用列举法求概率
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第 第 一个 二个
解：由列表得，同时掷两个骰子， 可能出现的结果有36个，它们出现 的可能性相等。 （1）满足两个骰子的点数相同（记 为事件A）的结果有6个，则
6 1 P（A）= = 36 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) （2）满足两个骰子的点数之和是 9
巩固练习
1. 经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能左转或右转，如果这三种可能性大 小相同，同向而行的三辆汽车都经过这个十字路口时，求下列事件的概率： （1）三辆车全部继续直行（2）两辆车右转，一辆车左转（3）至少有两辆车左转
左 左 直 右 左 直 直 右 左 右 直 右
左 直 右左 直 右左 直 右 左 直 右左 直 右左 直 右 左 直 右左 直 右左 直 右 左 左 左 左 左 左 左 左 左直 直 直直 直 直 直 直 直 右 右 右右 右 右 右 右 右 左 左 左 直 直 直 右 右 右左 左 左直 直 直 右 右 右 左 左 左直 直 直 右 右 右 左 直 右 左 直 右 左 直 右左 直 右左 直 右 左 直 右 左 直 右左 直 右 左 直 右
用列举法求概率
例题2
例2：同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率： （1）两个骰子的点数相同 （2）两个骰子的点数之和是9 （3）至少有一个骰子的点数为2
用列举法求概率
例题2
同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率： （1）两个骰子的点数相同
（2）两个骰子的点数之和是9
（3）至少有一个骰子的点数为2
A
正
反
B
正
反
(正,正)
(反,正)
(正,反)
(反,反)
总共4种结果,每种结果出现的可能性相同.
(2)所有结果中,满足两枚硬币全部反面朝上的结果只 有一个,即”(反,反)”,所以 1 P(两枚硬币全部反面朝上)= 4 (3)所有结果中,满足一枚硬币正面朝上, 一枚硬币反 面朝上的结果有2个,即”(正,反),(反,正)”,所以 P(一枚硬币正面朝上,一枚硬币反面朝上)= 2 1 4 2
12 满足只有两个元音字母的结果有 4个， 4 1 I 则 P（两个元音）= = 12 3 B 满足三个全部为元音字母的结果有1 E 1 个，则 P （三个元音） = I 12 （2）满足全是辅音字母的结果有2 个，则 P（三个辅音）= 2 = 1 12 6
用列举法求概率
思考二
第 第 一个 二个
想一想，什么时候用“列表法”方便，什么时候用“树形图”方便？
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
用列举法求概率
例3：在6张卡片上分别写有1－6的整数，随机地抽取一张后放 回，再随机地抽取一张，那么第一次取出的数字能够整除第二 次取出的数字的概率是多少？
正正
正反
反正
反反
为了不重不漏地列出所有这些结果, 你有什么好办法么？
问题：利用分类列举法可以知道事件发生的各种情况， 对于列举复杂事件的发生情况还有什么更好的方法呢？ 例1.掷两枚硬币,求下列事件的概率: (1)两枚硬币全部正面朝上; (2)两枚硬币全部反面朝上; (3)一枚硬币正面朝上,一枚硬币反面朝上. 解:其中一枚硬币为A,另一枚硬币为B,则所有可能结果如 表所示: B
P（A）=
7 14 = 36 18
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
用列举法求概率
例题4
例4：甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B； 乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C、D和E； 丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I。 从3个口袋中各随机地取出1个小球。 （1）取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分 别是多少？ （2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？ 本题中元音字母: A E I 辅音字母: B C D H
复习
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并 且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种 结果，那么事件A发生的概率为：
m P( A) n
P(A)的取值范围是什么？ 0≤ P(A) ≤ 1 特别地：当A为必然事件时，P(A)=1； 当A为不可能事件时，P(A)=0.
