3
a
2 1
c
11
f
1
2
3
2 x 2 7 xy 22y 2 5x 35y 3 (2 x 11y 1)(x 2 y 3)
3 2
2 2 例4 若 x 3x 2xy y 3 y 40 ( x y m)(x y n)， 1 1 则 （ ） m n 40 3 3 40 A. B. C. D. E. 以上结论都不正确 3 40 40 3
双十字相乘法求 m , n ：
a
1 1
3x 2 7 x 8 3x 2 6 x 3
x5
4x3 5x 2 3x 8 (4x 3)(x 2 2x 1) ( x 5)
三. 多项式的分解因式 1.提公因式法：
ax bx cx x(a b c)
3 2 2 4 2 2 4 2.公式法： 2x 12x y 18xy 2x( x 6xy 9 y )
[题型2] 考查待定系数法 例3 如果多项式 f ( x) x px qx 6 含有一次因式 x +1 和 3 x ，则多项式另外一个一次因式是（ ） 2 A. x – 2 B. x + 2 C. x – 4 D. x + 4 E. x + 5
3 2
3 f ( x) x px qx 6 ( x 1)( x )( x m) 2 3m f ( 0) 6 m4 2
c
1 1
f
5 8
m=5, n=–8
1 1 3 5 8 40
解法2：将等式右端展开，比较系数求 m , n ：
[题型3] 代数式的求值及多项式的展开
b 65 0 求 a 2 4 b 的值 例5 已知 a 4a b 2 16
2 2
b 1 1 65 (a 4a 4) (b ) 4 0 2 16 16 16
( 14 3)2 ( 14 3)2 14 29 (14 9)2 15 10
例7 a1 a2 a3 a15 1
(1) ( x 1)7 ( x 1)8 a0 a1x a2 x2 a3 x3 a15 x15 (2) ( x 1)7 (2x 1)8 a0 a1x a2 x2 a3 x3 a15 x15