复习
求概率的步骤：
当一次试验涉及两个因素时，且可能 出现的结果较多时，为不重复不遗漏地 列出所有可能的结果，通常用列表法
用列举法求概率
思考二
巩固练习：在一个盒子中有质地均匀的3个小球，其中两个 小球都涂着红色，另一个小球涂着黑色，则计算以下事件的 概率选用哪种方法更方便？ 1、从盒子中取出一个小球，小球是红球 直接列举
练习 2、有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙恰好能分别打开 这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁。任意取一把钥匙去 开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？
解: 设有A,B两把锁和a,b,c三把钥匙,其中钥匙a,b分别 可以打开锁A,B.列出所有可能的结果如下:
a b c
A
B
A
B
A
B
P(一次打开锁)=
(1)列举出一次试验中的所有结果(n个)； (2)找出其中事件A发生的结果(m个)；
m (3)运用公式求事件A的概率： P ( A) n
例1：掷两枚硬币，求下列事件的概率：
(1)两枚硬币全部正面朝上；
(2)两枚硬币全部反面朝上； (3)一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上； “掷两枚硬币”共有几种结果？
第 第 一次 二次
2、如果把上一个例题中的 “同时掷两个骰子”改为“把 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 一个骰子掷两次”，所有可能 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 出现的结果有变化吗？
1
2
3
4
5
6
3 4 5 6
改动后所有可能出现的结 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 果没有变化
解：由树形图得，所有可能出现的结果有27个，它们出现的可能性相等。 （1）三辆车全部继续直行的结果有1个，则 P（三辆车全部继续直行）= （2）两辆车右转，一辆车左转的结果有3个，则
1 27
3 1 P（两辆车右转，一辆车左转）= = 27 9 7 （有两辆车左转）= 27
2 = 6
1 3
练习
3、一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁 在每个岔口都会随机地选择一条路径，它获得食物的 概率是多少？
食物
由图可知蚂蚁寻找 食物路径有6种， 而获得食物概率为 P=1/3
蚂蚁
1
2
3
4
5
6
C H I H
A D I H E I H C I H
B D I H E I
1 2 3 4 5 6
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) A A A A A A B B B B B B (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) C C D D E E C C D D E E H I H I H I H I H I H I (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 当一次试验涉及3个因素或3个以上 的因素时，列表法就不方便了，为不 重复不遗漏地列出所有可能的结果， 通常用树形图
A
正
反
正 反
(正,正) (反,正)
(正,反) (反,反)
总共4种结果,每种结果出现的可能性相同. (1)所有结果中,满足两枚硬币全部正面朝上的结果只 有一个,即”(正,正)”,所以 1 P(两枚硬币全部正面朝上)= 4
例1.掷两枚硬币,求下列事件的概率: (1)两枚硬币全部正面朝上; (2)两枚硬币全部反面朝上; (3)一枚硬币正面朝上,一枚硬币反面朝上. 解:其中一枚硬币为A,另一枚硬币为B,则所有可能结果如表所示:
2、从盒子中每次取出一个小球，取出后再放回，取出两球 的颜色相同 列表法或树形图 3、从盒子中每次取出一个小球，取出后再放回，连取了三 次，三个小球的颜色都相同 树形图
用列举法求概率
课堂小结
（1）我们学习的概率问题有什么特点？
特点：一次试验中可能出现的结果是有限多个， 各种结果发生的可能性是相等的。 （2）为了正确地求出所求的概率，我们要求出各种 可能的结果，那么通常是用什么方法求出各种可 能的结果呢？ 通常可用直接列举，列表法或树形图法求出各种 可能的结果。
1
2
3
4
5
6
2 3 4 5 6
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) （记为事件B）的结果有4个，则
4 1 P（B）= = (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 36 9
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) P（C）= (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
甲
A C I H D I H E I H C I H
B D I H
结果有12个，它们出现的可能性相 等。 E （1）满足只有一个元音字母的结果 5 有5个，则 P（一个元音）=
乙
丙 H
A A A A A A B B B B B C C D D E E C C D D E H I H I H I H I H I H
用列举法求概率
例题4
甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B； 乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别 写有字母C、D和E；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I。 从3个口袋中各随机地 取出1个小球。 （1）取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别是多少？ （2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？ 解：由树形图得，所有可能出现的
（3）满足至少有一个骰子的点数为 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 2（记为事件C）的结果有11个，则
11 36
用列举法求概率
思考一
当一次试验涉及两个因素时，且可能出现的结果较 多时，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用
1、什么时候用“列表法”方便？
列表法。
第 第 一张 二张
1
2
3
4
5
6
解：由列表得，两次抽取卡片后， 可能出现的结果有36个，它们出现 的可能性相等. 满足第一次取出的数字能够整 除第二次取出的数字（记为事件A） 的结果有14个，则
1 2 3 4 5 6
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
解：由列表得，同时掷两个骰子， 可能出现的结果有36个，它们出现 的可能性相等。 （1）满足两个骰子的点数相同（记 为事件A）的结果有6个，则
6 1 P（A）= = 36 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) （2）满足两个骰子的点数之和是 9
巩固练习
1. 经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能左转或右转，如果这三种可能性大 小相同，同向而行的三辆汽车都经过这个十字路口时，求下列事件的概率： （1）三辆车全部继续直行（2）两辆车右转，一辆车左转（3）至少有两辆车左转
左 左 直 右 左 直 直 右 左 右 直 右
左 直 右左 直 右左 直 右 左 直 右左 直 右左 直 右 左 直 右左 直 右左 直 右 左 左 左 左 左 左 左 左 左直 直 直直 直 直 直 直 直 右 右 右右 右 右 右 右 右 左 左 左 直 直 直 右 右 右左 左 左直 直 直 右 右 右 左 左 左直 直 直 右 右 右 左 直 右 左 直 右 左 直 右左 直 右左 直 右 左 直 右 左 直 右左 直 右 左 直 右
用列举法求概率
例题2
例2：同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率： （1）两个骰子的点数相同 （2）两个骰子的点数之和是9 （3）至少有一个骰子的点数为2
用列举法求概率
例题2
同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率： （1）两个骰子的点数相同
（2）两个骰子的点数之和是9
（3）至少有一个骰子的点数为2
A
正
反
B
正
反
(正,正)
(反,正)
(正,反)
(反,反)
总共4种结果,每种结果出现的可能性相同.
(2)所有结果中,满足两枚硬币全部反面朝上的结果只 有一个,即”(反,反)”,所以 1 P(两枚硬币全部反面朝上)= 4 (3)所有结果中,满足一枚硬币正面朝上, 一枚硬币反 面朝上的结果有2个,即”(正,反),(反,正)”,所以 P(一枚硬币正面朝上,一枚硬币反面朝上)= 2 1 4 2
12 满足只有两个元音字母的结果有 4个， 4 1 I 则 P（两个元音）= = 12 3 B 满足三个全部为元音字母的结果有1 E 1 个，则 P （三个元音） = I 12 （2）满足全是辅音字母的结果有2 个，则 P（三个辅音）= 2 = 1 12 6
用列举法求概率
思考二
第 第 一个 二个
想一想，什么时候用“列表法”方便，什么时候用“树形图”方便？
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
用列举法求概率
例3：在6张卡片上分别写有1－6的整数，随机地抽取一张后放 回，再随机地抽取一张，那么第一次取出的数字能够整除第二 次取出的数字的概率是多少？
正正
正反
反正
反反
为了不重不漏地列出所有这些结果, 你有什么好办法么？
问题：利用分类列举法可以知道事件发生的各种情况， 对于列举复杂事件的发生情况还有什么更好的方法呢？ 例1.掷两枚硬币,求下列事件的概率: (1)两枚硬币全部正面朝上; (2)两枚硬币全部反面朝上; (3)一枚硬币正面朝上,一枚硬币反面朝上. 解:其中一枚硬币为A,另一枚硬币为B,则所有可能结果如 表所示: B
P（A）=
7 14 = 36 18
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
用列举法求概率
例题4
例4：甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B； 乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C、D和E； 丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I。 从3个口袋中各随机地取出1个小球。 （1）取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分 别是多少？ （2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？ 本题中元音字母: A E I 辅音字母: B C D H
复习
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并 且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种 结果，那么事件A发生的概率为：
m P( A) n
P(A)的取值范围是什么？ 0≤ P(A) ≤ 1 特别地：当A为必然事件时，P(A)=1； 当A为不可能事件时，P(A)=0.
复习
求概率的步骤：
当一次试验涉及两个因素时，且可能 出现的结果较多时，为不重复不遗漏地 列出所有可能的结果，通常用列表法
用列举法求概率
思考二
巩固练习：在一个盒子中有质地均匀的3个小球，其中两个 小球都涂着红色，另一个小球涂着黑色，则计算以下事件的 概率选用哪种方法更方便？ 1、从盒子中取出一个小球，小球是红球 直接列举
练习 2、有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙恰好能分别打开 这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁。任意取一把钥匙去 开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？
解: 设有A,B两把锁和a,b,c三把钥匙,其中钥匙a,b分别 可以打开锁A,B.列出所有可能的结果如下:
a b c
A
B
A
B
A
B
P(一次打开锁)=
(1)列举出一次试验中的所有结果(n个)； (2)找出其中事件A发生的结果(m个)；
m (3)运用公式求事件A的概率： P ( A) n
例1：掷两枚硬币，求下列事件的概率：
(1)两枚硬币全部正面朝上；
(2)两枚硬币全部反面朝上； (3)一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上； “掷两枚硬币”共有几种结果？
第 第 一次 二次
2、如果把上一个例题中的 “同时掷两个骰子”改为“把 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 一个骰子掷两次”，所有可能 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 出现的结果有变化吗？
1
2
3
4
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6
3 4 5 6
改动后所有可能出现的结 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 果没有变化
解：由树形图得，所有可能出现的结果有27个，它们出现的可能性相等。 （1）三辆车全部继续直行的结果有1个，则 P（三辆车全部继续直行）= （2）两辆车右转，一辆车左转的结果有3个，则
1 27
3 1 P（两辆车右转，一辆车左转）= = 27 9 7 （有两辆车左转）= 27
2 = 6
1 3
练习
3、一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁 在每个岔口都会随机地选择一条路径，它获得食物的 概率是多少？
食物
由图可知蚂蚁寻找 食物路径有6种， 而获得食物概率为 P=1/3
蚂蚁
1
2
3
4
5
6
C H I H
A D I H E I H C I H
B D I H E I
1 2 3 4 5 6
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) A A A A A A B B B B B B (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) C C D D E E C C D D E E H I H I H I H I H I H I (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 当一次试验涉及3个因素或3个以上 的因素时，列表法就不方便了，为不 重复不遗漏地列出所有可能的结果， 通常用树形图
A
正
反
正 反
(正,正) (反,正)
(正,反) (反,反)
总共4种结果,每种结果出现的可能性相同. (1)所有结果中,满足两枚硬币全部正面朝上的结果只 有一个,即”(正,正)”,所以 1 P(两枚硬币全部正面朝上)= 4
例1.掷两枚硬币,求下列事件的概率: (1)两枚硬币全部正面朝上; (2)两枚硬币全部反面朝上; (3)一枚硬币正面朝上,一枚硬币反面朝上. 解:其中一枚硬币为A,另一枚硬币为B,则所有可能结果如表所示:
2、从盒子中每次取出一个小球，取出后再放回，取出两球 的颜色相同 列表法或树形图 3、从盒子中每次取出一个小球，取出后再放回，连取了三 次，三个小球的颜色都相同 树形图
用列举法求概率
课堂小结
（1）我们学习的概率问题有什么特点？
特点：一次试验中可能出现的结果是有限多个， 各种结果发生的可能性是相等的。 （2）为了正确地求出所求的概率，我们要求出各种 可能的结果，那么通常是用什么方法求出各种可 能的结果呢？ 通常可用直接列举，列表法或树形图法求出各种 可能的结果。
1
2
3
4
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6
2 3 4 5 6
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) （记为事件B）的结果有4个，则
4 1 P（B）= = (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 36 9
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) P（C）= (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
甲
A C I H D I H E I H C I H
B D I H
结果有12个，它们出现的可能性相 等。 E （1）满足只有一个元音字母的结果 5 有5个，则 P（一个元音）=
乙
丙 H
A A A A A A B B B B B C C D D E E C C D D E H I H I H I H I H I H
用列举法求概率
例题4
甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B； 乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别 写有字母C、D和E；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I。 从3个口袋中各随机地 取出1个小球。 （1）取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别是多少？ （2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？ 解：由树形图得，所有可能出现的
（3）满足至少有一个骰子的点数为 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 2（记为事件C）的结果有11个，则
11 36
用列举法求概率
思考一
当一次试验涉及两个因素时，且可能出现的结果较 多时，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用
1、什么时候用“列表法”方便？
列表法。
第 第 一张 二张
1
2
3
4
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6
解：由列表得，两次抽取卡片后， 可能出现的结果有36个，它们出现 的可能性相等. 满足第一次取出的数字能够整 除第二次取出的数字（记为事件A） 的结果有14个，则
1 2 3 4 5 6
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)